金属塑性成形原理第六章主应力法解析
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金属塑性成形原理
6
◇应力分量下标的规定： △两个下标相同是正应力分量，如σxx △两个下标不同表示切应力分量，如τxy △ 第一个下标表示作用的平面，第二个下标表示
作用的方向
写成矩阵形式：
7
◇应力分量的符号规定： △正面：外法线指向坐标轴正向的微分面叫 做正面，反之称为负面。 △正号（＋）：正面上，指向坐标轴正向；
34
△对数应变: 塑性变形过程中，在应 变主轴方向保持不变的情况下应变增 量的总和
△对数应变能真实地反映变形的积累 过程，所以也称真实应变，简称为真 应变。
35
36
(2) 对数应变为可叠加应变，而相对应 变为不可叠加应变。
(3) 对数应变为可比应变，相对应变为 不可比应变。拉伸和压缩数值悬殊大， 不具有可比性。
为八面体平面。 八面体平面上的应力称为八面体应力。
23
图3-15 八面体平面和八面体
24
◇等效应力
3
取八面体切应力绝对值的 2 倍所得之 参量称为等效应力，也称广义应力或应 力强度。
25
◇等效应力的特点：
σ1，σ2＝σ3＝0
1) 等效应力是一个不变量； 2) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压
负面上，指向坐标轴负向； △负号（－）：正面上，指向坐标轴负向；
负面上，指向坐标轴正向； 按此规定，正应力分量以拉为正。以压为负。 与材料力学中关于切应力分量正负号的规定不同。
8
ห้องสมุดไป่ตู้
材料力学中采用左螺旋定则判断切应力的方向 ，以后应力莫尔圆中会采用
左螺旋定则： 左手包住单元体，四个指 头指向切应力方向，大拇 指的方向代表正负。
20
若σ1 >σ2 >σ3 ，则最大切应力为：
◇应力分量下标的规定： △两个下标相同是正应力分量，如σxx △两个下标不同表示切应力分量，如τxy △ 第一个下标表示作用的平面，第二个下标表示
作用的方向
写成矩阵形式：
7
◇应力分量的符号规定： △正面：外法线指向坐标轴正向的微分面叫 做正面，反之称为负面。 △正号（＋）：正面上，指向坐标轴正向；
34
△对数应变: 塑性变形过程中，在应 变主轴方向保持不变的情况下应变增 量的总和
△对数应变能真实地反映变形的积累 过程，所以也称真实应变，简称为真 应变。
35
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(2) 对数应变为可叠加应变，而相对应 变为不可叠加应变。
(3) 对数应变为可比应变，相对应变为 不可比应变。拉伸和压缩数值悬殊大， 不具有可比性。
为八面体平面。 八面体平面上的应力称为八面体应力。
23
图3-15 八面体平面和八面体
24
◇等效应力
3
取八面体切应力绝对值的 2 倍所得之 参量称为等效应力，也称广义应力或应 力强度。
25
◇等效应力的特点：
σ1，σ2＝σ3＝0
1) 等效应力是一个不变量； 2) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压
负面上，指向坐标轴负向； △负号（－）：正面上，指向坐标轴负向；
负面上，指向坐标轴正向； 按此规定，正应力分量以拉为正。以压为负。 与材料力学中关于切应力分量正负号的规定不同。
8
ห้องสมุดไป่ตู้
材料力学中采用左螺旋定则判断切应力的方向 ，以后应力莫尔圆中会采用
左螺旋定则： 左手包住单元体，四个指 头指向切应力方向，大拇 指的方向代表正负。
20
若σ1 >σ2 >σ3 ，则最大切应力为：
塑性成形原理-应力分析
方位而改变。 切应力达到极值的平面称为主切应力平面，其上作用的切 应力称为主切应力。 主切应力中绝对值最大的一个，也就是一点所有方向切面 上切应力的最大值，叫做最大切应力,以τmax表示。
2 2 2 n Sn n
2 2 2 2 2 Sn 12l 2 2 m 3 n
1 l 2 m 3 n
时满足转换关系的分量所组成的集合为张量。
P P l l kr ij ki rj
物理量P，它关于xi（1，2，3）的空间坐标系存在九个分量Pij（i=1，2，
3）。将 xi空间坐标系的坐标轴绕原点 O旋转一个角度，得到新的空间坐
标系xk（k=1'，2'，3'），物理量在新坐标系中的九个分量Pkr与Pij关系。
3 J1 2 J 2 J 3 0
1 0 0 ij 0 0 2 0 0 3
J1,J2,J3为应力张量不变量，解方程得三个根，即为主应力。
1, 2 , 3
