高中数学苏教版必修四 课下能力提升(十五) 向量的减法
高中数学必修四向量公式
高中数学必修四向量公式1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。
若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos 〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。
4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
高中数学 2.2.2 向量的减法教案 苏教版必修4
一、课题：向量的减法二、教学目标：1．掌握向量减法及相反向量的的概念；2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；3．能用向量运算解决一些具体问题。
三、教学重、难点：向量减法的定义。
四、教学过程：（一）复习：1．向量的加法法则。
2．数的运算：减法是加法的逆运算。
（二）新课讲解：1．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。
说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：()a a --=；()()0a a a a +-=-+=．2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
表示()a b a b -=+-．3．向量减法的法则： 已知如图有a ，b ，求作a b -． （1）三角形法则：在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =-．说明：a b -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a ，b 有共同起点）．（2）平行四边形：在平面内任取一点O ，作OA a = ，BO b =-，则BA BO OA a b =+=-．思考：若//a b ，怎样作出a b -？4．例题分析：例1 试证：对任意向量a ，b 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+．证明：（1）当a ，b 中有零向量时，显然成立。
（2）当a ，b 均不为零向量时：①a ，b ，即//a b 时，当a ，b 同向时，||||||||||||a b a b a b -<+=+；当，b 异向时，||||||||||||a b a b a b -=+<+．②a ，b 不共线时，在ABC ∆中，||||||AB BC -<||AC <||||AB BC +，则有||||||||||||a b a b a b -<+<+．∴||||||||||||a b a b a b -≤+≤+其中： 当a ，b 同向时，||||||a b a b +=+， 当a ，b 同向时，||||||||a b a b -=+． 例2 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。
高中数学必修四向量
高中数学必修四向量引言在高中数学中，向量是一个重要的概念。
它不仅在几何中有广泛的应用，还在物理和工程等领域中具有重要的意义。
本文将重点介绍高中数学必修四中的向量概念以及相关的基本运算，帮助同学们更好地理解和掌握向量的概念和性质。
一、向量的定义向量是用来表示有大小和方向的量的数学工具。
在平面上，一个向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
示意图：[向量箭头]可以用坐标表示一个向量，例如在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为(a, b)，其中 a 表示向量在 x 轴上的分量，b 表示向量在 y 轴上的分量。
向量的大小可以通过计算两个分量的平方和的平方根得到。
二、向量的基本性质1. 向量的加法向量的加法是指根据几何意义将两个向量相加的运算。
具体而言，对于两个向量 A 和 B，它们的加法可以表示为 A + B。
加法的结果是一个新的向量，其大小为两个向量大小的和，方向为两个向量的夹角的平分线。
2. 向量的减法向量的减法是指根据几何意义将一个向量从另一个向量中减去的运算。
具体而言，对于两个向量 A 和 B，它们的减法可以表示为 A - B。
减法的结果是一个新的向量，其大小为两个向量大小的差，方向为从被减向量指向减向量的箭头。
3. 数乘数乘是指将一个向量乘以一个实数的运算。
具体而言，对于一个向量 A 和一个实数 k，它们的数乘可以表示为 kA。
数乘的结果是一个新的向量，其大小为原向量大小乘以实数的绝对值，方向与原向量相同（当 k > 0）或相反（当 k < 0）。
4. 平行与垂直两个向量平行的条件是它们的方向相同或相反。
两个向量垂直的条件是它们的数量积等于 0。
平行和垂直是向量在几何上的重要性质，它们在解析几何中有广泛的应用。
三、向量的数量积数量积是指两个向量之间的一种运算，它返回一个实数。
对于两个向量A 和B，它们的数量积可以表示为 A·B 或 AB。
苏教版高中数学必修四课件向量的减法
的交点，若 AB a ， DA b ，OC c ，
试证明： b c a OA
D
C
b
O
c
A
a
B
关键：找相等向量代换.
思路一：等价转换，如改证 b c OA a
思路二：作差，证明 b c a OA 0
请探寻其它思路！！
回顾反思
1. 向量减法的定义 两个向量的差仍然是一个向量!
2.求差向量的方法: 注意两个向量要同起点 特别地：（1）共线向量相减 （2） a 0 0 0 a a
3. 向量减法与向量加法互为逆运算，所以可
相互转化来计算,比如: a b a (b)
作业
P63 6题 P66 4题 P62 例2(另证)
b
ab
b
a
a
a
a (b)
b
a b a (b) (减去一个向量等于加上它的
相反向量)
怎样由加法的结合律得到 a b a (b) ?
