课题十一 导数的应用
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数作为微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具之一。
在数学领域中，导数的运用非常广泛，它不仅可以用来解决数学问题，还可以在实际生活中找到许多有趣的应用。
导数在实际生活中的运用，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以为我们的生活带来便利与乐趣。
一、导数在物理学中的应用在物理学中，导数被广泛应用于描述物体运动的规律。
通过对物体位移、速度、加速度等物理量的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律。
以小车匀速运动为例，假设小车在 t 时刻的位置为 s(t)，则小车的速度可以表示为 s'(t)，而小车的加速度可以表示为 s''(t)。
通过对速度和加速度的分析，可以帮助我们更加深入地理解物体的运动规律，为实际的运动控制提供依据。
在经济学中，导数被广泛应用于描述经济变量的变化规律。
通过对需求函数、供给函数等经济函数的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解价格、产量等经济变量的变化规律。
导数还可以用来解决相关的最优化问题，在经济决策中发挥着重要作用。
通过对经济变量的导数进行分析，可以帮助经济学家更好地理解市场运行的规律，为经济政策的制定提供依据。
在工程领域中，导数被广泛应用于描述各种物理现象和工程问题。
在电路设计中，导数可以帮助我们分析电流、电压等电学量的变化规律，为电路的设计提供依据。
在机械设计中，导数可以帮助我们分析力、速度、加速度等物理量的变化规律，为机械系统的设计提供依据。
通过对工程问题中的导数进行分析，可以帮助工程师更好地理解物理现象和工程问题，为工程设计提供科学依据。
除了在物理学、经济学和工程领域中的应用外，导数还可以在生活中的许多其他领域中找到应用。
通过对人口增长率、疾病传播速率等进行导数分析，可以帮助我们更好地理解社会现象和生活问题。
在生产实践中，导数也可以用来描述生产过程中的效率和变化规律。
导数还可以在艺术创作、音乐编排等方面找到应用，帮助我们更好地理解艺术和音乐作品的规律。
高中数学人教B版选修11课件：第三单元 3.3.3 导数的实际应用.pptx
类型二 实际生活中的最值问题 命题角度 1 利润最大问题 例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位： 千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数.已知当销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值； 解答
热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层， 每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费 用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式； 解答
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值. 解答
f′(x)＝6－32x＋40502， 令 f′(x)＝0，即32x＋40502＝6，解得 x＝5，x＝－235(舍去). 当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0， 故x＝5为f(x)的极小值点也为最小值点， 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70. 答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.
跟踪训练4 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行 速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运 输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平 方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值. 解答
包装盒容积为 V＝2x2· 2(30－x) ＝－2 2x3＋60 2x2(0<x<30)， 所以 V′＝－6 2x2＋120 2x＝－6 2x(x－20). 令V′>0，得0<x<20； 令V′<0，得20<x<30. 所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为 20 2 cm，高为10 2 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案一、教学目标1. 理解导数的基本概念和计算方法。
