二向应力状态分析--解析法和图解法.
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应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向
2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可 确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等， 但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较 低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy
n
材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所 示，（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)
x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内 对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ
材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
应力圆概念
σ1
例题7-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, sx= - 1MPa , sy= - 0.4MPa , tx= - 0.2MPa , ty= 0.2MPa , （1）绘出相应的应力圆 （2）确定此单元体在 a =30°和a = - 40°两斜面上的应力。
σy τy
σ x = -1
σx τx
C
D1 (-1,-0.2)
B2
s
(2) 确定 a = 30°斜截面上的应力 将 半径 CD1 逆时针转动 2a = 60°到半径 CE, E 点的坐标就
代表 a = 30°斜截面上的应力。
(-0.4,0.2) t D2 B1 C o
B2
D1 (-1,0.2)
s
σ 30 = -0.68 MPa
0
60
C
D1 (-1,0.2)
B2
σ -40 = -0.95 MPa
0
τ -40 = 0.26 MPa
0
σ 30 = -0.68 MPa
0
τ 30 = -0.36 MPa
0
σ -40 = -0.95 MPa
0
τ -40 = 0.26 MPa
0
y
α =30
0
x
α = 400
例题 7-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 a , b 所示,
0
τ 30
E
τ 30 = -0.36 MPa
0
0
σ 30
0
(3) 确定 a = - 40°斜截面上的应力 将 半径 CD1 顺时针转 2a = 80°到半径 CF, F 点的坐标就 代表a = - 40°斜截面上的应力。 F
σ -40
-80
应力状态的概念
t xy 10MPa
600
600
n
s
40 (20) 2
40 (20) cos(1200 ) (10) sin(1200 ) 2
13.67MPa
t
40 (20) sin(1200 ) (10) cos(1200 ) 21MPa 2
20MPa
10MPa
300
40MPa
300
xn
解： s x 20MPa
P
A
P sx
sx
A
y
B
C z
P
sx B sx
Mx
tzx
txz
课堂练习
t yx
t C
xy
用单元体表达圆轴受扭时，轴表面任一点旳应力状态。
用单元体表达矩形截面梁横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各
点旳应力状态。
七、主平面、主应力：
sy
y
主平面(Principal Plane)： 剪应力为零旳截面。
sx
sz
z
1 2 3
体积应变与应力分量间旳关系:
1 2
E
(s 1
s2
s3)
例5 已知一受力构件自由表面上某一点处于表面内旳主应变分别
为：1=24010-6， 3=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比 为 =0.3， 试求该点处旳主应力及另一主应变。
1 E
s
z
s
x s
y
xy
t
xy
G
yz
t
yz
G
zx
t zx
G
上式称为广义胡克定律
主应力 --- 主应变关系
s1 s3
1
1 E
硕士建筑与土木工程专业初试专业课目(材料力学)考试大纲 (1
西京学院2015年
一、基本内容
1. 绪论
材料力学的任务,变形固体的基本假设,外力及其分类,内力、截面法和应力的概念, 变形与应变,杆件变形的基本形式。
2. 拉伸、压缩与剪切