因为 [a (b)] b a [(b) b] a
所以 a b a (b)
(减去一个向量等于加上它的相反向 量)
a
O
A
a
当向量 ,a 起b 点相同时,从 的b 终点指向 a的 终点的向量就是 a b
学生活动
已知向量 a ，b ，作出 a b
特例：向量共线
方向相同
（2）
a
b
bC
A
a
B
AB AC CB a b
方向相反
a
b b
C Aa B
CB a b
学生活动
已知向量 a ,b ,求作向量 a b 和 a (b)
苏教版高中数学必修4教学课件第二章 2.2.2 向量的减法精选ppt课件
3. 由例1让学生总结成减法作图规律 4. （1）相反向量的概念复习
5．那我们现在解决向量的减法有几种手段？请 你用你总结( A B 的 C D 方) ( 法A C 来B D ) 解决化
简：
-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，
数学必修4
2.2.2 向量的减法
一、问题情境
1．向量的加法定义、法则和运算律．
2．实数的减法：
（1）实数a，x，b,已知a+x=b, 则x =
,x叫
做
.
二、学生活动
由数的减法定义来类比推广到向量的减法运算．
三、建构数学
1．引导学生抽象概括出向量减法的定义 由 O B B A O A 根 据 减 法 定 义 得 出 B A ， 你 能 得 到 减 法 的 作 图 方 法 ？ 能 写 出 你 的 想 法 的 步 骤 ？
四、数学运用
1.例2（教材第62页例2） （多种思路，请学生自行解决，并表述出自己的
解法）
思考：任意一个非零向量是否一定可以表示为两
五、回顾小结
1．理解向量减法概念并知道向量的减法的定义 是建立在向量加法的基础上的；
2．会作两向量的差向量； 3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量
表示其它向量.
六、作业
教科书第66页习题2.2第 4,7,8,10（2）题.
再见
2019/12/5
数学高中向量的减法教案
数学高中向量的减法教案
教学重点与难点：向量的减法运算规则，向量的减法计算。
教学准备：教材、教具、黑板、粉笔。
教学过程：
一、导入新课（5分钟）
教师向学生简单介绍向量的减法概念，并通过例题引出向量的减法规则。
二、示范与讲解（10分钟）
1. 向量的减法规则：将被减向量取相反向量，再进行加法运算。
2. 用具体的例子进行详细讲解，让学生理解向量的减法运算规则。
三、练习与巩固（15分钟）
1. 让学生做一些简单的向量减法计算练习题，巩固所学的知识。
2. 教师及时纠正学生的错误，指导学生正确解题。
四、课堂小结（5分钟）
通过本节课的学习，让学生总结向量的减法规则，再次强调向量减法的步骤。
五、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，巩固学生的学习成果。
教学反思：
本节课主要围绕向量的减法运算展开，通过示范、讲解、练习等多种方式，让学生掌握向量的减法规则。
在教学过程中，要注意引导学生理解向量减法的意义，避免简单地机械运算，鼓励学生多思考多实践，提高数学思维能力。
苏教版学高中数学必修四平面向量向量的减法讲义
学习目标核心素养（教师独具）１．理解向量减法的意义及减法法则．（重点）２．掌握向量减法的几何意义．（难点）３．能熟练地进行向量的加、减运算．（易混点）通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算核心素养.向量的减法（１）向量减法的定义若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a—b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．（２）向量的减法法则如图所示，以O为起点，作向量错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a—b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a—b.１．思考辨析（１）错误!—错误!＝错误!.（）（２）若—b与a同向，则a—b与a同向．（）（３）向量的减法不满足结合律．（）[解析] （１）×.错误!—错误!＝错误!；（２）√.—b与a同向，则a—b＝—b＋a与a同向．（３）×.如（a—b）＋c＝a＋（c—b）．[答案] （１）×（２）√（３）×２．化简错误!—错误!＋错误!等于________．0[错误!—错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0.]３．化简错误!—错误!＋错误!＋错误!的结果等于________．错误![错误!—错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＝错误!.]向量减法的几何作图【例１】如图，已知向量a，b，c，求作向量a—b—c.思路点拨：根据相反向量及三角形法则求作．[解] 法一：先作a—b，再作（a—b）—c即可．如图１所示，以A为起点分别作向量错误!和错误!，使错误!＝a，错误!＝b，连结CB，得向量错误!，再以C为起点作向量错误!，使错误!＝c，连结DB，得向量错误!.则向量错误!即为所求作的向量a—b—c.法二：先作—b，—c，再作a＋（—b）＋（—c），如图２．（１）作错误!＝—b和错误!＝—c；（２）作错误!＝a，则错误!＝a—b—c.求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.１．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b—c.[解] 如图，在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a＋b，再作错误!＝c，则错误!＝a＋b—c.向量减法法则的应用【例２】（１）化简下列式子：１错误!—错误!—错误!—错误!；２（错误!—错误!）—（错误!—错误!）．（２）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，试用向量a，b，c表示向量错误!，错误!，错误!.思路点拨：（１）充分利用减法的运算律求解．（２）寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加（减）法解决．[解] （１）１原式＝错误!＋错误!—（错误!＋错误!）＝错误!—错误!