解方程组即得主方向l,m,n
( x )l yxm zx n 0 xyl ( y )m zy n 0 xzl yz m ( z )n 0
主应力的极值性质 假设 则
应力椭球面
主轴坐标系中点的应力状态的几何表达。
S1 1l S 2 2 m S n 3 3
l
1
2
S1
,m
2
2
S2
,n
3
2
S3
l 2 m2 n2 1
S1 1 S2 2 S3 3 1
【材料成型原理——锻压】第六章 应力应变关系
一般的单值关系，而是与加载历史或应变路线 有关。
7
对于后两个特点，举加以说明。 最简单的例子就是单向拉伸。在弹性范围内，应变只取决于当
时的应力。反之亦然，例如σc总是对应εc，不管σc是由σa加载而 得还是由σd卸载而的。
在塑性范围内，如果是理想塑性材料（见上图虚线），则同一 σs可以对应任意应变；如果是硬化材料，则由σs加载σe，对应的 应变为εe，如果从σf卸载到σe, 对应的应变为εf’，所以不是单 值关系。
(3)塑性变形时体积不变，即
d x d y d z d1 d 2 d 3 0
d ij d ij (4)应力主轴和应变增量的主轴重合；
(5)应变增量和应力偏张量成正比，即
d ij ij d
d 式中
为瞬时的非负比例系数．它在变形过程是变
化的，但在卸载时 d 0 ，上式是密席斯方程的关键性的
G为剪切模量
E v为泊松比
2G G 如将它推广到一般应力状态的各向同性材料，就叫做广义虎克定律
E
2(1
)
x
1 E
x
( y
z)
yz
1
2G
yz
y
1 E
y
( x
z)
zx
1 2G
zx
z
1 E
z
( x
y)
xy
1 2G
xy
3
将正应变相加
x
y
z
1 2
E
( x
y
z)
m
1 2
E
m
应力球张量使物体产生弹性的体积改变
•
21
s
因此，d对于理想刚塑性材料，应变增量和应力分量之间i还j 不完全是单值关系。d ij
7
对于后两个特点，举加以说明。 最简单的例子就是单向拉伸。在弹性范围内，应变只取决于当
时的应力。反之亦然，例如σc总是对应εc，不管σc是由σa加载而 得还是由σd卸载而的。
在塑性范围内，如果是理想塑性材料（见上图虚线），则同一 σs可以对应任意应变；如果是硬化材料，则由σs加载σe，对应的 应变为εe，如果从σf卸载到σe, 对应的应变为εf’，所以不是单 值关系。
(3)塑性变形时体积不变，即
d x d y d z d1 d 2 d 3 0
d ij d ij (4)应力主轴和应变增量的主轴重合；
(5)应变增量和应力偏张量成正比，即
d ij ij d
d 式中
为瞬时的非负比例系数．它在变形过程是变
化的，但在卸载时 d 0 ，上式是密席斯方程的关键性的
G为剪切模量
E v为泊松比
2G G 如将它推广到一般应力状态的各向同性材料，就叫做广义虎克定律
E
2(1
)
x
1 E
x
( y
z)
yz
1
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yz
y
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y
( x
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zx
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z
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y)
xy
1 2G
xy
3
将正应变相加
x
y
z
1 2
E
( x
y
z)
m
1 2
E
m
应力球张量使物体产生弹性的体积改变
•
21
s
因此，d对于理想刚塑性材料，应变增量和应力分量之间i还j 不完全是单值关系。d ij
s主应力法讲解
本构方程，4个 几何方程，2个
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
Байду номын сангаас
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
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R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
Байду номын сангаас
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