2. 掌握导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、优化问题等。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 导数的基本概念和计算方法2. 导数在速度和加速度中的应用3. 导数在优化问题中的应用4. 实际案例分析与练习三、教学重点与难点1. 重点：导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 难点：导数在优化问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用导数解决实际问题。
3. 练习法：通过练习题，巩固所学知识。
五、教学准备1. 教案、PPT、教学用具。
2. 练习题及答案。
3. 实际案例素材。
第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1.2 导数的计算方法1.3 导数的几何意义第二章：导数在速度和加速度中的应用2.1 速度与加速度的导数关系2.2 匀加速运动的速度与位移2.3 非匀加速运动的速度与位移第三章：导数在优化问题中的应用3.1 优化问题的基本概念3.2 函数的极值与最值3.3 实际优化问题的求解方法第四章：实际案例分析与练习（一）4.1 案例一：物体运动的瞬时速度与加速度4.2 案例二：曲线切割面积的最优化4.3 练习题与解答第五章：实际案例分析与练习（二）5.1 案例一：商品折扣的最优化5.2 案例二：生产成本的最优化5.3 练习题与解答六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数6.2 动力学方程与导数6.3 能量守恒与导数七、导数在经济问题中的应用7.1 边际分析与导数7.2 成本分析与导数7.3 利润最大化与导数八、导数在生物问题中的应用8.1 种群增长与导数8.2 药物浓度与时间的关系8.3 生物酶活性与温度关系九、导数在其他领域中的应用9.1 图像处理中的导数应用9.2 信号处理中的导数应用9.3 气候变化与导数10.1 导数在实际应用中的重要性10.2 导数与其他数学概念的联系10.3 实际应用案例的进一步探讨重点和难点解析六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数：理解牛顿运动定律中的加速度概念，以及如何通过导数表示加速度。
导数应用应用导数解决实际问题
导数应用应用导数解决实际问题导数应用：应用导数解决实际问题导数是微积分的重要概念之一，在数学中具有广泛的应用。
导数的概念可以帮助我们解决很多实际问题，从物理学到经济学，从工程学到生物学，导数都扮演着重要角色。
本文将介绍几个实际问题，并利用导数的应用解决这些问题。
1. 物理学中的运动问题在物理学中，我们经常需要研究运动物体的速度和加速度。
通过利用导数的概念，我们可以轻松地解决这些问题。
假设有一个运动物体，其位移函数为f(t)（t为时间）。
我们可以通过求f(t)的导数，得到这个运动物体的速度函数f'(t)。
同样地，通过再次对速度函数求导，我们可以得到加速度函数f''(t)。
通过这种方式，我们可以准确地描述物体的速度和加速度随时间变化的规律，从而更好地理解运动的特性。
2. 经济学中的边际分析在经济学中，导数应用广泛用于边际分析。
例如，假设一个公司的生产函数是Q=f(L,K)，其中Q为产量，L为劳动力输入，K为资本输入。
我们感兴趣的是，当劳动力增加一个单位时，产量的增长量是多少。
通过求生产函数关于劳动力的偏导数，即∂Q/∂L，我们可以得到劳动力对产量的边际贡献。
这个值可以帮助企业决策者确定有效的生产方案，并优化资源的利用。
类似地，我们也可以对资本输入进行边际分析。
3. 工程学中的最优化问题在工程学中，导数应用于最优化问题的解决。
例如，假设有一个桥梁的设计问题，我们希望通过调整桥梁的各个参数来最大限度地提高桥梁的承载能力。
通过建立数学模型，我们可以将承载能力表示为某个变量的函数。
然后，通过求这个函数的导数，我们可以找到使得承载能力最大化的最优参数值。
这种方法被广泛应用于各种工程设计和优化问题中，有效提高了工程的效率和可靠性。
4. 生物学中的变化率分析在生物学研究中，导数有时用于分析生物进程的变化率。
例如，在一个细胞增长的过程中，我们可能对细胞大小的变化率感兴趣。
通过建立细胞大小关于时间的函数模型，并对该函数求导，我们可以得到细胞大小随时间变化的速率。
高中数学第一章导数及其应用第11课时导数在实际生活中的应用教案
高中数学第一章导数及其应用第11课时导数在实际生活中的应用教案导数在实际生活中的应用【教学目标】1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉ 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题. 【教学重点、难点】解有关函数（如边际函数、边际成本）最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等最优解问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决. 利用导数求函数的最值步骤:（1）求f(x)在(a,b)内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值. 二、例题分析：例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，当箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？xxx x6060例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？