线性代数课件4.1.2

x 向量形式:1α1 + x2α 2 + L + xnα n = 0 向量形式:
非齐次线性方程: 非齐次线性方程: Ax = β , β ≠ 0
x1α1 + x2α2 + L + xnαn = β , β ≠ 0
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定理3.7 定理 4.1 齐次线性方程组3.7
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矩阵A的列 矩阵 的列
定理4.2 设 ξ1 , ξ 2 均为齐次线性方程组 Ax = 0 的解 的解, 定理 则 ξ1 + ξ 2 也是齐次方程组 Ax = 0 的解 的解. 证明 由于 Aξ1 = 0, Aξ 2 = 0, 所以
A ( ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0,
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c1n c1r +1 c1r + 2 得方程组(2) 得方程组 +L a11 x1 + a12 x2 M +a1r xr = M a1r +1 xr +1 L aM1n xn 的一组解为 a x + a x crr 1 a x = crra 2 x L a rn x c + L + 2 r r + 2 r + 1 r +1 + 21 1 22 2 2 n n ξ1 = LLLLLLLLL , ξ n r = 0 , 1 , ξ 2 = 0 ,L 这组解线x1 + ar 2 x2 + L + arr xr =1 arr 1 xr 1 L arn x 0 0 n ar 1 + + 性无关 M M M 0 0 1
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方程组( )右端的n-r个自由未知量依次取 方程组(2)右端的 个自由未知量依次取 xr +1 1 0 0 0 xr + 2 0 1 = , ,L , , M M M M xn 0 0 1
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矩阵A的秩为 的秩为r, 推论 若 m × n 矩阵 的秩为 则方程组 Ax = 0 的任意 的基础解系. n-r个线性无关的解均为 Ax = 0 的基础解系 个线性无关的解均为 小结 对于方程组 Am×n x = 0 方程组只有零解; 若 r( A) = r = n, 方程组只有零解; 方程组有非零解,基础解系由n-r 若 r( A) = r < n, 方程组有非零解,基础解系由 向量构成. 向量构成 特别当m=n时,系数矩阵为方阵,则 时 系数矩阵为方阵, 特别当 方程组只有零解; 若 A ≠ 0, 方程组只有零解; 若 A = 0, 方程组有非零解 方程组有非零解.
a11 a 21 A= L am 1
n , L L L amn
x1 x 2 , x= M xn
b1 b 2 β= M bm
矩阵形式: 矩阵形式: Ax = β
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例题1 例题1 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解 3 x1 + 6 x2 + 2 x3 + 12 x4 x5 = 0 2 x1 4 x2 x3 5 x4 + x5 = 0 2 x1 + 4 x2 + 2 x3 + 19 x4 + x5 = 0 6 x1 + 12 x2 + 6 x3 + 47 x4 + x5 = 0 对方程组的系数矩阵A施以初等行变换 解 对方程组的系数矩阵 施以初等行变换 3 6 2 12 1 1 2 0 3 0 2 4 1 5 1 0 0 1 4 0 → A= 2 4 2 19 1 0 0 0 5 1 6 12 6 47 1 0 0 0 0 0 矩阵A的秩 基础解系由2个向量构成 个向量构成. 矩阵 的秩 r( A) = 3, n = 5, 基础解系由 个向量构成.
向量组 α1 ,α 2 ,L ,α n 线性
Ax = 齐次线性方程组: Ax = 0 0 齐次线性方程组: 相关的充要条件是线性方程组 x1α1 + x2α 2 + L xnα n = 0 有非零解 有非零解. 问题:何时有非零解, 问题:何时有非零解,如何求出其全部非零解
定理4.1 设A为 m × n , 则齐次线性方程组 A x = 0 定理 为 有非零解的充分与必要条件是系数矩阵的秩 r ( A ) < n. 证明 方程组 Ax = 0 有非零解 向量组 α1 ,α 2 ,L ,α n 线性相关 向量组 α1 ,α 2 ,L ,α n 的秩< n , 即 r ( A) < n. 推论 设A为n 阶方阵,则齐次线性方程组 Ax = 0 为 阶方阵, 有非零解的充要条件是 A = 0.
向量形式: x1α1 + x2α 2 + L + xnα n = β 向量形式:
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a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 齐次线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 LLLLLLLLL am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0 矩阵形式: 矩阵形式: Ax = 0
础解系. 础解系
a11 x1 + a12 x2 + L + a1r xr = a1r +1 xr +1 L a1n xn a x + a x + L + a x = a x L a x 21 1 22 2 2r r 2 r +1 r + 1 2n n LLLLLLLLL ar 1 x1 + ar 2 x2 + L + arr xr = arr +1 xr +1 L arn xn
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于是原方程组与下列方程组同解
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 2n n (1) ) LLLLLLLLL ar 1 x1 + ar 2 x2 + L + arn xn = 0 当r=n时,由克莱姆法则知,只有零解. 时 由克莱姆法则知,只有零解. 当r<n时,移项,方程组(1)变为: 时 移项,方程组( )变为: a11 x1 + a12 x2 + L + a1r xr = a1r +1 xr +1 L a1n xn a x + a x + L + a x = a x L a x 21 1 22 2 2r r 2 r +1 r + 1 2n n LLLLLLLLL (2) ) ar 1 x1 + ar 2 x2 + L + arr xr = arr +1 xr +1 L arn xn
ξ = ( k1 ,L , kr , kr +1 ,L kn )T 为方程组(2)的任一解, 为方程组( )的任一解, 设 也是方程组( ) 令 ζ = kr +1ξ1 + kr + 2ξ 2 + L + knξ n r , 则ζ 也是方程组(2)
ζ = ( ,L , , kr +1 ,L kn )T , 由克莱姆法则知 的解, 的解,且 ξ = ζ = kr +1ξ1 + kr + 2ξ 2 + L + knξ n r , 即方程组( ) 线性表示, 即方程组(2)的任一解均可由 ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n r 线性表示, 为方程组(2) 从而 ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n r 为方程组(2)也为原方程组的基
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的一个基础解系, 结论 如果 ξ1 , ξ 2 ,L , ξ t为方程组 Ax = 0 的一个基础解系, 的通解为: 则 Ax = 0 的通解为: k1ξ1 + kξ 2 + L + ktξ t , k1 , k2 ,L kt 为任意常数 为任意常数. 定理4.4 设 A = (aij ) 是 m × n 矩阵,且 r ( A) = r , 则齐 矩阵, 定理 的基础解系由n-r个向量构成 个向量构成. 次线性方程组 Ax = 0 的基础解系由 个向量构成 β 1T 证 由于 r ( A) = r , 不妨设左上角的 β 1T M r阶子式非零, 阶子式非零, 则矩阵A 的前r行 阶子式非零 则矩阵 的前 行 M T T T T β 1 , β 2 ,L , β r 为行向量组 β T → βr A= r 0 T β 1T ,L , β rT ,L , β m M M 的一个极大线性无关组. T 的一个极大线性无关组 βm 0 对矩阵A做行的初等变换得 对矩阵 做行的初等变换得
故 ξ1 + ξ 2 是方程组 Ax = 0 的解 的解. 定理4.3 设 ξ 为齐次线性方程组 Ax = 0 的解 k为任 的解, 定理 意常数, 的解. 意常数 则 kξ 也是齐次方程组 Ax = 0 的解 证明 由于 Aξ = 0, 所以 A ( kξ ) = k ( Aξ ) = 0, 的解. 故 kξ 是方程组 Ax = 0 的解
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLL am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm