第二讲：多元微积分
多元函数微积分(课件)
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
多元微积分学
多元微积分学摘要：1.多元微积分学的基本概念2.多元函数的极限与连续3.偏导数4.全微分5.多元函数的泰勒公式6.隐函数定理与微分中值定理7.多元函数的极值与最值问题8.多元函数的曲线拟合与参数估计9.多元微积分学的应用正文：一、多元微积分学的基本概念多元微积分学是微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的极限、连续、微分、积分等性质。
在多元微积分学中，我们通常考虑两个或两个以上的变量，例如x, y, z 等。
多元微积分学的基本概念包括多元函数、多元函数的极限与连续、偏导数、全微分等。
二、多元函数的极限与连续在多元函数中，我们需要研究函数在某一点的极限与连续性。
多元函数的极限定义为函数在某一点的邻域内的函数值趋于某一值的趋势。
而连续性则表示函数在某一点的左右极限存在且相等。
三、偏导数偏导数是多元函数微分学的基础概念，用于研究多元函数在某一点的变化率。
偏导数可分为一阶偏导数和二阶偏导数。
一阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的变化率，而二阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的曲率。
四、全微分全微分是多元函数微分学的另一个重要概念，用于研究多元函数在某一点的整体变化率。
全微分可以用于求解多元函数的泰勒公式，以及多元函数在某一点的隐函数定理与微分中值定理。
五、多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是多元微积分学中的一种重要公式，用于表示多元函数在某一点的近似值。
泰勒公式可以将多元函数展开为一个无穷级数，从而便于研究函数的性质。
六、隐函数定理与微分中值定理隐函数定理是多元微积分学中的一个重要定理，用于研究多元函数的隐函数。
微分中值定理则表示多元函数在某一点的平均变化率等于函数在该区间内某一点处的瞬时变化率。
七、多元函数的极值与最值问题多元函数的极值与最值问题是多元微积分学中的一个重要问题，研究如何求解多元函数在某一区域内的最大值与最小值。
这个问题可以通过求解多元函数的偏导数方程组来解决。
八、多元函数的曲线拟合与参数估计多元函数的曲线拟合与参数估计是多元微积分学中的一个重要应用，用于研究如何用多元函数来表示一组数据。
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
高三数学知识点：多元函数和多元微积分
高三数学知识点：多元函数和多元微积分1. 多元函数1.1 定义多元函数是指含有两个或两个上面所述变量的函数。
通常表示为f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是变量，称为自变量。
1.2 多元函数的图形多元函数的图形是多元函数的图像。
在平面上，我们可以画出二元函数的图像。
对于二元函数f(x, y)，我们可以固定一个变量的值，然后画出另一个变量的值随该变量变化的曲线。
这些曲线称为等值线。
1.3 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对一个变量的导数，而将其他变量视为常数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数可以表示为：•∂f/∂x1：表示对x1的偏导数。
•∂f/∂x2：表示对x2的偏导数。
•∂f/∂xn：表示对xn的偏导数。
1.4 多元函数的极值多元函数的极值是指在某个区域内，函数取得最大值或最小值的情况。
通过求偏导数并解方程组，可以找到多元函数的极值。
2. 多元微积分2.1 多元积分多元积分是指对多元函数进行积分。
根据积分变量的不同，可以分为二重积分、三重积分和四重积分等。
2.1.1 二重积分二重积分是指对二元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫_D f(x, y) dA其中，D表示积分区域，f(x, y)是被积函数，dA是面积元素。
2.1.2 三重积分三重积分是指对三元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫_D f(x, y, z) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z)是被积函数，dV是体积元素。
2.1.3 四重积分四重积分是指对四元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫∫_D f(x, y, z, w) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z, w)是被积函数，dV是体积元素。
2.2 向量微积分向量微积分包括向量的导数和向量的积分。
2.2.1 向量的导数向量的导数是指对向量场的导数。
对于向量场F(x, y, z)，其导数可以表示为：∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z2.2.2 向量的积分向量的积分是指对向量场进行积分。
多元函数微积分第二节
即 z = f ( x x , y y ) f ( x , y )
2、偏增量
如果 y 0，即只给自变量
引起的函数增量
以增量
x
x z f ( x x, y ) f ( x, y )
由此 x
叫做函数
在点 对应的自变量 的增
z f ( x, y )
+ )
（依偏导数的连续性）
= (, ) + 1
且当 x 0, y 0 时， 1 0 .
