高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课件理

0
7－3t＋12＋5 t
dt
＝
7t－32t2＋25ln1＋t
4 0
＝
4
＋
25ln 5.
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为
W＝4F(x)dx＝25dx＋4(3x＋4)dx



0
0
2
＝5×2＋32x2＋4x42
＝10＋32×42＋4×4－32×22＋4×2＝36(焦)．
答案：163
[典题 3] (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急
情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋12＋5t(t 的单位：s，v 的单位：
m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是
()
A．1＋25ln 5
B．8＋25ln131
C．4＋25ln 5
D．4＋50ln 2
(2)一物体在力 F(x)＝53，x＋0≤4，x≤x＞2，2 (单位：N)的作用下
由yy＝＝x－x，2 得交点 A(4,2)．因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所 围成的图形的面积为4 x－x－2dx＝

0
(2)
建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－
5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝225x2－2，抛物线与 x 轴
(1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt.( )


a
a
(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )
(3)若bf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成 a
的图形一定在 x 轴下方．( )
(4)若 f(x)是偶函数，则∫a－a f(x) dx＝2∫a0f(x) dx.( ) (5)微积分基本定理中 F(x)是唯一的．( )
解析：如图所示，由 x2－1＝0，得抛物线与 x 轴的交点分别 为(－1，0)和(1,0)．
所以
S＝2|x2－1|dx＝1(1－x2)dx＋2来自x2－1)dx＝

0
0
1
x－x3310＋
x33－x21＝1－13＋83－2－13－1＝2.
A．2
B．1
C．3
D．4
解析：选 C 由yy＝＝xk2x， 消去 y 得 x2－kx＝0，所以 x＝0 或
x＝k，则阴影部分的面积为0k(kx－x2)dx＝12kx2－13x3 －13k3＝92，解得 k＝3.
＝92.即12k3
2．由抛物线 y＝x2－1，直线 x＝0，x＝2 及 x 轴围成的图形面 积为________．
考纲要求： 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定 积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．
1．定积分的定义 一 般地 ，如 果函 数 f(x) 在区 间 [a， b]上连 续， 用分 点 a ＝ x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每 个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式
n
f(ξi)Δx＝
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个 常数 ，
这个 常数 叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作bf(x)dx. a
2．定积分的相关概念
在bf(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， a
区间 [a,b] 叫做积分区间，函数 f(x) 叫做被积函数， x 叫做
[易错防范] 1．被积函数若含有绝对值号，先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被 积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积 非负，而定积分的结果可以为负． 5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的 求解变得简捷．
答案：2
3．曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积为 ________．
解析：由yy＝＝2－x，x 得交点 A(1,1)．
y＝2－x，
由y＝－13x
得交点 B(3，－1)．
故所求面积 S＝∫10 x＋13xdx＋∫312－x＋13xdx ＝23x32＋16x2|10＋2x－13x2|31 ＝23＋16＋43＝163.


a
c
4．定积分的几何意义 如图：
设阴影部分面积为 S.
－bf(x)dx
(1)S＝bf(x)dx； (2)S＝

a
；

a
cf(x)dx－bf(x)dx
(3)S＝

a

c
；
(4)S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝b[f(x)－g(x)]dx.



a
a
[探究 2] 若将本例(1)中的“－x2＋2x”改为“ －x2＋2x”，
如何求解？
(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成 几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；
(2)对函数图象和与圆有关的定积分可以利用定积分的几何 意义求解．
[典题 2] (1)由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的

a
[方法技巧] 1．求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强． (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数 f(x) 的一个原函数 F(x)；②计算 F(b)－F(a)． (3)利用定积分的几何意义求定积分．
2．求曲边多边形面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象． (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、 下限． (3)把曲边多边形的面积表示为若干个定积分的和． (4)计算定积分． 3．f(x)在区间[－a，a]上连续，若 f(x)为偶函数，则∫a－af(x)dx ＝2∫a0f(x)dx；若 f(x)为奇函数，则∫a－af(x)dx＝0.
围成的面积 S1＝∫5－52－225x2dx＝430，梯形面积 S2＝
6＋10 2
×2
＝16.最大流量比为 S2∶S1＝1.2.
答案：(1)C (2)1.2
[解题模板] 利用定积分求平面图形面积的步骤
1．已知函数 y＝x2 与 y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的
面积为92，则 k 等于( )
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2019/5/23
最新中小学教学课件
33
thank you!
面积为( )
10 A. 3
B．4
16 C. 3
D．6
(2)(2015·陕西高考)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉
积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量
与当前最大流量的比值为________．
[听前试做] (1)作出曲线 y＝ x和直线 y＝x－2 的草图(如图所 示)，所求面积为阴影部分的面积．
积分变量， f(x)dx 叫做被积式．
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝

a
(k 为常数)；

a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝
baf1(x)dx±abf2(x)dx；
a bf(x)dx

(3) a
＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
a
5．微积分基本定理
如果
F′(x) ＝ f(x) ， 且
f(x)
在
[a
，
b]
上
可
积
，
则
b

f(x)dx

a
＝ F(b)－F(a) ．其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．可以把 F(b)
－F(a)记为
，即bf(x)dx＝ a
＝ F(b)－F(a) ．
[自我查验]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(6)若 f(x)是连续的奇函数，则∫a－a f(x) dx＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
2.∫10 1－x2dx＝________. 答案：π4 3．计算：
答案：(1)38π2＋1 (2)e2－e－2ln 2