高考专题训练概率与统计

高考专题训练 解析几何1．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4，知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.2.已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a >0)，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ |3a ＋7|32＋42＝R ，a 2＋3＝R 解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πR 2<13，∴a ＝1，R ＝2.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3(x －1)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0， ∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20>0，解得k <1－263或k >1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k 2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)， 假设OD→∥MC →， 则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，∴3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2， 解得k ＝34∉⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，假设不成立，∴不存在这样的直线l .3．已知A (－2,0)，B (2,0)，点C ，点D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)．(1)求点D 的轨迹方程；(2)过点A 作直线l 交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程．解 (1)设C ，D 点的坐标分别为C (x 0，y 0)，D (x ，y )，则AC →＝(x 0＋2，y 0)，AB →＝(4,0)，则AB →＋AC →＝(x 0＋6，y 0)，故AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＋3，y 02.又AD →＝(x ＋2，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 02＋3＝x ＋2，y 02＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y .代入|AC →|＝(x 0＋2)2＋y 20＝2，得x 2＋y 2＝1，即所求点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.(2)易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，①设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a 2>4)．②将①代入②整理，得(a 2k 2＋a 2－4)x 2＋4a 2k 2x ＋4a 2k 2－a 4＋4a 2＝0.③因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，故|2k |k 2＋1＝1，解得k 2＝13.故③式可整理为(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－a 2a 2－3.由题意有a 2a 2－3＝2×45(a 2>4)， 解得a 2＝8，经检验，此时Δ>0.故椭圆的方程为x 28＋y 24＝1. 4．已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，且|F 1F 2|＝2，∠F 1PF 2＝π3，△F 1PF 2的面积为33.(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，过点F 2且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，对于任意的k ∈R ，MA →·MB→是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．解 (1)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理得22＝m 2＋n 2－2mn cos π3， 化简得，m 2＋n 2－mn ＝4.由S △PF 1F 2＝33，得12mn sin π3＝33.化简得mn ＝43.于是(m ＋n )2＝m 2＋n 2－mn ＋3mn ＝8.∴m ＋n ＝22，由此可得，a ＝ 2.又∵半焦距c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1.因此，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知得F 2(1,0)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎨⎧ y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2(k 2－1)2k 2＋1. ∵MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54＋y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋54(x 1＋x 2)＋2516＋k 2 ＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1－4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋542k 2＋1＋2516＋k 2＝－4k 2－22k 2＋1＋2516＝－716. 由此可知MA →·MB →＝－716为定值．5．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x －y ＋6＝0相切．(1)求双曲线E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q两点(P 在Q 点左侧)，使FP →·FQ→为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知|6|12＋(－1)2＝a ，∴a ＝ 3. 又∵2c ＝4，∴c ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝1.∴双曲线E 的方程为x 23－y 2＝1.(2)当直线为y ＝0时，则P (－3，0)，Q (3，0)，F (－2,0)， ∴FP →·FQ →＝(－3＋2,0)·(3＋2,0)＝1.当直线不为y ＝0时，可设l ：x ＝ty ＋m (t ≠±3)，代入E ：x 23－y 2＝1，整理得(t 2－3)y 2＋2mty ＋m 2－3＝0(t ≠±3)．(*)由Δ>0，得m 2＋t 2>3.设方程(*)的两个根为y 1，y 2，满足y 1＋y 2＝－2mt t 2－3，y 1y 2＝m 2－3t 2－3， ∴FP →·FQ →＝(ty 1＋m ＋2，y 1)·(ty 2＋m ＋2，y 2)＝(t 2＋1)y 1y 2＋t (m ＋2)(y 1＋y 2)＋(m ＋2)2＝t 2－2m 2－12m －15t 2－3. 当且仅当2m 2＋12m ＋15＝3时，FP →·FQ→为定值， 解得m 1＝－3－3，m 2＝－3＋3(舍去)．综上，过定点M (－3－3，0)任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q两点，使FP →·FQ→＝1. 高考专题训练 概率与统计1．