【优化指导】高考数学总复习三角函数的诱导公式二新人教A版
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(二)全册精品教案 新人教A版必修4
1．3诱导公式（二） 教学目标 （一）知识与技能目标 ⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． （三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． 教学重点 掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式． 教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学过程一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k诱导公式（二） tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒诱导公式（三） tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）sin(π－α)=sin α cos(π －α)=－cos α tan (π－α)=－tan α诱导公式(五)sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=-诱导公式（六）sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+二、新课讲授：练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-︒ 练习2：求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos)1(︒︒-ππ 例1．证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=- 例2．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-的值。
人教A版高中数学必修4课件：1.3.2 三角函数的诱导公式(二)
1.3.1 三角函数的诱导公式（二）
诱导公式五、六
状元随笔
(1)诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关 系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角， 也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
方法归纳
用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的 原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦， 以保证三角函数名最少．
(2)对于 π±α 和π2±α 这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变 名，而运用后一套公式必须变名．
跟踪训练 3 已知角 α 的终边在第二象限，且与单位圆交于点 Pa，35，求sinπ2＋2cαos＋32π2－sinαπ2－α的值．
解析：因为角 α 的终边在第二象限且与单位圆相交于点
Pa，35， 所以 a2＋295＝1(a<0)，所以 a＝－45，所以 sin α＝35，cos α＝－45， 所以原式＝cos－α＋2si2ncoαs α＝－32·csoins αα＝－32×－354＝2. 5 首先注意 α 的范围．求出 α 的范围与值再利用诱导公式求值．
＝
sinα－3πcos2π－αsin－α＋32π cos－π－αsin－π－α
＝
－sin α·cos α·－cos －cos αsin α
α＝－cos
α.
(2)因为 cosα－32π＝15，又 cosα－32π＝cosα＋π2 ＝－sin α， 即 sin α＝－15，而 α 是第三象限角，
方法归纳
证明三角恒等式的常用方法 (1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原 则． (2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的 A 起着桥 梁的作用．
新人教A版新教材学高中数学必修第一册三角函数诱导公式公式二公式三和公式四讲义
学习目标核心素养１．了解公式二、公式三和公式四的推导方法．２．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．（重点、易混点）３．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．（难点）１．借助公式进行运算，培养数学运算素养．２．通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.１．公式二（１）角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．（２）公式：sin（π＋α）＝—sin_α，cos（π＋α）＝—cos_α，tan（π＋α）＝tan_α.２．公式三（１）角—α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．（２）公式：sin（—α）＝—sin_α，cos（—α）＝cos_α，tan（—α）＝—tan_α.３．公式四（１）角π—α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．（２）公式：sin（π—α）＝sin_α，cos（π—α）＝—cos_α，tan（π—α）＝—tan_α.思考：（１）诱导公式中角α只能是锐角吗？（２）诱导公式一～四改变函数的名称吗？提示：（１）诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋错误!，k∈Z.（２）诱导公式一～四都不改变函数名称．１．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是（）１sin α＝sin β；２sin α＝—sin β；３cos α＝—cos β；４cos α＝cos β；５tan α＝—tan β.Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４C[因为α＋β＝π，所以sin α＝sin（π—β）＝sin β，故１正确，２错误；cos α＝cos（π—β）＝—cos β，故３正确，４错误；tan α＝tan（π—β）＝—tan β，５正确．故选Ｃ．]２．tan错误!等于（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!C[tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝—tan错误!＝—错误!.]３．已知tan α＝３，则tan（π＋α）＝________.３[tan（π＋α）＝tan α＝３．]４．求值：（１）sin错误!＝________.（２）cos错误!＝________.（１）错误!（２）—错误![（１）sin错误!＝sin错误!＝sin错误!＝错误!.（２）cos错误!＝cos错误!＝cos错误!＝—cos错误!＝—错误!.]给角求值问题【例１】求下列各三角函数值：（１）sin １３２0°；（２）cos错误!；（３）tan（—9４５°）．