天津市滨海新区三校2020届高三下学期5月高考督导数学试题
2020年天津市滨海新区高考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)
2020年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合2，3，4，5，，3，，3，，则集合是A. 3，5，B. 3，C.D.2.设，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在小时内的人数为A. 18B. 36C. 54D. 724.函数其中e为自然对数的底数的图象大致为A. B.C. D.5.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于A. B. C. D.6.已知函数，且，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.7.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于点对称C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在上单调递增8.已知双曲线C：的左焦点为，抛物线的准线与双曲线的一个交点为P，点M为线段PF的中点，且为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.9.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.复数的共轭复数是______．11.的展开式中常数项是______．12.已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线l：上，则圆心为C的圆的标准方程是______．13.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是______；若变量为取出3个球中红球的个数，则的数学期望为______．14.已知正数x，y满足，则当x______时，的最小值是______．15.在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，的面积为．Ⅰ求a及sin C的值；Ⅱ求的值．17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，边长为2，为等腰直角三角形，，，，平面平面ABCD．证明：平面PAD；求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；棱PD上是否存在一点E，使得平面PBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18.已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前n项和为．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ求数列的通项公式．19.已知点A，B分别是椭圆C：的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ设点P为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M为直线AP与y轴的交点，线段AP 的中垂线与x轴交于点N，若直线OP斜率为，直线MN的斜率为，且为坐标原点，求直线AP的方程．20.已知．Ⅰ求在处的切线方程以及的单调性；Ⅱ对，有恒成立，求k的最大整数解；Ⅲ令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合2，3，4，5，，3，，5，，，故选：D．先利用补集的定义算出，再利用集合的交集运算即可求出B.本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.答案：C解析：解：“”，解之得或，“”，解之得或，故“”是“”的充分必要条件．故选：C．先解出两个不等式，再判断充要性．本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题．3.答案：B解析：解：由频率分布直方图得：每周锻炼时间在小时内的频率为：，每周锻炼时间在小时内的人数为：．故选：B．由频率分布直方图求出每周锻炼时间在小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在小时内的人数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：，故函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当时，，，故排除B．故选：D．由函数为偶函数，排除AC；由时，，排除B，由此得到答案．本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：由，，，由余弦定理可得，所以，所以，所以可得，设三角形ABC的外接圆的半径为r，所以，因为三棱柱的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则，所以外接球的表面积，故选：A．由，，可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．6.答案：C解析：解：由，可知为偶函数，又当时，为增函数，且，，．则．故选：C．由定义判断函数为偶函数且在上为增函数，再由及函数单调性得结论．本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．7.答案：D解析：【分析】本题考查由的图象与性质，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合的方法，属于中档题．【解答】解：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，函数的最小正周期，故A错误；，，函数是偶函数，，，又，解得：．由，，解得对称中心为：，，故B错误；由，，解得对称轴是：，，故C错误；由，，解得单调递增区间为：，，故D正确．故选：D．8.答案：B解析：解：抛物线的准线为，不妨设点P的坐标为，，代入双曲线方程有，解得，点P的坐标为，点M为线段PF的中点，且，，为等腰直角三角形，即，，解得舍负，．故选：B．根据抛物线的准线为，不妨设点P的坐标为，，将其代入双曲线方程可求得y，当确定点P的坐标后就能得到点M的坐标，由于为等腰直角三角形，可根据建立a、b、c的关系式，再结合和即可得解．本题考查双曲线与抛物线的几何性质，涉及抛物线的准线方程、双曲线的焦点、离心率等，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：作出函数的与图象如图：当为的切线时，即，解得，即切点为，代入得，所以；当为的切线时，即，解得，即切点为，代入得，所以；故m的取值范围是，故选：A．本题等价于函数的与的图象有3个交点，分别利用到时求出切点时m的值即可得到m取值范围本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题．10.答案：解析：解：复数的共轭复数是．故答案为：．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．11.答案：解析：解：展开式的通项为令得所以展开式的常数项为故答案为：．据二项展开式的通项公式求得第项，令x的指数为0得常数项．二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．12.答案：解析：解：由，，得AB的中点为，又，的垂直平分线方程为，即．联立，解得．圆心坐标为，半径为．圆心为C的圆的标准方程是．故答案为：．由已知求出AB的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求．本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，基本事件总数，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数，则3个小球颜色互不相同的概率是；若变量为取出3个球中红球的个数，则，的数学期望．故答案为：，．基本事件总数，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数，由此能求出3个小球颜色互不相同的概率；若变量为取出3个球中红球的个数，则，由此能求出的数学期望．本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．14.答案：9解析：解：正数x，y满足，，可得，，令则且，，，当且仅当即，此时取最小值9，故答案为：，9．由已知可得，，可得，代入后进行分离，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．15.答案：解析：解：取BD的中点O，连接OM，ON，可得，平方可得，即有，，即有，解得，所以，故答案为：．取BD的中点O，连接OM，ON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值．本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，，的面积为，，，，．再根据正弦定理可得，即，．Ⅱ，，故．解析：Ⅰ由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin A的值，再根据三角形的面积求得b、c的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a及sin C的值．Ⅱ利用二倍角公式求得sin2A、cos2A的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．17.答案：解：平面平面ABCD，，平面平面，平面ABCD，平面PAD；取AD的中点O，连接PO，由于是等边三角形，所以，由平面平面ABCD ，得平面ABCD，，以AP为x轴，AC为y轴，过A平行于PO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，1，，，，，，设平面PBC的一个法向量为，则，，取，则，，，平面PAD的一个法向量为，，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为；假设棱PD上存在一点E，使得平面PBC，设，由，，，又平面PBC的一个法向量是，，解得，．又AE平面PBC，棱PD上存在一点E，使得平面PBC，且．解析：用面面垂直的性质定理证明线面垂直；取AD的中点O，连接PO，得平面ABCD，以AD为x轴，AC为y轴，过A平行于PO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角：假设棱PD上存在一点E，使得平面PBC，设，由与平面PBC的法向量垂直求得，如果求不出，说明不存在．本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ由题知，是，的等差中项，所以，解得，，即，，解得，，所以；Ⅱ设，数列前n项和为．由，，．解得．由可知，所以，故，，设，所以，相减可得，化简可得，又，所以．解析：Ⅰ运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；Ⅱ设，数列前n项和为由数列的递推式求得，再由数列的恒等式可得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.答案：解：依题意知：，，，，，则由题意：，又，解得：，，椭圆C的标准方程为：．由题意，设直线AP的斜率为k，直线AP方程为：，所以，设，AP中点为，，由整理得：，解得，所以，中点，中垂线方程为：，令，得，所以N的坐标，，，，解得，，直线AP的方程为：，即直线AP的方程：．解析：Ⅰ由离心率及数量积求出a，b，进而求出椭圆的方程；Ⅱ设直线AP的方程与椭圆联立，由题意求出P的坐标，进而求出AP中点的坐标，求出AP中垂线的方程，由题意求出N的坐标，及直线MN的斜率，OP的斜率，再由斜率之积求出AP的斜率k 的值，进而求出直线AP的方程．考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ的导数为，可得，，所以在处的切线方程为即；由，由，可得；由，可得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；Ⅱ等价于，可令，，记，，所以为上的递增函数，且，，所以，，即，所以在上递减，在上递增，且，所以k的最大整数解为3；Ⅲ证明：，，可得，当，，，，所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即可得，因为，，令，由，即，而，即，由，，只需证，令，则，令，则，故在上递增，；故在上递增，；．解析：Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；Ⅱ等价于，可令，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；Ⅲ求得的导数和单调性，由极小值小于0，可得，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法和分析法，考查转化思想和化简运算能力，属于难题．。
滨海新区三校高三高考数学(5月份)督导试卷
2020年高考数学督导试卷（5月份）一.选择题（每小题5分，共45分）1．设集合U＝{0，1，3，5，6，8}，A＝{1，5，8}，B＝{2}，则（∁U A）∪B＝（）A．{0，2，3，6}B．{0，3，6}C．{1，2，5，8}D．Φ2．对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图象大致为（）A．B．C．D．4．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，且两两垂直，△ABC 是边长为2的正三角形，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．πD．π5．已知圆C：x2+y2+8x﹣m+2＝0与直线x y+1＝0相交于A，B两点．若△ABC为正三角形，则实数m的值为（）A．﹣10B．﹣11C．12D．116．如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．7．已知奇函数f（x）在R上是减函数，若a＝﹣f（1og3），b＝f（），c＝f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．已知双曲线与抛物线y2＝2px（p＞0）的交点为：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（）A．1B．3C．D．29．已知函数f（x），若方程f（x）＝x+a有2个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a＜l或a＞l}B．{a|a＝﹣1或0≤a＜l或a＞1}C．{a|a＝﹣l或a≥0}D．{a|a≤﹣1或a≥0}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．已知复数z0＝3+i（i为虚数单位），复数z满足z•z0＝2z+z0，则|z|＝．11．如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为，．12．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝．13．若的展开式中所有项系数和为81，则展开式的常数项为．14．若x＞4，y＞1，且xy＝12+x+4y，则x+y的最小值是．15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．三.解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．在△ABC中，a，b，C为内角A，B，C的对边，且满足（2c﹣a）cos B﹣b cos A＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）已知c＝2，a＝3，（i）求b及cos C；（ii）求sin（2C）．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP ＝4，AB＝BC＝2，M，N分别为线段PC，AD上的点（不在端点）．（Ⅰ）当M为PC中点时，AN AD，求证：MN∥面PBA；（Ⅱ）当M为中点且N为AD中点时，求证：平面MBN⊥平面ABCD；（Ⅲ）当N为AD中点时，是否存在M，使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，若存在，求出MC的长，若不存在，说明理由．18．已知数列{a n}前n项和为S n n2n，数列{b n}等差，且满足b3＝11，前9项和为153．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n，数列{c n}的前n项和为T n．19．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点A（﹣a，0）作直线l与椭圆相交于点B，则y轴上是否存在点P，使得线段|PA|＝|PB|，且4？如果存在，求出点P坐标；否则请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）＝m sin（1﹣x）+lnx．（1）当m＝1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m＝0且时，，求函数g（x）在（0，e]上的最小值；（3）当m＝0时，有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．参考答案一.选择题（每小题5分，共45分）1．设集合U＝{0，1，3，5，6，8}，A＝{1，5，8}，B＝{2}，则（∁U A）∪B＝（）A．{0，2，3，6}B．{0，3，6}C．{1，2，5，8}D．Φ【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．解：∵U＝{0，1，3，5，6，8}，A＝{1，5，8}，B＝{2}，∴（∁U A）∪B＝{0，3，6}∪{2}＝{1，0，2，3，6}，故选：A．2．对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数是否存在零点，以及f（1）的符号，利用排除法进行判断即可．解：f（1）0，排除C，D，由0，则方程无解，即函数没有零点，排除B，故选：A．4．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，且两两垂直，△ABC 是边长为2的正三角形，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．πD．π【分析】题意可知，把三棱锥P﹣ABC放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥P﹣ABC的外接球，从而即可求出球O的半径，进而得到球O的体积．解：把三棱锥P﹣ABC放入正方体中，如图所示：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴此正方体的棱长为，∵正方体的外接球即是三棱锥P﹣ABC的外接球，∴球O的半径R，∴球O的体积为：π，故选：C．5．已知圆C：x2+y2+8x﹣m+2＝0与直线x y+1＝0相交于A，B两点．若△ABC为正三角形，则实数m的值为（）A．﹣10B．﹣11C．12D．11【分析】由题意求出圆心C的坐标，由直线与圆相交，用圆的半径和圆心到直线的距离和半个弦长构成直角三角形求出弦长，再由若△ABC为正三角形，求出m的值．解：圆C：x2+y2+8x﹣m+2＝0化为标准方程是（x+4）2+y2＝14+m；则圆心C（﹣4，0），半径为（其中m＞﹣14）；所以圆心C到直线的距离为，在等边三角形中得，，解得m＝﹣10，故选：A．6．如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．解：∵函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．7．已知奇函数f（x）在R上是减函数，若a＝﹣f（1og3），b＝f（），c＝f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小．解：奇函数f（x）在R上是减函数，∵log34∈（1，2），0，2﹣0.8∈（0，1），∵a＝﹣f（1og3）＝f（log34），b＝f（），c＝f（2﹣0.8）＝f（），则a＜c＜b，故选：B．8．已知双曲线与抛物线y2＝2px（p＞0）的交点为：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（）A．1B．3C．D．2【分析】由已知条件推导出|AB|＝2p＝2b，从而得到A（），由此能求出双曲线的离心率．解：∵双曲线与抛物线y2＝2px（p＞0）的交点为：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，∴|AB|＝2p＝2b，即p＝b，∴A（），把A（）代入双曲线，得，整理，得：b2＝8a2，∴c2＝a2+b2＝9a2，∴c＝3a，∴e3．