工程力学 应力状态分析
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工程力学---应力状态分析
τα =
ห้องสมุดไป่ตู้
2
sin2α +τ xcos2α
上述关系建立在静力学基础上， 上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况， 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适 用于各向异性、 用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
单辉祖：工程力学 12
应力圆
应力圆原理
σα = σ x +σ y σ x −σ y
17
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： ：
σ m = −115 MPa
τ m = 35 MPa
18
单辉祖：工程力学
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆 ： A点对应截面 x, B点对应截面 y 点对应截面 点对应截面 τ 2. 由应力圆求 σm 与 m 顺时针转60 由A点（截面 x ）顺时针转 。至D点（截面 y ） 点 点
解： σ x = −100 MPa τ x = −60 MPa σ y = 50 MPa α = −30o ：
σm =
σ x + σ y σ x −σ y
2 +
τm =
单辉祖：工程力学
σ x −σ y
2
2
cos2α −τ xsin2α = −114.5MPa
sin2α +τ xcos2α = 35.0MPa
(τ ydAsinα)sinα + (σ ydAsinα)cosα = 0
σα = σ xcos2α +σ ysin2α − (τ x +τ y )sinα cosα
τα = (σ x −σ y )sinα cosα +τ xcos2α −τ ysin2α
工程力学-材料力学之应力应变状态分析
σ1
μσ2
σ3
0
2
1 E
σ2
σ1
σ3
0
z
y
y
z
x
x
12
(Analysis of stress-state and strain-state)
解得
σ1
σ2
(1 1 2
)
σ
3
铜块的主应力为
0.34(1 0.34) 1 - 0.342
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
对于平面应力状态（In plane stress-state）
(假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 )
y
1 εx E (σx μσ y )
εy
1 E
(σ y
μσx )
εz
μ E
(σ
y
σx)
z
xy
xy
G
y
yx xy
x
x
y yx xy x
6
(Analysis of stress-state and strain-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
工程力学-10应力状态分析和强度计算
边的长度变化，所以广义胡克定律为：
y yx
z
x zy yz xz x
zx xy
z
y
x
1 E
[ x
( y
z)
]
y
1 E
[
y
( x
z) ]
14z
1 E
[
z
( x
y) ]
—— 广义胡克定律
在平面应力状态下，胡克定律变为：
x
1 E
( x
y )
y
y
1 E
( y
x )
z
E
( x
●
90 x y 10
90
——平面应力状态分析
过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三 个主应力
主应力排列规定：按代数值由大到 小。
剪应力为零的面为主平面； 主平面上的正应力为主应力； 全部由主平面构成的单元体 为主单元体。
1 2 3
10
50 单位：MPa
1 50; 30 2 10;
主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305
——概 述
（1）、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢
铸铁
P
P
（2）、组合变形杆将怎样破坏？
2
M
过一点有无数的截面
——概 述
应力
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方位截面上应力的集合，称为一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
(1)各个面上的应力均匀分布； (2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。 (3) 相邻垂直面上的切应力根据切应力互等定理确定.
工程力学中的应力和应变分析
工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科，它研究物体受外力作用下的力学性质。
应力和应变是工程力学中的重要概念，它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。
本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。
一、应力分析应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。
根据作用平面的不同，可以分为法向应力和剪切应力两种。
1. 法向应力法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。
根据物体受力状态的不同，可以分为拉应力和压应力两种。
- 拉应力拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。
拉应力的计算公式为：σ = F/A其中，σ表示拉应力，F表示作用力，A表示截面面积。
- 压应力压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。
压应力的计算公式与拉应力类似。
2. 剪切应力剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。
剪切应力的计算公式为：τ = F/A其中，τ表示剪切应力，F表示作用力，A表示截面面积。
二、应变分析应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。
根据变形情况，可以分为线性弹性应变和非线性应变。
1. 线性弹性应变线性弹性应变是指物体在小应力下，应变与应力成正比，且随应力消失而恢复原状的应变现象。
