矩形的折叠问题归类
矩形中的折叠问题
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点
落在对角线BD上旳点E处，此时折痕DF旳长是
多少？
A
D
6
4x
6
B 8-x
xC
探究三
如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边旳 中点F处，折痕为DE，则AD旳长为多少？
A
11 D
3
6 23
F
B
E
C
探究四
证明线段相等旳措施有证
落在C′处。猜测重叠部分△BED是什么
三角形？阐明你旳理由.
C′
求能角重得平叠到分等部线腰分与三△平角B行形E线D旳组面合积时,。 A E
D
B
C
在矩形旳折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找
到相应旳直思想处理问题。
探究二
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
（3）在折叠问题中，若直接处理较困难时，可将 图形还原，可让问题变得简朴明了。有时还可采用 动手操作，经过折叠观察得出问题旳答案。
谢谢大家！
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在 BC边上旳F点处，假如∠BAF=60°，那么 ∠DAE等于
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系 中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取 一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上 旳D点，求E点旳坐标。
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时旳图形。
6
4
(E)
6
F
8
E
10 6
(F)
10
我旳感悟我旳收获
(1)折叠过程实质上是一种轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析
专题02 中考折叠问题的归类解析【专题综述】折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．【方法解读】一、折叠与平行例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝___．【来源】2013-2014学年江苏省宜兴市和桥学区七年级下学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】95°在△BMN中，∠B=180°-（∠BMN+∠BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．翻折变换（折叠问题）．【解读】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【举一反三】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证：EDB EBD∠=∠；（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．【来源】2015中考真题分项汇编第1期专题4 图形的变换【答案】【解析】试题解析：（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠CDB =∠EBD∴∠EDB=∠EBD(2) ∵∠EDB=∠EBD∴DE=BE由折叠可知：DC=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB∴AE=EF∴∠EAF=∠EFA△BED中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°即2∠EDB+∠DEB=180°同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°∵∠DEB=∠AEF∴∠EDB= ∠EFA∴AF∥BD考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和二、折叠与全等例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。
思想方法专题：矩形中的折叠问题
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4
思想方法专题：矩形中的折叠问题
◆类型一折叠中求角度
1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为()
A．15°B．20°C．25°D．30°
第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC 重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是() A．25°B．30°C．36°D．45°
◆类型二折叠中求线段长
3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为()
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
第3题图第4题图
4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是()