故选：B．9．已知函数f（x），若方程f（x）＝x+a有2个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a＜l或a＞l}B．{a|a＝﹣1或0≤a＜l或a＞1}C．{a|a＝﹣l或a≥0}D．{a|a≤﹣1或a≥0}【分析】先利用导数的几何意义求出当直线y＝x+a与曲线y＝lnx相切时a＝1，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣ax，令f（x）＝x+a，得（x﹣1）（x+a）＝0，再对a的值分情况讨论，分段分析方程f（x）＝x+a的实根的个数，从而得到a的取值范围．解：当直线y＝x+a与曲线y＝lnx相切时，设切点为（t，lnt），则切线斜率为k1，所以t＝1，切点为（1，0），代入y＝x+a得，a＝1，又x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣ax，令f（x）＝x+a，得﹣x2﹣ax＝x+a，即（x﹣1）（x+a）＝0，所以①当a＝﹣1时，lnx＝x+a（x＞0）有1个实根，此时（x﹣1）（x+a）＝0（x≤0）有1个实根，满足条件；②当a＜﹣1时，lnx＝x+a（x＞0）有2个实根，此时（x﹣1）（x+a）＝0（x≤0）有1个实根，不满足条件；③当a＞﹣1时，lnx＝x+a（x＞0）无实根，此时要使（x﹣1）（x+a）＝0（x≤0）有2个实根，应有﹣a≤0且﹣a≠﹣1，即a≥0且a≠1，综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝﹣1或0≤a＜1或a＞1}，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．已知复数z 0＝3+i（i为虚数单位），复数z满足z•z0＝2z+z0，则|z|＝．【分析】把已知等式变形，再把z0＝3+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，最后由复数模的计算公式求解．解：由z•z0＝2z+z0，得（z0﹣2）z＝z0，∵z0＝3+i，∴z，则|z|．故答案为：．11．如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为5，8．【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴16.8，解得：y＝8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：5 8．12．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为5，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝．【分析】根据至少得到一个白球的概率是，可得全取到黑球的概率为，结合超几何分布的相关知识可得白球个数，以及随机变量ξ的期望．解：依题意，设白球个数为x，至少得到一个白球的概率是，则全是黑球的概率为，所以，即（10﹣x）（9﹣x）＝20，解得x＝5，依题意，随机变量ξ～H（10，5，3），所以Eξ，故答案为：5，．13．若的展开式中所有项系数和为81，则展开式的常数项为8．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于令，求得r的值，可得展开式的常数项．解：若的展开式中所有项系数和为3n＝81，∴n＝4．则展开式的通项公式为T r+1•24﹣r•，令40，求得r＝3，可得常数项为•2＝8，故答案为：8．14．若x＞4，y＞1，且xy＝12+x+4y，则x+y的最小值是13．【分析】由条件可知x﹣4＞0，y﹣1＞0，所以（x﹣4）（y﹣1）＝16，解之得最小值．解：因为x＞4，y＞1且xy＝12+x+4y，所以x﹣4＞0，y﹣1＞0，则（x﹣4）（y﹣1）＝xy﹣x﹣4y+4＝12+4＝16，当且仅当x﹣4＝y﹣1＝4时取等号，所以（x+y﹣5）2≥64，解得x+y﹣5≥8，故x+y≥13．所以最小值为13．故答案为：13．15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【分析】首先算出，然后用、表示出、，结合•6•得，进一步可得结果．解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）•（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：三.解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．在△ABC中，a，b，C为内角A，B，C的对边，且满足（2c﹣a）cos B﹣b cos A＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）已知c＝2，a＝3，（i）求b及cos C；（ii）求sin（2C）．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sin C≠0，可得cos B，根据范围B∈（0，π）可求B的值．（Ⅱ）（i）由已知利用余弦定理可求b及cos C的值；（ii）利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，进而利用二倍角公式可求sin2C，cos2C的值，根据两角差的正弦函数公式即可解得sin（2C）的值．解：（Ⅰ）∵（2c﹣a）cos B﹣b cos A＝0，由正弦定理得（2sin C﹣sin A）cos B﹣sin B cos A＝0，∴（2sin C﹣sin A）cos B＝sin B cos A，2sin C cos B﹣sin（A+B），∵A+B＝π﹣C，且sin C≠0，∴cos B，∵B∈（0，π），∴B．（Ⅱ）（i）∵B，c＝2，a＝3，∴b，∴cos C．（ii）∵sin C，∴sin2C＝2sin C cos C，cos2C＝2cos2C﹣1，∴sin（2C）＝sin2C cos cos2C sin．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP ＝4，AB＝BC＝2，M，N分别为线段PC，AD上的点（不在端点）．（Ⅰ）当M为PC中点时，AN AD，求证：MN∥面PBA；（Ⅱ）当M为中点且N为AD中点时，求证：平面MBN⊥平面ABCD；（Ⅲ）当N为AD中点时，是否存在M，使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，若存在，求出MC的长，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结ME，NE，推导出ME∥PB，NE∥AB，从而平面PAB∥平面MNE，由此能证明MN∥面PBA．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面MBN⊥平面ABCD．（Ⅲ）假设存在存在M（a，b，c），使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，．推导出M（2﹣2λ，2﹣2λ，4λ），求出平面PBC的法向量，利用向量法能推导出不存在M，使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为．解：（Ⅰ）证明：取BC中点E，连结ME，NE，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC中点，AN AD，∴ME∥PB，NE∥AB，∵PB∩AB＝B，ME∩NE＝E，∴平面PAB∥平面MNE，∵MN⊂平面MNE，∴MN∥面PBA．（Ⅱ）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），M（1，1，2），N（0，2，0），（﹣1，1，﹣2），（1，﹣1，﹣2），设平面MBN的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，1，0），平面ABCD的法向量（0，0，1），∵0，∴平面MBN⊥平面ABCD．（Ⅲ）解：假设存在存在M（a，b，c），使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，．则（a﹣2，b﹣2，c）＝λ（﹣2，﹣2，4），解得a＝2﹣2λ，b＝2﹣2λ，c＝4λ，∴M（2﹣2λ，2﹣2λ，4λ），则（2λ﹣2，2λ，﹣4λ），（0，2，0），（﹣2，0，4），设平面PBC的法向量（a，b，c），则，取a＝2，得（2，0，1），∵直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，∴，整理，得24λ2﹣8λ+3＝0，无解，∴不存在M，使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为．18．已知数列{a n}前n项和为S n n2n，数列{b n}等差，且满足b3＝11，前9项和为153．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n，数列{c n}的前n项和为T n．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式：n＝1时，a1＝S1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得a n；再设{b n}的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到b n；（Ⅱ）求得c n（），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．解：（Ⅰ）由S n n2n，可得a1＝S16，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1n2n（n﹣1）2（n﹣1）＝n+5，对n＝1也成立，则a n＝n+5，n∈一、选择题*，由数列{b n}等差，公差设为d，满足b3＝11，前9项和为153，可得b1+2d＝11，9b1+36d＝153，即b1+4d＝17，解得b1＝5，d＝3，则b n＝5+3（n﹣1）＝3n+2，n∈N*；（Ⅱ）c n（），则前n项和为T n（1）（1）．19．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点A（﹣a，0）作直线l与椭圆相交于点B，则y轴上是否存在点P，使得线段|PA|＝|PB|，且4？如果存在，求出点P坐标；否则请说明理由．【分析】（1）由题意可得：，a+c＝2，b2＝a2﹣c2．联立解得：a，c，b．可得椭圆C的方程．（2）由（1）可得：A（﹣2，0），设B（x1，y1），由题意直线l的斜率存在，设为k．则直线l的方程为：y＝k（x+2），联立方程，化为：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，利用根与系数的关系可得B坐标．假设在y轴上存在点P，使得线段|PA|＝|PB|，且4，由|PA|＝|PB|，得点P为线段AB的中垂线与y轴的交点，设P（0，y0）．设线段AB中点为M，则M（，）．以下分两种情况，利用中垂线方程及其数量积运算性质即可得出．解：（1）由题意可得：，a+c＝2，b2＝a2﹣c2．联立解得：a＝2，c，b＝1．∴椭圆C的方程为：y2＝1．（2）由（1）可得：A（﹣2，0），设B（x1，y1），由题意直线l的斜率存在，设为k．则直线l的方程为：y＝k（x+2），联立方程，化为：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，由﹣2x 1，得：x1，则y1．假设在y轴上存在点P，使得线段|PA|＝|PB|，且4，由|PA|＝|PB|，得点P为线段AB的中垂线与y轴的交点，设P（0，y0）．设线段AB中点为M，则M（，）．以下分两种情况：当k＝0时，点B（2，0），此时AB的中垂线为y轴，于是（﹣2，﹣y 0），（2，﹣y0），由4，可得：8．解得y0．当k≠0时，线段AB的中垂线方程为：y（x），令x＝0，解得y0．2x 1﹣y0（y1﹣y0）（）＝4，化为：16k4+15k2﹣1＝0，解得：k＝±，∴y 0＝±．综上可得：y轴上存在点P，使得线段|PA|＝|PB|，且4，点P的坐标为：（0，），或（0，±）．20．（16分）已知函数f（x）＝m sin（1﹣x）+lnx．（1）当m＝1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m＝0且时，，求函数g（x）在（0，e]上的最小值；（3）当m＝0时，有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．【分析】（1）将m＝1代入f（x）中，然后求导判断f（x）在（0，1）上的单调性；（2）由条件求出g（x）的解析式，然后求导判断g（x）在（0，e]上的单调性，再求出其最小值；（3）求出个零点x 1，x2，得到，构造函数，根据函数的单调性证明即可．解：（1）当m＝1时，f（x）＝sin（1﹣x）+lnx，则f'（x）＝﹣cos（1﹣x），当x∈（0，1），f'（x）在（0，1）上单调递减，∴f'（x）＞f（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上单调递增．（2）当m＝0时，（，0＜x≤e），则，∵，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，e]上单调递减，∴．（3）当m＝0时，，∵x1，x2是函数的两个零点，∴，，．两式相减，可得，即，∴，∴，．令（0＜t＜1），则．记，则．∵0＜t＜1，∴F'（t）＞0恒成立，∴F（t）＜F（1），即．∴，故x1+x2＞1．。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高三第三次调研考试数学文科
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高三第三次调研考试数学文科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数321iz ii=+-（i为虚数单位）的共轭复数为（）（A）12i+（B）1i-（C）1i-（D）12i-（2）已知集合{}1,0=A，{}AyAxyxzzB∈∈+==,,，则B的子集．．个数为（）（A）3 （B）4 （C）7 （D）8（3）已知2.12=a，8.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b，2log25=c，则cba,,的大小关系为（）（A）abc<<（B）bac<<（C）cab<<（D）acb<<（4）已知向量()1,3a=，()3,b m=，若向量b在a方向上的投影为3，则实数m＝（）（A）3 （B）3-（C D）-（5）设nS为等差数列{}n a的前n项和，且65101=-+aaa，则11S=（）（A）55 （B）66 （C）110 （D）132（6）已知34cossin=+θθ)40(πθ<<，则θθcossin-的值为（）（A）32（B）32-（C）31（D）31-（7）已知圆O：224x y+=上到直线:l x y a+=的距离等于1的点恰有3个，则实数a的值为（）（A）B（C）（D）-或（8）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）（A）1007（B）（C）（D）3024（9）已知双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）（A ）03=±y x （B ）03=±y x （C ）02=±y x （D ）02=±y x （10）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2(1)4n n S a n++=，则n a =（ ） （A ）2n n （B ）12n n -（C ）2nn （D ）12n n -（11）某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ） （A ）π42616++ （B ）π32616++ （C ）π42610++ （D ）π32610++（12）如图，偶函数()x f 的图象如字母M ，奇函数()x g 的图象如字母N ， 若方程()()0=x g f ，()()0=x f g 的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（ ）（A ）18 （B ）16 （C ）14 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年天津市滨海新区三校高考数学督导试卷(5月份)(附答案详解)
2020年天津市滨海新区三校高考数学督导试卷（5月份）1.设集合U={0,1,3,5,6,8}，A={1,5,8}，B={2}，则(∁U A)∪B=()A. {0,2,3,6}B. {0,3,6}C. {1,2,5,8}D. Φ2.对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=1x−ln(x+1)的图象大致为()A. B.C. D.4.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，且两两垂直，△ABC是边长为2的正三角形，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. √6πD. √62π5.已知圆C：x2+y2+8x−m+2=0与直线x+√2y+1=0相交于A，B两点．若△ABC为正三角形，则实数m的值为()A. −10B. −11C. 12D. 116.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称，那么|φ|的最小值为()A. π6B. π4C. π3D. π27.已知奇函数f(x)在R上是减函数，若a=−f(1og314)，b=f(log232)，c=f(2−0.8)，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<a<b8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=2px(p >0)的交点为：A 、B ，A 、B 连线经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为( )A. √2+1B. 3C. √2D. 29. 已知函数f(x)={lnx,x >0−x 2−ax,x ≤0，若方程f(x)=x +a 有2个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A. {a|−1≤a <l 或a >l}B. {a|a =−1或0≤a <l 或a >1}C. {a|a =−l 或a ≥0}D. {a|a ≤−1或a ≥0}10. 已知复数z 0=3+i(i 为虚数单位)，复数z 满足z ⋅z 0=2z +z 0，则|z|=______． 11. 如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为 (1) ， (2) ．12. 一个袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是79，则袋中的白球个数为 ，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则随机变量X 的数学期望E(X)= ．13. 若(2x +√x 3)n 的展开式中所有项系数和为81，则展开式的常数项为______．14. 若x >4，y >1，且xy =12+x +4y ，则x +y 的最小值是______． 15. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ABAC 的值是 ．16. 在△ABC 中，a ，b ，C 为内角A ，B ，C 的对边，且满足(2c −a)cosB −bcosA =0．(Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)已知c =2，a =3， (i)求b 及cosC ；(ii)求sin(2C−π6).17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M，N分别为线段PC，AD上的点(不在端点)．(Ⅰ)当M为PC中点时，AN=14AD，求证：MN//面PBA；(Ⅱ)当M为中点且N为AD中点时，求证：平面MBN⊥平面ABCD；(Ⅲ)当N为AD中点时，是否存在M，使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为2√55，若存在，求出MC的长，若不存在，说明理由．18.已知数列{a n}前n项和为S n=12n2+112n，数列{b n}等差，且满足b3=11，前9项和为153．(Ⅰ)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (Ⅱ)设c n =3(2a n −11)(2b n −1)，数列{c n }的前n 项和为T n ．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =√32，椭圆C 上的点到其左焦点的最大距离为2+√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A(−a,0)作直线l 与椭圆相交于点B ，则y 轴上是否存在点P ，使得线段|PA|=|PB|，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4？如果存在，求出点P 坐标；否则请说明理由．20. 已知函数f(x)=msin(1−x)+lnx ．(1)当m =1时，求函数f(x)在(0,1)的单调性；(2)当m =0且a ≥−1e 时，g(x)=−af(x)+1x ，求函数g(x)在(0,e]上的最小值； (3)当m =0时，ℎ(x)=f(x)+12x −b 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1+x 2>1．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．【解答】解：∵U={0,1,3,5,6,8}，A={1,5,8}，B={2}，∴(∁U A)∪B={0,3,6}∪{2}={0,2,3,6}，故选：A2.【答案】B【解析】解：主要考查不等式的性质．当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．不等式的基本性质，“a>b”⇒“ac2>bc2”必须有c2>0这一条件．充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，考查函数的定义，利用排除法是解决本题的关键，属于基础题．根据f(1)的符号及函数的定义，利用排除法进行判断即可．【解答】，解：设f(x)=1x−ln(x+1)>0，排除C，D，f(1)=11−ln2选项B中存在一个x值对应两个y值，不是函数，排除B，故选：A．4.【答案】C【解析】解：把三棱锥P−ABC放入正方体中，如图所示：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴此正方体的棱长为√2，∵正方体的外接球即是三棱锥P−ABC的外接球，∴球O的半径R=12×√3×√2=√62，∴球O的体积为：43πR3=√6π，故选：C．题意可知，把三棱锥P−ABC放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥P−ABC的外接球，从而即可求出球O的半径，进而得到球O的体积．本题主要考查了三棱锥的外接球的体积，是中档题．5.【答案】A【解析】解：圆C：x2+y2+8x−m+2=0化为标准方程是(x+4)2+y2=14+m；则圆心C(−4,0)，半径为r=√14+m(其中m>−14)；所以圆心C到直线x+√2y+1=0的距离为d=|−4+0+1|√1+2=√3，在等边三角形中得，√m+14=2，解得m=−10，故选：A．由题意求出圆心C的坐标，由直线与圆相交，用圆的半径和圆心到直线的距离和半个弦长构成直角三角形求出弦长，再由若△ABC为正三角形，求出m的值．考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查余弦函数的对称性，属于基础题．先根据函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称，令x =4π3代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值． 【解答】解：∵函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称． ∴2×4π3+φ=kπ+π2(k ∈Z)，∴φ=kπ−13π6(k ∈Z)，由此易得|φ|min =π6．故选A ．7.【答案】B【解析】解：奇函数f(x)在R 上是减函数， ∵log 34∈(1,2)，log 232<0，2−0.8∈(0,1)， ∵a =−f(1og 314)=f(log 34)，b =f(log 232)，c =f(2−0.8)=f(120.8)，则a <c <b ， 故选：B ．结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小．本题主要考查了利用奇偶性及单调性判断函数值的大小，属于基础试题．8.【答案】B【解析】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=2px(p >0)的交点为：A 、B ，A 、B 连线经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长， ∴|AB|=2p =2b ，即p =b ， ∴A(b 2,b)，把A(b 2,b)代入双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，得b 24a 2−b 2b 2=1，整理，得：b 2=8a 2，∴c 2=a 2+b 2=9a 2， ∴c =3a ，∴e=ca=3．故选：B．由已知条件推导出|AB|=2p=2b，从而得到A(b2,b)，由此能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线、抛物线的简单性质．9.【答案】B【解析】解：当直线y=x+a与曲线y=lnx相切时，设切点为(t,lnt)，则切线斜率为k=1t=1，所以t=1，切点为(1,0)，代入y=x+a得，a=1，又x≤0时，f(x)=−x2−ax，令f(x)=x+a，得−x2−ax=x+a，即(x−1)(x+a)= 0，所以①当a=−1时，lnx=x+a(x>0)有1个实根，此时(x−1)(x+a)=0(x≤0)有1个实根，满足条件；②当a<−1时，lnx=x+a(x>0)有2个实根，此时(x−1)(x+a)=0(x≤0)有1个实根，不满足条件；③当a>−1时，lnx=x+a(x>0)无实根，此时要使(x−1)(x+a)=0(x≤0)有2个实根，应有−a≤0且−a≠−1，即a≥0且a≠1，综上所述，实数a的取值范围是{a|a=−1或0≤a<1或a>1}，故选：B．先利用导数的几何意义求出当直线y=x+a与曲线y=lnx相切时a=1，当x≤0时，f(x)=−x2−ax，令f(x)=x+a，得(x−1)(x+a)=0，再对a的值分情况讨论，分段分析方程f(x)=x+a的实根的个数，从而得到a的取值范围．本题主要考查了导数的几何意义，以及函数的零点与方程的根的关系，是中档题．10.【答案】√5【解析】解：由z⋅z0=2z+z0，得(z0−2)z=z0，∵z0=3+i，∴z=3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−i，则|z|=√22+(−1)2=√5．故答案为：√5．把已知等式变形，再把z0=3+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，最后由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．11.【答案】58【解析】【试题解析】【分析】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，=16.8，∴9+15+(10+y)+18+245解得：y=8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：58．12.【答案】532【解析】【分析】本题考查了超几何分布中事件的概率，超几何分布的期望，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于中档题．根据至少得到一个白球的概率是79，可得全取到黑球的概率为29，结合超几何分布的相关知识可得白球个数，以及随机变量X 的期望． 【解答】解：依题意，设白球个数为x ，至少得到一个白球的概率是79，则全是黑球的概率为29， 所以C 10−x 2C 102=29，即(10−x)(9−x)=20，解得x =5(x =14>10舍去)，依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3， 且P(X =k)=C 5k C 53−kC 103(k =0,1,2,3)得随机变量X 的分布列为所以E(X)=0×112+1×512+2×512+3×112=32， 故答案为：5；32．13.【答案】8【解析】解：若(2x +√x 3)n 的展开式中所有项系数和为3n =81，∴n =4．则展开式的通项公式为T r+1=C 4r ⋅24−r ⋅x 4−4r3，令4−4r 3=0，求得r =3，可得常数项为C 43⋅2=8，故答案为：8．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于令，求得r 的值，可得展开式的常数项． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】13【解析】解：因为x >4，y >1且xy =12+x +4y ，所以x −4>0，y −1>0，则(x −4)(y −1)=xy −x −4y +4=12+4=16≤(x−4+y−12)2=(x+y−5)24，当且仅当x −4=y −1=4时取等号， 所以(x +y −5)2≥64，解得x +y −5≥8， 故x +y ≥13． 所以最小值为13． 故答案为：13．由条件可知x −4>0，y −1>0，所以(x −4)(y −1)=16≤(x−4+y−12)2=(x+y−5)24，解之得最小值．本题考查基本不等式的应用，属于中档题．15.【答案】√3【解析】 【分析】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．首先算出AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，进一步可得结果． 【解答】解：设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μEC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−μ)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−μ3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{λ2=1−μ3λ2=μ，∴{λ=12μ=14，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6×14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32(−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2) =−12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∴12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3， ∴AB AC=√3．故答案为：√316.【答案】解：(Ⅰ)∵(2c −a)cosB −bcosA =0，由正弦定理得(2sinC −sinA)cosB −sinBcosA =0， ∴(2sinC −sinA)cosB =sinBcosA ， 2sinCcosB −sin(A +B)， ∵A +B =π−C ，且sinC ≠0， ∴cosB =12， ∵B ∈(0,π)， ∴B =π3．(Ⅱ)(i)∵B =π3，c =2，a =3，∴b =√a 2+c 2−2accosB =√9+4−2×3×2×12=√7，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×3×√7=2√77． (ii)∵sinC =√1−cos 2C =√217， ∴sin2C =2sinCcosC =4√37，cos2C =2cos 2C −1=17，∴sin(2C −π6)=sin2Ccos π6−cos2Csin π6=4√37×√32−17×12=1114．【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC ≠0，可得cosB =12，根据范围B ∈(0,π)可求B 的值．(Ⅱ)(i)由已知利用余弦定理可求b 及cosC 的值；(ii)利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，进而利用二倍角公式可求sin2C ，cos2C 的值，根据两角差的正弦函数公式即可解得sin(2C −π6)的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BC 中点E ，连结ME ，NE ， ∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BAD =90°，AD =AP =4，AB =BC =2，M 为PC 中点，AN =14AD ，∴ME//PB ，NE//AB ，∵PB ∩AB =B ，ME ∩NE =E ，∴平面PAB//平面MNE ， ∵MN ⊂平面MNE ，∴MN//面PBA ．(Ⅱ)证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,4)，M(1,1,2)，N(0,2,0)， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−2)， 设平面MBN 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −2z =0n ⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y −2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1,0)， 平面ABCD 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0,1)， ∵m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，∴平面MBN ⊥平面ABCD ．(Ⅲ)解：假设存在存在M(a,b,c)，使得直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为2√55，CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP⃗⃗⃗⃗⃗ ． 则(a −2,b −2,c)=λ(−2,−2,4)，解得a =2−2λ，b =2−2λ，c =4λ，∴M(2−2λ,2−2λ,4λ)，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ−2,2λ,−4λ)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,4)， 设平面PBC 的法向量p⃗ =(a,b,c)， 则{p ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b =0p ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a +4c =0，取a =2，得p⃗ =(2,0,1)， ∵直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为2√55，∴|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|p ⃗ |=4√(2λ−2)2+(2λ)2+(−4λ)2⋅√20=2√55， 整理，得24λ2−8λ+3=0，无解，∴不存在M ，使得直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为2√55．【解析】(Ⅰ)取BC 中点E ，连结ME ，NE ，推导出ME//PB ，NE//AB ，从而平面PAB//平面MNE ，由此能证明MN//面PBA ．(Ⅱ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面MBN ⊥平面ABCD ．(Ⅲ)假设存在存在M(a,b,c)，使得直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为2√55，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP⃗⃗⃗⃗⃗ .推导出M(2−2λ,2−2λ,4λ)，求出平面PBC 的法向量，利用向量法能推导出不存在M ，使得直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为2√55．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由S n =12n 2+112n ，可得a 1=S 1=12+112=6，n ≥2时，a n =S n −S n−1=12n 2+112n −12(n −1)2−112(n −1)=n +5，对n =1也成立，则a n =n +5，n ∈N ∗，由数列{b n }等差，公差设为d ，满足b 3=11，前9项和为153，可得b 1+2d =11，9b 1+36d =153，即b 1+4d =17，解得b 1=5，d =3， 则b n =5+3(n −1)=3n +2，n ∈N ∗； (Ⅱ)c n =3(2an −11)(2b n−1)=3(2n−1)(6n+3)=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， 则前n 项和为T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，可得a n ；再设{b n }的公差为d ，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到b n ；(Ⅱ)求得c n =12(12n−1−12n+1)，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可得：c a =√32，a +c =2+√3，b 2=a 2−c 2．联立解得：a =2，c =√3，b =1． ∴椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1．(2)由(1)可得：A(−2,0)，设B(x 1,y 1)，由题意直线l 的斜率存在，设为k ．则直线l 的方程为：y =k(x +2)，联立方程{y =k(x +2)x 2+4y 2=4，化为：(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0， 由−2x 1=16k 2−41+4k 2，得：x 1=2−8k 21+4k 2，则y 1=4k1+4k 2． 假设在y 轴上存在点P ，使得线段|PA|=|PB|，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4， 由|PA|=|PB|，得点P 为线段AB 的中垂线与y 轴的交点，设P(0,y 0). 设线段AB 中点为M ，则M(−8k 21+4k 2,2k 1+4k 2).以下分两种情况：当k =0时，点B(2,0)，此时AB 的中垂线为y 轴，于是PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−y 0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−y 0)，由PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，可得：y 02=8.解得y 0=±2√2． 当k ≠0时，线段AB 的中垂线方程为：y −2k 1+4k 2=−1k(x +8k 21+4k 2)，令x =0，解得y 0=−6k 1+4k 2．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 1−y 0(y 1−y 0)=−2(2−8k 2)1+4k 2+6k 1+4k 2(4k 1+4k 2+6k1+4k 2)=4，化为：16k 4+15k 2−1=0，解得：k =±√147，∴y 0=±2√145． 综上可得：y 轴上存在点P ，使得线段|PA|=|PB|，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，点P 的坐标为：(0,±2√2)，或(0,±2√145).【解析】(1)由题意可得：ca =√32，a +c =2+√3，b 2=a 2−c 2.联立解得：a ，c ，b.可得椭圆C 的方程．(2)由(1)可得：A(−2,0)，设B(x 1,y 1)，由题意直线l 的斜率存在，设为k.则直线l 的方程为：y =k(x +2)，联立方程{y =k(x +2)x 2+4y 2=4，化为：(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0，利用根与系数的关系可得B 坐标．假设在y 轴上存在点P ，使得线段|PA|=|PB|，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，由|PA|=|PB|，得点P 为线段AB 的中垂线与y 轴的交点，设P(0,y 0).设线段AB中点为M，则M(−8k21+4k2,2k1+4k2).以下分两种情况，利用中垂线方程及其数量积运算性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中垂线方程及其数量积运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：(1)当m=1时，f(x)=sin(1−x)+lnx，则f′(x)=−cos(1−x)+1x，当x∈(0,1)，f′(x)在(0,1)上单调递减，∴f′(x)>f(1)=0，∴当x∈(0,1)时，∴f(x)在(0,1)上单调递增．(2)当m=0时，g(x)=−alnx+1x (a≥−1e,0<x≤e)，则g′(x)=−ax −1x2=−a+1x2，∵a≥−1e，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0,e]上单调递减，∴g(x)min=g(e)=−a+ae．(3)当m=0时，ℎ(x)=lnx+12x−b(x>0)，∵x1，x2是函数ℎ(x)=lnx+12x−b的两个零点，∴lnx1+12x1−b=0，lnx2+12x2−b=0，.两式相减，可得ln x1x2=12x2−12x1，即ln x1x2=x1−x22x2x1，∴x1x2=x1−x22ln x1x2，∴x1=x1x2−12ln x1x2，x2=1−x2x12ln x1x2．令t=x1x2(0<t<1)，则x1+x2=t−12lnt+1−1t2lnt=t−1t2lnt．记F(t)=t−1t −2lnt(0<t<1)，则F′(t)=(t−1)2t2．∵0<t<1，∴F′(t)>0恒成立，∴F(t)<F(1)，即t−1t −2lnt<0.∴t−1t2lnt>1，故x1+x2>1．【解析】(1)将m=1代入f(x)中，然后求导判断f(x)在(0,1)上的单调性；(2)由条件求出g(x)的解析式，然后求导判断g(x)在(0,e]上的单调性，再求出其最小值；(3)求出个零点x1，x2，得到x1+x2=t−1t2lnt，构造函数F(t)=t−1t−2lnt(0<t<1)，根据函数的单调性证明即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和不等式的证明，考查了转化思想和函数思想，属难题．。
天津市滨海新区2020届高三数学居家专题讲座学习反馈检测试题(B卷)[含答案]
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3
又因为 A (0, ) ，可得 A …………5 分 3
（II）由 a2 b2 c2 2bc cos A 和 b 6, c 4 ， A 得： 3
a2 36 16 2 6 4 1 28 2
所以 a 2 7 …………7 分
由 a sin C c sin( A ) 得 2
柱体的体积公式V Sh . 锥体的体积公式V 1 Sh .
3 其中 S 表示柱（锥）体的底面积,
h 表示柱（锥）体的高.
球的表面积、体积公式： S 4R2 ，V 4 R3 ， 3 其中 R 为球的半径．
一.选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集 U { x | x是小于的7 正整数 } ，集合 A 1, 3,6，集合 B 2, 3,4,5，则
cos
n1 , n2
n1 n2 | n1 || n2 |
1 2
………………………9
分
从而 sin n1, n2
3 2
,所以二面角 A BC1 A1 的正弦值为
3 .……………………10 分 2
（Ⅲ）假设在平面 ABC 的边上或内部存在一点 N ( x, y,1) , A1B (1, 0,1)
二.填空题:本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.
（10）已知 i 是虚数单位. 若复数 z m i (m R) 是纯虚数，则 m
.
1 i
（11）以点 C（1，0）为圆心，且被 y 轴截得的弦长为 2 的圆的方程为
.
（12）已知 {an } 为等差数列， Sn 为其前 n 项和， n N* ，若 a3 11, S20 -80, 则 S10 的值
（A）
[
天津市滨海新区2020届高三高考二模数学试题 Word版含解析
2020年高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合UA B 是( )A. {1,3,5,6}B. {1,3,5}C. {1,3}D. {1,5}【答案】D 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求出集合UA B .【详解】集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6UB =，因此，{}1,5UA B =.故选：D.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2.设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果. 【详解】解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（ ）A. 18B. 36C. 54D. 72【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数． 【详解】由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18， ∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36． 故选：B ．【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可 【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x xx e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ； 又因()()()33311211x x x e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象5.已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 9πC. 10πD. 11π【答案】A 【解析】 【分析】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°可得三角形ABC 的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，由余弦定理可得：BC == ∴222AC BC AB +=，∠ACB ＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB 的中点， 设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，则r 2AB==1，又11122ABC S BC AC ∆=⋅=⨯=所以V 柱＝S △ABC •AA 13=，所以可得AA 1＝2， 因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R ，则R 2＝r 2+（12AA ）2＝12+12＝2， 所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×2＝8π，故选：A ．【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．6.已知函数f （x ）＝2|x |﹣log 12|x |，且a ＝f （ln32），b ＝f （log 213），c ＝f （2﹣1），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c ＜a ＜b B. b ＜c ＜a C. a ＜c ＜b D. b ＜a ＜c【答案】C 【解析】 【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，再由ln 32＜2﹣1＜log 23及函数单调性得结论．【详解】由f （﹣x ）＝2|﹣x |﹣log 12|﹣x |＝2|x |﹣log 12|x |＝f （x ），可知f （x ）为偶函数，又当x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣log 12x ＝2x +log 2x 为增函数，且0＜ln 32＜ln 1212e =，b ＝f （log 213）＝f （﹣log 213）＝f （log 23），log 23＞log 22＝1．∴ln 32＜2﹣1＜log 23．则a ＜c ＜b ． 故选：C ．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题． 7.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数．下列判断正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 函数()f x 的图象关于点7(,0)12π对称 C. 函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称D. 函数()f x 在3[,]4ππ上单调递增 【答案】D 【解析】试题分析：由题图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则；,2T πω==, 又函数()12f x π+是偶函数，可知；()sin(2())sin(2),,()sin(2)12633f x x x f x x ππππϕϕϕ=++=++==+则得；A 错误，B ，图像对称点横坐标为；2,,362k x k x k Z ππππ+==-+∈错误； C ，图像的对称直线方程为；2,,32122k x k x k Z πππππ+=+=+∈，错误； D ，函数的增区间为；5222,,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+-+≤≤+∈ 71,,1212k x πππ=≤≤+3[,]4ππ为它的子集．正确．考点：三角函数的性质的综合运用．8.已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），抛物线y 2＝4cx 的准线与双曲线的一个交点为P ，点M 为线段PF 的中点，且△OFM 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.+1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，将其代入双曲线方程可求得y ，当确定点P 的坐标后就能得到点M 的坐标，由于△OFM 为等腰直角三角形，可根据|MF |＝|OF |建立a 、b 、c 的关系式，再结合b 2＝c 2﹣a 2和1ce a=＞即可得解． 【详解】抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，代入双曲线方程有22221c y a b -=，解得2b y a=，∴点P 的坐标为2b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∵点M 为线段PF 的中点，且F （﹣c ，0），∴M （﹣c ，22b a），∵△OFM 为等腰直角三角形，∴22b c a=即2ac ＝b 2＝c 2﹣a 2，∴2()210c c aa -⋅-=，解得1c a =（舍负），∴1c a=+ 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线与抛物线的几何性质，涉及抛物线的准线方程、双曲线的焦点、离心率等，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．9.已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A ()1,2,04⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦B. ()12,0,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)12,0,4⎛⎤--+∞⎥⎝⎦D. [)1,20,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】()()g x f x x m =-+恰有三个零点则()f x x m =-的函数图像有三个交点,再画图分析求解即可.【详解】根据()22,01,0x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩的图像,取绝对值可知()f x x m =-如图.当()f x x m =-的函数图像有三个交点时分两种情况①当直线y x m =-与抛物线部分相交于三个点时,临界条件分别为y x m =-过原点时,此时0m =,以及与抛物线相切,此时2220x x x m x x m -=-⇒--=判别式11404m m ∆=+=⇒=-,故1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦②当直线y x m =-与抛物线部分相交于1个点,与1y x=-相交于两点,此时临界条件为直线y x m =-与1y x =-相切,此时2110x m x mx x-=-⇒-+=判别式2402m m ∆=-=⇒=±,由图得y x m =-中0m <,故2m =-为临界条件. 故此时(),2m ∈-∞-综上所述, ()1,2,04m ⎛⎤∈-∞-- ⎥⎝⎦. 故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要画出对应的图像分析直线与曲线相切等的临界条件,属于中等题型.二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 【答案】i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - .11.）6的展开式中常数项是_____． 【答案】-160 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求得第r +1项，令x 的指数为0得常数项．【详解】展开式的通项为T r +1＝362r r rC x --（）令3﹣r ＝0得r ＝3所以展开式的常数项为3362C -（）＝﹣160 故答案为：﹣160．【点睛】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．12.已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，﹣1）和B （﹣2，2），且圆心C 在直线l ：x ﹣y ﹣1＝0上，则圆心为C 的圆的标准方程是_____． 【答案】（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25 【解析】 【分析】由已知求出AB 的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求．【详解】由A （﹣1，﹣1），B （﹣2，2），得AB 的中点为（32-，12），又12312AB k --==--+，∴AB 的垂直平分线方程为113232y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即x ﹣3y +3＝0．联立33010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．∴圆心坐标为C （3，2），半径为|CA |＝5．∴圆心为C 的圆的标准方程是（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25． 故答案：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25．【点睛】本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．13.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为_____． 【答案】 (1). 950 (2). 35【解析】 【分析】基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m ＝103﹣（23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯）＝180，由此能求出3个小颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），由此能求出ξ的数学期望E （ξ）．【详解】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球， 基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数：m ＝103﹣（23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯）＝180，则3个小球颜色互不相同的概率是P 1809100050m n ===； 若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），∴ξ的数学期望E （ξ）＝323105⨯=． 故答案为：950，35．【点睛】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．14.已知正数x ，y 满足23x y xy+=，则当x ______时，x y +的最小值是______． 【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】 【分析】将x y +化简成只关于y 的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x ,y 满足23x y xy +=, 2031y x y ∴=>-,可得13y >,2243131y y yx y y y y -∴+=+=--, 令31t y =-则13ty +=且0t >, 22114451111334551999t t t t x y t t t t ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭+===++≥+=（）（, 当且仅当14t t =即12t =,此时12x y ==取最小值1,故答案：1(1)2(2)1 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型. 15.在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且32MN =，若()32MN AD BC ⋅-=，则AB CD ⋅=______. 【答案】2- 【解析】 【分析】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值.【详解】解：取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，可得1()2MN MO ON AB DC =+=+， 平方可得()()2222119242444MN AB DC AB DC DC AB DC =++⋅=++⋅=， 即有25122AB DC DC ⋅=-，3()2MN AD BC ⋅-=，即有1()()2AB DC AB BD BC +⋅+-()()2221113()()42222AB DC AB CD AB CD CD =+⋅+=-=-=， 解得21CD =，所以2151522222AB CD DC ⋅=-=-=-，故答案为：−2.【点睛】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题.三.解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且113b c cosA ABC -==，，的面积为22（Ⅰ）求a 及sinC 的值； （Ⅱ）求π26cos A -（）的值． 【答案】（Ⅰ）3a = ，42sinC =（Ⅱ4273-）【解析】 【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A 与2cos A ,再根据余弦的差角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且21221,,133b c cosA sinA cos A -==∴=-=, ABC的面积为122222,6,3,22233bc bc sinA bc bc b c ⋅=⋅==∴=∴==, 22129423233a b c bc cosA ∴=+-⋅=+-⋅⋅⋅=． 再根据正弦定理可得a c sinA sinC=,即242,922sinC sinC =∴=． （Ⅱ22142222,339sin A sinAcosA ∴==⨯⨯=） 272219cos A cos A =-=-,故734214273222666929218cos A cos Acossin Asinπππ--=+=-⋅+⋅=（）． 【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，边长为2，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面P AD ；(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. 【解析】 【分析】（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，得PO ⊥平面ABCD ，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=，由AE 与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在.【详解】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，3PO =，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)D ，(0,1,0)C ，11(,,0)22B -，(1,0,3)P ，(1,1,3)PC =-，11(,,0)22BC =，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则011022n PC x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =-，则1y =，z =(n =-，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，cos ,1mn m n m n⋅<>===⨯，∴平面P AD 与平面PBC ；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=(01)λ≤≤，由（2）(1,0,PD =，AP =，10AE AP PE AP PD λλ=+=+=+(，又平面PBC的一个法向量是(n =-， ∴1)0AE n λ⋅=--+=，解得13λ=，∴13PE PD =. ∴棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. 【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．解题是建立空间直角坐标系．18.已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（Ⅰ）12n n a -=；（Ⅱ）()211543()2n n b n -=-+⋅．【解析】 【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由数列的递推式求得c n ，再由数列的恒等式可得b n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式．【详解】（1）由题知a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项， 所以a 3+a 5＝2a 4+4，解得a 4＝8，a 3+a 5＝20， 即a 1q 3＝8，a 1q 2+a 1q 4＝20， 解得a 1＝1，q ＝2， 所以12n na ；（2）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由11,1,2n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩，S n ＝2n 2+n ，S n ﹣1＝2（n ﹣1）2+n ﹣1．解得c n ＝4n ﹣1． 由（1）可知12n na ，所以()11141()2b b n -+-=-⋅n n n ，故()21145()22n n b b ---=-⋅≥，n n n ，b n ﹣b 1＝（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 3﹣b 2）+（b 2﹣b 1）()()2310111145()49()7()3()2222n n --=-⋅+-⋅++⋅+⋅n n ，设()()013211113()7()49()45()22222T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅≥，n n n ， 所以()()2211111137()49()45()22222n T n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅n n n ， 相减可得()22111111344()4()45()22222T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅n n n =3+4•211122112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭--（4n ﹣5）•（12）n ﹣1， 化简可得()211443()22T n n -=-+⋅≥，n n ，又b 1＝1，所以()211543()2n n b n -=-+⋅．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.已知点A ，B 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，1BA BF ⋅=，且该椭圆的离心率为12； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为OP k ，直线MN 的斜率为MN k ，且28OP MNb k k a⋅=-（O 为坐标原点），求直线AP 的方程. 【答案】（1）22:143x y C +=（2）3260x y ±+=【解析】 【分析】（1）依题意表示出BA ，BF ，根据1BA BF ⋅=，和离心率为12，求出,a b 的值，即可求出椭圆方程.（2）设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为(2)y k x =+，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，(),0N N x 联立直线方程与椭圆方程，消去y 即可用含k 的式子表示P 、H 的坐标，即可表示出AP 中垂线方程，求出N 的坐标，最后根据28OP MN b k k a⋅=-求出参数k 即可得解.【详解】解：（1）依题意知：(,0)A a -，(0,)B b ，(c,0)F ，(,)BA a b =--，(,)BF c b =-，则21BA BF ac b ⋅=-+=，又12c e a ==，2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22:143x y C +=.（2）由题意()2,0A -，设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为(2)y k x =+ 所以(0,2)M k ，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，(),0N N x由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +++-=221612(2)34P k x k-∴-⋅=+ 2226812,3434k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 22286,3434k k H k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭AP ∴中垂线方程为：2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭令0y =得22234N k x k-=+. 222,034k N k ⎛⎫-∴ ⎪+⎝⎭2634P OP P y k k x k∴==-，222234234MNk k k k kk +==+ 22263481234OP MNk k b k k k k a ⎛⎫+⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解得294k =. 32k ∴=±∴直线AP 的方程为3(2)2y x =±+，即3260x y ±+=【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合问题，属于中档题. 20.已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解； （3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内； （2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明； 【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =--所以定义域为0,6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-，令()0f x '>解得3x > 令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-； 22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数， 且(3)1ln30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x = 即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增， 且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，()20a g x x x '=-==得0x =当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>； 所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即2ln 02g a a e =-<⇒>；因为10x <<2x >21x t x =(1)t >， 由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-， 即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a tx t ∴=- 而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>，即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a t t a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>， 令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=； 故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。
2020年天津市滨海新区高考数学(5月份)模拟试卷 (Word版 含解析)
2020年高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，3，4}，则集合A∩∁U B是（）A．{1，3，5，6}B．{1，3，5}C．{1，3}D．{1，5}2．设x∈R，则“|x﹣2|＞1”是“x2﹣4x+3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（）A．18B．36C．54D．724．函数f（x）=e x+1x3(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为√3，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（）A．8πB．9πC．10πD．11π6．已知函数f（x）＝2|x|﹣log12|x|，且a＝f（ln32），b＝f（log213），c＝f（2﹣1），则a，b，c的大小关系为（）A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c7．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f （x +π12）是偶函数，下列判断正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期为2πB ．函数f （x ）的图象关于点（7π12，0）d 对称C ．函数f （x ）的图象关于直线x =−7π12对称 D ．函数f （x ）在[3π4，π]上单调递增8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），抛物线y 2＝4cx的准线与双曲线的一个交点为P ，点M 为线段PF 的中点，且△OFM 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√2+1C ．√5+12D ．√10+√229．已知函数f （x ）={2x −x 2，x ≥01x，x ＜0，若函数g （x ）＝|f （x ）|﹣x +m 恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−2)∪(−14，0]B ．(2，+∞)∪[0，14)C ．(−2，−14]∪[0，+∞)D ．(14，2)∪[0，+∞)二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10．复数2+i 1−2i的共轭复数是 ．11．（√x √x6的展开式中常数项是 ．12．已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，﹣1）和B （﹣2，2），且圆心C 在直线l ：x ﹣y ﹣1＝0上，则圆心为C 的圆的标准方程是 ．13．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为 ． 14．已知正数x ，y 满足x+y 2xy=3，则当x 时，x +y 的最小值是 ．15．在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN =32，若MN →⋅(AD →−BC →)=32，则AB →⋅CD →= ．三.解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为等边三角形，边长为2，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AC ＝1，∠DAC ＝90°，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AC ⊥平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ？若存在，求出PE PD的值；若不存在，请说明理由．18．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{b n }的通项公式． 19．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，BA →⋅BF →=1，且该椭圆的离心率为12；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为k OP ，直线MN 的斜率为k MN ，且k OP •k MN =−8b 2a（O 为坐标原点），求直线AP 的方程．20．（16分）已知f（x）＝x2﹣4x﹣6lnx．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程以及f（x）的单调性；（Ⅱ）对∀x∈（1，+∞），有xf′（x）﹣f（x）＞x2+6k（1−1x）﹣12恒成立，求k的最大整数解；（Ⅲ）令g（x）＝f（x）+4x﹣（a﹣6）lnx，若g（x）有两个零点分别为x1，x2（x1＜x2）且x0为g（x）的唯一的极值点，求证：x1+3x2＞4x0．参考答案一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，3，4}，则集合A∩∁U B是（）A．{1，3，5，6}B．{1，3，5}C．{1，3}D．{1，5}【分析】先利用补集的定义算出∁U B，再利用集合的交集运算即可求出A∩∁U B．解：∵集合U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，∴∁U B＝{1，5，6}，∴A∩∁U B＝{1，5}，故选：D．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2．设x∈R，则“|x﹣2|＞1”是“x2﹣4x+3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】先解出两个不等式，再判断充要性．解：“|x﹣2|＞1”，解之得x＜1或x＞3，“x2﹣4x+3＞0”，解之得x＜1或x＞3，故“|x﹣2|＞1”是“x2﹣4x+3＞0”的充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题．3．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（）A．18B．36C．54D．72【分析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数．解：由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18，∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36．故选：B．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．函数f（x）=e x+1x3(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得到答案．解：f(−x)=e−x+1(−x)3(e−x−1)=−1+exx3(1−e x)=ex+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3（e x﹣1）＞＞e x+1，f（x）→0，故排除B．故选：D．【点评】本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题．5．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为√3，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（）A．8πB．9πC．10πD．11π【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得BC=√AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos60°=√4+1−2×2×1×12=√3， 所以S ABC =12AB ⋅AC ⋅sin60°=12×2×1×√32=√32，所以V 柱＝S △ABC •AA 1=√3，所以可得AA 1＝2，设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，所以r =AB2=1， 因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R ，则R 2＝r 2+（AA 12）2＝12+12＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×2＝8π， 故选：A ．【点评】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题． 6．已知函数f （x ）＝2|x |﹣log 12|x |，且a ＝f （ln 32），b ＝f （log 213），c ＝f （2﹣1），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，再由ln 32＜2﹣1＜log 23及函数单调性得结论． 解：由f （﹣x ）＝2|﹣x |﹣log12|﹣x |＝2|x |﹣log 12|x |＝f （x ），可知f （x ）为偶函数，又当x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣log12x ＝2x +log 2x 为增函数，且0＜ln 32＜ln e 12=12，b ＝f （log 213）＝f （﹣log 213）＝f （log 23），log 23＞log 22＝1．∴ln 32＜2﹣1＜log 23．则a ＜c ＜b ．故选：C ．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题． 7．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f （x +π12）是偶函数，下列判断正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期为2πB ．函数f （x ）的图象关于点（7π12，0）d 对称C ．函数f （x ）的图象关于直线x =−7π12对称 D ．函数f （x ）在[3π4，π]上单调递增【分析】由题意可求f （x ）的周期T ，利用周期公式可求ω，函数f （x +π12）是偶函数，可得π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ，又|φ|＜π2，解得φ，可得解析式f （x ）＝sin （2x +π3），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．解：函数f （x ）＝sin （ωx +φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，∴函数f （x ）的周期T ＝π，故A 错误； ∵ω＞0 ∴ω＝2，∴函数f （x +π12）的解析式为：f （x ）＝sin[2（x +π12）+φ]＝sin （2x +π6+φ）， ∵函数f （x +π12）是偶函数，∴π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ，又|φ|＜π2，解得：φ=π3．∴f （x ）＝sin （2x +π3）．∴由2x +π3=k π，k ∈Z ，解得对称中心为：（kπ2−π6，0），k ∈Z ，故B 错误；由2x +π3=k π+π2，k ∈Z ，解得对称轴是：x =kπ2+π12，k ∈Z ，故C 错误；由2k π−π2≤2x +π3≤2k π+π2，k ∈Z ，解得单调递增区间为：[k π−5π12，k π+π12]，k ∈Z ，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题主要考查了由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合的方法，属于中档题．8．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），抛物线y2＝4cx的准线与双曲线的一个交点为P，点M为线段PF的中点，且△OFM为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√2+1C．√5+12D．√10+√22【分析】根据抛物线y2＝4cx的准线为x＝﹣c，不妨设点P的坐标为（﹣c，y），y＞0，将其代入双曲线方程可求得y，当确定点P的坐标后就能得到点M的坐标，由于△OFM为等腰直角三角形，可根据|MF|＝|OF|建立a、b、c的关系式，再结合b2＝c2﹣a2和e=c a＞1即可得解．解：抛物线y2＝4cx的准线为x＝﹣c，不妨设点P的坐标为（﹣c，y），y＞0，代入双曲线方程有c2a2−y2b2=1，解得y=b2a，∴点P的坐标为(−c，b 2a )，∵点M为线段PF的中点，且F（﹣c，0），∴M（﹣c，b22a），∵△OFM为等腰直角三角形，∴b22a=c即2ac＝b2＝c2﹣a2，∴(ca)2−2⋅c a−1=0，解得ca=1±√2（舍负），∴c a=1+√2．故选：B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的几何性质，涉及抛物线的准线方程、双曲线的焦点、离心率等，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．9．已知函数f（x）={2x−x2，x≥01x，x＜0，若函数g（x）＝|f（x）|﹣x+m恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．(−∞，−2)∪(−14，0]B．(2，+∞)∪[0，14)C．(−2，−14]∪[0，+∞)D．(14，2)∪[0，+∞)【分析】本题等价于函数y＝|f（x）|的与y＝x﹣m的图象有3个交点，分别利用到时求出切点时m的值即可得到m取值范围解：作出函数y＝|f（x）|的与y＝x﹣m图象如图：当y ＝x ﹣m 为y =−1x的切线时，即1x =1，解得x ＝﹣1，即切点为（﹣1，1），代入y ＝x ﹣m 得m ＝﹣2， 所以m ＜﹣2；当y ＝x ﹣m 为y ＝2x ﹣x 2（x ∈（0，1））的切线时， 即2﹣2x ＝1，解得x =12，即切点为（12，34），代入y ＝x ﹣m 得m =−14，所以−14＜m ≤0；故m 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（−14，0]， 故选：A ．【点评】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题． 二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10．复数2+i 1−2i的共轭复数是 ﹣i ．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 解：复数2+i 1−2i=(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i 5=i 的共轭复数是﹣i ．故答案为：﹣i ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 11．（√x 2√x6的展开式中常数项是 ﹣160 ．【分析】据二项展开式的通项公式求得第r +1项，令x 的指数为0得常数项． 解：展开式的通项为T r +1＝（﹣2）r C 6r x 3﹣r 令3﹣r ＝0得r ＝3所以展开式的常数项为（﹣2）3C 63＝﹣160故答案为：﹣160．【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．12．已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，﹣1）和B （﹣2，2），且圆心C 在直线l ：x ﹣y ﹣1＝0上，则圆心为C 的圆的标准方程是 （x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25 ．【分析】由已知求出AB 的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求．解：由A （﹣1，﹣1），B （﹣2，2），得AB 的中点为（−32，12），又k AB =−1−2−1+2=−3，∴AB 的垂直平分线方程为y −12=13(x +32)，即x ﹣3y +3＝0． 联立{x −3y +3=0x −y −1=0，解得{x =3y =2．∴圆心坐标为C （3，2），半径为|CA |＝5．∴圆心为C 的圆的标准方程是（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25． 故答案为：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25．【点评】本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．13．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是 950；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为35．【分析】基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m ＝103﹣（23+33+53+C 32×22×8+C 32×32×7+C 32×52×5）＝180，由此能求出3个小球颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），由此能求出ξ的数学期望E （ξ）．解：箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球， 基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m ＝103﹣（23+33+53+C 32×22×8+C 32×32×7+C 32×52×5）＝180，则3个小球颜色互不相同的概率是P =m n =1801000=950； 若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），∴ξ的数学期望E （ξ）＝3×210=35． 故答案为：950，35．【点评】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题． 14．已知正数x ，y 满足x+y 2xy=3，则当x =12 时，x +y 的最小值是 1 ．【分析】由已知可得，x =y 23y−1＞0，可得y ＞13，代入后进行分离，结合基本不等式即可求解．解：正数x ，y 满足x+y 2xy=3，∴x =y 23y−1＞0，可得y ＞13， ∴x +y =y 23y−1+y =4y 2−y3y−1， 令t ＝3y ﹣1则y =1+t3且t ＞0， x +y =t(t+1)29t −3t 9(t+1)，=4t 2+5t+19t =19(4t +1t +5)≥19(5+4)=1，当且仅当4t =1t 即t =12，此时x ＝y =12取最小值1， 故答案为：12，1．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． 15．在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN =32，若MN →⋅(AD →−BC →)=32，则AB →⋅CD →= ﹣2 ．【分析】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值．解：取BD 的中点O ，连接OM ，ON ， 可得MN →=MO →+ON →=12(AB →+DC →)，平方可得MN →2=14(AB →2+DC →2+2AB →⋅DC →)=14(4+DC →2+2AB →⋅DC →)=94，即有AB →⋅DC →=52−12DC →2，MN →⋅(AD →−BC →)=32，即有12(AB →+DC →)•（AB →+BD →−BC →）=12（AB →+DC →）•（AB →+CD →）=12（AB →2−CD →2）=12（4−CD →2）=32，解得CD →2=1，所以AB →⋅CD →=12DC →2−52=12−52=−2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题．三.解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值，再根据三角形的面积求得b 、c 的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a 及sin C 的值．（Ⅱ）利用二倍角公式求得sin2A 、cos2A 的值，再利用两角差的余弦公式求得cos （2A −π6）的值．解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，∴sin A =√1−cos 2A =2√23，∵△ABC 的面积为12bc •sin A =bc2•2√23=√23bc ＝2√2，∴bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2， ∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3．再根据正弦定理可得a sinA=c sinC，即2√23=2sinC ，∴sin C =4√29．（Ⅱ）∴sin2A ＝2sin A cos A =4√29，cos2A ＝2cos 2A ﹣1=−79，故 cos （2A −π6）＝cos2A cos π6+sin2A sinπ6=−79•√32+4√29•12=4√2−7√318． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为等边三角形，边长为2，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AC ＝1，∠DAC ＝90°，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AC ⊥平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ？若存在，求出PE PD的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，得PO ⊥平面ABCD ，以AD 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角：（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ，设PE →=λPD →，由AE →与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在． 解：（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，由于△PAD 是等边三角形，所以PO ⊥AD ，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，PO =√3，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），D （2，0，0），C （0，1，0），B(−12，12，0)，P(1，0，√3)，PC →=(−1，1，−√3)，BC →=(12，12，0)，设平面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 则n →•PC →=−x +y −√3z ＝0，n →•BC →=12x +12y ＝0，取x =−√3，则y =√3，z ＝2，n →=(−√3，√3，2)， 平面PAD 的一个法向量为m →=(0，1，0)，cos〈m →，n →〉=m →⋅n→|m →||n →|=√31×√(−√3)2+√32+(2)=√3010， ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为√3010；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ，设PE →=λPD →（0≤λ≤1）， 由（2）PD →=(1，0，−√3)，AP →=(1，0，√3)， AE →=AP →+PE →=AP →+λPD →=(1+λ，0，√3−λ√3)，又平面PBC 的一个法向量是n →(−1，1，2√33)， ∴AE →⋅n →=−1−λ+2√33(√3−√3λ)=0，解得λ=13，∴PE PD=13．又AE 平面PBC ，∴棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ，且PEPD=13．【点评】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．【分析】（Ⅰ）运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由数列的递推式求得c n ，再由数列的恒等式可得b n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式．解：（Ⅰ）由题知a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项， 所以a 3+a 5＝2a 4+4，解得a 4＝8，a 3+a 5＝20， 即a 1q 3＝8，a 1q 2+a 1q 4＝20， 解得a 1＝1，q ＝2， 所以a n =2n−1；（Ⅱ）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由c n ={S 1，n =1，S n −S n−1，n ≥2.，S n ＝2n 2+n ，S n ﹣1＝2（n ﹣1）2+n ﹣1．解得c n ＝4n ﹣1． 由（1）可知a n =2n−1，所以b n+1−b n =(4n −1)⋅(12)n−1，故b n −b n−1=(4n −5)⋅(12)n−2，n ≥2，b n ﹣b 1＝（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 3﹣b 2）+（b 2﹣b 1）=(4n −5)⋅(12)n−2+(4n −9)⋅(12)n−3+⋯+7⋅(12)1+3⋅(12)0，设T n =3⋅(12)0+7⋅(12)1+⋯+(4n −9)⋅(12)n−3+(4n −5)⋅(12)n−2，n ≥2， 所以12T n =3⋅12+7⋅(12)2+⋯+(4n −9)⋅(12)n−2+(4n −5)⋅(12)n−1，相减可得12T n =3+4⋅12+4⋅(12)2+⋯+4⋅(12)n−2−(4n −5)⋅(12)n−1=3+4•12(1−12n−2)1−12−（4n ﹣5）•（12）n ﹣1，化简可得T n =14−(4n +3)⋅(12)n−2，n ≥2，又b 1＝1，所以b n =15−(4n +3)⋅(12)n−2．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 19．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，BA →⋅BF →=1，且该椭圆的离心率为12；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为k OP ，直线MN 的斜率为k MN ，且k OP •k MN =−8b 2a（O 为坐标原点），求直线AP 的方程．【分析】（Ⅰ）由离心率及数量积求出a ，b ，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线AP 的方程与椭圆联立，由题意求出P 的坐标，进而求出AP 中点的坐标，求出AP 中垂线的方程，由题意求出N 的坐标，及直线MN 的斜率，OP 的斜率，再由斜率之积求出AP 的斜率k 的值，进而求出直线AP 的方程．解：（ I ）依题意知：A （﹣a ，0），B （0，b ），F （c ，0），∴BA →=（﹣a ，﹣b ），BF →=（c ，﹣b ），则由题意：BA →⋅BF →=−ac +b 2＝1，又e =c a =12，解得：a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 23=1．（ II ）由题意A （﹣2，0），设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为：y ＝k （x +2）， 所以M （0，2k ），设P （x P ，y P ），AP 中点为H （x H ，y H ），N （x N ，0）， 由{y =k(x +2)x 24+y 23=1 整理得：（（3+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴（﹣2）•x P =16k 2−123+4k2，解得x P =6−8k 23+4k2，所以 y P ＝k （6−8k 23+4k 2+2）=12k 3+4k2∴P（6−8k 23+4k 2，12k 3+4k ），∴中点H （−8k 23+4k 2，6k 3+4k ），∴AP中垂线方程为：y−6k3+4k2=−1k（x−−8k23+4k2），令y＝0，得x N=−2k23+4k2，所以N的坐标（−2k23+4k，0），∴k OP=y Px P=6k3−4k2，k MN=2k2k23+4k2=3+4k2k，∴k OP•k MN=6k3−4k2⋅3+4k2k=6(3+4k2)3−4k2=−8b2a=−12，解得k2=94，∴k=±32，∴直线AP的方程为：y=±32（x+2），即直线AP的方程：3x±2y+6＝0．【点评】考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．20．（16分）已知f（x）＝x2﹣4x﹣6lnx．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程以及f（x）的单调性；（Ⅱ）对∀x∈（1，+∞），有xf′（x）﹣f（x）＞x2+6k（1−1x）﹣12恒成立，求k的最大整数解；（Ⅲ）令g（x）＝f（x）+4x﹣（a﹣6）lnx，若g（x）有两个零点分别为x1，x2（x1＜x2）且x0为g（x）的唯一的极值点，求证：x1+3x2＞4x0．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（Ⅱ）xf′（x）﹣f（x）＞x2+6k（1−1x）﹣12等价于k＜（x+xlnxx−1）min，可令h（x）=x+xlnxx−1，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得h（x）的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；（Ⅲ）求得g（x）的导数和单调性，由极小值小于0，可得a＞2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣4x﹣6lnx的导数为f′（x）＝2x﹣4−6 x，可得f′（1）＝﹣8，f（1）＝﹣3，所以f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+3＝﹣8（x﹣1）即y＝﹣8x+5；由f′（x）=2x（x+1）（x﹣3），由f′（x）＞0，可得x＞3；由f′（x）＜0，可得0＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）；（Ⅱ）xf′（x）﹣f（x）＞x2+6k（1−1x）﹣12等价于k＜（x+xlnxx−1）min，可令h（x）=x+xlnxx−1，h′（x）=x−2−lnx(x−1)2，记m（x）＝x﹣2﹣lnx，m′（x）＝1−1x＞0，所以m（x）为（1，+∞）上的递增函数，且m（3）＝1﹣ln3＜0，m（4）＝2﹣ln4＞0，所以∃x0∈（3，4），m（x0）＝0，即x0﹣2﹣lnx0＝0，所以h（x）在（1，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，且h（x）min＝h（x0）=x0+x0lnx0x0−1=x0∈（3，4），所以k的最大整数解为3；（Ⅲ）证明：g（x）＝x2﹣alnx，g′（x）＝2x−ax =(√2x+√a)(√2x−√a)x=0，可得x0=√a2，当x∈（0，√a2），g′（x）＜0，x∈（√a2，+∞），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，√a2）上单调递减，（√a2，+∞）上单调递增，而要使g（x）有两个零点，要满足g（x0）＜0，即g（√a2）＝（√a2）2﹣aln√a2＜0可得a＞2e，因为0＜x1＜√a2，x2＞√a2，令x2x1=t（t＞1），由f（x1）＝f（x2）⇒x12﹣alnx1＝x22﹣alnx2，即x12﹣alnx1＝t2x12﹣alntx1⇒x12=alntt2−1，而x1+3x2＞4x0⇔（3t+1）x1＞2√2a⇔（3t+1）2x12＞8a，即（3t+1）2•alntt2−1＞8a，由a＞0，t＞1，只需证（3t+1）2lnt﹣8t2+8＞0，令h（t）＝（3t+1）2lnt﹣8t2+8，则h′（t）＝（18t+6）lnt﹣7t+6+1 t，令n（t）＝（18t+6）lnt﹣7t+6+1t，则n′（t）＝18lnt+11+6t−1t2＞0（t＞1），故n（t）在（1，+∞）上递增，n（t）＞n（1）＝0；故h（t）在（1，+∞）上递增，h（t）＞h（1）＝0；∴x1+3x2＞4x0．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法和分析法，考查转化思想和化简运算能力，属于难题．。
2020届天津市滨海新区高三5月数学模拟试卷(解析版)
2020年高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，3，4}，则集合A∩∁U B是（）A．{1，3，5，6}B．{1，3，5}C．{1，3}D．{1，5}2．设x∈R，则“|x﹣2|＞1”是“x2﹣4x+3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（）A．18B．36C．54D．724．函数f（x）=e x+1x3(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为√3，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于（ ） A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π6．已知函数f （x ）＝2|x |﹣log 12|x |，且a ＝f （ln 32），b ＝f （log 213），c ＝f （2﹣1），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c7．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f （x +π12）是偶函数，下列判断正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期为2πB ．函数f （x ）的图象关于点（7π12，0）d 对称C ．函数f （x ）的图象关于直线x =−7π12对称 D ．函数f （x ）在[3π4，π]上单调递增8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），抛物线y 2＝4cx的准线与双曲线的一个交点为P ，点M 为线段PF 的中点，且△OFM 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√2+1C ．√5+12D ．√10+√229．已知函数f （x ）={2x −x 2，x ≥01x，x ＜0，若函数g （x ）＝|f （x ）|﹣x +m 恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−2)∪(−14，0]B ．(2，+∞)∪[0，14)C ．(−2，−14]∪[0，+∞)D ．(14，2)∪[0，+∞)二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．复数2+i1−2i的共轭复数是 ．11．（√x √x6的展开式中常数项是 ．12．已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，﹣1）和B （﹣2，2），且圆心C 在直线l ：x ﹣y ﹣1＝0上，则圆心为C 的圆的标准方程是 ．13．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为 ． 14．已知正数x ，y 满足x+y 2xy=3，则当x 时，x +y 的最小值是 ．15．在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN =32，若MN →⋅(AD →−BC →)=32，则AB →⋅CD →= ．三.解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为等边三角形，边长为2，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AC ＝1，∠DAC ＝90°，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AC ⊥平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由．18．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{b n }的通项公式． 19．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，BA →⋅BF →=1，且该椭圆的离心率为12；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为k OP ，直线MN 的斜率为k MN ，且k OP •k MN =−8b 2a （O 为坐标原点），求直线AP 的方程．20．（16分）已知f （x ）＝x 2﹣4x ﹣6lnx ．（Ⅰ）求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程以及f （x ）的单调性；（Ⅱ）对∀x ∈（1，+∞），有xf ′（x ）﹣f （x ）＞x 2+6k （1−1x）﹣12恒成立，求k 的最大整数解；（Ⅲ）令g （x ）＝f （x ）+4x ﹣（a ﹣6）lnx ，若g （x ）有两个零点分别为x 1，x 2（x 1＜x 2）且x 0为g （x ）的唯一的极值点，求证：x 1+3x 2＞4x 0．参考答案一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，3，4}，则集合A∩∁U B是（）A．{1，3，5，6}B．{1，3，5}C．{1，3}D．{1，5}【分析】先利用补集的定义算出∁U B，再利用集合的交集运算即可求出A∩∁U B．解：∵集合U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，∴∁U B＝{1，5，6}，∴A∩∁U B＝{1，5}，故选：D．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2．设x∈R，则“|x﹣2|＞1”是“x2﹣4x+3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】先解出两个不等式，再判断充要性．解：“|x﹣2|＞1”，解之得x＜1或x＞3，“x2﹣4x+3＞0”，解之得x＜1或x＞3，故“|x﹣2|＞1”是“x2﹣4x+3＞0”的充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题．3．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（）A．18B．36C．54D．72【分析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数．解：由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18，∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36．故选：B．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．函数f（x）=e x+1x3(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得到答案．解：f(−x)=e−x+1(−x)3(e−x−1)=−1+exx3(1−e x)=ex+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3（e x﹣1）＞＞e x+1，f（x）→0，故排除B．故选：D．【点评】本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题．5．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为√3，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（）A．8πB．9πC．10πD．11π【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得BC=√AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos60°=√4+1−2×2×1×12=√3，所以S ABC=12AB⋅AC⋅sin60°=12×2×1×√32=√32，所以V柱＝S△ABC•AA1=√3，所以可得AA1＝2，设三角形ABC的外接圆的半径为r，所以r=AB2=1，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则R2＝r2+（AA12）2＝12+12＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π，故选：A．【点评】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题． 6．已知函数f （x ）＝2|x |﹣log 12|x |，且a ＝f （ln 32），b ＝f （log 213），c ＝f （2﹣1），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，再由ln 32＜2﹣1＜log 23及函数单调性得结论． 解：由f （﹣x ）＝2|﹣x |﹣log12|﹣x |＝2|x |﹣log 12|x |＝f （x ），可知f （x ）为偶函数，又当x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣log12x ＝2x +log 2x 为增函数，且0＜ln 32＜ln e 12=12，b ＝f （log 213）＝f （﹣log 213）＝f （log 23），log 23＞log 22＝1．∴ln 32＜2﹣1＜log 23．则a ＜c ＜b ． 故选：C ．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题． 7．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f （x +π12）是偶函数，下列判断正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期为2πB ．函数f （x ）的图象关于点（7π12，0）d 对称C ．函数f （x ）的图象关于直线x =−7π12对称 D ．函数f （x ）在[3π4，π]上单调递增【分析】由题意可求f （x ）的周期T ，利用周期公式可求ω，函数f （x +π12）是偶函数，可得π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ，又|φ|＜π2，解得φ，可得解析式f （x ）＝sin （2x +π3），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．解：函数f （x ）＝sin （ωx +φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，∴函数f （x ）的周期T ＝π，故A 错误； ∵ω＞0 ∴ω＝2，∴函数f （x +π12）的解析式为：f （x ）＝sin[2（x +π12）+φ]＝sin （2x +π6+φ）， ∵函数f （x +π12）是偶函数，∴π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ，又|φ|＜π2，解得：φ=π3．∴f （x ）＝sin （2x +π3）．∴由2x +π3=k π，k ∈Z ，解得对称中心为：（kπ2−π6，0），k ∈Z ，故B 错误；由2x +π3=k π+π2，k ∈Z ，解得对称轴是：x =kπ2+π12，k ∈Z ，故C 错误；由2k π−π2≤2x +π3≤2k π+π2，k ∈Z ，解得单调递增区间为：[k π−5π12，k π+π12]，k ∈Z ，故D 正确．故选：D．【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合的方法，属于中档题．8．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），抛物线y2＝4cx的准线与双曲线的一个交点为P，点M为线段PF的中点，且△OFM为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√2+1C．√5+12D．√10+√22【分析】根据抛物线y2＝4cx的准线为x＝﹣c，不妨设点P的坐标为（﹣c，y），y＞0，将其代入双曲线方程可求得y，当确定点P的坐标后就能得到点M的坐标，由于△OFM为等腰直角三角形，可根据|MF|＝|OF|建立a、b、c的关系式，再结合b2＝c2﹣a2和e=c a＞1即可得解．解：抛物线y2＝4cx的准线为x＝﹣c，不妨设点P的坐标为（﹣c，y），y＞0，代入双曲线方程有c2a2−y2b2=1，解得y=b2a，∴点P的坐标为(−c，b 2a )，∵点M为线段PF的中点，且F（﹣c，0），∴M（﹣c，b22a），∵△OFM为等腰直角三角形，∴b22a=c即2ac＝b2＝c2﹣a2，∴(ca)2−2⋅c a−1=0，解得ca=1±√2（舍负），∴c a=1+√2．故选：B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的几何性质，涉及抛物线的准线方程、双曲线的焦点、离心率等，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．9．已知函数f （x ）={2x −x 2，x ≥01x，x ＜0，若函数g （x ）＝|f （x ）|﹣x +m 恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(−∞，−2)∪(−14，0]B ．(2，+∞)∪[0，14)C ．(−2，−14]∪[0，+∞)D ．(14，2)∪[0，+∞)【分析】本题等价于函数y ＝|f （x ）|的与y ＝x ﹣m 的图象有3个交点，分别利用到时求出切点时m 的值即可得到m 取值范围解：作出函数y ＝|f （x ）|的与y ＝x ﹣m 图象如图：当y ＝x ﹣m 为y =−1x的切线时，即1x 2=1，解得x ＝﹣1，即切点为（﹣1，1），代入y ＝x ﹣m 得m ＝﹣2， 所以m ＜﹣2；当y ＝x ﹣m 为y ＝2x ﹣x 2（x ∈（0，1））的切线时，即2﹣2x ＝1，解得x =12，即切点为（12，34），代入y ＝x ﹣m 得m =−14，所以−14＜m ≤0；故m 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（−14，0]，故选：A．【点评】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题．二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．复数2+i1−2i的共轭复数是﹣i．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：复数2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i5=i的共轭复数是﹣i．故答案为：﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．11．（√x 2√x6的展开式中常数项是﹣160．【分析】据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．解：展开式的通项为T r+1＝（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r＝0得r＝3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63＝﹣160故答案为：﹣160．【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．12．已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，﹣1）和B（﹣2，2），且圆心C在直线l：x﹣y﹣1＝0上，则圆心为C的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25．【分析】由已知求出AB的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求．解：由A（﹣1，﹣1），B（﹣2，2），得AB的中点为（−32，12），又k AB =−1−2−1+2=−3，∴AB 的垂直平分线方程为y −12=13(x +32)，即x ﹣3y +3＝0． 联立{x −3y +3=0x −y −1=0，解得{x =3y =2．∴圆心坐标为C （3，2），半径为|CA |＝5．∴圆心为C 的圆的标准方程是（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25． 故答案为：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25．【点评】本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．13．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是 950；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为35．【分析】基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m ＝103﹣（23+33+53+C 32×22×8+C 32×32×7+C 32×52×5）＝180，由此能求出3个小球颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），由此能求出ξ的数学期望E （ξ）．解：箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球， 基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m ＝103﹣（23+33+53+C 32×22×8+C 32×32×7+C 32×52×5）＝180，则3个小球颜色互不相同的概率是P =m n =1801000=950； 若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），∴ξ的数学期望E （ξ）＝3×210=35．故答案为：950，35．【点评】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．14．已知正数x ，y 满足x+y 2xy=3，则当x =12 时，x +y 的最小值是 1 ．【分析】由已知可得，x =y 23y−1＞0，可得y ＞13，代入后进行分离，结合基本不等式即可求解．解：正数x ，y 满足x+y 2xy=3，∴x =y 23y−1＞0，可得y ＞13， ∴x +y =y 23y−1+y =4y 2−y3y−1， 令t ＝3y ﹣1则y =1+t3且t ＞0， x +y =t(t+1)29t −3t 9(t+1)，=4t 2+5t+19t =19(4t +1t +5)≥19(5+4)=1，当且仅当4t =1t 即t =12，此时x ＝y =12取最小值1，故答案为：12，1．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．15．在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN =32，若MN →⋅(AD →−BC →)=32，则AB →⋅CD →= ﹣2 ．【分析】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值．解：取BD 的中点O ，连接OM ，ON ， 可得MN →=MO →+ON →=12(AB →+DC →)，平方可得MN →2=14(AB →2+DC →2+2AB →⋅DC →)=14(4+DC →2+2AB →⋅DC →)=94，即有AB →⋅DC →=52−12DC →2， MN →⋅(AD →−BC →)=32，即有12(AB →+DC →)•（AB →+BD →−BC →）=12（AB →+DC →）•（AB →+CD →）=12（AB →2−CD →2）=12（4−CD →2）=32，解得CD →2=1，所以AB →⋅CD →=12DC →2−52=12−52=−2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题．三.解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值；（Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值，再根据三角形的面积求得b 、c 的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a 及sin C 的值．（Ⅱ）利用二倍角公式求得sin2A 、cos2A 的值，再利用两角差的余弦公式求得cos （2A −π6）的值．解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，∴sin A =√1−cos 2A =2√23，∵△ABC 的面积为12bc •sin A =bc 2•2√23=√23bc ＝2√2，∴bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2， ∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3．再根据正弦定理可得a sinA=c sinC，即2√23=2sinC，∴sin C =4√29． （Ⅱ）∴sin2A ＝2sin A cos A =4√29，cos2A ＝2cos 2A ﹣1=−79，故 cos （2A −π6）＝cos2A cos π6+sin2A sinπ6=−79•√32+4√29•12=4√2−7√318． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为等边三角形，边长为2，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AC ＝1，∠DAC ＝90°，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AC ⊥平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，得PO ⊥平面ABCD ，以AD 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角：（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ，设PE →=λPD →，由AE →与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在． 解：（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，由于△PAD 是等边三角形，所以PO ⊥AD ，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，PO =√3，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），D （2，0，0），C （0，1，0），B(−12，12，0)，P(1，0，√3)，PC →=(−1，1，−√3)，BC →=(12，12，0)，设平面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 则n →•PC →=−x +y −√3z ＝0，n →•BC →=12x +12y ＝0， 取x =−√3，则y =√3，z ＝2，n →=(−√3，√3，2)，平面PAD 的一个法向量为m →=(0，1，0)，cos〈m →，n →〉=m →⋅n→|m →||n →|=√31×√(−√3)2+√32+(2)=√3010， ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为√3010；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ，设PE →=λPD →（0≤λ≤1），由（2）PD →=(1，0，−√3)，AP →=(1，0，√3)，AE →=AP →+PE →=AP →+λPD →=(1+λ，0，√3−λ√3)，又平面PBC 的一个法向量是n →(−1，1，2√33)，∴AE →⋅n →=−1−λ+2√33(√3−√3λ)=0，解得λ=13，∴PE PD=13．又AE 平面PBC ，∴棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ，且PEPD=13．【点评】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．【分析】（Ⅰ）运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由数列的递推式求得c n ，再由数列的恒等式可得b n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式．解：（Ⅰ）由题知a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项， 所以a 3+a 5＝2a 4+4，解得a 4＝8，a 3+a 5＝20， 即a 1q 3＝8，a 1q 2+a 1q 4＝20， 解得a 1＝1，q ＝2， 所以a n =2n−1；（Ⅱ）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由c n ={S 1，n =1，S n −S n−1，n ≥2.，S n ＝2n 2+n ，S n ﹣1＝2（n ﹣1）2+n ﹣1．解得c n ＝4n ﹣1． 由（1）可知a n =2n−1，所以b n+1−b n =(4n −1)⋅(12)n−1， 故b n −b n−1=(4n −5)⋅(12)n−2，n ≥2，b n ﹣b 1＝（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 3﹣b 2）+（b 2﹣b 1）=(4n −5)⋅(12)n−2+(4n −9)⋅(12)n−3+⋯+7⋅(12)1+3⋅(12)0，设T n =3⋅(12)0+7⋅(12)1+⋯+(4n −9)⋅(12)n−3+(4n −5)⋅(12)n−2，n ≥2，所以12T n =3⋅12+7⋅(12)2+⋯+(4n −9)⋅(12)n−2+(4n −5)⋅(12)n−1，相减可得12T n =3+4⋅12+4⋅(12)2+⋯+4⋅(12)n−2−(4n −5)⋅(12)n−1=3+4•12(1−12n−2)1−12−（4n ﹣5）•（12）n ﹣1，化简可得T n =14−(4n +3)⋅(12)n−2，n ≥2， 又b 1＝1，所以b n =15−(4n +3)⋅(12)n−2．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，BA →⋅BF →=1，且该椭圆的离心率为12；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为k OP ，直线MN 的斜率为k MN ，且k OP •k MN =−8b 2a（O 为坐标原点），求直线AP 的方程．【分析】（Ⅰ）由离心率及数量积求出a ，b ，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线AP 的方程与椭圆联立，由题意求出P 的坐标，进而求出AP 中点的坐标，求出AP 中垂线的方程，由题意求出N 的坐标，及直线MN 的斜率，OP 的斜率，再由斜率之积求出AP 的斜率k 的值，进而求出直线AP 的方程．解：（ I ）依题意知：A （﹣a ，0），B （0，b ），F （c ，0），∴BA →=（﹣a ，﹣b ），BF →=（c ，﹣b ），则由题意：BA →⋅BF →=−ac +b 2＝1，又e =c a =12，解得：a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 23=1．（ II ）由题意A （﹣2，0），设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为：y ＝k （x +2）， 所以M （0，2k ），设P （x P ，y P ），AP 中点为H （x H ，y H ），N （x N ，0）， 由{y =k(x +2)x 24+y 23=1整理得：（（3+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴（﹣2）•x P =16k 2−123+4k 2，解得x P =6−8k 23+4k 2，所以 y P ＝k （6−8k 23+4k2+2）=12k 3+4k2∴P （6−8k 23+4k2，12k 3+4k 2），∴中点H （−8k 23+4k ，6k 3+4k 2），∴AP 中垂线方程为：y −6k3+4k 2=−1k （x −−8k 23+4k 2），令y ＝0，得x N =−2k23+4k2， 所以N 的坐标（−2k 23+4k 2，0），∴k OP =y P x P =6k 3−4k 2，k MN =2k 2k23+4k2=3+4k 2k ， ∴k OP •k MN =6k3−4k 2⋅3+4k 2k =6(3+4k 2)3−4k2=−8b 2a =−12，解得k 2=94，∴k =±32， ∴直线AP 的方程为：y =±32（x +2）， 即直线AP 的方程：3x ±2y +6＝0．【点评】考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 20．（16分）已知f （x ）＝x 2﹣4x ﹣6lnx ．（Ⅰ）求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程以及f （x ）的单调性；（Ⅱ）对∀x ∈（1，+∞），有xf ′（x ）﹣f （x ）＞x 2+6k （1−1x）﹣12恒成立，求k 的最大整数解；（Ⅲ）令g（x）＝f（x）+4x﹣（a﹣6）lnx，若g（x）有两个零点分别为x1，x2（x1＜x2）且x0为g（x）的唯一的极值点，求证：x1+3x2＞4x0．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（Ⅱ）xf′（x）﹣f（x）＞x2+6k（1−1x）﹣12等价于k＜（x+xlnxx−1）min，可令h（x）=x+xlnxx−1，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得h（x）的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；（Ⅲ）求得g（x）的导数和单调性，由极小值小于0，可得a＞2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣4x﹣6lnx的导数为f′（x）＝2x﹣4−6 x，可得f′（1）＝﹣8，f（1）＝﹣3，所以f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+3＝﹣8（x﹣1）即y＝﹣8x+5；由f′（x）=2x（x+1）（x﹣3），由f′（x）＞0，可得x＞3；由f′（x）＜0，可得0＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）；（Ⅱ）xf′（x）﹣f（x）＞x2+6k（1−1x）﹣12等价于k＜（x+xlnxx−1）min，可令h（x）=x+xlnxx−1，h′（x）=x−2−lnx(x−1)2，记m（x）＝x﹣2﹣lnx，m′（x）＝1−1x＞0，所以m（x）为（1，+∞）上的递增函数，且m（3）＝1﹣ln3＜0，m（4）＝2﹣ln4＞0，所以∃x0∈（3，4），m（x0）＝0，即x0﹣2﹣lnx0＝0，所以h（x）在（1，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，且h（x）min＝h（x0）=x0+x0lnx0x0−1=x0∈（3，4），所以k的最大整数解为3；（Ⅲ）证明：g（x）＝x2﹣alnx，g′（x）＝2x−ax =(√2x+√a)(√2x−√a)x=0，可得x0=√a2，当x∈（0，√a2），g′（x）＜0，x∈（√a2，+∞），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，√a2）上单调递减，（√a2，+∞）上单调递增，而要使g（x）有两个零点，要满足g（x0）＜0，即g（√a2）＝（√a2）2﹣aln√a2＜0可得a＞2e，因为0＜x1＜√a2，x2＞√a2，令x2x1=t（t＞1），由f（x1）＝f（x2）⇒x12﹣alnx1＝x22﹣alnx2，即x12﹣alnx1＝t2x12﹣alntx1⇒x12=alntt2−1，而x1+3x2＞4x0⇔（3t+1）x1＞2√2a⇔（3t+1）2x12＞8a，即（3t+1）2•alntt2−1＞8a，由a＞0，t＞1，只需证（3t+1）2lnt﹣8t2+8＞0，令h（t）＝（3t+1）2lnt﹣8t2+8，则h′（t）＝（18t+6）lnt﹣7t+6+1 t，令n（t）＝（18t+6）lnt﹣7t+6+1t，则n′（t）＝18lnt+11+6t−1t2＞0（t＞1），故n（t）在（1，+∞）上递增，n（t）＞n（1）＝0；故h（t）在（1，+∞）上递增，h（t）＞h（1）＝0；∴x1+3x2＞4x0．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法和分析法，考查转化思想和化简运算能力，属于难题．。
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（1）求角B的大小；
（2）已知 ， ，
（i）求b及 ；
（ii）求 .
17.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，M，N分别为线段 ， 上的点（不在端点）.
（1）当M为 中点时， ，求证： 面 ；
（2）当M为中点且N为 中点时，求证：平面 平面 ；
此时图数 在区间 上单调递减，
∴函数 在 处取得最小值，即 .
（2）当 时，令 ，
当 时，即当 ， ， ，
此时函数 在区间 上单调递减，函数 在 处取得最小值，
即 .
综上所得 .
（3）证明：根据题意， ，
∵ ， 是函数 的两个零点，
∴ ， .
两式相减，可得 ，即 ，
∴ ，则 ， .
令 ， ，则 .
记 ， ，则 .
2020年高考数学督导试卷（5月份）
一、选择题（每小题5分，共45分）
1.设集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2.对于实数 ，“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.函数 的图象大致为（）
A. B.
C. D.
4.已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ，且两两垂直， 是边长为 的等边三角形，则球 的体积为（）
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
B
A
C
A
A
B
B
B
二、填空题
10. 11.5 8 12.5 13.8 14.13 15.
三、解答题
16.解：（1）∵ ，
由正弦定理得 ，
∴ ，
，
∵ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
（2）（i）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ .
（ii）∵ ，
中点E，连结 ， ，
则 ，解得 ， ， ，∴ ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
∵直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
∴ ，
整理，得 ，无解，
∴不存在M，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.解：（1）由 ，可得 ，
时， ，对 也成立，
则 ， ，
由数列 等差数列，公差设 d，满足 ，前9项和为153，
可得 ， ，即 ，解得 ， ，
则 ， ；
（2） ，
则前n项和 .
19.解：（1）由题可知 ，故设 则
又∵椭圆C上的点到其左焦点的最大值为
∴可判定那一点的坐标为
∴
∴
∴a=2，
∴
∴椭圆C的方程为 .
（2）由 ，可知点P在线段AB的中垂线上，由题意知直线 的斜率显然存在设为 .
当直线 的斜率 时，则B(2,0).设 .
∵在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ，M为 中点， ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴平面 平面 ，
∵ 平面 ，∴ 面 .
（2）证明：以A为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
平面 的法向量 ，
∵ ，∴平面 平面 .
（3）解：假设存在存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ， .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A 作直线 与椭圆相交于点B，则 轴上是否存在点P，使得线段 ，且 ？若存在，求出点P坐标；否则请说明理由.
20.已知函数 .
（1）当 时，求函数 在 单调性；
（2）当 且 时， ，求函数 在 上的最小值；
（3）当 时， 有两个零点 ， ，且 ，求证： .
2020年高考数学督导试卷（5月份）
A. B. C. D.
5.已知圆 ： 与直线 相交于 两点.若 为等边三角形，则实数 的值为（）.
A. B. C. D.
6.如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（ ，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）
A. B. C. D.
7.已知奇函数f（x）在R上是减函数，若a＝﹣f（1og3 ），b＝f（ ），c＝f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
又∵ ，∴ 恒成立，故 ，即 .
可得 ，∴ .
由 ，解得 ，又 .
当直线 的斜率不为0时，设为直线 的方程为： .
联立 得： .
有： ，解得 ，即 .
AB的中点为 ，
线段AB的中垂线为： ，令 ，得 .
即 .
.
解得 ，此时 .
综上可得 或 .
20.解：（1）由题意，函数 ，则 ，
又∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴ 在 上单调递增.
（2）由 ，则 ，
（1）当 时， ， ，
A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜a＜b
8.已知双曲线 与抛物线 交点为 ，直线 经过抛物线的焦点 ，且线段 的长度等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
9.已知函数 ，若方程 有2个不同的实根，则实数 的取值范围是（）
A. 或 B. 或 或
C. 或 D. 或
（3）当N为 中点时，是否存在M，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的长，若不存在，说明理由.
18.已知数列 前n项和为 ，数列 等差数列，且满足 ，前9项和为153.
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，数列 前n项和为 .
19.已知椭圆C： 的离心率 ，椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为 .
13.若 的展开式中所有项系数和为81，则展开式的常数项为________.
14.若 ， ，且 ，则 最小值 _____．
15.如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若 ，则 的值是_____.
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10.已知复数 （i为虚数单位），复数z满足 ，则 ______.
11.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．
12.一个袋中装有10个大小相同 黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是 ，则袋中的白球个数为_____，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E（ξ）＝_____．