线性弹性应变的计算公式为：ε = ΔL/L其中，ε表示线性弹性应变，ΔL表示物体的长度变化，L表示物体的原始长度。
2. 非线性应变非线性应变是指物体在较大应力下，应变与应力不再呈线性关系的应变现象。
非线性应变的计算公式较为复杂，需要根据具体情况进行分析。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系，常用的关系模型有胡克定律和杨氏模量。
1. 胡克定律胡克定律是描述线性弹性材料的应力和应变之间关系的基本模型。
根据胡克定律，拉应力和拉应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示拉应力，E表示弹性模量，ε表示拉应变。
2. 杨氏模量杨氏模量是描述材料抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量。
工程力学 第10章 应力状态分析
（a） （b）
对于法线为 y′ 的方向面，也可以写出类似的关于σ y′和τy′x′ 的方程。于是，从这些方程 中消去 dA 后，得到关于相互垂直的、任意方向面上正应力和切应力的公式： σ x′＝σ x cos2 θ＋σ ysin 2 θ－τxycos θsin θ －τyx sin θcos θ σ y′＝σ x sin 2 θ＋σ ycos2 θ＋τxycos θsin θ ＋τyx sin θcos θ τx′y′＝σ xcos θsin θ－σ ysin θcos θ＋τxycos2 θ－τyx sin 2 θ τy′x′＝－σ xcos θsin θ＋σ ysin θcos θ＋τxysin 2 θ－τyx cos 2 θ （10－1） （10－2） （10－3） （10－4）
图 10－3 正负号规则
n θ角－从 x 正方向反时针转至 x′正方向者为正；反之为负。 n 正应力—拉为正；压为负。 n 切应力—使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正；反之为负。
图 10－3 中所示的θ角及正应力和切应力τxy 均为正；τyx 为负。
10－2－2 微元的局部平衡
为确定平面应力状态中任意方向面(法线为 x′ ，方向角为 θ)上的应力，将微元从任意方 向面处截为两部分。考察其中任意部分，其受力如图 10－3b 所示，假定任意方向面上的正 应力σ x′和切应力τx′y′ 均为正方向。 于是，根据力的平衡方程 ∑ Fx′＝0 和 ∑ F y′＝0 , 可以写出：
图 10－4 不同坐标系中应力状态的表达形式
或者说从一种坐标系 Oxy 变换到另一坐标系 Ox′ y′ 。例如图 10－4a、b 中所示的两种微元， 若二者的应力满足式（10－1）－（10－4） ，则二者表示了同一点的应力状态。由于坐标系 Ox′ y′ 是任意的，因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式 中有没有一种简单的、 但又能反映一点应力状态本质内涵的表达形式？为了回答这一问题需 要引入主应力的的概念。
工程力学24373
方向面的取向(方向角q)有关。因而有可能存在某种方向面，其上
之切应力xy＝0，这种方向面称为主平面（principal plane），其
方向角用qp表示。
tan2qp＝
－2τ xy x y
主平面上的正应力称为主应力（principal stress）。主平面法线方
向即主应力作用线方向，称为主方向（principal directions）.主方
1. 问题的提出 2. 应力的三个重要概念 3. 一点应力状态的描述
第10章 应力状态分析
1. 问题的提出
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
第10章 应力状态分析
铸铁拉伸实验
低碳钢拉伸实验
韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
第10章 应力状态分析
低碳钢扭转实验
铸铁扭转实验
与前几章中所采用的平衡方法不同的是，平衡对象既 不是整体杆或某一段杆，也不是微段杆或其一部分，而是 三个方向尺度均为小量的微元局部。解析公式。
此外，本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法， 作为分析和思考问题的一种手段，快速而有效地处理一些 较为复杂的问题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。
第10章 应力状态分析
qqqq q q y x x s i n c o s y s i n c o s x y s i n 2 y x c o s 2
上述结果表明，一点处的应力状态，在不同的坐标系中有不 同的表达形式，即对于同一点，可以用不同取向的微元表示其应 力状态。这相当于将微元连同其坐标轴旋转了一个角度，或者说
x'y'
x'
xy
x'y'
x'
工程力学-应力状态
σ 30 100 50 2 100 50 2
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
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3
1 s 3 s 2 s 1 E
方向一致
tg2 0
xy
x y
2t xy
s x s y
tg2 0
四、平面状态下的应力应变关系: s t t 0 z yz zx
s x
E x y 2 1 E s y y x 2 1
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究
点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
sy
y
单元体的性质——a、平行面上，应力均布；
sz
z
txy
sx
x
b、平行面上，应力相等。
四、普遍状态下的应力表示
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直 的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定 等值、方向相对或相离。
s x s y 2 2 （ ）t xy 2
§ 三向应力状态研究:应力圆法
1、空间应力状态
y
s1 s2 s3
x
t
s
z
s3
s2
s1
2、三向应力分析
y
t
t max
s1 s2 s3
s
s3
x
图a
s2
s1
图b
z
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
txy
s
对上述方程消去参数（2），得：
s x s y s x s y 2 2 s t t xy 2 2 n
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
2 2
sx
y O
sy
x
txy