直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力,材料拉伸时的力学性能,材料压缩时的力学性能,失效、安全因数和强度计算,杆件轴向拉伸或压缩时的变形,拉伸、压缩的超静定问题,温度应力和装配应力,应力集中的概念,剪切和挤压的实用计算。
3. 扭转
外力偶矩，扭矩和扭矩图,纯剪切,圆轴扭转时的应力、变形，薄壁杆件的自由扭转。
4．弯曲内力
弯曲的概念，受弯杆件的简化，剪力和弯矩，剪力方程和弯矩方程，剪力图和弯矩图，载荷集度、剪力和弯矩之间的关系，平面曲杆的弯曲内力。
5．弯曲应力
纯弯曲，弯曲正应力，弯曲切应力，强度条件，提高弯曲强度的措施。
6．弯曲变形
挠曲线的微分方程，积分法求弯曲变形，叠加法求弯曲变形，简单超静定梁，减小弯曲变形的一些措施。
7．应力和应变分析、强度理论
应力状态概述，二向应力状态分析——解析法，二向应力状态分析——图解法，三向应力状态。
位移与应变分量，平面应变状态分析，广义胡克定律，复杂应力状态下的应变能密度，四种常用强度理论，莫尔强度理论，构件含裂纹时的断裂准则。
8．组合变形
组合变形和叠加原理，拉伸或压缩与弯曲的组合，偏心压缩和截面核心，扭转与弯曲的组合，组合变形的普遍情况。
9．压杆稳定
压杆稳定的概念，两端铰支细长压杆的临界压力，其他支座条件下细长压杆的临界压力，欧拉公式的适用范围，经验公式，压杆的稳定校核，提高压杆稳定性的措施
10.动载荷、交变应力。
材料力学08应力状态分析_2图解法
x
2
y
2
2 xy
OC
1
一、应力圆的画法
1. 在 - 坐标系中确定两点： D (x , xy )、D′(y , yx )
2. 连接 D、D′，交 轴于
C点 3. 以 C 点为圆心、CD 为半
径作圆即得
2
二、由图解法（应力圆）确定斜截面上的应力
将 CD 沿同样的转向旋转 2 至 CE ，则 E 点的横坐标、纵坐标即 为 斜截面上的正应力、切应力，即有
在主平面。
11
[例3] 在过 A 点的两个截面上的应力如图所示，试用图解法确定其 主应力以及主平面位置。
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
D
20 20
A1
60
解： 1）画应力圆
按选定比例尺，由 y = 20 MPa、yx = -60 MPa 确定 D′点，由 = -20 MPa、 = 0 确定 B1 点。由于B1、 D′均在应力圆的圆周上，故 作 B1D′的垂直平分线，交 轴于点 C ；以点 C 为圆心、CD′为半径
故在单元体上，从 x 轴以顺时针转向量取 0 = 33.5°，即得 1
所在主平面。
主应力单元体如图所示
14
作出应力圆。
12
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
2）确定主应力和主平面
D
20 20 70 110
根据应力圆，按选定比例尺，量得主应力
60
A1
20 MPa
1 OA1 110 MPa 2 0 3 OB1 20 MPa
二向应力
2
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列
理论力学14应力状态分析
2
2
2 xy
在 - 坐标系下，其对应一圆，称为应力圆。
该应力圆的圆心坐标为
半径为
C
x
2
y
,
0
R
x
2
y
2
2 xy
30
x y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
30 50 30 50 cos 60 20sin 60 52.3 MPa
2
2
30
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
30
30 50 sin 60 20cos 60 18.66 MPa
3
3. 切应力最大值
max
五、单向应力状态
1. 斜截面上的应力
2
2
cos 2
2
sin 2
2. 主平面和主应力
主平面： 主应力：
0 0
1 1 0
2 0 2 0
3 0 3
3. 最大切应力及其所在平面
最大切应力所在平面： 最大切应力：
45°斜截面
max
2
[例1] 试求图示单元体指定斜截面上的正应力和切应力（图中应 力单位为 MPa）
解： 对于图示单元体，有 x 30 MPa y 50 MPa xy 20 MPa 30 代入相应公式，即得指定斜截面上的正应力和切应力
2
2 xy
在 - 坐标系下，其对应一圆，称为应力圆。
该应力圆的圆心坐标为
半径为
C
x
2
y
,
0
R
x
2
y
2
2 xy
30
x y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
30 50 30 50 cos 60 20sin 60 52.3 MPa
2
2
30
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
30
30 50 sin 60 20cos 60 18.66 MPa