＝0.２（错误!—错误!）—（错误!—错误!）＝错误!—错误!—错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝（错误!＋错误!）＋（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!＝0.（２）因为四边形ACDE是平行四边形，所以错误!＝错误!＝c；错误!＝错误!—错误!＝b—a，故错误!＝错误!＋错误!＝b—a＋c.１向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.２用几个基本向量表示其他向量的技巧：１观察待表示的向量位置；２寻找相应的平行四边形或三角形；３运用法则找关系，化简得结果.２．如图所示，已知错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝d，错误!＝e，错误!＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：（１）错误!—错误!；（２）错误!＋错误!；（３）错误!—错误!.[解] （１）错误!—错误!＝错误!＝错误!—错误!，∵错误!＝d，错误!＝b，∴错误!—错误!＝d—b.（２）∵错误!＋错误!＝（错误!—错误!）＋（错误!—错误!），错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝f，∴错误!＋错误!＝b＋f—a—c.（３）错误!—错误!＝错误!＝错误!—错误!，∵错误!＝f，错误!＝d，∴错误!—错误!＝f—d.|a—b|与a，b之间的关系[探究问题]１．若a与b共线，怎样作出a—b？提示：１当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a—b：错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a—b；２当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a—b：错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a—b；３若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a—b：错误!＝a，错误!＝b，则B错误!＝a—b.２．结合探究问题１的图示及向量的减法法则，探究|a—b|与a，b之间的大小关系？提示：当a与b不共线时，有：||a|—|b||＜|a—b|＜|a|＋|b|；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a—b|＝|a|—|b|；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a—b|＝|b|—|a|.【例３】已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a—b|，求|a—b|.思路点拨：|a＋b|＝|a—b|→判断a与b的位置关系→求|a—b|的值．[解] 如图，设错误!＝a，错误!＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD.则错误!＝a＋b，错误!＝a—b，因为|a＋b|＝|a—b|，所以|错误!|＝|错误!|.又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形．故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|错误!|＝6，|错误!|＝8，由勾股定理得|错误!|＝错误!＝错误!＝１0，所以|a—b|＝１0．１．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量错误!＝a，错误!＝b，则两条对角线表示的向量为错误!＝a＋b，错误!＝b—a，错误!＝a—b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．２．正确理解向量加（减）法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．３．已知向量a，b，满足|a|＝|b|＝１，|a＋b|＝错误!，求|a—b|.[解] 在▱ABCD中，使错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a＋b，错误!＝a—b.由于|a|＝|b|＝１，所以ABCD为菱形，且AC⊥BD，交点为O，∴AO＝错误!，AB＝１，OB＝错误!＝错误!，∴BD＝２BO＝１，即|a—b|＝１．教师独具１．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．２．要掌握向量减法的三个问题（１）向量的减法运算；（２）向量减法及其几何意义；（３）利用已知向量表示未知向量．３．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．１．在平行四边形ABCD中，下列结论不正确的是（）Ａ．错误!—错误!＝错误!Ｂ．错误!—错误!＝0Ｃ．错误!—错误!＝错误!Ｄ．错误!—错误!＝错误!D[∵ABCD是平行四边形，∴错误!＝错误!，∴错误!—错误!＝错误!＝错误!，故A正确；又错误!—错误!＝0，故B正确；又错误!＝错误!，∴错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!，故C正确；又错误!—错误!＝错误!≠错误!，故D错误．]２．若a，b为相反向量，且|a|＝１，|b|＝１，则|a＋b|＝________，|a—b|＝________. 0２[若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0．又a＝—b，∴|a|＝|—b|＝１．∵a与—b共线，∴|a—b|＝２．]３．如图，在四边形ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则错误!＝________. a＋c—b[由三角形法则可知错误!＝错误!—错误!＝（错误!＋错误!）—错误!＝a＋c—b.]４．如图所示，▱ABCD中，错误!＝a，错误!＝b.（１）用a，b表示错误!，错误!；（２）当a，b满足什么条件时，a＋b与a—b所在直线互相垂直？（３）当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a—b|？（４）a＋b与a—b有可能为相等向量吗？为什么？[解] （１）错误!＝错误!＋错误!＝b＋a，错误!＝错误!—错误!＝a—b.（２）由（１）知，a＋b＝错误!，a—b＝错误!.若a＋b与a—b所在直线垂直，则AC⊥BD.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即应满足|a|＝|b|.（３）假设|a＋b|＝|a—b|，即|错误!|＝|错误!|.∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，∴a⊥b，∴当a与b垂直时，|a＋b|＝|a—b|.（４）不可能，∵▱ABCD的两条对角线不可能平行，∴a＋b与a—b不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．。