同理
1 + 2
∵
≤ 1 + 2
当 y 0 时， 2 0 ,
→ 00,
z
f y ( x , y )y 2 y
(0 < 1 < 1)
P ( x x , y y ) P 的某个邻域
z A x B y o( )
总成立,
当 y 0 时，上式仍成立，此时 | x |,
= + + ()
A x o(| x |),
f ( x x , y ) f ( x , y )
2×1+3×2=8,
| = 1=2 =
3×1+2×2=7.
RT
p
RT
证 p
2;
V
V
V
RT
RT
RT
=
⇒
=− 2;
V
p
= ;
=
⇒
pV
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分一、概念多元函数是指具有多个自变量的函数。
在多元函数中，自变量可以有两个、三个甚至更多。
相应地，函数的取值也不再是一个数，而是一个有序组。
多元函数的微积分研究的是多元函数的导数、偏导数、不定积分、定积分等性质。
二、多元函数的导数1. 偏导数在多元函数中，偏导数指的是只以其中一个自变量为变化量，其余自变量视为常数时求取的导数。
偏导数有两种表示形式，一种是用∂表示，被当作普通的符号；另一种是用d表示，表示它是一个变差量。
对于二元函数y=f(x, z)，其偏导数可以通过以下公式计算：∂f/∂x = ∂y/∂x = dy/dx∂f/∂z = ∂y/∂z = dy/dz2. 方向导数方向导数告诉我们，一个函数在给定点上沿着某个特定方向变化的速率。
对于函数f(x, y, z)而言，其在点(a, b, c)处沿着向量v=(v1, v2, v3)的方向导数可以通过以下公式计算：Dv(f) = ∂f/∂x * v1 + ∂f/∂y * v2 + ∂f/∂z * v3三、多元函数的积分1. 不定积分多元函数的不定积分与一元函数的不定积分类似，是求解原函数的过程。
对于多元函数f(x, y)，其不定积分可以写为：∫f(x, y) dx = F(x, y) + C1其中，C1是常数，F(x, y)是f(x, y)的一个原函数。
2. 定积分对于多元函数f(x, y)在区域D上的定积分，其结果为对D内每个小区域的积分之和。
具体计算过程中，常用的方法是先将区域D切割成许多小的面积，然后对每个小面积进行积分累加。
定积分的计算方法包括直接计算和变量替换两种方式。
四、应用领域多元函数的微积分在实际问题中有广泛的应用。
具体领域包括但不限于：1. 经济学：研究供给与需求函数、利润函数、效用函数等方面的微积分问题。
2. 物理学：研究质点的质量、速度、加速度等与时间和空间的关系。
3. 工程学：研究材料特性、电力电子等领域的微积分问题。
多元微积分(先修课)
多元微积分（先修课）多元微积分是传统微积分的进阶版，是数学中一个重要的分支。
所谓多元微积分，就是对于多元函数的求导、积分等操作的研究。
多元微积分可以帮助我们更深入地了解数学中的概念和原理，对于很多学科领域中的问题都有很重要的应用。
多元函数是指在多维空间中取值的函数。
举个例子，我们可以考虑一个三维空间中的函数f(x,y,z)，其中x，y，z是坐标轴上的三个变量，而f的值则可以描述在空间中某一点的某种属性。
比如，如果我们考虑一个标准的重力场，那么对于任意一个三维空间中的点(x,y,z)，我们可以用f(x,y,z)来描述在这个点上的重力势能。
在多元微积分中，我们需要研究多元函数在不同方向上的变化率（即偏导数）、在空间中不同的区域上的积分等问题。
首先我们可以考虑多元函数的极限和连续性。
在一元微积分中，我们已经学过了极限的定义和求解方法，而在多元微积分中，我们同样可以定义多元函数在某一点处的极限。
具体地，我们称在点P(x0,y0,z0)处，函数f(x,y,z)在(x,y,z)趋近于P时的极限为L，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当(x,y,z)在以P为中心，以δ为半径的球体内时，有|f(x,y,z)-L|<ε成立。
接下来我们可以讨论多元函数的偏导数。
偏导数可以看作是多元函数在不同方向上的变化率，其定义和一元函数的导数类似。
具体地，假设f是一个二元函数，我们可以定义f对x的偏导数为，f(x,y)在点(x0,y0)处对于x的变化率。
也就是说，当y是定值时，f(x,y)对于x的单独变化率就是这里定义的偏导数。
同理，我们可以定义f对y的偏导数为，f(x,y)在点(x0,y0)处对于y的变化率。
需要注意的是，偏导数不一定能够代表整个函数的整体变化，因此在实际问题中需要结合具体的情境来使用偏导数。
接着我们可以讨论多元函数的全导数，全导数是多元函数在某一点处沿着所有方向上的总变化率。
与偏导数不同的是，全导数考虑了所有的可能变化方向，因此可以作为整个函数的全局性质来使用。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是数学中的一个重要分支，涉及到对具有多个变量的函数进行求导和积分的操作。
它在应用数学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用价值。