[解] （１）法一：sin １３２0°＝sin（３×３60°＋２４0°）＝sin ２４0°＝sin（１80°＋60°）＝—sin 60°＝—错误!.法二：sin １３２0°＝sin（４×３60°—１２0°）＝sin（—１２0°）＝—sin（１80°—60°）＝—sin 60°＝—错误!.（２）法一：cos错误!＝cos错误!＝cos错误!＝cos错误!＝—cos错误!＝—错误!.法二：cos错误!＝cos错误!＝cos错误!＝—cos错误!＝—错误!.（３）tan（—9４５°）＝—tan 9４５°＝—tan（２２５°＋２×３60°）＝—tan ２２５°＝—tan（１80°＋４５°）＝—tan ４５°＝—１．利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤１“负化正”——用公式一或三来转化；２“大化小”——用公式一将角化为0°到３60°间的角；３“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；４“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.１．计算：（１）cos错误!＋cos错误!＋cos错误!＋cos错误!；（２）tan １0°＋tan １70°＋sin １866°—sin（—606°）．[解] （１）原式＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0．（２）原式＝tan １0°＋tan（１80°—１0°）＋sin（５×３60°＋66°）—sin[（—２）×３60°＋１１４°]＝tan １0°—tan １0°＋sin 66°—sin（１80°—66°）＝sin 66°—sin 66°＝0．给值（式）求值问题【例２】（１）已知sin（α—３60°）—cos（１80°—α）＝m，则sin（１80°＋α）·cos（１80°—α）等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!（２）已知cos（α—7５°）＝—错误!，且α为第四象限角，求sin（１0５°＋α）的值．[思路点拨] （１）错误!→错误!（２）错误!→错误!→错误!（１）A[sin（α—３60°）—cos（１80°—α）＝sin α＋cos α＝m，sin（１80°＋α）cos（１80°—α）＝sin αcos α＝错误!＝错误!.]（２）[解] ∵cos（α—7５°）＝—错误!＜0，且α为第四象限角，∴sin（α—7５°）＝—错误!＝—错误!＝—错误!，∴sin（１0５°＋α）＝sin[１80°＋（α—7５°）]＝—sin（α—7５°）＝错误!.１．例２（２）条件不变，求cos（２５５°—α）的值．[解] cos（２５５°—α）＝cos[１80°—（α—7５°）]＝—cos（α—7５°）＝错误!.２．将例２（２）的条件“cos（α—7５°）＝—错误!”改为“tan（α—7５°）＝—５”，其他条件不变，结果又如何？[解] 因为tan（α—7５°）＝—５＜0，且α为第四象限角，所以α—7５°是第四象限角．由错误!解得错误!或错误!（舍）所以sin（１0５°＋α）＝sin[１80°＋（α—7５°）]＝—sin（α—7５°）＝错误!.解决条件求值问题的两技巧１寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.２转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.利用诱导公式化简问题[探究问题]１．利用诱导公式化简sin（kπ＋α）（其中k∈Z）时，化简结果与k是否有关？提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．当k是奇数时，即k＝２n＋１（n∈Z），sin（kπ＋α）＝sin（π＋α）＝—sin α；当k是偶数时，即k＝２n（n∈Z），sin（kπ＋α）＝sin α.２．利用诱导公式化简tan（kπ＋α）（其中k∈Z）时，化简结果与k是否有关？提示：无关．根据公式tan（π＋α）＝tan α可知tan（kπ＋α）＝tan α.（其中k∈Z）【例３】设k为整数，化简：错误!.[思路点拨] 本题常用的解决方法有两种：１为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；２观察式子结构，kπ—α＋kπ＋α＝２kπ，（k＋１）π＋α＋（k—１）π—α＝２kπ，可使用配角法．[解] 法一：（分类讨论）当k为偶数时，设k＝２m（m∈Z），则原式＝错误!＝错误!＝错误!＝—１；当k为奇数时，设k＝２m＋１（m∈Z），同理可得原式＝—１．法二：（配角法）由于kπ—α＋kπ＋α＝２kπ，（k＋１）π＋α＋（k—１）π—α＝２kπ，故cos[（k—１）π—α]＝cos[（k＋１）π＋α]＝—cos（kπ＋α），sin[（k＋１）π＋α]＝—sin（kπ＋α），sin（kπ—α）＝—sin（kπ＋α）．所以原式＝错误!＝—１．三角函数式化简的常用方法１合理转化：１将角化成２kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,２依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.２切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.提醒：注意分类讨论思想的应用.２．化简：（１）错误!；（２）错误!.[解] （１）原式＝错误!＝错误!＝—tan α.（２）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝—１．１．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·２π（k∈Z），—α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．２．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!１．思考辨析（１）公式二～四对任意角α都成立．（）（２）由公式三知cos[—（α—β）]＝—cos（α—β）．（）（３）在△ABC中，sin（A＋B）＝sin C．（）[提示] （１）错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋错误!，k∈Z.（２）由公式三知cos[—（α—β）]＝cos（α—β），故cos[—（α—β）]＝—cos（α—β）是不正确的．（３）因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π—C，所以sin（A＋B）＝sin（π—C）＝sin C.[答案] （１）×（２）×（３）√２．已知sin（π＋α）＝错误!，且α是第四象限角，那么cos（α—π）的值是（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．±错误!Ｄ．错误!B[因为sin（π＋α）＝—sin α＝错误!，所以sin α＝—错误!.又α是第四象限角，所以cos α＝错误!，所以cos（α—π）＝cos（π—α）＝—cos α＝—错误!.]３．错误!的值等于________．错误!—２[原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!—２．]４．化简（１）错误!；（２）错误!. [解] （１）错误!＝错误!＝错误!＝—cos２α.（２）错误!＝错误!＝—cos α.。
高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的诱导公式(2)课后习题 新人教A版必修4-新人教A
诱导公式（2）一、A组1.已知sin(π-α)=,则cos等于()A. B. C.- D.-解析:∵sin(π-α)=,∴sin α=.∴cos=-sin α=-.答案:C2.若α∈,则=()A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α解析:∵α∈,∴sin α<0,∴=-sin α.答案:B3.若sin>0,cos>0,则角α的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵sin>0,cos>0,∴cos α>0,sin α<0.∴角α的终边在第四象限.答案:D4.sin(π-2)-cos化简的结果是()A.0B.-1C.2sin 2D.-2sin 2解析:sin(π-2)-cos=sin 2-sin 2=0.答案:A5.=()A.-cos αB.cos αC.sin αD.-sin α解析:原式===-cos α.答案:A6.求值:sin2+sin2=.解析:∵-α++α=,∴sin2=sin2=cos2.∴sin2+sin2=sin2+cos2=1.答案:17.若α是三角形内角,且sin=-sin,则α=.解析:∵sin=-sin,∴cos α=-.∵0<α<π,∴α=.答案:8.若sin,则cos2=.解析:sin=cos θ=,则cos2=sin2θ=1-cos2θ=1-.答案:9.已知sin,求cos sin的值.解:cos sin=cos sin=sin sin.10.已知f(α)=.(1)证明:f(α)=sin α.(2)若f=-,且α是第二象限角,求tan α.(1)证明:因为f(α)====sin α.(2)解:由sin=-,得cos α=-.又α是第二象限角,所以sin α=,则tan α==-.二、B组1.若sin(3π+α)=-,则cos等于()A.-B.C.D.-解析:∵sin(3π+α)=sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=.∴cos=cos=cos=-sin α=-.答案:A2.A,B,C为△ABC的三个内角,下列关系式中不成立的是()①cos(A+B)=cos C②cos=sin③tan(A+B)=-tan C④sin(2A+B+C)=sin AA.①②B.③④C.①④D.②③解析:因为cos(A+B)=-cos C,所以①错;cos=cos=sin,所以②正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,所以③正确;sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sin A,所以④错,故选C.答案:C3.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为()A.-B.-C.D.解析:由已知得,-sin α-sin α=-a,即sin α=.故cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=- a.答案:B4.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则=.解析:由已知得sin α=-.因为α是第三象限角,所以cos α=-,tan α=.所以原式=.答案:5.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=.解析:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+…+cos 21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+.答案:6.导学号08720020已知α是第二象限角,若cos=-,则是第象限角.解析:∵cos=-=-=-=-,∴cos<0.又α为第二象限角,∴为第一或第三象限角,∴必为第三象限角.答案:三7.已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=.(1)求tan α的值;(2)求的值.解:(1)由故tan α=-.(2)原式==tan α=-.8.导学号08720021若.(1)求tan(x+π)的值;(2)求的值.解:(1)∵=,∴10(sin x-cos x)=3sin x+4cos x,即sin x=2cos x,∴tan x=2.∴tan(x+π)=tan x=2.(2)∵sin2x+cos2x=1,∴原式===-.。
高中数学三角函数的诱导公式(2)练习新课标人教A版必修4
1.3三角函数的诱导公式（第二课时）一、 提出问题：1. 诱导公式一 四分别反映了2()k k z πα+∈、πα+、α-、πα-与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是函数名_______ ，符号看_________.2. sin （90°－60°）与sin60°的值相等吗？相反吗？sin （90°－60°)与cos60°，cos （90°－60°）与sin60°的值分别有什么关系？据此，猜想: ______________________________二、解决问题：1. 若角α是任意角，则2πα-的终边与角α的终边关于_______对称。
2. 若角α的终边与单位圆的交点为P(x, y) , 则2πα-的终边与单位圆的交点为_________. 3. 根据三角函数定义，sin α=_____, cos α=_____, tan α=______ sin()2πα-=_____ = ______, cos()2πα-= _____ = _____ t a n ()2πα-=_____ = ______. 三、 归纳总结：1. 诱导公式五：sin()2πα-=_____ ， c o s ()2πα-= _____ tan()2πα-= _____ 2. 同法可得诱导公式六：sin()2πα+=_____ ， c o s ()2πα+= _____tan()2πα+= _____ 3. 用一句话概括这两组诱导公式：__________________________四、 趁热打铁： 1. 3sin()2πα-=_____ ， 3c o s ()2πα-= _____ 3sin()2πα+=_____ ， 3c o s ()2πα+= _____ 2. 已知2cos()63πα-=，求下列各式的值： ① sin()3πα+ ② 2sin()3πα- 3. 已知1sin(30)3α︒-= ，求1cos(60)tan(30)1sin(60)ααα︒++︒-+︒+的值. 4. 已知4sin()5πα+=(α是第四象限角)，求3cos()tan()sin()2ππααα++-++的值. 五、 能力提升：1. 化简：)29)sin(-)sin(--)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2απαπαπαπαπαπαπαπ+++ 2. 已知1cos(75)3α︒+= ，且18090α-︒<<-︒，求cos(15)α︒-的值.。
高中数学1.3三角函数的诱导公式(2)作业A新人教A版必修4