1变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使其容积有最大值？例3、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S时，使得湿周l?AB?BC?CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b. EDAh600BC b例4、已知电源的内阻为r，电动势为E，当外电阻R多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？2例5、强度分别为a，b的两个光源A，B间的距离为d，试问：在连结两光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8，b=1，d=3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）例6、在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)?C(x)称为利润函数，记为P(x)，（1）如果C(x)?10?6x3?0.003x2?5x?1000，那么生产多少单位产品时，边际C?(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）如果C(x)?50x?1000，产品的单价p(x)?100?0.01x，那么怎样定价可使利润最大？3感谢您的阅读，祝您生活愉快。
导数的应用
导数的应用导数是新课程下一门新的数学工具，它的应用主要表现在：导数的几何意义；利用导数研究函数的性质，求极值和最值；导数在不等式以及实际问题中的应用。
一．下面就导数的应用举几个例子：（一）灵活应用导数，为数学解题引进新的思路和方法。
1.导数的几何意义。
函数在点处的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率。
也就是说，曲线在点处的切线的斜率是，于是相对应的切线方程是，巧借导数的几何意义的各类综合试题在近几年高考试卷中频频出现。
例1.曲线在点处的切线的方程为（）应选例２.已知曲线与直线相交于两点。
曲线在两点处的切线分别是，若，求实数的值。
分析：此题若用解析几何的方法来研究比较麻烦。
若使用导数分析则比较简洁。
解：设点，则利用能够得到两直线的斜率，因为，则有，能够得到，将两个方程联立可得到，此方程的两个根为。
根据韦达定理有：即所以点评：此题利用导数求曲线的切线斜率，充分表达了导数运算的简洁优势。
（二）利用导数研究函数的性质。
导数在解决函数的单调性，函数的极值和最值；以及对高次函数图像的特征分析等方面有着广泛的应用。
例３.设为实数，函数（１）求函数的单调区间；（２）若任意，求证：（３）若得图像与轴仅有一个交点，求实数的取值范围。
解：（１）所以递增区间为所以递减区间为（２）由（１）可知函数在区间上递减。
任意所以结论成立。
（３）根据（１）的分析可知函数在处取得极值。
要使得的图像与轴仅有一个交点，则需要函数的极大值小于，或函数的极小值大于。
所以有或得到或例４.用总长为的钢条制作一个长方体容器框架，假设所制容器的底面的一边比另一边长。
那么高为多少时容器容积最大？并求出最大容积。
解：设底面短边长为。
则另一边长为则高为即令容积为则所以高为时容器容积最大，此时最大容积为点评：使用导数的相关知识，研究函数的性质（单调性）极值和最值和实际问题中的应用是高考的热点问题。
解决此类问题有时也要注意联系相对应的函数图像。
（三）导数在证明不等式中的应用。
导数的应用
导数的应用
一、教材分析：导数的应用是历年高考的热点，每年必有一道大题。
它在高中教材中的
出现，使得中学数学与大学数学有了更好的衔接。
这就要求同学们复习这一节时应该引起重视，树立用导数处理某些问题的意识。
二、教学目标：
1、知识与技能：
（1）利用导数的几何意义来解决问题；
（2）利用导数来的解决函数的单调性问题；
（3）利用导数求函数极值以及函数在闭区间上的最值问题；
（4）利用导数来解决根的分布及某些恒成立问题。
2、过程与方法：学会利用函数的解析式，由导数来解决它的性质（图象的某些特点），
合理利用数形结合解题。
3、情感态度与价值观：培养学生思考问题，解决问题的能力，
三、教学重点：应用导数求单调性、极值、最值以及它们的综合应用
四、教学难点：方程根与恒成立问题
五、学法与教法：
学法：（1）合作式交流：利用小组讨论共同探讨解决问题的方法。
（2）探究式学习：引导学生的主观能动性，通过自己去解决某些问题，从而得出问题的解决思路和过程。
教法：分合相辅。
让学生从题海中解脱出来，形成知识体系，增强知识的连贯性和综合性，通过典例让学生能抓住问题的本质，加深对其问题理解，从“变”的问题中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中去探索出“变”的规律。
导数的应用知识点总结
导数的应用知识点总结导数是微积分的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
导数可以用来描述曲线的斜率、速度、加速度等物理量，因此在物理、工程、经济等领域都有着重要的作用。
在本文中，我们将总结导数的应用知识点，包括曲线的斜率、极值、曲率、速度、加速度等内容，以及它们在实际问题中的应用。
1. 曲线的斜率导数的最基本应用是描述曲线的斜率。
对于一条曲线上的某一点，它的导数就是该点处曲线的斜率。