从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350个之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组[50,100)，第二组[100,150)，第三组[150,200)，第四组[200,250)，第五组[250,300)，第六组[300,350]，相应的样本频率分布直方图如图所示：(1)求频率分布直方图中的x的值；(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的办法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个拔尖工的概率．解(1)根据题意，(0.002 4＋0.003 6＋x＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.006 0.(2)由题知拔尖工共有3人，熟练工共有6人．抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，熟练工为4人．可设拔尖工为A1，A2，熟练工为B1，B2，B3，B4.则从样本中任抽2个的可能有：A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A1A2，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，共15种，至少有一个是拔尖工的可能有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A1A2，共9种．∴至少有一个拔尖工的概率是915＝35.2．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．区间[25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人数 25 a b(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．解 (1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以a ＝25.且b ＝25×0.080.02＝100.总人数N ＝250.02×5＝250. (2)因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×25150＝1，第2组的人数为6×25150＝1，第3组的人数为6×100150＝4.(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为C 1，C 2，C 3，C 4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A ，B )，(A ，C 1)，(A ，C 2)，(A ，C 3)，(A ，C 4)，(B ，C 1)，(B ，C 2)，(B ，C 3)，(B ，C 4)，(C 1，C 2)，(C 1，C 3)，(C 1，C 4)，(C 2，C 3)，(C 2，C 4)，(C 3，C 4)，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：(A ，C 1)，(A ，C 2)，(A ，C 3)，(A ，C 4)，(B ，C 1)，(B ，C 2)，(B ，C 3)，(B ，C 4)，共有8种．所以恰有1人在第3组的概率是P ＝815. 3.某商场为了吸引顾客消费，推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元，10元，0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其获得了30元优惠券．顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．(1)若顾客甲消费了128元，求他获得的优惠券面额大于0元的概率；(2)若顾客乙消费了280元，求他总共获得的优惠券金额不低于20元的概率．解 (1)设“甲获得优惠券”为事件A .因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是13.顾客甲获得的优惠券面额大于0元，是指指针停在20元或10元区域，根据互斥事件的概率，有P (A )＝13＋13＝23，所以顾客甲获得的优惠券面额大于0元的概率是23.(2)设“乙获得的优惠券金额不低于20元”为事件B .因为顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x 元，第二次获得优惠券的金额为y 元，则基本事件有(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)，共9个基本事件，每个基本事件发生的概率都为19.而乙获得的优惠券金额不低于20元，是指x ＋y ≥20，所以事件B 中包含的基本事件有6个．所以乙获得的优惠券金额不低于20元的概率为P (B )＝69＝23.4．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段(T ≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．(1)请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个；(2)用分层抽样的方法从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个，求至少1个路段为轻度拥堵的概率．解 (1)补全直方图如图：由直方图可知：(0.1＋0.2)×1×20＝6， (0.25＋0.2)×1×20＝9，(0.1＋0.05)×1×20＝3.∴这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段分别为6个、9个、3个．(2)由(1)知拥堵路段共有6＋9＋3＝18个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别为：618×6＝2，618×9＝3，618×3＝1，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3,1.(3)记(2)中选取的2个轻度拥堵路段为A 1，A 2，选取的3个中度拥堵路段为B 1，B 2，B 3，选取的1个严重拥堵路段为C 1，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)，共15种可能．其中至少有1个轻度拥堵的有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，共9种可能．∴所选2个路段中至少1个轻度拥堵的概率为915＝35.5．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程不喜欢统计课程 合计男生 20 5 25 女生 10 20 30 合计302555(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考： P (K 2≥k )0.150.100.050.25 0.010 0.0050.001 k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.87910.828(参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解 (1)由公式K 2＝55×(20×20－10×5)230×25×25×30≈11.978>7.879，所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关． (2)设所抽样本中有m 个男生，则630＝m20，得m ＝4，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作B 1，B 2，B 3，B 4，G 1，G 2.