3
3. 切应力最大值
max
五、单向应力状态
1. 斜截面上的应力
2
2
cos 2
2
sin 2
2. 主平面和主应力
主平面： 主应力：
0 0
1 1 0
2 0 2 0
3 0 3
3. 最大切应力及其所在平面
最大切应力所在平面： 最大切应力：
45°斜截面
max
2
[例1] 试求图示单元体指定斜截面上的正应力和切应力（图中应 力单位为 MPa）
解： 对于图示单元体，有 x 30 MPa y 50 MPa xy 20 MPa 30 代入相应公式，即得指定斜截面上的正应力和切应力
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自学提纲 一、 写出应力圆方程 并判断应力圆的圆心在那个轴上？
TSINGHUA UNIVERSITY
自学§7-4 二向应力状态分析-图解法
二、 应力圆的画法 1 定圆心 2 定半径 3 画圆 三、 应力圆的应用 1 求主应力 2 面内最大切应力
(1)
四、 几种特殊应力状态的应力圆
1：单向拉伸应力状态的应力圆 2 ：纯剪切应力状态的应力圆
y
dA - (dA cos ) sin - xy (dA cos ) cos x yx (dA sin ) sin y (dA sin ) cos 0
3、平面应力状态任意方向面上的正应力 与切应力 x y x - y cos2 - xysin2
二
主平面、主应力与主应力方向 x y x - y cos2 - xysin2 2 2
1
x - y
2
TSINGHUA UNIVERSITY
sin2 xy cos2
sin2 0 xy cos2 0 0
切应力为零的面为主平面
yx
x
y
左 右 面 上 的 切 应力
xy
x
各量的含义 1) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 )
1 方向角与应力分量的正负号规定 正应力正负规定 拉应力为正压应力为负 切应力正负号规定
TSINGHUA UNIVERSITY
x y
' '
xy
yx
y
外法线
使微元或其局部顺时针方向转动为正； 反之为负
σ 0
σ
2 求正应力的极值面
x y
x - y
2 2 上式对α 求一次导数，并令其等于零
cos2 - xysin2
TSINGHUA UNIVERSITY
d -( x - y )sin2 - 2 xy cos2 0 d
解出的角度
TSINGHUA UNIVERSITY
- 90
yx
0
xy
y
即又一次证明了切应力的互等定理
二
主平面、主应力与主应力方向
1 切应力为零的面为主平面??
TSINGHUA UNIVERSITY
2 主应力 主平面上的正应力 ??
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
要求 掌握主应力计算！！牢记公式，并进行 排序！
sin 2 xy cos 2
30
10 30 sin 60 20 cos 60 2
27.32MPa
思考 900 ？
90 ？？
0
x
用 斜截面截取，此截面上的应力为
2
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y
dA
- x (dA cos ) cos xy (dA cos ) sin
- y (dA sin ) sin yx (dA sin ) cos 0
平衡方程
Ft 0
x
xy
t
n
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yx
dA
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义 以及正负号规定
n
x
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问题
已知原始单元体互相垂直面上的应力
y yx
y
TSINGHUA UNIVERSITY
x
y
xy x x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的位置？？）
yx
xy
y
x y x - y cos 2 xy sin 2 2 2
-
x - y
sin 2 - xy cos 2
90 x y
0
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数
x
tan 2＝－
2 τ xy
x - y
角度α与α 0 完全重合。
表明∶ tan 2 0＝－ 正应力的极值面与主平面重合；
2 τ xy
x - y
正应力的极值就是主应力；
3 平面应力状态的三个主应力
解决问题的方法
平衡
的思想
2、单元体的局部平衡
y yx
y
n+
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x
xy x x x
y
xy
n 0
????