这个概念在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以用导数来描述自由落体运动中物体的速度和加速度。
在工程学中，导数可以用来描述曲线的变化率，比如在设计汽车行驶路线时，我们可以使用导数来分析路线的曲率和斜率，从而选择最合适的路径。
2. 极值导数还可以用来求解函数的极值。
在一条曲线上，函数的最大值和最小值通常就是极值点。
通过求取函数的导数，我们可以找到函数的极值点，并通过对导数的符号进行分析来确定这些点是极大值还是极小值。
这个概念在经济学、物理学和工程学中有着广泛的应用。
比如在经济学中，我们可以利用导数来分析生产函数的边际产出，并确定最优的生产方案；在物理学中，我们可以通过导数来分析物体的运动轨迹，并求解最大高度、最短时间等问题；在工程学中，我们可以利用导数来优化设计，比如在机械设计中，可以通过导数分析物体的应力分布，从而设计出更加稳定的结构。
3. 曲率曲率是描述曲线弯曲程度的物理量，它在导数的应用中也有着重要的作用。
通过求取曲线的导数和二阶导数，我们可以求解曲线的曲率，并用来描述曲线的几何特性。
这个概念在航空航天、地图绘制、自动驾驶等领域都有着广泛的应用。
比如在航空航天领域中，我们可以利用曲率来确定飞机的最佳飞行路径；在地图绘制中，我们可以利用曲率来确定地球表面的实际曲率，从而制作出更加真实的地图；在自动驾驶领域中，我们可以利用曲率来确定车辆的行驶路径，从而实现更加智能的驾驶。
4. 速度和加速度在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量。
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课题十一 导数的应用（艺术生教案）
一． 导数与单调性（函数()f x 可导，且导函数()f x '不恒等于零）
1. ()f x '0≥⇔
2.()0f x '≤⇔
二．函数的极值
1.极大值
2.极小值
3.求极值的步骤
三．最值
1.最值定理
2.求最值的步骤
例1. 求下列函数的单调区间
①32()32;f x x x =-+②4(),(0);f x x x x =+
>③ln ()x f x x
=
例2. 已知函数2
()ln(1)f x x x x =+-+，①求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方
程；
②求()f x 的单调区间。
例3. 设函数32()91(0),f x x ax x a =+--<若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线 126x y +=平行，求：
①a 的值；
②函数()f x 的单调区间；
③()f x 在区间[]0,4上的最值。
例4. 已知函数323()(,2
f x x ax b a b =-+为实数，且1)a >在区间[]1,1-上的最大值为1，最小值为2-.
①求()f x 的解析式；
②若函数()()g x f x mx =-在区间[]2,2-上为减函数，求实数m 的取值范围。
1. 函数32
()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 A.2- B.0 C.2 D.4
2.函数32
()33f x x x x =-+的极值点的个数是
A. 0.
B.1
C.2
D.3
3.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++极大值和极小值都存在，则实数a 的取值范围
A.()1,2-
B.()3,6-
C.()(),36,-∞-+∞
D.()(),12,-∞-+∞
4.已知函数32()26(f x x x m m =-+为常数）在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值是
A.5-
B.11-
C.29-
D.37-
5. 函数 f (x )＝ln(x ＋1)－mx 在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，1]
C ．(－∞，12]
D ．(－∞，12
) 6. 如果函数y ＝f (x )的图象如左图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是右图中的
7. 函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．
8. ．若直线y ＝m 与y ＝3x －x 3的图象有三个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．
9. 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1，1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．
10. 已知函数32(),f x x ax bx c =+++曲线()y f x =在点1x =处的切线为
:l 31x y -+=0，若23
x =
时函数()y f x =有极值， ⑴求,,a b c 的值； ⑵求()y f x =在[]3,1-上的最大值和最小值。
11. 设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间与极值点．。