本文将从多元函数的定义和性质入手，介绍多元函数微积分的基本概念和方法，并通过一些具体的例子来说明其应用。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指具有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是实数。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的取值范围。
多元函数可以表示实际问题中的各种关系，如物体的位置随时间的变化、温度随空间位置的变化等。
多元函数的导数和偏导数是多元函数微积分的基本概念。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其导数是一个向量，表示函数在每个自变量方向上的变化率。
偏导数是多元函数在某个自变量上的导数，其他自变量保持不变。
导数和偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过极限的概念来定义。
二、多元函数的微分和积分多元函数的微分是指函数在某一点附近的线性逼近，可以近似地表示函数在该点的变化。
多元函数的微分可以通过导数和偏导数来计算，具体的计算方法与一元函数类似。
微分在数学和物理中有广泛的应用，如近似计算、优化问题等。
多元函数的积分是对函数在某个区域上的求和操作，可以用来计算函数在该区域上的平均值、总和等。
多元函数的积分可以通过重积分来计算，即将区域分成小块，然后对每个小块进行积分，最后将结果相加。
重积分的计算方法与一元函数的积分类似，可以通过定积分的定义来推导。
三、多元函数微积分的应用多元函数微积分在实际问题中具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，可以利用多元函数微积分来描述物体的运动和力学性质；在经济学中，可以利用多元函数微积分来描述供需关系和最优化问题；在工程学中，可以利用多元函数微积分来解决工程设计和优化问题等。
例如，考虑一个二维平面上的函数f(x, y)，表示某个物体的高度。
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柱 0 2 坐 0 1 标 2 z 2 2
3 2 2 ( x y ) d v d d dz
z z x2 y2
O
y
d 3d
0 0
2
1
2 2
2
dz
2
xx 2 y 2 z 2 2
f是y的奇函数 关于 坐标面对称 xOz 关于 坐标面对称 xOz坐标面对称 , 的偶函数 f是y, 的奇函数 或 关于 xOy , f是z 1
而得结果为零.
1
设空间区域1：x 2 y 2 z 2 R2 , z 0,
2 ：x2 y2 z2 R2 , x 0, y 0, z 0,
0 2 f ( x , y , z )dv Ω
1
f为z的奇函数 f为z的偶函数
其中1为在xOy坐标面的上半部区域.
设域为 x 2 y 2 z 2 a 2 , 1为的z 0部分
则
2 2 x y zdv 0
2 2 y z d v 2 y z dv 0
x2 而 2 dv a V
x2 dydz a a 2 dx Dx
a
y2 z2 x2 其中 dydz等于 椭圆 2 2 1 2 的面积 : b c a Dx
x x2 x2 b 1 2 c 1 2 bc 1 2 a a a
高数精讲
主讲人 理学院数学系 岳瑞锋
yueruif@
梳理知识体系 提高解题能力
第二讲 多元微积分
知识体系 一元微分 多元微分
定积分
曲线与曲面积分
重积分
第二讲 多元微积分
多元微分学知识点汇总及典型题目
多元积分学知识点汇总及典型题目
（3）三重积分
定义：分割、取近似、求和、取极限.
n
d 4 d
0 0
2
0
a y r sin sin cos 4 r sin 3 dr z r cos
5 1 a 2 4 sin3 ( 5 0)d 0 5 cos
2 dv r sin drd d
R
•再分析积分区域，化为柱面坐标下的三次，比如
f dv 0
2
d d f (r sin cos ,
0 0
r sin sin , r cos ）r 2 sin dr
计算I ( x 2 y 2 )dxdydz , 其中是锥面
x 2 y 2 z 2与平面z a(a 0) 所围的立体.
对 xy yz是关于y的奇函数, 称 且关于zOx面对称. 性 质 ( xy yz )dv 0
O
y
x
x2 y2 z2 2
同理 zx是关于x的奇函数, 且关于yOz面对称.
xzdv 0
计算 ( x y z )2dv ( x 2 y 2 z 2 )dv
三种方式：直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系.
无论二重还是三重积分，其计算的关键均是用不等 式描述积分区域，由于三重积分的积分区域是三维空 间，所以分析时，需要一定的空间想象能力.
z
直角坐标系下：
•投影法（先二后一法） 将区域向坐标面投影.
