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考研数学分必背公式大全
全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
考研真题【数学三】考研数学_高数、线代、概率_公式大全(高清排列整齐打印版)
1- x 21- x 2x 2 - a 2 a 2 - x 2导数公式：全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全高等数学公式(tgx )' = sec 2x (ctgx )' = -csc 2 x (sec x )' = sec x ⋅ t gx (arcsin x )' =1(arccos x )' = - 1(csc x )' = -csc x ⋅ c tgx (a x )' = a x ln a(arctgx )' =11+ x 2(log a x )' =1x l n a(arcctgx )' = -11+ x 2基本积分表：⎰tgxdx = - ln cos x + C ⎰ ctgxdx = ln sin x + Cdx cos 2 x dx= ⎰sec 2xdx = tgx + C ⎰sec xdx = ln sec x + tgx + C⎰ sin 2 x = ⎰csc 2 xdx = -ctgx + C⎰ csc xdx = ln csc x - ctgx + C dx = 1 arctg x+C⎰sec x ⋅ tgxdx = sec x + C ⎰csc x ⋅ ctgxdx = -csc x + C⎰ a2 + x2a dx=1a lnx -a + C ⎰a xdx =a xC ln a ⎰ x 2 - a 2 dx a 2 - x 2 2a x + a= 1 ln a + x + C 2a a - x ⎰ shxdx = chx + C ⎰chxdx = shx + C ⎰ dx = arcsin x + C ⎰dx = ln( x + x 2 ± a 2 ) + Ca 2 - x2a x 2 ± a 2π2 I n = ⎰sin 0 π2xdx =⎰cos nxdx = n -1 nI n -2dx = x 2 ⎰ dx = x 2 + a 2 + a 2 2 - a 2 2 a 2 ln(x + ln x + x) + C + C⎰ dx = + arcsin + C 2 ax 2 + a 2 x 2 + a 2 x 2 x 2 - a 2 x 2 - a 2x 2 a 2 - x 2 ⎰ ⎰ + n ⎰三角函数的有理式积分：sin x =2u 1+ u 2 ， cos x = 1- u 2 ， 1+ u 2 u = tg x ， 2dx = 2du 1+ u 2一些初等函数：两个重要极限：e x - e- x双曲正弦: shx = limsin x = 12 x →0x双曲余弦: chx = e x + e- xlim(1+ 1)x = e = 2.718281828459045...双曲正切: thx =2 shx = chxe x - e - xe x + e - xx →∞xarshx = ln( x + archx = ±ln( x + x 2 +1） x 2 -1)arthx = 1 ln 1+ x2 1- x三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式：·和差化积公式：sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin βsin α + sin β = 2 s inα + βcosα - βcos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin βα22tg α ± tg βsin α - sin β = 2 cos + β sin α - βtg (α ± β ) =1 tg α ⋅ tg β ctg α ⋅ ctg β 1cos α + cos β = 2 c os 2 α + β 2 cos 2 α - β 2ctg (α ± β ) =ctg β ± ctg αcos α - cos β = 2 sinα + βsinα - β22y ' (1+ y '2 )3(uv ) = ∑C uv·倍角公式：sin 2α = 2 sin α c os αcos 2α = 2 c os 2α -1 = 1- 2sin 2α = cos 2α - sin 2αctg 2α -1sin 3α = 3sin α - 4sin 3 αcos 3α = 4 c os 3 α - 3cos α ctg 2α =tg 2α = 2ctg α2tg αtg 3α =3tg α - tg 3α 1- 3tg 2α1- t g 2α·半角公式：sin α=2cos α=2tg α== 1- cos α = sin α ctg α== 1+ cos α = sin α2 sin α 1+ cos α2 sin α 1- cos α·正弦定理：a = sin Ab sin B = csin Cπ= 2R ·余弦定理： c 2= a 2+ b 2- 2ab cos Cπ·反三角函数性质： arcsin x =- arccos x2arctgx = - arcctgx2高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：n(n ) k (n -k ) (k )n k =0= u (n ) v + nu (n -1) v ' +n (n -1) u (n -2) v ' + + n (n -1) (n - k +1) u (n -k ) v (k )+ + uv (n )2! k !中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a ) f (b ) - f (a ) f '(ξ )柯西中值定理： F (b ) - = F (a )F '(ξ )当F(x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
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高等数学公式导数公式：(tan x)sec 2x(arcsin x)11 x2 (cot x)csc 2 x(arccos x)1(secx)secx tan x1x 2(cscx) cscx cot x(arctan x)1(a x )a x ln a1 x 2(log a x)1(arc cot x)1x ln a1x2基本积分表：tan xdxln cosxCdx2tan x Ccos 2 xsec xdxcot xdx ln sin xCdx csc2xdxcot x Csecxdx ln secxtan x Csin 2 x cscxdx ln cscx cot x Csecx tan xdx secx Cdx1xCcsc x cot xdxcsc x C22arctanxa x aaa x dxaCdx1x aCln ax 2a 22alnashxdx chxCxdx1 ln a x C chxdxshxCa 2 x 22a a xdx arcsinxCdxa 2 ln( xx 2 a 2 ) Ca 2 x 2ax 22sin n2cos nn 1I nI nxdxxdx2 0nx 2a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( xx 2 a 2 ) C2 2x 2a 2 dx x x 2 a 2a 2 ln x x 2 a 2 C2 2a2x 2dx x a 2x2a 2arcsin xC22 a三角函数的有理式积分：和差角公式：·和差化积公式：sin()sin cos cos sincos()cos cos sin sintan()tan tan 1 tan tancot()cot cot1 cot cot倍角公式：·半角公式：a b c ·正弦定理：sin B 2Rsin A sin C·反三角函数性质：arcsin x arccos x2高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：中值定理与导数应用：多元函数微分法及应用多元函数的极值及其求法：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：sin sin2sin cos22 sin sin 2 cos sin22 cos cos2cos cos22 cos cos 2 sin sin22·余弦定理： c 2a2 b 22ab cosCarctan x arcc tan x2二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) 式的通解两个不相等实根( p24q 0)两个相等实根( p24q0)一对共轭复根( p24q 0)二阶常系数非齐次线性微分方程线性代数公式大全——最新修订1、行列式1.n 行列式共有n2个元素，展开后有n !