A．3 B.
24
5C．5 D.
89
16
5．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．
◆类型三折叠中求面积。
长方形折叠问题的四个类型
长方形折叠问题的四个类型
长方形折叠问题是计算几何学中一个经典的问题，需要将一个矩形
单片纸折叠成不同的形状。
根据折叠的方式不同，长方形折叠问题可
以划分为四个类型。
一、矩形对折型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一边对折，得到的形状为一个小矩形。
其面积为原矩形面积的四分之一。
二、两个小矩形型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一个边对折，将得到两个小矩形。
这两个小矩形的面积之和等于原矩形面积。
三、梯形型
将矩形沿着某一边对折后再折成一三角形，将三角形的一条边与另一
边平行，得到的形状为梯形。
梯形的面积为原矩形面积的一半。
四、折叠成立体型
把矩形按一定方式折叠成一个几何立体体，如立方体、正四棱锥等。
这种类型的长方形折叠问题需要对几何概念和立体几何有一定的认识。
无论是哪种类型的长方形折叠问题，其解题方法都需要灵活掌握，考
虑到折叠的方向和次数，从而推导出最终的形状和面积。
长方形折叠
问题不仅能够训练我们的空间想象力，也有助于提高我们的计算能力和数学应用能力。
中考数学专题复习：矩形的折叠问题
基本模型折叠的本质是轴对称，矩形折叠后会形成具有轴对称关系的全等图形，边角关系还会发生重组，生成等腰三角形和直角三角形. 对于折叠的矩形，根据折痕或翻折后 对应点的位置进行分类，通常有如下四种基本模型.模型1：如图1，折痕是矩形的对角线AC . 模型2：如图2，点C 的对应点C '落在矩形的边上. 模型3：如图3，点C 的对应点C '落在矩形的对角线BD 上. 模型4：如图4，点C 的对应点与矩形的顶点A 重合.其他矩形折叠后的图形可以看成是由这四种基本模型变式而成的.在这四种基本模型中，依次对应着图5中的四个基本图形，都是等腰三角形和直角三角形相邻.结合矩形、等腰三角形、直角三角形、全等三角形、轴对称等知识，矩形的折叠问题可迎刃而解.模型应用例1如图6，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 上的点F 处，若AE =5，FB =3，求：（1）CD 的长；（2）AD 的长.解析：（1）由折叠可知△FED ≌△AED ，则EF =AE =5，图1AB CDEB'图2图3图4C'D ECBADC'CEAB D'DCEABF图5BA图6FCBE A DDF =AD .在Rt△BEF 中，可得BE =EF 2-BF 2=52-32=4，易得CD =AB =9.（2）设AD 的长为x ，由（1）可知，BC =DF =AD =x ，则CF =x -3.在Rt△CDF 中，根据勾股定理可得DF 2=CD 2+CF 2，即x 2=92+(x -3)2，解得x =15.因此，AD 的长为15.例2如图7，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在同一平面内的点E 处，BE 与AD 交于点F ，再将△DEF 沿DF 折叠，点E 落到了点G 处，若DG 平分∠BDA ，求∠BDC 的度数.解析：由折叠可知△EBD ≌△CBD ，△GFD ≌△EFD ，则∠EBD =∠CBD ，∠FDG =∠FDE .由DG 平分∠BDA ，可证∠FDG =∠BDG =∠FDE ，易证∠FDB =∠FBD .设∠EDF =x °，则∠FDG =∠BDG =∠EDF =x °，∠EBD =∠FDB =2x °，∠EDB =3x °.由∠FBD +∠BDE =90°，可得2x °+3x °=90°，解得x =18，则∠BDC =∠BDE =3×18°=54°.分层作业难度系数：★★★解题时间：6分钟如图8，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点P 是CD 上一点，将△PBC 沿BP 折叠得到△PBC '，BC'交AD 于点M ，PC '交AD 于点N ，若NC '=ND ，求BP 的长.（答案见本页）图7EDCBA F G图8DP NCBAM C'参考答案35。
矩形的折叠问题
∠A = ∠DEG = 90 AD=DE=3，
= 4. AD = 3
在Rt△ABD中，根据勾股定理有， AB 2 + AD 2 = BD 2 得BD=5。 又AD与对角线BD重合，∴∠DEG = ∠GEB = 90 BE=BD-DE=5-3=2 又BG=AB-AG=4- ， 在Rt△GEB中,根据勾股定理有 EB2 + GE2 = BG2 。 即AG为 。 22 x 2 (4 x)2 解得： 即
关于矩形的折叠通常有以下几种情况
一、将一边折到对角线上
二、将一个顶点折到一边上 三、一边沿对角线翻折
四、一条对角线的顶点折叠重合
折叠类题目关键
准确找出其中 不变量
例.矩形ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片 使AD与对角线BD重合，折痕为DG，求AG长
解：设AG为 在矩形ABCD中， ， 根据折叠有GE=AG=
小结： 1.这节课你学习了什么 2.折叠问题应抓住什么来解决
作业
1.矩形ABCD中，AB=8，AD=4，将矩形 沿对角线AC折叠，点D落在E处，求重叠部 分△AFC的面积及周长
ห้องสมุดไป่ตู้
