2015年黑龙江省哈尔滨七十中九年级上学期数学期中试卷与解析

2014-2015学年黑龙江省哈尔滨七十中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列各图中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）3．（3分）正六边形的边长为1cm，则它的边心距为（）A．cm B．1cm C．2cm D．cm4．（3分）把二次函数y=﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（）A．y=﹣（x﹣1）2+2 B．y=﹣（x+1）2+2 C．y=﹣（x﹣1）2﹣2 D．y=﹣（x+1）2﹣25．（3分）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．（3分）已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（）A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（）A．70°B．60°C．50°D．40°8．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（）A．110°B．80°C．40°D．30°9．（3分）对于反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=﹣kx2﹣kx的大致图象是（）A．B． C．D．10．（3分）如图，某运动员P从半圆跑道的A点出发沿匀速前进到达终点B，若以时间t为自变量，扇形OAP的面积S为函数的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．（3分）在11月2日，哈尔滨早晨部分区域仍雾霾严重，直径小于等于0.0000025米的污染物颗粒是雾霾的主要组成部分．把0.0000025用科学记数法表示为．12．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是．13．（3分）计算：﹣=．14．（3分）抛物线y=x2+2x+3与x轴交点个数为．15．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣1，0）、（3，0），则这条抛物线的对称轴是．16．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=．17．（3分）如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是1厘米，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为．18．（3分）已知⊙O的半径为5，弦AB、AC的长分别为5和5，则∠BAC=°．19．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC=CB，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△AB′C′，若AC=6cm，△AB′C′与△ABC重叠部分面积为6cm2，则旋转角α的度数为．20．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=60°，将射线CA绕点C顺时针旋转交BA的延长线于点E，且∠ACE=∠DAC，过点D作DF⊥CE于点F交AC 于点G，若AB=5，AD=2，则AE=．三、解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）抛物线y=ax2与直线y=2x﹣3交于点P（1，b）．求a的值．22．（6分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有△ABC．点A、B、C、O均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于点O对称；（2）连接AB1直接写出线段AB1的长．23．（6分）在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心，以AC为半径作圆C，交AB于点D，求BD的长．24．（6分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了名同学；（2）在条形统计图中，n=；扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是度；（3）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理．25．（8分）某拱桥的横截面呈抛物线形，桥下水面宽为AB（单位：米）．以水面宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线解析式为y=﹣x2+4（1）水面宽AB是多少？（2）若点D在抛物线上且D点的横坐标为，求△ABD的面积s．26．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果∠A=30°，BE=2，求⊙O的半径．27．（8分）近日连降大雪让哈尔滨市滑雪业提前进入旺季，某体育用品商店购进一批简易滑雪板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件．（1）设商家降价x，每星期的销售利润为y，求y与x之间的函数关系式；（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨七十中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列各图中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选：B．2．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【解答】解：y=（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．3．（3分）正六边形的边长为1cm，则它的边心距为（）A．cm B．1cm C．2cm D．cm【解答】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=1cm，∵OM⊥AB，∴AM=BM=，在△OAM中，由勾股定理得：OM==（cm）．故选：A．4．（3分）把二次函数y=﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（）A．y=﹣（x﹣1）2+2 B．y=﹣（x+1）2+2 C．y=﹣（x﹣1）2﹣2 D．y=﹣（x+1）2﹣2【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），先向右平移1个单位，再向上平移2个单位那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣h）2+k代入2得：y=﹣（x﹣1）2+2．故选：A．5．（3分）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=30°，∴∠D=60°，∴∠A=∠D=60°．故选：C．6．（3分）已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（）A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm【解答】解：设底面半径为R，则底面周长=2πR，侧面积=×2πR×5=5πR=15π，∴R=3cm．故选：B．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（）A．70°B．60°C．50°D．40°【解答】解：∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°∴∠AOC=70°∵AD∥OC，OD=OA∴∠D=∠A=70°∴∠AOD=180°﹣2∠A=40°故选：D．8．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（）A．110°B．80°C．40°D．30°【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，∵∠A=40°，∴∠A′=40°，∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°，∴∠ACB=30°，∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，∴∠BCA′=30°+50°=80°，故选：B．9．（3分）对于反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=﹣kx2﹣kx的大致图象是（）A．B． C．D．【解答】解：∵反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k＜0，∴二次函数y=﹣kx2﹣kx中，﹣k＞0，∴其开口向上，且对称轴在y轴左侧，故选：B．10．（3分）如图，某运动员P从半圆跑道的A点出发沿匀速前进到达终点B，若以时间t为自变量，扇形OAP的面积S为函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：扇形的面积与圆心角度数n的关系为，时间t与圆心角度成正比例关系，图中正比例函数的图象是图C．故选：C．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．（3分）在11月2日，哈尔滨早晨部分区域仍雾霾严重，直径小于等于0.0000025米的污染物颗粒是雾霾的主要组成部分．把0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣6．【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故答案为：2.5×10﹣6．12．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是x≠﹣1．【解答】解：根据题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．13．（3分）计算：﹣=．【解答】解：原式=3﹣2=．故答案为：．14．（3分）抛物线y=x2+2x+3与x轴交点个数为0．【解答】解：令x2+2x+3=0，∵△=22﹣4×1×3=﹣8＜0，∴抛物线y=x2+2x+3与x轴没有交点．故答案为：0．15．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣1，0）、（3，0），则这条抛物线的对称轴是x=1．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣1，0）、（3，0），∴这条抛物线的对称轴是：x==1，即x=1．故答案是：x=1．16．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=20°．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∴∠PAC=90°．∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠P=40°，∴∠PAB=（180°﹣∠P）÷2=（180°﹣40°）÷2=70°，∴∠BAC=∠PAC﹣∠PAB=90°﹣70°=20°．故答案是：20°．17．（3分）如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是1厘米，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为平方厘米．【解答】解：∵⊙A、⊙B、⊙C的半径都是1cm，扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角，∴阴影部分扇形的圆心角度数为180°，∴S==（平方厘米）．阴影故答案是：平方厘米．18．（3分）已知⊙O的半径为5，弦AB、AC的长分别为5和5，则∠BAC= 15°或75°°．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE==，sin∠AOD==，∴∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．∴∠BAC=15°或75°．故答案为：15°或75°．19．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC=CB，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△AB′C′，若AC=6cm，△AB′C′与△ABC重叠部分面积为6cm2，则旋转角α的度数为15°．【解答】解：∵△AC′B′是△ACB绕点A逆时针旋转a后得到的，∴∠C′=∠ACB=90°，AC′=AC=6cm，∴重叠部分的面积=AC′•C′D=6cm2，即×6•C′D=6，解得：C′D=2，∴tan∠C′AD===，∴∠C′AD=30°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴旋转角a=∠CAC′=∠BAC﹣∠C′AD=45°﹣30°=15°．故答案为：15°．20．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=60°，将射线CA绕点C顺时针旋转交BA的延长线于点E，且∠ACE=∠DAC，过点D作DF⊥CE于点F交AC 于点G，若AB=5，AD=2，则AE=3．【解答】解：作DQ⊥AB于Q，AH⊥BC于H，如图，在Rt△ADQ中，∵∠DAQ=60°，∴AQ=AD=1，DQ=AQ=，∴BQ=AB﹣AQ=5﹣1=4，在Rt△BDQ中，BD===，∵∠DBQ=∠ABH，∴Rt△BDQ∽Rt△BAH，∴=，即=，解得BH=，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BC=2BH=，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣60°﹣∠DAC）=60°﹣∠DAC，而∠ACE=∠DAC，∴∠ACB=60°﹣∠ACE，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°，∴∠BCE=∠BAD，而∠DAC=∠EBC，∴△BAD∽△BCE，∴=，即=，解得BE=8，∴AE=BE﹣AB=8﹣5=3．故答案为3．三、解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）抛物线y=ax2与直线y=2x﹣3交于点P（1，b）．求a的值．【解答】解：根据题意得：，解得：，故a的值为﹣1；22．（6分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有△ABC．点A、B、C、O均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于点O对称；（2）连接AB1直接写出线段AB1的长．【解答】解：（1）如图1，根据分析，可得．（2）如图2，延长CA交B1C1的延长线于点D，，AB1==，∴线段AB1的长是．23．（6分）在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心，以AC为半径作圆C，交AB于点D，求BD的长．【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB===10，过点C作CE⊥AB于点E，则AD=2AE，AC2=AE•AB，即62=AE×10，∴AE=3.6，∴AD=2AE=2×3.6=7.2，∴BD=AB﹣AD=10﹣7.2=2.8．24．（6分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了200名同学；（2）在条形统计图中，n=60；扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是72度；（3）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理．【解答】解：（1）调查的总人数是：70÷35%=200（名）．故答案是：200；（2）n=200×30%=60，则m=200﹣70﹣60﹣30=40，则艺术类所占的圆心角是：360×=72°．故答案是：60、72；（3）其他类图书所占的百分比是：×100%=15%，则学校购买其他类读物的册数是：6000×15%=900（册）．25．（8分）某拱桥的横截面呈抛物线形，桥下水面宽为AB（单位：米）．以水面宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线解析式为y=﹣x2+4（1）水面宽AB是多少？（2）若点D在抛物线上且D点的横坐标为，求△ABD的面积s．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+4，∴y=0时，则0=﹣x2+4，解得：x=2或﹣2，∴水面宽AB是2+2=4米；（2）∵点D在抛物线上且D点的横坐标为，∴对应纵坐标为y=，∴即三角形ABD的高是，∵AB=4，∴△ABD的面积s=×4×=．26．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果∠A=30°，BE=2，求⊙O的半径．【解答】解：（1）连接OD．∵O是AB的中点，D是AC的中点，∴OD∥BC，又∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥BC；（2）连接BD．∵OA=OD，∴∠A=∠AD0=30°，∵AB是直径，∴∠ADB=∠ODE=90°，∴∠BDE=∠ADO=30°，∴BD=2BE=4，∠DOB=60°，∴△BOD是等边三角形．∴⊙O的半径是4．27．（8分）近日连降大雪让哈尔滨市滑雪业提前进入旺季，某体育用品商店购进一批简易滑雪板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件．（1）设商家降价x，每星期的销售利润为y，求y与x之间的函数关系式；（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？【解答】解：设降价x元，根据题意得：y=（130﹣100﹣x）（80+4x）=﹣4x2+40x+2400；（2）设应将售价定为x元，则销售利润y=（x﹣100）（80+×20）=﹣4x2+1000x﹣60000=﹣4（x﹣125）2+2500．当x=125时，y有最大值2500．故应将售价定为125元，最大销售利润是2500元．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得：b=﹣3，c=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4．（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m．∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，∴点E坐标为（m，8+m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m1=m2=﹣2．∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED=90°，则BE=DE，∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m，∴CE=4+m﹣m=4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。