2016高中数学 1.3三角函数的诱导公式（2）作业A 新人教A 版必修4一．选择题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为 ( )A ．－12B .12C ．－32 D.322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( ) A ．－12 B ．12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B .13 C ．－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为 ( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 25．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是 ( ) A.13 B ．23 C ．－13 D ．－23 二．填空题7．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.8．已知tan(3π＋α)＝2，则sin α－3π＋cos π－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin －α＋cos π＋α＝___ _____.三．解答题9．求证：tan 2π－αsin －2π－αcos 6π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α10．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋14π－α (k ∈Z)．11．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．\12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3π＋α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值．13．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β3－α＝－2π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．A-59答案1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.8928．证明 左边＝－α－α－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan α－sin ααsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．9．2 10．解 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z)，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z)，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0.综上所述，原式＝0. 11．解 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α ＝－sin α.∴sin α·cos α＝60169， 即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.12．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2. ∴sin 3π＋α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin 3α＋cosα5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335.13．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
高中数学 第5章 三角函数 5.3 诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四教学案 新人教A版必修第一
第1课时诱导公式二、三、四(教师独具内容)课程标准：1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．教学重点：诱导公式的推导过程及其应用．教学难点：诱导公式的推导过程.【知识导学】知识点一角的对称(1)角π＋α的终边与角α的终边关于□01原点对称，如图a；(2)角－α的终边与角α的终边关于□02x轴对称，如图b；(3)角π－α的终边与角α的终边关于□03y轴对称，如图c.知识点二诱导公式【新知拓展】(1)在公式一～四中，角α是任意角．(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2k π＋α(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.(3)利用诱导公式一和三，还可以得出如下公式： sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α， tan(2π－α)＝－tan α.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( ) (2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．( )(3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( ) (4)诱导公式二～四两边的函数名称一致．( ) (5)诱导公式中的角α只能是锐角．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(1)已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A ．π－4 B ．4 C ．－4D ．4－π(2)sin 7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12(3)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝________. 答案 (1)C (2)A (3)0题型一给角求值问题例1 求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6.[解] (1)sin(－1200°)＝－sin1200° ＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120° ＝－sin(180°－60°) ＝－sin60°＝－32. (2)tan945°＝tan(2×360°＋225°) ＝tan225°＝tan(180°＋45°) ＝tan45°＝1.(3)cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32.金版点睛利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[跟踪训练1] 求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin 8π3cos 31π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解(1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π4 ＝sin 2π3cos 7π6＋tan π4＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6＋tan π4＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝14. 