二向应力状态分析--解析法和图解法
应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向
2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可 确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等， 但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较 低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy
n
材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所 示，（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)
x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内 对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ
材料力学第七章应力状态和强度理论
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学应力分析(共143张PPT)
Mz Wz
17
y
1
4
z
2
x
3
S平面
18
y
1
FQy
1
4
4 Mz
x
z
2
Mx
3
3
19
应力状态的概念
主平面：单元体中剪应力等于零的平面。
主单元体：在单元体各侧面只有正应力而
无剪应力
3
2
主应力：主平面上的正应力。
主方向：主平面的法线方向。
约定：
1
12 320
应力状态的分类
3
2
1
1
2
3
单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。
3
一、什么是应力状态？
〔一〕、应力的点的概念:
最大正应力所在的面上切应力一定是零； 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好； 7-2 二向应力状态分析--解析法 面将单元体截为两局部， 并注意到 化简得 三、如何描述一点的应力状态 应力圆上一点( ， ) 7-8 广义胡克定律 该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为 解: 该单元体有一个主应力 例2：纯剪切状态的主应力 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；
5
F
F
A
F
co2s
2
sin2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
6
应力的点的概念与面的概念
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称为
这一点的应力状态；
7
二、为什么要研究应力状态？
第三强度理论.
第七章 应力和应变分析 强度理论§7.1应力状态概述过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态§7.2二向和三向应力状态的实例§7.3二向应力状态分析—解析法1．任意斜截面上的应力在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。
在外法线n 和切线t 上列平衡方程αασαατσc o s )c o s (s i n )c o s (dA dA dA x xy a -+0s i n )s i n (c o s )s i n (=-+αασαατdA dA y yxαασααττsin )cos (cos )cos (dA dA dA x xya --0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=，ααα2sin cos sin 2=简化两个平衡方程，得ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=xyτyxτnαtατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=2．极值应力将正应力公式对α取导数，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=ατασσασα2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数0=ασαd d ，则 02cos 2sin 200=+-ατασσxy yxyx xytg σστα--=220上式有两个解：即0α和 900±α。
在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。
且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。
求得最大或最小正应力为22min max )2(2xy y x yx τσσσσσσ+-±+=⎭⎬⎫ 0α代入剪力公式，0ατ为零。
这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。
理论力学14应力状态分析
T
Wt
16M e πd3
联立解得扭转外力偶矩
Me
πd 3E45o
161
π
50103 3 210109
161 0.28
300 106
试求该扭转外力偶矩。
解： 在测点截取单元体
该点为纯剪切应力状态，与母线成45° 方向即为主方向，其主应力
1 2 0
根据广义胡克定律
3
45oBiblioteka 11 E
1
2
3
1
E
1
E
45o
1
E
圆轴表面的最大扭转切应力
2
MPa
80 MPa
第六节 广义胡克定律
一、二向应力状态下的胡克定律
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
二、三向应力状态下的胡克定律
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
x
x
2
y
2
2 xy
切应力最大值
max
1
3
2
注意：切应力极大值不一定就是切应力最大值
四、纯剪切应力状态
1. 斜截面上的应力
sin 2
cos 2
2. 主平面和主应力
主平面： 45°斜截面
主应力： 1
1.2应力状态解析法
Ft 0
t dA s xdAcos sin t xydAcos cos
s ydAsin cos t yxdAsin sin 0
5
sy
考虑切应力互等和三角变换，得：
y
sx
txy