练习（1）操作发现： 如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后 得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G． 猜想线段GF与GC有何数量关系.并证明你的结论． （2）问题解决： 保持（1）中的条件不变，若DC=2CG，求AD:AB （3）类比探究： 保持（1）中的条件不变，若DC=nCG，求AD:AB
初二数学折叠问题总结
初二数学折叠问题总结一、折叠问题相关概念与性质。
1. 折叠的性质。
折叠前后图形全等，对应边相等，对应角相等。
折痕是对应点连线的垂直平分线。
2. 常见图形中的折叠。
矩形的折叠：矩形折叠后会产生直角三角形等特殊图形，可以利用勾股定理求解边长等问题。
三角形的折叠：折叠后可以通过全等关系、角平分线性质等进行相关计算。
二、典型题目。
1. 矩形折叠求边长。
题目：如图，在矩形ABCD中，AB = 8，BC = 10，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处。
求BF的长。
解析：因为矩形ABCD沿AE折叠，所以△ADE≌△AFE。
则AD = AF = 10，DE = FE。
在Rt△ABF中，根据勾股定理AB^2+BF^2=AF^2。
已知AB = 8，AF = 10，设BF = x，则8^2+x^2=10^2。
即64 + x^2=100，x^2=100 64=36，解得x = 6。
所以BF的长为6。
2. 三角形折叠求角度。
题目：在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC = 4，将△ABC沿EF折叠，使点A与点B重合。
求∠BEF的度数。
解析：因为将△ABC沿EF折叠，点A与点B重合，所以EF是AB的垂直平分线。
则AE = BE。
又因为AC = BC = 4，∠C = 90°，所以∠A=∠B = 45°。
在△BEF中，∠B = 45°，BE = AE=(1)/(2)AB。
因为EF垂直平分AB，所以∠BEF=(1)/(2)(180°∠B)。
把∠B = 45°代入得∠ BEF=(1)/(2)(180° 45°)=67.5°。
3. 矩形折叠后求面积。
题目：如图，矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C 落在C'处。
求△BDC'的面积。
解析：因为矩形ABCD沿对角线BD折叠，所以△BCD≌△BC'D。
矩形折叠问题及动点问题精讲
O
F
D
C
E
B
F
C
ห้องสมุดไป่ตู้
新知探究
一、矩形折叠问题
例1、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm， 将矩形纸片折叠，使点C与点A重合. (3)四边形AFCE是什么四边形？说明理由． 答：四边形AFCE是菱形． A 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，OD＝OB，OA＝OC， ∴∠EDO＝∠CBO ∵∠BOF＝∠DOE B ∴△BOF≌△DOE ∴OE＝OF ∵OA＝OC ∴四边形AFCE是平行四边形， 由对折可得EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形．
设DF=x，由折叠的性质得 10 EF=FC=6－x，DE=AD－AE=2， 在Rt△DEF中，由勾股定理得DE2+DF2=EF2， 即22＋x2=(6－x)2，
6-x
8 解得DF=x= 3 .
自主练习
一、矩形折叠问题
3、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其 沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′， 且B′C=3，则AM的长是（ ） x 9-x A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 6 9 析解：如图，连结MB，MB′， 由折叠的性质可知MB＝MB′， 3 设AM=x， 在Rt△ABM中，BM2=AB2+AM2， 在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2， ∴AB2+AM2=MD2+DB′2， 即92＋x2=(9－x)2＋(9－3)2， 解得x=2，即AM=2．
∴DQ=CP 即 16－t＝21－2t 2t 解得 t=5 21-2t ∴当 t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形
自主练习
二、特殊四边形动点问题
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矩形的折叠问题归类
矩形的折叠问题可以归类为以下几类：
1. 折叠到一起：将一个矩形沿着某个边线折叠，使得两个边线重合。
2. 折叠到平面上：将一个矩形按照某种方式折叠，使得其能够完全展开在平面上。
3. 多重折叠：将一个矩形进行多次折叠，使得其能够达到特定的形状或尺寸。
4. 三维折叠：将一个矩形按照某种方式折叠，使得其能够变成一个三维的结构，例如一个盒子或者一个包裹。
5. 折纸问题：将一个纸片按照某种方式折叠，使得其能够达到特定的形状或尺寸，其中包括了矩形的折叠问题。
这些分类只是一种简单的划分方式，实际上矩形的折叠问题还包括了更多的变种和复杂性。
不同的问题可能有很不同的解法和思路。