从中任选2人的基本事件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，B 4)，(B 3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15个，其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8个．所以恰有1个男生和1个女生的概率为8 15.高考专题训练概率与统计6．近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A、B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟列车由A城到B城(两车发生情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示：发生时间8：108：308：509：109：309：50概率161213161213若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站侯车的时间分别是周六8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)设乙侯车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率．解(1)X的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下X 1030507090P 1213136112118X 的数学期望E (X )＝10×12＋30×13＋50×136＋70×112＋90×118＝2459(分钟)．(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为P 甲10＝16，P 甲30＝12，P 甲50＝13； P 乙10＝12，P 乙30＝13，P 乙50＝16×16＝136.所以所求概率P ＝16×12＋12×13＋13×136＝28108＝727， 即甲、乙二人候车时间相等的概率为727.7．从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取2条，设ξ为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，ξ＝π2.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)． 解 (1)当ξ＝0时，即所选的2条面对角线平行，则P (ξ＝0)＝6C 212＝111.(2)ξ的可能取值为0，π3，π2.则P (ξ＝0)＝6C 212＝111，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝π3＝48C 212＝811，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝π2＝12C 212＝211. ξ的分布列如下：ξ 0 π3 π2 P111811211E (ξ)＝0×111＋π3×811＋π2×211＝π3.8．空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：PM2.5日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250>250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2014年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示．(1)试估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．解(1)由茎叶图可知，甲城市在2014年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5.所以可估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10.(2)X的所有可能取值为0,1,2，因为P (X ＝0)＝C 05C 210C 215＝37，P (X ＝1)＝C 15C 110C 215＝1021，P (X ＝2)＝C 25C 010C 215＝221，所以X 的分布列为：X 0 1 2 P371021221数学期望E (X )＝0×37＋1×1021＋2×221＝23.9．甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30， 所以S n ＝n (10n ＋70)2＝300. 解得n ＝－12(舍去)或n ＝5，所以总决赛共比赛了5场． 则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14. (2)随机变量X 可取的值为S 4，S 5，S 6，S 7，即220,300,390,490.又P (X ＝220)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，P (X ＝300)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14， P (X ＝390)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516，P (X ＝490)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝516，所以X 的分布列为X 220 300 390 490 P1814516516所以X 的均值E (X )＝377.5(万元)．10．自驾游从A 地到B 地有甲、乙两条线路，甲线路是A －C －D －B ，乙线路是A －E －F －G －H －B ，其中CD 段、EF 段、GH 段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．经调查发现，堵车概率x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1上变化，y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲路线的司机，得到表2数据．CD 段 EF 段 GH 段 堵车概率 xy14平均堵车时间(单位：小时)a21堵车时间(单位：小时)频数 [0,1] 8 (1,2] 6 (2,3] 38 (3,4] 24 (4,5]24(1)求CD 段平均堵车时间a 的值；(2)若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．解 (1)a ＝12×8100＋32×6100＋52×38100＋72×24100＋92×24100＝3. (2)设走甲线路所花汽油费为ξ元，则E (ξ)＝500(1－x )＋(500＋60)x ＝500＋60x .设走乙线路多花的汽油费为η元， ∵EF 段与GH 段堵车与否相互独立，∴P (η＝0)＝(1－y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14，P (η＝20)＝(1－y )×14， P (η＝40)＝y ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14，P (η＝60)＝14y ， ∴E (η)＝0×(1－y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋20×(1－y )×14＋40×y ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋60×14y ＝40y ＋5.∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为E (545＋η)＝545＋E (η)＝550＋40y .依题意，选择走甲线路应满足(550＋40y )－(500＋60x )≥0， 即6x －4y －5≤0，又23<x <1,0<y <12，∴P (选择走甲线路)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×12－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝78.。