O
z2
z z2 ( x , y )
S2
z1
S1
z z1 ( x , y )
O
y
x
• 截面法(先二后一法)
将区域向坐标轴投影
x2 y2 z2 已知椭球V: 2 2 2 1 内点(x,y,z)处质量 a b c 2 2 2 的体密度为: x y z , 求椭球的质量. a 2 b2 c 2
x2 y2 z2 解 因为 M a 2 b2 c 2 dv V 2 2 2 z y x 2 d v 2 dv 2 dv c b a V V V
2
x x 所以 2 dv 2 dx d ydz a a a Dx V
a
2
2
x dydz bc(1 2 ) a Dx
2
由对等性知
4 因此 M abc. 5
a a 4 abc 15 y2 z2 4 abc 2 dv 2 dv b c 15 V V
f ( cos , sin , z ) d d dz
z1 ( , ) z z2 ( , )
z2 ( , )
1
d ( ) dz ( , ) f ( cos , sin , z ) dz
1
2 ( )
y y2 ( x )
: a x b, y1 ( x ) y y2 ( x ),
z1 ( x , y ) z z2 ( x , y )
a
b x
( x, y)
D
y
y y1 ( x )
dx y ( x ) dyz ( x , y ) f ( x , y , z )dz
10
a5 .
2 2 2 2 z x y z 1 x y 设 是曲面 与
围成的空间区域, 求 ( x z )dv . 解
z
积分域 关于yOz面对称， x 被积函数是 x的奇函数. xdv 0
2 d d 球 zdv r cos r sin dr
1
2
dz .
2
1 1
dz .
x xy : x y 2 1
2
y
球面坐标系下
z
x
•球面坐标的直观意义：
r
M ( x, y, z )
z
O
x r sin cos , y r sin sin , z r cos
•球面坐标与直角坐标的关系： A x
f ( x , y , z )dv lim f ( , , Ω
0 i 1 i i
i
)v i
几何意义：被积函数为1时，表示积分区域的体积.
物理意义：空间物体的质量.
存在性：连续函数必可积.
性质：线性、可加性、比较、估值、中值定理.
•对称性质：
(1) 若域 关于xOy坐标面对称,则 f ( x , y , z )dv
积分的方法简单.将V向yOz平面投影 得平面区域 D yz {( y, z ) 0 y z ,0 z 1}, 对任一 ( y, z ) Dyz , x取值为 0 x z 2 y 2 .
1 z
I
1
0
1
0
1 . 36
z z2 y2 1 dz ydy xdx 0 0 z 7 1 z 1 1 y 2 dz [ z y 2 ]dy 0 z 2dz 8 z 02
则 f ( x , y , z )dv
0 2 f ( x , y , z )dv
4
f为 x , y , z的奇函数
f为 x , y , z的偶函数
其中 4 为 中关于原点对称的一半区域.
（4）三重积分的计算
基本思想：将三重积分转化为三次定积分.
转化的关键：用三组不等式描述积分区域.
其中 ( t ) {( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 t 2 },
D( t )
f ( x y )d
2 2
, G(t )
D( t )
f ( x 2 y 2 )d
解
采用 球面坐标 a za r cos
z
za
O
4 : 0 2 , 0 , 4 a 0 r . cos
x y z
2 2 2
x
x2 y2 z2
y
a : 0 2 , 0 , 0 r 4 cos I ( x 2 y 2 )dxdydz x r sin cos
之外所围成的立体的体积 V ( D ).
( A) d d
0 0
2
1
1 2
2
dz .
z
( B ) d d
0 0
2
1 1 2
1
2
dz .
O
(C ) d d
0 0
2
1
1
( D) d d
0 0
2
计算 ( x y z )2dv ,
其中是抛物面 z x y 和球面x y z 2 所围成的空间闭区域. z z x2 y2 解 ( x y z )2 x 2 y 2 z 2 2( xy yz zx )
2 2 2 2 2
y
y
P
•球面坐标系中的体积元素为： dv r 2 sin dr d d
球面坐标系下 •计算流程：先从直角坐标的三重到球面坐标的三重.
f ( x , y , z )dxdydz f ( r sin cos ,
r sin sin ,r cos ) 2 r sin dr d d
柱面坐标系下 •计算流程：先从直角坐标的三重到柱面坐标的三重.
f ( x , y , z )dxdydz
f ( cos , sin , z )d d dz
•再分析积分区域，化为柱面坐标下的三次.