题型二给值求值问题例2 (1)已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45C ．±45 D.35(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝________.[解析] (1)因为cos(π－α)＝－cos α， 所以cos α＝35.因为α是第一象限角，所以sin α>0. 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.[答案] (1)B (2)－33[结论探究] (1)若本例(2)中的条件不变，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6； (2)若本例(2)条件不变，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值．解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.金版点睛解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [跟踪训练2] (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )A ．1B ．－1 C.13D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；(3)已知tan(π＋α)＝3，求2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)的值．答案 (1)D (2)223(3)见解析解析 (1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13.(2)∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.(3)因为tan(π＋α)＝3，所以tan α＝3. 故2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.题型三三角函数式的化简 例3 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋4π3(k ∈Z )． [解] (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.(3)当k 为偶数时，原式＝sin 2π3cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－sin π3cos π3＝－34.当k 为奇数时，原式＝sin 2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3＝sin π3cos π3＝34.金版点睛三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.(4)用诱导公式进行化简时，若遇到k π±α的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．[跟踪训练3] 化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)sin (1440°＋α)cos (α－1080°)cos (－180°－α)sin (－α－180°). 解 (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos αtan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin (4×360°＋α)cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin αcos (－α)(－cos α)sin α＝cos α－cos α＝－1.1．若n 为整数，则化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α答案 C解析 原式＝tan(n π＋α)，无论n 是奇数还是偶数，tan(n π＋α)都等于tan α.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝( ) A.13 B ．－13C.233D ．－233答案 B解析 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13. 3.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值等于________．答案2－2解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos225°sin135°－sin210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos45°sin45°＋sin30°＝－2222＋12＝2－2.4．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________.答案 －513解析 sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°] ＝－sin(45°＋α)＝－513.5．化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z )．解 当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α.当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α.所以原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos α(n 为偶数)，－2cos α(n 为奇数).。
人教A版高中数学必修四1.3 三角函数的诱导公式(二)
思考3 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？ sin32π－α＝－cos α，cos32π－α＝－sin α，
sin32π＋α＝－cos α，cos32π＋α＝sin α. 答 sin32π－α＝sinπ＋π2－α ＝－sinπ2－α＝－cos α； cos32π－α＝cosπ＋π2－α
＝－cosπ2－α＝－sin α； sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α； cos32π＋α＝cosπ＋π2＋α＝－cosπ2＋α＝sin α.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关 系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法. 3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角， 也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
A＋B－C A－B＋C 跟踪训练 3 在△ABC 中，sin 2 ＝sin 2 ，试判断
△ABC 的形状.
