静电场02

E的单位： N m 2 C
5
当S为闭合曲面时：
ΦE E dS
ΦE E dS
S
对闭合面的法线方向规定：
自内向外为法线的正方向。
ΦE 0
① E线从曲面内向外穿出 ΦE 0
② E线从曲面外向内穿进 ΦE 0 ③ E线与曲面相切 ΦE 0 注：
① S面E 或 其面法线 n || E
E dN dS
S S
dΦE E dS
n E E
n
E= E· S
②若n与E的方向成 角
S
S
ΦE 0 ΦE 0
θ
E
E= E · S
= EScos
90 90
4
均匀场中通过平面S的电通量： E= EScos
4 0 r 2 方向沿 r
ΦE
1
o
r
0
q
S内
i
0 E 0
一般地，场强为空间的不连续函数14
例3.求均匀带电球体的电场分布。设半径为R，电量为 +q。 解：场强具有与场源同心的球对称性。 取以r为半径的同心球面S为高斯面
rR
R
P
r
E
o
.
rR
0 V q E 4 0 r 2
应用关键：取电荷元（点电荷），找出积分函数
（变对电荷积分为对空间坐标函数积分）
1
第3节
一、电场线
静电场的高斯定理
E
1、定义： 方 电场线上各点的切线方向表 垂直于电场线的单位面积上
向 表示电场中该点场强的方向，
E
+
大 小 的电场线的条数（数密度) 。
q
dN E dS
电场线密度
dN：穿过dS的电场线根数
球对称
例2.求均匀带电球面的电场分布。设半径为R，电量为+q。
解：取以r为半径的同心高斯球面S
dq
R
rR
P dE'
r
o
dq'
E
.
ΦE E dS E 4r 2
1
dE
ΦE
0
q
S内
i

1
0
q E
q
若r R
ΦE E dS E 4r 2
1
1
r 方向沿 Φ E E dS E 4r 2
例4. 用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱棒的电场分 布,已知线电荷密度 。 解： 该电场分布具有轴对称性。 取以棒为轴，r为半径，高为h的圆 筒形封闭面为高斯面 S(高斯柱面)。 r
通过该面的电通量：
h
ΦE E dS
例5. 求无限大均匀带电平板的场强分布。 设面电荷密度为。 解： S 由于电荷分布对于场点 P 到平 面的垂线 OP 是对称的，所以 P o 点的场强必然垂直于该平面。 当>0时，场强方向指离平面。 当<0时，场强方向指向平面。 又因电荷均匀分布在无限大的平面上， 所以电场分布对该平面对称。 离平面等远处的场强大小都相等。
S
s
qi
q
+
10
ΦE E dS ( E1 E2 E3 ) dS S S 1 Φ Φ Φ
E1 E2 En
1 ΦE E dS
S
0 ( S内)
q
i
0 ( S内)
q
i
1 Φ E dS dV 若S内的电荷是连续分布： E S 0 V
此定理是用电通量表示的电场与场源电荷关系的规律。 注： ①定理中E 是闭合曲面S（高斯面）上的场强， 它是由全部电荷（S内外）共同产生的合场强。 ② E 只决定于S 面包围的电荷，S 面外的电荷 11 对E 无贡献。
2、高斯定理的意义：
给出了静电场的重要性质 ——静电场是有源场 qi 0 ΦE 0 电场线穿出 正负电荷就是场源 qi 0 ΦE 0 电场线穿入
3、利用高斯定理求静电场的分布
1 ΦE E dS
S
0
( S内)
q
i
当场源电荷分布具有某种对称性时，应用高斯定理， 选取适当的高斯面，使面积分中的E能以标量形式提 出来，即可求出场强。 常见的电荷分布的对称性有：
+ +
E
q
E
h
r+
+
+
E
S
轴对称
E

面对称
13
真空中的静电场
1. 库仑定律
真空中(点电荷) 电荷
1 q1q2 e F 4 0 r 2 r
2. 库仑力的作用机制
F 电场强度的定义：E q 0
电场
3. 叠加法求场强
点电荷：
k qi 点电荷系： E 2 er i i 1 4 0r i 任意带电体： dE dq 2 er E 4 0r
q
0
2
dS

q 4 0 r
2
dS
S
此结果与球面的半径无关、与q在球内的位置无关。 即通过各球面的电场线总条数相等。 说明从 q 发出的电场线连续地延伸到无穷远。
9
②点电荷q在任意闭合曲面S 内：
S
+ S
ΦE dΦE dΦE
S S
q
0
③ 点电荷在任意闭合曲面S 外： 当闭合曲面内无电荷时， 电通量为零。 ④点电荷系的电场：
face
E dS right E dS
face
E

2 ES
2 ES S
0
场强方向垂直于带电平面。
E 2 0
当>0时，场强方向指离平面。 当<0时，场强方向指向平面。
18
高斯定理解题步骤小结：
（1）由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性；
高斯定理的应用：
qi 0 ΦE 0
有电荷 无电荷
①当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理 简便地求出该电荷系统的电场的分布。
②当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域 的电荷。 对于静止电荷的电 对于运动电荷的电场，库仑定律不 场，库仑定律和高 再正确，而高斯定理仍然有效. 斯定理等价。 高斯定理是关于电场的普遍定理 12
侧面
E dS
上底
E dS
0
下底
E dS
0
E dS E dS E 2r h
侧面
侧面
此闭合面包含的电荷总量:

q
内
i
h
ΦE E 2r h
1
0
h
E 16 2 0 r
S
证明: ①点电荷q位于球面中心： dΦE E dS EdS
0
S内
叠加原理证明
dS
+ r
8
q dS 2 4 0 r 1
dS
+
dΦE E dS EdS
q dS 2 4 0 r
1
Φ E dΦ E
S S
q 4 0 r
P
.
E
选一轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面 S， 带电平面平分此圆筒，场点 P位于它的一个底面上。 17
圆筒侧面上电通量为零； 两个底面上场强相等、电通 量相等，均为穿出。
1 ΦE E dS
S
0
( S内)
q
i
ΦE E dS
S
S
P o
.
left

r r o o
E r 3 0
r r oo
P点的合场强： r r 3 a E E E 3 0 0 即腔内为均匀电场 方向由 o o
20
课堂练习：
2
2、电场线的性质：
-
+
①静电场的电场线 起始于正电荷 ，终 止于负电荷，不会 中断。
②静电场的电场 线不会形成闭合 曲线。 ③在没有电荷的 空间，电场线不 会相交。
3
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - -
二、电通量
1、定义：通过任一给定面的电场线的条数E 。 2、表述 1）E为均匀场 设场中有一平面S
Φ E E dS E 4r 2 1 1 ΦE dq q
0
4 3 r ΦE dq dV 0 3 0 V 0 V q 3q E r r r 4R 3 o 4 0 R 3 3 R 15 r 方向沿 可见点电荷的电场在 r 0 时，E
2）E为非均匀场
取面积元dS，其上的电通量：
S
n
dΦE E cos dS
定义：矢量面元：
dS
θ
E
dS dS n
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
dS上的电通量： dΦE E dS
标量，有正、负！
S
曲面S上的总通量： ΦE dΦE E dS
（2）由对称性取合适的高斯面； 球对称——选与带电体同心的球面
轴对称——选与带电体同轴圆柱面
面对称——选轴与带电平面垂直，两底与平面等距 的圆柱面
1 （3）由 E dS qi 求出场强的大小，说明其方向。