+ 0
x
xy
t
n
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yx
dA
2 2
TSINGHUA UNIVERSITY
x - y
2
sin2 xy cos2
y yx
y
x
y
xy x x
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
20MPa
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x 10MPa, y -30MPa 解：
a
xy 20MPa, yx -20MPa, 30
0
x - y
2
2 τ xy
tan 2 0＝－
x - y
0 0 90
O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，前后面是一个主 平面。 这一主平面上的主应力等于零
σ
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30
10MPa
300
x y
2
x - y
2
cos 2 - xy sin 2
b
30
0
20MPa
x
30
10 - 30 10 30 cos 60 - 20sin 60 2 2
x - y
2
30MPa
-17.32MPa
(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确 定！）
----分析任意斜截面上的应力
任意斜截面上的应力
思路
一
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要求： 1 掌握解决问题的思想
要求： 2 考研的同学理解记忆公式
y
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自学§7-4 二向应力状态分析-图解法
二、 应力圆的画法 1 定圆心 2 定半径 3 画圆 三、 应力圆的应用 1 求主应力 2 面内最大切应力
(1)
四、 几种特殊应力状态的应力圆
1：单向拉伸应力状态的应力圆 2 ：纯剪切应力状态的应力圆
y
dA - (dA cos ) sin - xy (dA cos ) cos x yx (dA sin ) sin y (dA sin ) cos 0
3、平面应力状态任意方向面上的正应力 与切应力 x y x - y cos2 - xysin2
二
主平面、主应力与主应力方向 x y x - y cos2 - xysin2 2 2
1
x - y
2
TSINGHUA UNIVERSITY
sin2 xy cos2
sin2 0 xy cos2 0 0
切应力为零的面为主平面
yx
x
y
左 右 面 上 的 切 应力
xy
x
各量的含义 1) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 )
1 方向角与应力分量的正负号规定 正应力正负规定 拉应力为正压应力为负 切应力正负号规定
TSINGHUA UNIVERSITY
x y
' '
xy
yx
y
外法线
使微元或其局部顺时针方向转动为正； 反之为负
σ 0
σ
2 求正应力的极值面
x y
x - y
2 2 上式对α 求一次导数，并令其等于零
cos2 - xysin2
TSINGHUA UNIVERSITY
d -( x - y )sin2 - 2 xy cos2 0 d
解出的角度
TSINGHUA UNIVERSITY
- 90
yx
0
xy
y
即又一次证明了切应力的互等定理
二
主平面、主应力与主应力方向
1 切应力为零的面为主平面??
TSINGHUA UNIVERSITY
2 主应力 主平面上的正应力 ??
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
要求 掌握主应力计算！！牢记公式，并进行 排序！
sin 2 xy cos 2
30
10 30 sin 60 20 cos 60 2
27.32MPa
思考 900 ？
90 ？？
0
x
用 斜截面截取，此截面上的应力为
2
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y
dA
- x (dA cos ) cos xy (dA cos ) sin
- y (dA sin ) sin yx (dA sin ) cos 0
平衡方程
Ft 0
x
xy
t
n
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yx
dA
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义 以及正负号规定
n
x
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问题
已知原始单元体互相垂直面上的应力
y yx
y
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x
y
xy x x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的位置？？）
yx
xy
y
x y x - y cos 2 xy sin 2 2 2
-
x - y
sin 2 - xy cos 2
90 x y
0
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数
x
tan 2＝－
2 τ xy
x - y
角度α与α 0 完全重合。
表明∶ tan 2 0＝－ 正应力的极值面与主平面重合；
2 τ xy
x - y
正应力的极值就是主应力；
3 平面应力状态的三个主应力
解决问题的方法
平衡
的思想
2、单元体的局部平衡
y yx
y
n+
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x
xy x x x
y
xy
n 0
????
+ 0
x
xy
t
n
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yx
dA
2 2
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x - y
2
sin2 xy cos2
y yx
y
x
y
xy x x
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
20MPa
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x 10MPa, y -30MPa 解：
a
xy 20MPa, yx -20MPa, 30
0
x - y
2
2 τ xy
tan 2 0＝－
x - y
0 0 90
O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，前后面是一个主 平面。 这一主平面上的主应力等于零
σ
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30
10MPa
300
x y
2
x - y
2
cos 2 - xy sin 2
b
30
0
20MPa
x
30
10 - 30 10 30 cos 60 - 20sin 60 2 2
x - y
2
30MPa
-17.32MPa
(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确 定！）
----分析任意斜截面上的应力
任意斜截面上的应力
思路
一
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要求： 1 掌握解决问题的思想
要求： 2 考研的同学理解记忆公式
y
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