苏教版高中数学必修四向量的减法(1)(1)课件
如果
r
a、b
互为相反向量，则
ur r r r r
r
a b,b a, a b 0
向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
a b au(uur br) uuur r uuur r r
在平面内取一点O，作 OA a, OB b，则BA a b
减法法则：
B
OA OB BA
O
A
向量减法几何意义
同始点尾尾相接,指向被减向量
r r r ur
r r r ur
例1、已知向量a、b、c、d , 求作a b, c d
解：在平面上取一点O，作
uuur OA
r a,
uuur OB
r b,
uuur OC
r c,
uuur OD
ur d
AC a b, DB AB AD a b
小结：
1、向量减法的定义及其几何意义 2、向量减法的作图法
uuur uuur 作BA, DC
uuur r r uuur r ur 则BA a b, DC c d
d b a
c
A
B
D
C O
练习：
平行四边形
uuur
ABCD中， AB
r a,
uuur AD
r b
rr
uur uur
用a、 b、表示AC、DB
D
C
解：由平行四边形法则得
A
Bห้องสมุดไป่ตู้
uuur r r uuur uuur uuur r r
2.2.2向量减法运算 及其几何意义
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课下能力提升(十五) 向量的减法
一、填空题
1．如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝________.
2．化简下列向量式，结果为0的个数是________．
①RS－RT＋ST；②BD＋DC＋AB－AC；③AB－AC－CB；④AB＋BC－AC
3．下列命题中，正确的个数是________．
①在平行四边形中，BA＋AD－BD＝AB＋CD；
②a＋b＝a⇔b＝0；
③a－b＝b－a；
④AB－CB＋CD－AD的模为0.
4．已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列结论正确的为__________．
①以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)．
②以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－a－b－c.
③以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－b－c.
5．已知菱形ABCD边长是2，则向量AB－CB＋CD的模为________．
二、解答题
6．设O是△ABC内一点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示DC，OH，BH.
7．化简：(1)(BA－BC)－(ED－EC)；
(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．
8.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，OF＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：
(1)AC；(2)AD；(3) DF＋FE＋ED.
答案
1．解析：DC＝DA＋AB＋BC＝－b＋a＋c＝a－b＋c.
★答案★：a－b＋c
2．解析：①RS－RT＋ST＝0
②BD＋DC＋AB－AC＝BC＋CB＝0
③AB－(AC＋CB)＝0
④AB＋BC－AC＝0.
★答案★：4
3．解析：由向量的加法与减法法则知①④正确．由a＋b＝a⇔a＋b－a＝0⇔(a－a)＋b＝0⇔b＝0知，②正确．由a－b＝a＋(－b)＝－(b－a)知，③是不正确的．
★答案★：3
4.解析：根据题意画出如右图形，可知：以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)，①正确；
以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(a＋b＋c)＝－a－b－c，②正确；
以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为
－(b＋c)＝－b－c，③正确．
★答案★：①②③
5.解析：∵AB－CB＋CD＝AB＋BC＋CD＝AD，
∴|AB－CB＋CD|＝|AD|＝2.
★答案★：2
6．解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴OD＝OA＋OB＝a＋b，
∴DC＝OC－OD＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴OH＝OC＋OD＝c＋a＋b，
∴BH＝OH－OB＝a＋b＋c－b＝a＋c.
7．解：(1)(BA－BC)－(ED－EC)＝CA－CD＝DA.
(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)
＝AC＋BA－DC＋(DO＋OB)
＝AC＋BA－DC＋DB
＝BC－DC＋DB＝BC＋CD＋DB＝BC＋CB＝0.
8．解：(1)AC＝OC－OA＝c－a.
(2)AD＝AO＋OD＝－OA＋OD＝－a＋d.
(3) DF＋FE＋ED＝DO＋OF＋FO＋OE＋EO＋OD＝0.。