项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：①、 A ij和 a ij的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；3.代数余子式和余子式的关系：M ij(1)i j A ij A ij( 1)i j M ij4.设 n 行列式 D ：n( n 1)将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则 D1(1)2 D ；n( n1)将 D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为 D2，则 D2( 1)2 D ；将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则 D3 D ；将 D 主副角线翻转后，所得行列式为D4，则 D4 D ；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n (n1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2；③、上、下三角行列式（◥◣ ）：主对角元素的乘积；n( n 1)④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB、CA O A( 1)m n A BC B O B B O B C⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6. 对于n阶行列式A，恒有： E A n n k，其中 Sk为 k 阶主子式；n( 1)k S kk17.证明 A 0的方法：①、A A；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax0 ，证明其有非零解；④、利用秩，证明r (A)n ；⑤、证明0 是其特征值；2、矩阵1. A 是 n 阶可逆矩阵：A0 （是非奇异矩阵）；r( A)n （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 Ax 0有非零解；b R n， Ax b 总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A 的特征值全不为0；A T A 是正定矩阵；A 的行（列）向量组是R n的一组基；A是 R n中某两组基的过渡矩阵；2.对于 n 阶矩阵 A ： AA * A* A A E 无条件恒成立；3.(A1)*( A* ) 1(A1)T(A T ) 1(A*)T(A T)*4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、 B可逆：A1若 A A2，则：A sⅠ、 A A1A2A s；A11Ⅱ、A1A21；A s1A1OO A 1；（主对角分块）②、B O B 1O③、OAB OA C ④、O BA O ⑤、C B1B 1O ；（副对角分块） A 1O11A 1CB 1A ；（拉普拉斯） OB 11A 1 O；（拉普拉斯）B 1CA 1B 13、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个 m n 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定E rO；的： FOOm n等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 A 、 B ，若 r ( A ) r (B )A B ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非 0 元素必须为 1；③、每行首个非0 元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、 若 (A ,E )rA 1 ；(E , X )，则 A 可逆，且 Xc (E , A 1B ) ； ②、对矩阵 ( A , B ) 做初等行变化，当 A 变为 E 时， B 就变成 A 1 B ，即： ( A , B )r1③、求解线形方程组：对于n 个未知数 n 个方程Ax b ，如果( , ) ( ,) ，则x A 可逆，且 x A b ；A b E4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1②、2，左乘矩阵 A ， i 乘 A 的各行元素；右乘，n③、对调两行或两列，符号E (i , j ) ，且 E (i , j ) 1E (i , j ) ，例如： 1④、倍乘某行或某列，符号 E (i (k )) ，且 E (i (k ))1E (i ( 1)) ，例如：ki乘 A 的各列元素；11 11；111111k(k 0) ；1k111k1k⑤、倍加某行或某列，符号 E (ij (k )) ,且E(ij(k))1 E ( ij( k ))，如：11(k0) ；115.矩阵秩的基本性质：①、 0r (A m n)min( m, n) ；②、(T )r ()；r A A③、若 A B ，则r(A)r(B)；④、若 P 、Q可逆，则r(A)r( PA)r( AQ)r( PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、 max(r( A), r (B)) r( A, B)r (A)r (B)；（※）⑥、 r ( A B) r ( A) r (B)；（※）⑦、 r ( AB) min(r ( A), r( B))；（※）⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且AB0 ，则：（※）Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0 解（转置运算后的结论）；Ⅱ、 r( A)r( B) n⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则r(AB)r(A)r (B)n ；6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）的形式，再采用结合律；1a c②、型如 0 1 b的矩阵：利用二项展开式；001二项展开式：(a b)n C n0a n C n1a n1b1C n m a n m b m C n n 1a1b n 1注：Ⅰ、 (a) n展开后有 n1项；bⅡ、C n m n(n 1)(n m 1)n !C n0C n n11 2 3m m!( n m)!Ⅲ、组合的性质：C n m C n n m C n m C n m C n m 1nC n r2n1r0③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：n r ( A)n①、伴随矩阵的秩： r (A*) 1r ( A)n 1 ；0r ( A)n1行矩阵（向量）nC n n b n C n m a m b n m；m0rC n r nC n r11；②、伴随矩阵的特征值：A(AX X,A* A A1A*XA X)；③、 A*AA1、A*n 1 A8.关于 A 矩阵秩的描述：①、 r ( A)n ，A中有n阶子式不为0，n 1 阶子式全部为0；（两句话）②、 r ( A)n ，A中有n阶子式全部为0；③、 r ( A)n ，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组： Ax b ，其中A为m n矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b 有m个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b 为n元方程；10.