第六章金属塑性成形工艺理论基础
第六章 金属塑性成形的理论基础
目的：掌握金属塑性成形的基本原 理及影响塑性变形的因素。
要求掌握塑性成形的基本工艺、基 本变形理论；
熟悉回复与再结晶、冷变形与热变 形、纤维组织、最小阻力定律、体积 不变假设、锻造比、锻造性等概念；
了解影响塑性变形的因素。 重点：冷变形、热变形、纤维 组织利用原则、锻造性的概念。 难点：金属的回复与再结晶。
金属塑性成形（也称压力加工）： 在外力作用下，金属产生了塑性变 形，以此获得具有一定形状、尺寸 和机械性能的原材料、毛坯或零件。
外力：冲击力——锤类设备 压 力——轧机、压力机
§6-1 金属塑性成形的基本工艺 1．轧制—-钢板、型材、无缝管材。
2．挤压
应用：低碳钢、非铁金属及其合金。
3．拉拔
要求横向力学性能时： Y锻=2~2.5。 要求纵向力学性能时：Y锻适当增加。 由Y锻可得坯料的尺寸：
如：拔长时，S坯料=Y拔×S锻件
式中，S锻件为锻件的最大截面积；
L钢坯
V坯料 F钢坯
§6-4 影响塑性变形的因素
金属的可锻性：衡量材料在经受 压力加工时获得优质零件难易程 度的一个工艺性能。 可锻性好适合于压力加工成形； 可锻性差不宜于选用压力加工。
§6-3 塑性变形理论及假设
一、最小阻力定律
定义：受外力作用，金属发生
塑性变形时，如果金属颗粒在几 个方向上都可移动，那么金属颗 粒就沿着阻力最小的方向移动。
利用此定律，调整某个方向流 动阻力，改变金属在某些方向的 流动量→成形合理。
最小阻 力定律示 意图。
在镦粗中， 此定律也称 最小周边法 则。
但温度过高→过热、过烧、脱碳 和严重氧化等缺陷→锻件报废。
应严格控制锻造温度——始锻温 度和终锻温度间的温度范围（以 合金状态图为依据）。
目的：掌握金属塑性成形的基本原 理及影响塑性变形的因素。
要求掌握塑性成形的基本工艺、基 本变形理论；
熟悉回复与再结晶、冷变形与热变 形、纤维组织、最小阻力定律、体积 不变假设、锻造比、锻造性等概念；
了解影响塑性变形的因素。 重点：冷变形、热变形、纤维 组织利用原则、锻造性的概念。 难点：金属的回复与再结晶。
金属塑性成形（也称压力加工）： 在外力作用下，金属产生了塑性变 形，以此获得具有一定形状、尺寸 和机械性能的原材料、毛坯或零件。
外力：冲击力——锤类设备 压 力——轧机、压力机
§6-1 金属塑性成形的基本工艺 1．轧制—-钢板、型材、无缝管材。
2．挤压
应用：低碳钢、非铁金属及其合金。
3．拉拔
要求横向力学性能时： Y锻=2~2.5。 要求纵向力学性能时：Y锻适当增加。 由Y锻可得坯料的尺寸：
如：拔长时，S坯料=Y拔×S锻件
式中，S锻件为锻件的最大截面积；
L钢坯
V坯料 F钢坯
§6-4 影响塑性变形的因素
金属的可锻性：衡量材料在经受 压力加工时获得优质零件难易程 度的一个工艺性能。 可锻性好适合于压力加工成形； 可锻性差不宜于选用压力加工。
§6-3 塑性变形理论及假设
一、最小阻力定律
定义：受外力作用，金属发生
塑性变形时，如果金属颗粒在几 个方向上都可移动，那么金属颗 粒就沿着阻力最小的方向移动。
利用此定律，调整某个方向流 动阻力，改变金属在某些方向的 流动量→成形合理。
最小阻 力定律示 意图。
在镦粗中， 此定律也称 最小周边法 则。
但温度过高→过热、过烧、脱碳 和严重氧化等缺陷→锻件报废。
应严格控制锻造温度——始锻温 度和终锻温度间的温度范围（以 合金状态图为依据）。
6-1 主应力法及其应用_平面应变问题
挤压型的金属流动，基本上沿着平行于工模具运动的方向
金属塑性成形原理
一、平面应变镦粗型的变形力
长矩形板的镦粗， l >>宽b和高 ， l 方向应变 很小，可视为平面应变处理。求接触面上的压力 σy，单位面积变形力p。
1. 平行砧板间的平面应变镦粗(常摩擦条件)
摩擦力不变条件： K （μ为摩擦因子 ）
设长度为l（垂直于图平面的z方向）
X方向应力满足平衡方程式：
xlh ( x d x )lh 2ldx
d
x
2
h
dx
2K
h
dx
即x方向的应力增量由切向摩擦力导致
镦粗 方向
σy
σye
τ
σx
金属流动方向
τ
x
dx
b/2
平行砧板间平面应变镦粗
σx+dσx
h
金属塑性成形原理
屈服方程为： y x 2K
图6-1 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
金属塑性成形原理
2．假设在接触面上有正应力和切应力(摩擦力)，切面上的正应力假定为 主应力，且为均匀分布（即与一坐标无关）。
