二向应力状态分析--解析法和图解法资料讲解
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二向应力状态分析——解析法
对应力σ、τ和角度α的正负号，作这样的规定：正应力σ以拉应力为正，压应力为负；切应力τ以对单元体内的任一点作顺时针转向时为正，反时针转向时为负（这种规定与第八章中对剪力所作的规定是一致的）；角度α以从x轴出发量到截面的外法线n是反时针转时为正，顺时针转时为负。
按照上述正负号的规定可以判断，在图10-6中的是正值，τx是正值，τy是负值，α是正值。
当杆件处于静力平衡状态时，从其中截取出来的任一单元体也必然处于静力平衡状态，因此，也可以采用截面法来计算单元体任一斜截面上的应力。
取bef为脱离体如图10-6c所示。
对于斜截面ef上的未知应力
[例7—2] 试计算图10-8a所示的矩形截面简支梁，在点k处α= - 30的斜截面上的应力的大小和方向。
二向应力状态分析--解析法和图解法-PPT
d d
( x y )cos2 2 xysin2
0
由此得出另一特征角，用α1表示
tan
21＝
x
2τ xy
y
tan
21＝
x
2τ xy
y
得到α 的极值
x
y
2
sin21
xycos21
max
min
(x
y
2
)2
2 xy
特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
x
y
)2
2
xy
2
排序??
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
2 面内最大切应力
y xy
x
x 60MPa， xy 30MPa,
y 40MPa,
max
(
x
y
)2
2
xy
2
3400
3 主平面的位置
y xy
x
代入 表达式可知
x 60MPa， y 40MPa,
状态下的应力圆
的应力圆
o
结论：二向等值拉伸下,
习题7-5 P253-254 所有的面 都是主平面
要求 一、 应力圆方程
二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 几种特殊应力状态的应力圆
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的位y 置？？）
解决问题的方法 平衡 的思想
2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x
二向应力状态分析—图解法
§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
理论力学14应力状态分析
T
Wt
16M e πd3
联立解得扭转外力偶矩
Me
πd 3E45o
161
π
50103 3 210109
161 0.28
300 106
试求该扭转外力偶矩。
解： 在测点截取单元体
该点为纯剪切应力状态，与母线成45° 方向即为主方向，其主应力
1 2 0
根据广义胡克定律
3
45oBiblioteka 11 E
1
2
3
1
E
1
E
45o
1
E
圆轴表面的最大扭转切应力
2
MPa
80 MPa
第六节 广义胡克定律
一、二向应力状态下的胡克定律
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
二、三向应力状态下的胡克定律
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
x
x
2
y
2
2 xy
切应力最大值
max
1
3
2
注意：切应力极大值不一定就是切应力最大值
四、纯剪切应力状态
1. 斜截面上的应力
sin 2
cos 2
2. 主平面和主应力
主平面： 45°斜截面
主应力： 1
《材料力学 第2版》_顾晓勤第09章第2节 二向应力状态分析
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
最大主应力和最小主应力的计算式
max m in
x
y
2
x
2
y
2
2 x
确定 max 和 min 所在平面的方法
1）若x>y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中， 绝对值较小的一个确定max 所在的平面；
2）若x <y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中， 绝对值较小的一个确定min 所在的平面；
2
及
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
利用上述两式可以求得 de 斜截面上的正应力和切
设 de 斜截面面积为 dA，则 ae 面的面积为 dAsin ， ad面的面积为 dAcos 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱
柱体 ade 的受力平衡方程如下：
dA ( xdAcos ) sin ( xdAcos ) cos ( ydAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
y
2
2 x
105 MPa
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
0
1 2
arctan(
2 x x
应力分析
第九章
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析 强度理论
应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析--解析法 二向应力状态分析--图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态的变形比能 强度理论概述 四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例 如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析 强度理论
应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析--解析法 二向应力状态分析--图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态的变形比能 强度理论概述 四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例 如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响
二向应力
2
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列
应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向
解：（1）易知 30
x 40MPa y 20MPa
xy 10MPa
，
1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs2 in 2 .4 M 6
1 2(x y)si2 n xco 2 s1.6 3M 6 Pa
Ox
2 xy
材料力学 第七章 应力和应变分析 1; 20; 3 tg202xxyy 045
m mianx（ x 2y） 2x2y tg212xxyy010
破坏分析
低:碳 s 2 钢 M 40 ;s P 2 aM 00Pa低碳钢
材料力学 第七章 应力和应变分析
二、极值应力
令 :d d 0 xys2 in 0 2xc y o 20 s 0
由此的两个驻点：
01、
（0
1
）和
2
两
各
极
值
：tg20
2xy x y
m m a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
xy)
且转向一致。
两半径夹角2 ；
O
B( y ,yx)
材料力学 第七章 应力和应变分析
四、在应力圆上标出极值应力
a
max
x
2a1
A(x , xy)
OC
32
2a0
1 a
B( y , yx)
min
1 3
OC
R半径
x
2
y
（
x
2
y）2
014 ,即极值剪应力面成与 450主面
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900xy
x
即单元体两个相互垂直面上
的正应力之和是一个常数
-900
yx
xy y
即又一次证明了切应力的互等定理
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二 主平面、主应力与主应力方向 1 切应力为零的面为主平面?? 2 主应力
主平面上的正应力 ??