线性方程组Ax b 的求解：①、对增广矩阵 B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程：a11 x1a12 x2a1n x n b1①、 a21 x1a22 x2a2n x n b2；a m1 x1a m2 x2a nm x nb na11a12a1n x1b1②、 a21a22a2n x2b2Ax b （向量方程， A 为 m n 矩阵， m 个方程， n 个未知数）a m1a m2a mn x mb mx1b1③、 a1a2a n x2（全部按列分块，其中b2）；x n b n④、 a1 x1a2 x2a n x n（线性表出）⑤、有解的充要条件：r( A)r( A,)n （n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个 n 维列向量所组成的向量组A：1,2,, m构成n m矩阵A(1,2,, m ) ；T1m 个 n 维行向量所组成的向量组B：1T,2T,, m T构成m n矩阵B T；2Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关Ax 0有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Ax b是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示AX B 是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵A m n与B l n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0 和Bx0同解； ( P101例 14)4.r (A T A)r ( A)；(P101例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、线性相关0 ；②、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；③、,,线性相关,,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若1, 2 ,,s 线性相关，则1, 2 ,,s, s1必线性相关；若1, 2 ,,s 线性无关，则 1 , 2 ,,s 1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若 r 维向量组 A 的每个向量上添上n r 个分量，构成 n 维向量组 B ：若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组 A （个数为 r ）能由向量组 B （个数为 s）线性表示，且 A 线性无关，则 r s(二版P74定理7)；向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则r(A)r(B)；（P86定理3）向量组 A 能由向量组 B 线性表示AX B 有解；r( A) r ( A, B)（P85定理2）向量组 A 能由向量组 B 等价r ( A)r(B) r( A, B)（P85定理2推论）；8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1, P2, , P l，使 A P1 P2P lr①、矩阵行等价： A ~ BPA AxB （左乘， P 可逆）0 与Bx0 同解②、矩阵列等价：c B （右乘， Q 可逆）；A ~B AQ③、矩阵等价： A ~ B PAQ B（P、 Q可逆）；9.对于矩阵 A m n与 B l n：①、若 A 与 B 行等价，则 A 与 B 的行秩相等；②、若 A 与 B 行等价，则Ax0与Bx0同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵 A 的行秩等于列秩；10. 若A m s B s n C m n，则：①、 C 的列向量组能由A的列向量组线性表示， B 为系数矩阵；②、 C 的行向量组能由B的行向量组线性表示，A T为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组 Bx 0的解一定是 ABx 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、 ABx0只有零解Bx0 只有零解；②、 Bx0 有非零解ABx0 一定存在非零解；12.设向量组B n r: b1, b2,, b r可由向量组A n s: a1, a2,, a19s线性表示为：（P110题结论）(b1 ,b2 ,, b r )(a1 ,a2 ,, a s )K（ B AK）其中 K 为 s r ，且 A 线性无关，则 B 组线性无关r( K )r ；（ B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：r r (B)r( AK)r( K ), r (K )r,r (K )r ；充分性：反证法）注：当r s时，K 为方阵，可当作定理使用；13.①、对矩阵A m n，存在 Q n m， AQ E m r (A)m 、 Q 的列向量线性无关；（ P87）②、对矩阵 Am n，存在 P n m， PA E n r( A) n 、P的行向量线性无关；14.1, 2,, s线性相关存在一组不全为 0的数 k1, k2,,k s，使得k1 1k22k s s0 成立；（定义）x1(1,2,x20 有非零解，即Ax 0有非零解；, s )x sr(1,2,, s ) s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设 m n 的矩阵 A 的秩为 r ，则 n 元齐次线性方程组Ax0的解集 S 的秩为： r (S)n r ；16.若*为 Ax b 的一个解，1,2, ,n r为 Ax 0的一个基础解系，则*,1,2, ,n r线性无关；（ P111题 33 结论）5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵A T A E或A1A T（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 a i T a j1i j (i, j 1,2, n) ；0i j②、若 A 为正交矩阵，则A1A T也为正交阵，且A 1 ；③、若 A 、 B 正交阵，则 AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化： (a1 , a2 , ,a r )b1a1；b r a r[ b1, a r ]b1[ b2 ,a r ]b2[b r1 , a r ]b r1;[ b1 , b1 ][ b2 , b2 ][b r1 , b r1 ]3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A与B等价 A 经过初等变换得到 B ；，P、Q可逆；PAQ B， A、 B同型；r( A)r( B)②、 A与B合同C T AC B ，其中可逆；x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数；③、 A与B相似P1AP B；5.相似一定合同、合同未必相似；若 C 为正交矩阵，则 C T AC B A B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则 A 为二次型矩阵；7.n 元二次型x T Ax为正定：A 的正惯性指数为n ；A 与E合同，即存在可逆矩阵 C ，使 C T AC E ；A 的所有特征值均为正数；A 的各阶顺序主子式均大于0；a ii0, A0 ；(必要条件)考研概率论公式汇总1．随机事件及其概率A A A吸收律：A A AA (AB) A A (A B)A反演律： A B AB AB A B2．概率的定义及其计算若 A B P(B A) P(B) P(A)对任意两个事件A, B, 有P( B A) P( B) P( AB)加法公式：对任意两个事件A,B, 有3．条件概率乘法公式全概率公式Bayes 公式4．随机变量及其分布分布函数计算5．离散型随机变量(1) 0–1 分布(2)二项分布B(n, p)若 P ( A ) = p *Possion 定理lim C n k p n k (1 p n )n k k有en k!k0,1,2,(3)Poisson 分布P( )6．连续型随机变量(1)均匀分布 U (a, b)(2)指数分布 E( )(3)正态分布N( , 2) *N (0,1) —标准正态分布7.多维随机变量及其分布二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数边缘分布函数与边缘密度函数8.连续型二维随机变量(1)区域 G 上的均匀分布， U ( G )(2)二维正态分布9. 二维随机变量的条件分布10.随机变量的数字特征数学期望随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩X 的 k 阶绝对原点矩X 的 k 阶中心矩X的方差X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩X ,Y 的二阶混合原点矩X ,Y的协方差X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的相关系数X 的方差D (X ) =E ((X - E(X))2)协方差相关系数。