3. 在对该基元体或基元板块列塑性条件时，假定各坐标面上作用的正应 力即为主应力，而不考虑面上切应力（包括摩擦切应力）对材料塑性条 件的影响。
d y d x
所以：
y
d
y
d x
2K
h
dx
2K
h
x
C
代入边界条件求解C，即当x=b/2时，σy = 2K，所以：
工件外端为自由表面： xe 0 ye 2K
主应力法又称切块法，是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件，并联立求解。
金属塑性成形原理
一、平面应变镦粗型的变形力
长矩形板的镦粗， l >>宽b和高 ， l 方向应变 很小，可视为平面应变处理。求接触面上的压力 σy，单位面积变形力p。
1. 平行砧板间的平面应变镦粗(常摩擦条件)
摩擦力不变条件： K （μ为摩擦因子 ）
设长度为l（垂直于图平面的z方向）
X方向应力满足平衡方程式：
xlh ( x d x )lh 2ldx
d
x
2
h
dx
2K
h
dx
即x方向的应力增量由切向摩擦力导致
镦粗 方向
σy
σye
τ
σx
金属流动方向
τ
x
dx
b/2
平行砧板间平面应变镦粗
σx+dσx
h
金属塑性成形原理
屈服方程为： y x 2K
图6-1 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
金属塑性成形原理
2．假设在接触面上有正应力和切应力(摩擦力)，切面上的正应力假定为 主应力，且为均匀分布（即与一坐标无关）。
3. 在对该基元体或基元板块列塑性条件时，假定各坐标面上作用的正应 力即为主应力，而不考虑面上切应力（包括摩擦切应力）对材料塑性条 件的影响。
d y d x
所以：
y
d
y
d x
2K
h
dx
2K
h
x
C
代入边界条件求解C，即当x=b/2时，σy = 2K，所以：
工件外端为自由表面： xe 0 ye 2K
主应力法又称切块法，是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件，并联立求解。
工程塑性理论主应力法06
x y x p 2k
将上式微分，可得dσx= -dp，
dp 2mk 0 dx h
（5） 积分并确定积分常数
p 2mk x C h
根据应力边界条件定积分常数。 当x=b/2时，σx=-q，由屈服准则式 可知：
p xb 2k q x p 2k 2
l
h
p
P
y
f
mk f
x
x+dx
0x
x
dx
P
b
f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（1）切取单元体
P y
f
h
0x b
x
x+dx
x
dx
P f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（2）列出单元体的静力平衡方程 沿x方向列出单元体的静力平衡方 程，即
s
2 R
C se h
2 (Rr)
p se h
变形力为:
P
R
2rpdr
0
R
2 (Rr)
se h 2rdr
0
s h 2 2 2
2 R e h
1
2
h
R
平均压力为:Biblioteka P pR 2
sh2 2R2 2
2
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（2）列出单元体的静力平衡方程 沿x方向列出单元体的静力平衡方 程，即
Fx x d x lh xlh 2 f ldx 0
d x 2 f 0
dx h
（3）代入摩擦条件 假设接触表面上的摩擦切应力服 从库仑摩擦定律，即
将上式微分，可得dσx= -dp，
dp 2mk 0 dx h
（5） 积分并确定积分常数
p 2mk x C h
根据应力边界条件定积分常数。 当x=b/2时，σx=-q，由屈服准则式 可知：
p xb 2k q x p 2k 2
l
h
p
P
y
f
mk f
x
x+dx
0x
x
dx
P
b
f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（1）切取单元体
P y
f
h
0x b
x
x+dx
x
dx
P f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（2）列出单元体的静力平衡方程 沿x方向列出单元体的静力平衡方 程，即
s
2 R
C se h
2 (Rr)
p se h
变形力为:
P
R
2rpdr
0
R
2 (Rr)
se h 2rdr
0
s h 2 2 2
2 R e h
1
2
h
R
平均压力为:Biblioteka P pR 2
