工程力学：弯曲应力
工程力学B(二)第11讲第六章弯曲应力-强度条件
τ σ
4 减小应力集中。尽量避免截面尺寸沿梁的急剧变化。尽量 减小应力集中。尽量避免截面尺寸沿梁的急剧变化。 使用圆角过渡。 使用圆角过渡。
局部考虑
1.截面的放置 截面的放置 与 2.同样面积下 最大 同样面积下W最大 同样面积下
〉
〉
〉
为什么？ 为什么？
〉
〉
常见梁截面的 Wz /A 值 Wz /A 的值 大与小，哪个好？为什么？ 大与小，哪个好？为什么？
W ( x) =
M ( x)
[σ ]
二、变截面梁与等强度梁
横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。 横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F
x
F
b
h(x )
z
y
l
h1
hmax
σ max =
M ( x) = [σ ] W ( x)
W ( x) =
M ( x)
[σ ]
bh 2 6 Fx M ( x ) = Fx, h = 常数，由 Wz = 知h ( x ) = 6 b[σ ]
由τ max =
hmax =
6 Fl b[σ ]
3 Fs 3F 知h1 = 2 bh 2b[τ ]
三、梁的合理受力 梁的合理受力
1.支座位置 合理布置支座位置，使 M max 尽可能小 支座位置 合理布置支座位置，
q L
qL2 40
M
2 qL 8
x
q L/5 L/5
M
2 −qL 50
x
2.加载方式 加载方式——合理布置外力作用，使 M max 尽可能小 合理布置外力作用， 加载方式 合理布置外力作用
Fl 当载荷位于梁跨度中间时， 当载荷位于梁跨度中间时，弯矩最大 Wz ≥ = 3.0 × 10 − 4 m 3 4[σ ]
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
弯曲应力计算公式圆柱
弯曲应力计算公式圆柱在工程力学中，弯曲应力是指在受力作用下，材料内部产生的应力状态。
在工程设计和结构分析中，对于圆柱体的弯曲应力计算是非常重要的。
本文将介绍圆柱体的弯曲应力计算公式，并对其进行详细解析。
首先，我们来看一下圆柱体的弯曲应力计算公式。
对于圆柱体的弯曲应力，其计算公式为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为圆柱体在受力作用下的弯曲应力，M为作用力矩，c为圆柱体截面内部的距离，I为截面惯性矩。
在这个公式中，作用力矩M是指作用在圆柱体上的力矩，它是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
圆柱体截面内部的距离c是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
而截面惯性矩I则是描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
接下来，我们将对圆柱体弯曲应力计算公式进行详细解析。
首先，我们来看一下作用力矩M。
作用力矩M是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
在实际工程中，作用力矩可以通过外部作用力乘以作用点到圆柱体重心的距离来计算。
作用力矩的大小和方向对于圆柱体的弯曲应力具有重要影响。
其次，我们来看一下截面内部的距离c。
对于圆柱体截面内部的距离c，它是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
在实际计算中，我们需要根据具体的受力情况来确定截面内部的距离c。
通常情况下，我们可以通过几何分析或者实验测量来确定截面内部的距离c。
最后，我们来看一下截面惯性矩I。
截面惯性矩I描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
在实际计算中，我们可以通过几何分析或者使用相关的公式来计算圆柱体截面的惯性矩。
在工程设计和结构分析中，截面惯性矩是一个非常重要的参数，它直接影响着圆柱体的弯曲应力大小。
综上所述，圆柱体的弯曲应力计算公式是一个非常重要的工程力学公式。
通过对该公式的详细解析，我们可以更好地理解圆柱体在受力作用下的弯曲应力状态，并且可以在工程设计和结构分析中更好地应用该公式。
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第七章弯曲应力7.1预备知识一、基本概念 1、二、重点与难点 1、 2、 3、三、解题方法要点 1、 2、7.2典型题解一、计算题长为l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知h=0.18m ，b=0.12m,y=0.06m,a =2m,F=1.5kN ，求C 截面上K 点的正应力。
解：先算出C 截面上的弯矩m N m N Fa M C ⋅⨯-=⨯⨯-=-=331032105.1截面对中性轴（即水平对称轴）的惯性矩为4433310583.01218.012.012m m m bh I z -⨯=⨯==将C M 、z I 及y 代入正应力公式（7—7）。
代入时，C M 、y 均不考虑正负号而以绝对值代入，则MPa Pa m mm N y I M z C K09.31009.306.010583.01036443=⨯=⨯⨯⋅⨯=⋅=-σ C 截面的弯矩为负，K 点位于中性轴上边，所以K 点的应力为拉应力。
在我国法定计量单位制中，应力的单位为Pa 在计算梁的正应力时，弯矩用N.m 、y 用m 、惯性矩用m 4，则算得的应力单位即为Pa 。
二、计算题一矩形珙面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知：l =4m ，b=140mm,h=210mm,q=2kN/m ，弯曲时木木材的许用正应力[]σ=10MPa ，试校核该梁的强度。
解：梁中的最大正应力发生在跨中弯矩最大的截面上，最大弯矩为m N m m N ql M ⋅⨯=⨯⨯⨯==32232m ax 1044/1028181弯曲截面系数为3222210103.021.014.0616m m m bh W z -⨯=⨯⨯==最大正应力为[]σσ<=⨯=⨯⋅⨯==-MPa Pa m m N W M z 88.31088.310103.01046323max max所以满足强度要求。
二、计算题就计算题一，求梁能承受的最大荷载（即求m ax q ）。
解：根据强度条件，梁能承受的最大弯矩为[]σz W M =m ax 跨中最大弯矩与荷载q 的关系为2m ax 81ql M = 所以[]281ql W z =σ 从而得[]m kN m N mPam lW q z /15.5/51504101010103.088226322==⨯⨯⨯⨯==-σ即梁能承受的最大荷载为m kN q /15.5m ax =。
工程力学 9弯曲
O
讨论： 惯性矩大于零
z
§A.3 惯性矩的平行移轴公式
组合截面的惯性矩
1.惯性矩的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C为其形心，Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为Oxy ,形心C在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
20
③计算静矩Sz(ω)和SzC(ω)
Sz ( ) A y C (0.1 0.02 0.14 0.02 0.103 0.494m 3 )
S zc ( ) Ai y C 0.1 0.02 0.047 - 0.02 0.14 0.033 1.6 10 6 m 3
（f)
纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
(c)
令中性层的曲率半径为(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 dx y