t
t
由德国工程师：Otto Mohr引入）
0 解 : 自由面上s 3
s2 s1
所以，该点处的平面应力状态
E 1 2 s 1 2 1 210 109 6 ( 240 0 . 3 160 ) 10 44.3MP a 2 10.3 E 2 1 s2 2 1 210 109 6 ( 160 0 . 3 240 ) 10 20.3MP a 2 10.3
y
sy sx
主单元体(Principal bidy)：各
侧面上剪应力均为零的单元体。 主平面(Principal Plane)： x 剪应力为零的截面。 主应力(Principal Stress ）：
sz
z
s2 s1
主平面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大 小，
s3
s 1s 2 s和强度理论
应力状态分析
§ 应力状态的概念
§ 平面应力状态分析——解析法
§ 平面应力状态分析——图解法 § 梁的主应力及其主应力迹线
§
§
三向应力状态研究——应力圆法
复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律） § 复杂应力状态下的变形比能
§ 应力状态的概念
厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求
:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计 算容器所受的内压力。
y
s1
p
D
sm
p
p x
x A
p O B
l
图a
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平 衡方程
t yx
C M C
解：确定危险点并画其
t xy
原始单元体 s x s y 0
txy
Mn t xy t WP
求极值应力
tyx
y O
s x s y 2 2 s 1 s x s y （ ） t xy 2 2 s 2
x
t t
2 xy
s 1t ;s 2 0;s 3 t
t
F 0
n
n
s S s x S cos t xy S cos sin
2
O
t
s y Ssin 2 t yx Ssin cos 0
sy sx
y
考虑剪应力互等和三角变换，得：
s x s y s x s y s cos2 t xy sin 2 2 2
s
2 ；且转向一致。
O
B(sy ,tyx)
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
21 O C B(sy ,tyx) 2 0
x A(sx ,txy)
s 1 OC R半径 s 3
s x s y
2
（
s x s y
2
2 2 ） t xy
s3 s2
s1
s
t min
t max s max s min R半径 2 t min
整个单元体内的最大剪应力为：
t max
s 1 s 3
2
例 求图示单元体的主应力和最大剪应力.（MPa）
y
B A
30 z
t （MPa ）
C 40 50 B
建立应力坐标系如 图，画应力圆和 点s1′,得: 10
t max
x
s s2 s1 (MPa)
解：由单元体
s3
图知：y z面
为主面 A
一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P 铸铁拉 伸 铸铁压缩 P
M 低碳钢
铸铁
P
P M
2、组合变形杆将怎样破坏？
二、一点的应力状态：
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况
的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given
Point）。
t xy G xy
主应力与主应变方向一致?
xy tg2 0 tg2 0 s x s y E [( )(1 )] ( x y ) x y 1 2
2t xy
2 xyG
例已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：
1=24010-6， 2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。
s
x B sx tzx txz
s
x
A
s
x
§ 平面应力状态分析：解析法
sy
等价
y
sy sx
x
sx
y
txy
z
txy
x
O
sy sx
y
一、任意斜截面上的应力 规定：s 截面外法线同向为正；
txy
x
t 绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。
O
s
设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
sx
y
sy
x
txy
sy
y
证明 : 单元体平衡
M 0
z
sz
z
txy
sx
x
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0
t xy t yx
六、单元体（已知单元体）：
例1
P
画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
A P
sx
A
sx t yx
y
B z P M
sx
tzx
C
x
B
txz
sx
C
t xy
七、主单元体、主面、主应力：
同理：
txy
x
图1
O
s
sx
y
sy
x
txy
图2
t
s x s y t sin 2 t xy cos2 2
n
O
t
二、极值应力
ds 令: s x s y sin2 0 2t xy cos2 0 0 d 0
由此的两个驻点：
01、（ 01 ）和两各极值：
4210 1090.01 350 106 3.36MPa 0.5(20.25)
§复杂应力状态下的变形比能
s1
1 1 1 u s 11 s 2 2 s 3 3 2 2 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 3 2 s 1s 2 s 3s 2 s 1s 3 2E 1 s m (s 1 s 2 s 3 ) 3
低碳钢
s yb 640~960MPa;t b 198~300MPa
铸铁
§ 平面应力状态分析:图解法
sy sx
y O x
一、应力圆（ Stress Circle）
s x s y s x s y s cos2 t xy sin2 2 2 t s x s y sin2 t cos2 xy 2
G
i 0 (ix,y,z)
yz zx 0
z
txy
x
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
sy
y
sx sz
z
txy
x
依叠加原理,得:
x sx
E E E 1 s x s y s z E
sy
sz
t xy xy G t yz yz G zx t zx