sh2 2R2 2
2
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（2）列出单元体的静力平衡方程 沿x方向列出单元体的静力平衡方 程，即
Fx x d x lh xlh 2 f ldx 0
d x 2 f 0
dx h
（3）代入摩擦条件 假设接触表面上的摩擦切应力服 从库仑摩擦定律，即
第6章+主应力法及其应用(2)
根据几何关系可写出
h hb (tan tan ) x
倾斜砧板间平面应变基元扳块受力分析
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
将这些关系式代入前式，并略去二阶微量，整理后得
x (tan tan )dx [hb (tan tan )]d x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
2 0 ， xe Y 3
，
we K2 y ln( ) K1 wb yK1
华侨大学模具技术研究中心
二、平面应变挤压型的变形力
x y 的分布曲线如图所示。
华侨大学模具技术研究中心
三、轴对称镦粗型的变形力
下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变形 力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和接触表面状态没 有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线（z轴）， 即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与坐标无关，仅 与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标轴对称镦粗问题。
y x 2K
于是
C 2mk W 2K h 2
ye 2K
⑤因此接触面上正应力分布规律
2mk y ( x xe ) ye h
单位面积的平均变形力p为：
m W y 2 K [1 ( x)] h 2
P 1 p F xe
xe
0
y dx
mW ) 4 h
mk xe ye h
p 2 K (1
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
倾 斜 砧 板 间 的 平 面 应 变 镦 粗
收敛式流动 0， 0
h hb (tan tan ) x
倾斜砧板间平面应变基元扳块受力分析
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
将这些关系式代入前式，并略去二阶微量，整理后得
x (tan tan )dx [hb (tan tan )]d x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
2 0 ， xe Y 3
，
we K2 y ln( ) K1 wb yK1
华侨大学模具技术研究中心
二、平面应变挤压型的变形力
x y 的分布曲线如图所示。
华侨大学模具技术研究中心
三、轴对称镦粗型的变形力
下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变形 力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和接触表面状态没 有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线（z轴）， 即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与坐标无关，仅 与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标轴对称镦粗问题。
y x 2K
于是
C 2mk W 2K h 2
ye 2K
⑤因此接触面上正应力分布规律
2mk y ( x xe ) ye h
单位面积的平均变形力p为：
m W y 2 K [1 ( x)] h 2
P 1 p F xe
xe
0
y dx
mW ) 4 h
mk xe ye h
p 2 K (1
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
倾 斜 砧 板 间 的 平 面 应 变 镦 粗
收敛式流动 0， 0
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4