切应力。
F
FS
M
F
M
C
C
F
A
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
计算公式的推导 (1) 几何方面━━ 藉以找出与横截面上正应力相对应 的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：
(a)
1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵 向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁
工程力学弯曲应力PPT资料94页
ycmax yt max
M
z
σ tm ax y
σtmax Mytmax Iz
σcmax Mycmax Iz
3.横力弯曲时梁横截面上的正应力
平面假设不再成立
当：L 5
h
纯弯曲的正应力计算公式 计算横力弯曲梁横截面上的正应力
误差不超过1%。
My
IZ
Mxy
IZ
总结
假设 平面假设，单向受力假设
空心圆截面
z
z
y
y
WIz πd4/64 πd3 d/2 d/2 32
WIz b3 h/12b2 h h/2 h/2 6
WπD3(14)
32
αd D
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
Wz
Iz ymax
分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax 和 ytmax 直接代入公式
σcmax
σ My Iz
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度
中性层 受拉区
受压区 中性轴
纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层 中性层与横截面的交线—中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴 ❖横截面间绕中性轴相对转动
拉压、扭转时横截面上应力分析过程
变形
平面假定
应变分布
物理关系
工程力学2第五章 弯曲应力
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
FS 90kN
M
-
x 90kN
I Z 5.832 10-5 m4 1 M EI
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 -5 C MC 60 103 194.4m
x
目录
21
§5-3 横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M FS
目录
? ?
§5–1 引言
(Introduction)
4 103 8810-3 c,max 7.6410-6 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
c,max 46.1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
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(1) 确定中性轴的位置
FN
dA
A
A
Ey
dA
M
E
A ydA 0
z
C
y
z
x
dA
σ
y
静矩
Sz
ydA 0
A
横截面对z轴的静矩
ydA A
yc
A0
yc
0
—— 中性轴 Z 一定通过横截面形心
结论:中性轴通过形心,与形心轴重合.
(2) 确定形心主轴
M y
zdA
A
A
z
Ey dA
M
E
A
yzdA
抗拉压强度不等的材料
t max
M max y1 Iz
[ t ]
c max
M max y2 Iz
[ c ]
强度计算的步骤
根据正应力强度条件，可解决工程中的三类问题：
⑴ 强度校核 ⑵ 截面设计
max
M max Wz
Wz
M max
⑶确定容许荷载 M Wz
例题： 1、一外伸梁受力如图所示，材料的许用应力[]=160MPa, 横截面 为h/b=3的矩形，试确定此梁横截面尺寸h和b。
1、几何关系
研究距中性层y处纵向纤维ab的变形：
原长
——
ab o1o2 d
变形后 ab y d
( y)d d y
d
——中性层弯曲后的曲率半径
2、物理关系
M
E y E
z
C
x
σ
y
3、静力学关系
z
M
C
y
z
x
dA
σ
y
FN
dA 0
A
M y
z dA 0
A
M z
y dA M
0
惯性积
I yz
yzdA 0
A
结论:y z 轴必为形心主轴
z
C
y
z
x
dA
σ
y
(3) 导出弯曲正应力公式
M z
y dA
A
Ey
A y dA
M
E y 2dA M
A
惯性矩
IZ
y 2 dA
A
z
C
y
z
x
dA
σ
1 M
y
EI z
EI
——截面的抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力
z
解出:
My
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作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2 020年1 0月24 日星期 六5时1 分41秒1 7:01:41 24 October 2020
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好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。下 午5时1 分41秒 下午5时 1分17:01:4120 .10.24
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专注今天，好好努力，剩下的交给时 间。20. 10.2420 .10.241 7:0117:01:411 7:01:41 Oct-20
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踏实肯干，努力奋斗。2020年10月24 日下午5 时1分2 0.10.24 20.10.2 4
•
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 0月24 日星期 六下午5 时1分4 1秒17:01:4120 .10.24
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严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020 年10月 下午5时 1分20. 10.2417 :01October 24, 2020
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安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2417 :01:411 7:01Oc t-2024- Oct-20
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加强交通建设管理，确保工程建设质 量。17:01:4117 :01:411 7:01Saturday , October 24, 2020
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QSz*
Izb
QSz*
Izb
式中： Q —横截面上剪力 Sz*—需求剪应力处，水平线以下（或以上）部分A*面积对 中性轴的静矩。 Iz —整个横截面对中性轴的惯性矩。
b—需求剪应力处横截面宽度。
3Q 2bh3
(h2
4y2)
从上式可知，剪应力分布是沿 梁的高度按抛物线规律分布.