解 ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
A＋B－C A－B＋C 又∵sin 2 ＝sin 2 ，
π－2C π－2B ∴sin 2 ＝sin 2 ，
∴sin(π2－C)＝sin(π2－B)，∴cos C＝cos B.
反思与感悟 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通 已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α 与π3－α， π4－α 与π4＋α 等互余角关系的识别和应用.
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【优化指导】2013高考数学总复习 1-3-2 三角函数的诱导公式(二) 新人教A 版1．sin 480°的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°＝sin(90°＋30°)＝cos 30°＝32. 答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π2＞0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＞0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋32π＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＞0，θ为第二象限角．答案：B3．若cos(π＋α)＝－13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α等于( )A ．－13B.13C.223D ．－223解析：∵cos(π＋α)＝－13，∴cos α＝13，又∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－13.答案：A4．化简：sin(－α－5π)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________. 解析：原式＝sin(－α－π)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin α＝sin 2α. 答案：sin 2α5．已知sin αcos β＝1，则cosα＋β2＝________.解析：由sin αcos β＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，cos β＝－1，∴α＝2k π＋π2，β＝2m π或α＝2k π－π2，β＝2m π＋π，k ，m ∈Z .∴α＋β2＝(k ＋m )π＋π4，k ，m ∈Z .∴cosα＋β2＝±22. 答案：±226．化简：cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)．解：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·[－sin(π－α)]·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α ＝－sin 2α.(时间：30分钟 满分：60分)知识点及角度难易度及题号基础中档 稍难 化简求值问题 1、2、43、7、96、8 证明三角恒等式问题10 利用互余、互补关系求值 5一、选择题(每小题4分，共16分)1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝( ) A.13 B ．－13C.223D ．－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－13.答案：B2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－24D.24解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，∴cos α＝13， ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－22313＝－2 2.答案：A3．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－co s 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2x解析：f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x ，故选C. 答案：C4．设α是第二象限角，且cos α2＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π－α2，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：α是第二象限角，α2是第一或第三象限角．－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π－α2＝－1－sin2α2＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2，∴α2为第三象限角．答案：C二、填空题(每小题4分，共12分)5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于________.解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2，∴π4＋α＝π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案：－136．已知tan(3π＋α)＝2，则sin α－3π＋cos π－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin －α＋cos π＋α＝________.解析：∵tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2，∴sin α－3π＋cos π－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin －α＋cos π＋α＝－sin α－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝sin αcos αsin αcos α－cos αcos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 答案：27．计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋……＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°＝________.解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…， ∴原式＝44＋(22)2＋1＝4512. 答案：4512三、解答题8．(10分)化简：tan 3π－αsin π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋sin 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－72πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋αcos 2π＋α.解：tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α，si n(2π－α)＝－sin α，cos(2π＋α)＝cos α，s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－72π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝－cos α， 所以，原式＝－tan αsin α·－cos α＋－sin α·－sin α－cos α·cos α＝1cos 2 α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2 α＝1. 9．(10分)若sin(180°＋α)＝－1010，0°＜α＜90°. 求sin －α＋sin －90°－αcos 540°－α＋cos －270°－α的值．解：由sin(180°＋α)＝－1010，α∈(0°，90°)， 得sin α＝1010，cos α＝31010， ∴原式＝－sin α－sin 90°＋αcos 360°＋180°－α＋cos 270°＋α＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2.10．(12分)是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－β，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：利用诱导公式可将已知条件化为{ sin α＝2sin β ①3cos α＝2cos β ②，两式平方相加得sin 2 α＋3cos 2 α＝2，即sin 2α＝12，∴sin α＝±22.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，由①式可得sin β＝12，由②式可得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6.当α＝－π4时，由①式可得sin β＝－12、这与β∈(0，π)矛盾．从而只存在α＝π4，β＝π6使得两个等式同时成立．。