1、空间问题：
金
属
塑
性 方程数：
成
形 3个平衡微分方程
原 理
1个塑性条件方程
6个应力—应变关系方程
3个变形连续方程（协调方程）
第
六 共13个 ，且为高阶偏微分方程。
章 主
未知数：σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx、εx、εy、εz、
应 力
γxy、γyz、γzx、λ13个。
法
虽然未知数和方程数相等，但实际上这十三个联立方
自由表面
ye 2K
2S 3
y
2
h
( xe
x)
ye
2
h
( xe
x)
2S 3
17
5、确定单位流动压力（即单位面积的平均变形力）
变形力
xe
P ydF 2 l y dx
F
0
平均变形力 p P P 1 F l 2xe xe
xe 0
y
dx
1 xe
xe 0
2
h
( xe
x)
ye
dx
程是无法解的，需要将问题进一步简化。
5
2、轴对称问题：
方程数：
2个微分平衡 1个塑性条件 4个应力—应变关系 2个变形连续方程。共9个
未知数：σρ、σθ、σz、τzρ、ερ、εθ、εz、γzρ、λ9个。
可见，轴对称问题比一般的空间问题简单，但只有在个别情况 下，当边界剪应力为零或只与一个坐标轴有关才有精确的解。
y x 2K
微分后得： d y d x … … … … … …(2) 15
3、联解平衡方程和塑性条件
将（2）代入（1）
d x 2 0
dx h
得
d y
2
h
dx
积分后得
y
2
h
xC
16
4、由边界条件确定积分常数C，求出应力分量σy
∵当 ∴
x xe 时
y ye
C
ye
2
h
xe
这时 x 0
块的静力平衡条件得到。
10
（3）采用近似的屈服准则
建立塑性条件时，假设非主应力为主应力，通常把接触 面上的正应力假设为主应力，即忽略了摩擦切应力的影响 。这样，就使塑性条件简化为线性方程，这就是所谓近似 屈服准则。 对于平面应变问题，塑性条件:
( x y )2 4 xy2 4K 2
可简化为σx-σy =σs=2K
属 塑 性
成 下面我们要用主应力方法来推导几种类型的变形的公式：
形 பைடு நூலகம் 理
平面应变：
镦粗
第
六
挤压
章
主
轴对称问题：
应
力 法
镦粗
挤压
13
（一）平面应变的横向流动（镦粗型）
长矩形板镦粗时的变形力和单位流动压力，因l＞＞h，xe， 故l方向变形为0，因此可视为平面问题来处理。
1、列基元体平衡微分方程
Fx 0
8
二、主应力法要点（假设）
切块法
（1）将复杂变形体简化成 平面应变问题或轴对称问题
根据实际变形区情况，将复杂问 题近似地按轴对称问题或平面问题 来处理，并选用相应的坐标系。对 于变形复杂的过程。 如模锻，可 以分成若干部分，每一部分分别按 平面问题或轴对称问题处理，最后 组合在一起，得到整个问题的解。
11
例如以上分析中，我们可以假设σx、σy为主应力σ1、 σ3 。
这时不考虑剪应力τ的影响。这就是塑性条件由原来的 非线性化。如果τ非常大时。误差结果也就较大。
将上述的平衡方程与近似
屈服准则联解，以求接触面
上的应力分布，这就是主应
力法。
由于该方法需要截取基元
块，又形象地称为切块法。
12
金 二、几种金属流动类型变形力公式的推导
这种简化的计算方法，我们称初等解析法，也称主应力法
。主要用于程上 。
7
第二节 主应力法的基本原理（切块法）
一．主应力法的实质
主应力法又称切块法，是塑性成形中求解变形力的一 种近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建 立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，使求解 过程大大简化。 主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程 与塑性条件联解采取了一些简化条件。
9
（2）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标 轴无关。
根据某瞬时变形体的变形趋向，
截取包括接触平面在内的典型基元
块，在接触面上有正应力和切应力
（摩擦力），且假设在其他截面（
非接触面）上仅有均布的正应力即
主应力。
这样处理的结果使平衡方程缩减至
一个，而且由偏微分方程变为常微
分方程。该平衡方程可以通过基元
第六章 主应力法及其应用（切块法）
第一节 概 述
研究不同形状和性能的坯料，在不同的工模 具和不同的外力作用下发生塑性变形时的应 力、应变和流动状态，是塑性成形理论的根 本任务之一。