max
MC Iz
y2
由于 MC y2 M A y1 ，最大拉应力发生在C截面下边缘
max
C max
MC y2 Iz
34.5MPa
40MPa
拉应力强度足够。
A截面
C截面
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
Amax
M A y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 M A y2 MC y1 ，最大压应力发生在A截面的下边缘
l
A
yq
B
x
AB
x
0.2l
l 0.2l
M
0.125ql 2
M
0.025ql 2
(+)
0
x
0
0.02ql 2
x
3 等强度梁 等强度梁:梁上各横截面上的最 大应力都相等且等于许用应力.
max
M (x) W (x)
[ ]
W (x) M (x)
[ ] 1. h =c ,b = b(x)
W (x) b(x)h2 M (x)
根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象 相一致，可提出如下假设：
a. 平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是 转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。
b. 各纵向纤维间无正应力假设：梁由无数纵向纤维组成，各 纤维只受拉伸或压缩，不存在相互挤压
为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算， 要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。
max
Qmax
S
* z max
Izb
7 9
在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的 正应力强度条件和剪应力强度条件。在工程中，通常先按正 应力强度条件设计出截面尺寸，然后进行剪应力强度校核。
例题：试为图示外伸梁选择一工字形截面， 材料的许用应力 []=160MPa，[]=80MPa。
3FQ max 2A
3F 4bhmin
[
]
hmin
3F
4b[
]
鱼腹梁 阶梯轴
•
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.2420 .10.24Saturday , October 24, 2020
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 7:01:41 17:01:4 117:01 10/24/2 020 5:01:41 PM
图 7-5
Q Izd
b 2
(
h2 4
h12 ) 4
d ( h12 24
y
2
)
（按抛物线规律分布）
由式可知： y h1 时， 最小；
2
y 0 时， 最大。
max
Q Izd
( bh2 8
bh12 8
dh12 ) 8
min
Q Izd
bh2 (
8
bh12 ) 8
图 7-5
3. 圆形截面梁横截面上的最大剪应力
•
牢记安全之责，善谋安全之策，力务 安全之 实。202 0年10 月24日 星期六5 时1分4 1秒Saturday , October 24, 2020
•
相信相信得力量。20.10.242020年10月 24日星 期六5 时1分41 秒20.1 0.24
谢谢大家！
max
Amax
M A y2 Iz
69MPa
100MPa
压应力强度足够。
§10–4 弯曲剪应力
1、矩形截面梁
矩形截面梁的剪应力（推导略）
在推导矩形截面梁的剪应力公式时，作如下两点假设：
①假设矩形截面上剪应力 的方向和剪力Q的方向相同。
②假设截面上剪应力 沿宽度b是均匀分布的。
导出的剪应力计算式为：
a. 圆截面：
最大剪应力发生在中性轴上各点处
max
4 3
Q A
最大剪应力是平均剪应力
平
Q的
A
4 3
倍。
b.薄壁圆截面
最大剪应力发生在中性轴上各点处：
max
2
Q A
最大剪应力是平均剪应力 平
Q A
的2倍。
4. 剪应力强度条件
梁内最大剪应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴 上，若以 Sz*max表示中性轴以下（或以上）部分面积对中性轴 的静矩，则梁的剪应力强度条件为：
二、纯弯曲时的正应力
（由实验观察得如下现象：）
a. 变形后，所有横向线仍保持为直 线，只是相对倾斜了一个角度。
b. 变形后，所有纵向线变成曲线， 仍保持平行;上、下部分的纵向线分 别缩短和伸长 。
中性层：梁内存在一个纵向层，在 变形时，该层的纵向纤维即不伸长 也不缩短，称为中性层。中性轴： 中性层与横截面的交线。
例2：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已
知材料的容许拉应力为 试校核梁的强度。
40
MPa,容许压应力
100
MPa
Z
解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
Mc 10KN .m 最大负弯矩
M A 20KN .m
（二）确定中性轴的位置
截面形心距底边
yc
30 170 85 30 200 185 30 170 30 200