主应力是一点应力状态的最终度量
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三 面内最大切应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变 化，因而切应力亦存在极值
x- 2ysin2 xcy os2
对α求一次导数，并令其等于零；
d d (x- y)co - s2 2 xsyi n 0 2
由此得出另一特征角，用α1表示
30MPa
-17.32M Pa
x- 2ysin2xycos2
30o10 230sin60o20cos60o27.32M Pa
思考 900 ？ 900 ？？
x
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yx
用 斜截面截取，此截面上的应力为
y
xy
2
- x 2 xy - - yx- 2 sy i2 c no 2 - s xx y cs yo2 i2 n s
反之为负
yx
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义
y 外法线
n
x
以及正负号规定
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问题 已知原始单元体互相垂直面上的应力
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的 位y 置？？）
解决问题的方法 平衡 的思想
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2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x
xy
y
yx
y
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2、单元体的局部平衡
Fn 0
????
x
n
x y dA
yx
t
y
dA
+
0
-
x
(dA cos) cos
xy(dAcos) sin
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2 求正应力的极值面
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
上式对α 求一次导数，并令其等于零
d d - (x- y)si n - 2 2 xc y o s02
表解明出∶的正角应度力的极ta值n2面＝ 与主－平x2-τ面xy重y 合角；度taαn与2α0＝ 0 完全－重x2合-τx。y y
3、平面应力状态任意方向面上的正应力
与切应力
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
x- 2ysin2 xcy osy 2
y yx
x
xy x
x
y
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
解：x 1 0 M P a, y - 3 0 M P a
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20MPa
0x- 2ysi n 0 2 xc y o 0s2 0
tan20＝
－2τxy
x -y
0 090O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
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对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，前后面是一个主 平面。
σ
σ 0
σ
这一主平面上的主应力等于零
正应力的极值就是主应力；
3 平面应力状态的三个主应力
tan20＝
－2τxy
x -y
x 2yx- 2yco 0 s- 2 xs yi n 0 2
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max
min
xy
2
(x-y
2
)2
2 xy
''' 0
将三个主应力代数值由大到小顺序排列;
123 就是所谓的应力状态的不变性
- y (dAsin) sin yx (dAsin) cos 0
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平衡方程
Ft 0
x
n
x y dA
yx
t
y
dA
-x
(dAcos) sin
- xy
(dAcos) cos
yx (dAsin) sin y (dAsin) cos 0
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tan21＝x2-τxy y
tan21＝x2-τxy y
得到α 的极值
x- 2ysin12xc y os12
max
min
(x -y
2
)2 x2y
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特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
要求 掌握主应力计算！！牢记公式，并进行 排序！
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二 主平面、主应力与主应力方向
x x 2 - 2 y y s ix n - 2 2 y c xcyo o - ss2 x 2syi n2
1 切应力为零的面为主平面
a
10MPa
3 0 0
30o
No x y 2 0 M P a , y x - 2 0 M P a , 30
x x 2 y x- 2 yco s2 - xysin2
Image
b
30
0
20MP3 a0 o 1 0 - 2 3 0 1 0 2 3 0 c o s6 0 o- 2 0 s in 6 0 o
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y
yx
x
xy
x
y
各量的含义 Байду номын сангаас) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 ) 左 右 面 上 的 切 应力
1 方向角与应力分量的正负号规定
x' y'
正应力正负规定 拉应力为正压应力为负
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切应力正负号规定
xy
使微元或其局部顺时针方向转动为正；
自学§7-4 二向应力状态分析-图解法 自学提纲
一、 写出应力圆方程 并判断应力圆的圆心在那个轴上？
二、 应力圆的画法 1 定圆心 2 定半径 3 画圆
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三、 应力圆的应用 1 求主应力 2 面内最大切应力
四、 几种特殊应力状态的应力圆
(1)
1：单向拉伸应力状态的应力圆
2 ：纯剪切应力状态的应力圆
(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
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§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确 定！）
思路 ----分析任意斜截面上的应力 一 任意斜截面上的应力 要求： 1 掌握解决问题的思想 要求： 2 考研的同学理解记忆公式