知道了坯料塑性变形时的应力状态，即可 计算出变形力和功能消耗。
1
变形力：在塑性加工过程中，工具通过与坯料的接 触面，对坯料施加作用力，当此作用力达到一定值时， 坯料发生塑性变形，此时，工具作用在坯料上的作用 力称为变形力。
( x d x ) h l h l 2 l dx 0
d xh 2dx 0
∴
d x 2 0 … … … …(1)
dx h 14
平衡微分方程
2、建立塑性条件 y x 这时σy、σx为正值，即绝对值 由于σx，σy都是压力，故 σ1=-σx, σ3=-σy ∴σ1-σ3=σy-σx
变形力
2
确定变形力的目的：
①可分析变形规律，确定成形极限； ②合理设计模具； ③选择锻压设备； ④制订工艺规程，变形力和变形功是不可缺少的数据. 因此，确定变形力、变形功是塑性加工过程力学分析的基本任
务之一。
3
在塑性状态下，求解物体内应力的大小与分布要比在弹 性状态下困难得多，这主要是因为塑性应力—应变关系方 程是非线性的。从理论上讲，联解平衡徽分方程和屈服准 则，需要补充必要的物理方程和几何方程，在一定的边界 条件下可以求得变形体内的应力大小及分布。进而求得变 形力。但是这种数学解析只在某些特殊的情况下才能解， 而对于一般空间问题，数学上极其困难，甚至不可能解。
1 xe
2
h
xe x
xe 0
2
h
1 2
x2
xe 0
ye
x
xe 0
1 xe
2xe 2
h
xe
h
2
ye
xe
xe
h
ye
18
分析σy沿X方向分布规律
y
2
h
( xe
x)
ye
6
3、平面问题：
方程数：2个微分平衡，1个塑性条件共3个。 未知数：σx、σy、σz、τxy 3个
属于静定问题，理论上可解。但这类也总是只有在部分条件下， 即边界剪应力条件特殊时，（等于0，或只与一个坐标轴有关时） 才有精确的解。
因此，许多学者在塑性理论的基础上，引进了各种简化
假设，提出了许多求解塑性问题的近似解析方法。
1、空间问题：
金
属
塑
性 方程数：
成
形 3个平衡微分方程
原 理
1个塑性条件方程
6个应力—应变关系方程
3个变形连续方程（协调方程）
第
六 共13个 ，且为高阶偏微分方程。
章 主
未知数：σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx、εx、εy、εz、
应 力
γxy、γyz、γzx、λ13个。
法
虽然未知数和方程数相等，但实际上这十三个联立方
自由表面
ye 2K
2S 3
y
2
h
( xe
x)
ye
2
h
( xe
x)
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5、确定单位流动压力（即单位面积的平均变形力）
变形力
xe
P ydF 2 l y dx
F
0
平均变形力 p P P 1 F l 2xe xe
xe 0
y
dx
1 xe
xe 0
2
h
( xe
x)
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程是无法解的，需要将问题进一步简化。
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2、轴对称问题：
方程数：
2个微分平衡 1个塑性条件 4个应力—应变关系 2个变形连续方程。共9个
未知数：σρ、σθ、σz、τzρ、ερ、εθ、εz、γzρ、λ9个。
可见，轴对称问题比一般的空间问题简单，但只有在个别情况 下，当边界剪应力为零或只与一个坐标轴有关才有精确的解。
y x 2K
微分后得： d y d x … … … … … …(2) 15
3、联解平衡方程和塑性条件
将（2）代入（1）
d x 2 0
dx h
得
d y
2
h
dx
积分后得
y
2
h
xC
16
4、由边界条件确定积分常数C，求出应力分量σy
∵当 ∴
x xe 时
y ye
C
ye
2
h
xe
这时 x 0
块的静力平衡条件得到。
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（3）采用近似的屈服准则
建立塑性条件时，假设非主应力为主应力，通常把接触 面上的正应力假设为主应力，即忽略了摩擦切应力的影响 。这样，就使塑性条件简化为线性方程，这就是所谓近似 屈服准则。 对于平面应变问题，塑性条件:
( x y )2 4 xy2 4K 2
可简化为σx-σy =σs=2K
属 塑 性
成 下面我们要用主应力方法来推导几种类型的变形的公式：
形 பைடு நூலகம் 理
平面应变：
镦粗
第