考研数学公式大全数三
导数公式：基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：中值定理与导数应用：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ多元函数的极值及其求法：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数非齐次线性微分方程。
Qceyfv考研数学(三)公式大全
生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔数学公式导数公式：基本积分表：等价无穷小量代换()时，有：当0→x ϕx x ~sin x x ~tan x x ~arcsin x x ~arctanax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππa x a x ln ~1- x e x ~1-()ax x a~1+x nx n 1~11-+()x x ~1ln +221~cos 1x x -两个重要极限： 高阶导数公式()n m nm x n m m m x -+--=)1) (1)()!n x nn = ()()n x nx a a a ln =()ax n nax e a e =()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin sin πn x x n()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2cos cos πn x x n()()xnx ex n xe +=()()1!11+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nna x n a x ——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑泰勒公式：e x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 中值定理与导数应用：...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x拉格朗日中值定理。
考研数学三公式大全
高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222Ca x x a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， A.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin B.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 1.正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2..余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222Ca x x a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， A.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin B.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 1.正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2..余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±μ1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±μ6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：A.积化和差公式：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222Ca x x a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππB.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 1.正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2..余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试α的同名三角函数值，前α看作锐角时，原三角函数函数名不变，符号看象限和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )±=±②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)(④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：中值定理与导数应用： 多元函数微分法及应用 多元函数的极值及其求法： 常数项级数： 级数审敛法：绝对收敛与条件收敛： 函数展开成幂级数： 幂级数：一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 微分方程的相关概念即得齐次方程通解。
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高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222Ca x x a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， A.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin B.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 1.正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2..余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zudy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22多元函数的极值及其求法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnn n q q q q q nn 1312112)1(32111112+++++=++++--=++++- 级数审敛法：散。
存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。
的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n nn n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。
收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p nn n n函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ幂级数：010)3(lim)3(1111111221032=+∞=+∞===≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n nn n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于ρρρρρ一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n xx x x x x x n n m m m x m m mx x n n nm 欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ixix ix ix ixe e x e e x x i x e 或 微分方程的相关概念即得齐次方程通解。