六
挤压
章
主
轴对称问题：
应
力 法
镦粗
挤压
13
（一）平面应变的横向流动（镦粗型）
长矩形板镦粗时的变形力和单位流动压力，因l＞＞h，xe， 故l方向变形为0，因此可视为平面问题来处理。
1、列基元体平衡微分方程
Fx 0
8
二、主应力法要点（假设）
切块法
（1）将复杂变形体简化成 平面应变问题或轴对称问题
根据实际变形区情况，将复杂问 题近似地按轴对称问题或平面问题 来处理，并选用相应的坐标系。对 于变形复杂的过程。 如模锻，可 以分成若干部分，每一部分分别按 平面问题或轴对称问题处理，最后 组合在一起，得到整个问题的解。
11
例如以上分析中，我们可以假设σx、σy为主应力σ1、 σ3 。
这时不考虑剪应力τ的影响。这就是塑性条件由原来的 非线性化。如果τ非常大时。误差结果也就较大。
将上述的平衡方程与近似
屈服准则联解，以求接触面
上的应力分布，这就是主应
力法。
由于该方法需要截取基元
块，又形象地称为切块法。
12
金 二、几种金属流动类型变形力公式的推导
这种简化的计算方法，我们称初等解析法，也称主应力法
。主要用于程上 。
7
第二节 主应力法的基本原理（切块法）
一．主应力法的实质
主应力法又称切块法，是塑性成形中求解变形力的一 种近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建 立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，使求解 过程大大简化。 主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程 与塑性条件联解采取了一些简化条件。
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（2）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标 轴无关。
根据某瞬时变形体的变形趋向，
截取包括接触平面在内的典型基元
块，在接触面上有正应力和切应力
（摩擦力），且假设在其他截面（
非接触面）上仅有均布的正应力即
主应力。
这样处理的结果使平衡方程缩减至
一个，而且由偏微分方程变为常微
分方程。该平衡方程可以通过基元
第六章 主应力法及其应用（切块法）
第一节 概 述
研究不同形状和性能的坯料，在不同的工模 具和不同的外力作用下发生塑性变形时的应 力、应变和流动状态，是塑性成形理论的根 本任务之一。
知道了坯料塑性变形时的应力状态，即可 计算出变形力和功能消耗。
1
变形力：在塑性加工过程中，工具通过与坯料的接 触面，对坯料施加作用力，当此作用力达到一定值时， 坯料发生塑性变形，此时，工具作用在坯料上的作用 力称为变形力。
( x d x ) h l h l 2 l dx 0
d xh 2dx 0
∴
d x 2 0 … … … …(1)
dx h 14
平衡微分方程
2、建立塑性条件 y x 这时σy、σx为正值，即绝对值 由于σx，σy都是压力，故 σ1=-σx, σ3=-σy ∴σ1-σ3=σy-σx
变形力
2
确定变形力的目的：
①可分析变形规律，确定成形极限； ②合理设计模具； ③选择锻压设备； ④制订工艺规程，变形力和变形功是不可缺少的数据. 因此，确定变形力、变形功是塑性加工过程力学分析的基本任
务之一。
3
在塑性状态下，求解物体内应力的大小与分布要比在弹 性状态下困难得多，这主要是因为塑性应力—应变关系方 程是非线性的。从理论上讲，联解平衡徽分方程和屈服准 则，需要补充必要的物理方程和几何方程，在一定的边界 条件下可以求得变形体内的应力大小及分布。进而求得变 形力。但是这种数学解析只在某些特殊的情况下才能解， 而对于一般空间问题，数学上极其困难，甚至不可能解。
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2
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分析σy沿X方向分布规律
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3、平面问题：
方程数：2个微分平衡，1个塑性条件共3个。 未知数：σx、σy、σz、τxy 3个
属于静定问题，理论上可解。但这类也总是只有在部分条件下， 即边界剪应力条件特殊时，（等于0，或只与一个坐标轴有关时） 才有精确的解。
因此，许多学者在塑性理论的基础上，引进了各种简化
假设，提出了许多求解塑性问题的近似解析方法。