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttyx
t
sx
s y
t xy
t
m Wp
t
求极值应力
t
y
Ox
s max s min
sx
sy
2
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t2 xy
t
14
s1 t ;s 2 0;s 3 t
tg20
2t xy sx sy
-
0 -45
铸铁构件破坏分析
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应 力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可 以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。
40
解：1）s x 60 s y －40 t xy 50
50 2）求主应力
60
s max s min
sx
sy
2
sx
s y
2
2
t
2 xy
80.7 60.7
（应力单位 MPa ） s1 80.7 s 2 0 s 3 60.7
11
3）求主方向
s3
s1
tg20
2t xy sx sy
1
0 22.5
0
s x s y 0为s max与x轴夹角
硕士建筑与土木工程专业初试专业课目(材料力学)考试大纲 (1
西京学院2015年
一、基本内容
1. 绪论
材料力学的任务,变形固体的基本假设,外力及其分类,内力、截面法和应力的概念, 变形与应变,杆件变形的基本形式。
2. 拉伸、压缩与剪切
直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力,材料拉伸时的力学性能,材料压缩时的力学性能,失效、安全因数和强度计算,杆件轴向拉伸或压缩时的变形,拉伸、压缩的超静定问题,温度应力和装配应力,应力集中的概念,剪切和挤压的实用计算。
3. 扭转
外力偶矩，扭矩和扭矩图,纯剪切,圆轴扭转时的应力、变形，薄壁杆件的自由扭转。
4．弯曲内力
弯曲的概念，受弯杆件的简化，剪力和弯矩，剪力方程和弯矩方程，剪力图和弯矩图，载荷集度、剪力和弯矩之间的关系，平面曲杆的弯曲内力。
5．弯曲应力
纯弯曲，弯曲正应力，弯曲切应力，强度条件，提高弯曲强度的措施。
6．弯曲变形
挠曲线的微分方程，积分法求弯曲变形，叠加法求弯曲变形，简单超静定梁，减小弯曲变形的一些措施。
7．应力和应变分析、强度理论
应力状态概述，二向应力状态分析——解析法，二向应力状态分析——图解法，三向应力状态。
位移与应变分量，平面应变状态分析，广义胡克定律，复杂应力状态下的应变能密度，四种常用强度理论，莫尔强度理论，构件含裂纹时的断裂准则。
8．组合变形
组合变形和叠加原理，拉伸或压缩与弯曲的组合，偏心压缩和截面核心，扭转与弯曲的组合，组合变形的普遍情况。
9．压杆稳定
压杆稳定的概念，两端铰支细长压杆的临界压力，其他支座条件下细长压杆的临界压力，欧拉公式的适用范围，经验公式，压杆的稳定校核，提高压杆稳定性的措施
10.动载荷、交变应力。
材料力学08应力状态分析_2图解法
x
2
y
2
2 xy
OC
1
一、应力圆的画法
1. 在 - 坐标系中确定两点： D (x , xy )、D′(y , yx )
2. 连接 D、D′，交 轴于
C点 3. 以 C 点为圆心、CD 为半
径作圆即得
2
二、由图解法（应力圆）确定斜截面上的应力
将 CD 沿同样的转向旋转 2 至 CE ，则 E 点的横坐标、纵坐标即 为 斜截面上的正应力、切应力，即有
在主平面。
11
[例3] 在过 A 点的两个截面上的应力如图所示，试用图解法确定其 主应力以及主平面位置。
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
D
20 20
A1
60
解： 1）画应力圆
按选定比例尺，由 y = 20 MPa、yx = -60 MPa 确定 D′点，由 = -20 MPa、 = 0 确定 B1 点。由于B1、 D′均在应力圆的圆周上，故 作 B1D′的垂直平分线，交 轴于点 C ；以点 C 为圆心、CD′为半径
故在单元体上，从 x 轴以顺时针转向量取 0 = 33.5°，即得 1
所在主平面。
主应力单元体如图所示
14
作出应力圆。
12
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
2）确定主应力和主平面
D
20 20 70 110
根据应力圆，按选定比例尺，量得主应力
60
A1
20 MPa
1 OA1 110 MPa 2 0 3 OB1 20 MPa
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1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力
y
xy
B
n
α
x
A yx
E
D
2α
o
C
D’
E点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力 和切应力
2 从应力圆上确定主应力大小
y
yx
B
x
A xy
e
o
D’
σmin
C
σmax
应力圆和横轴交点的横坐标值
D
b
3 从应力圆上确定主平面位置
y
xy
E
B
BA
x
α0
σ’ yx
e
o
§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确定！）
思路 ----分析任意斜截面上的应力 一 任意斜截面上的应力 要求： 1 掌握解决问题的思想 要求： 2 考研的同学理解记忆公式
y
yx
x
xy
x
y
各量的含义 1) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 ) 左 右 面 上 的 切 应力
-96MPa
1 26MPa 2 0MPa 3 -96MPa
2 求主平面位置
大
3 主单元体
70
50
大
tg 2 0
- 2 xy x - y
- 2 50 - 70 - 0
10 7
0 27.5o或117.5o
逆时针转?
主应力、主平面
max
min
(x
- y
2
)2
2 xy
max
20 cos 60o
27.32MPa
思考 900 ？ 900 ？？
x
用 斜截面截取，此截面上的应力为
2
yx
y
xy
x
-
y -x
2 x - y
- y
2
sin
cos 2 xy sin 2
2 - xy cos 2
900 x y
即单元体两个相互垂直面上的正应力 x
主应力是一点应力状态的最终度量
三 面内最大切应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因而切应力 亦存在极值
x
- y
2
sin2 xycos2
对α求一次导数，并令其等于零；
d d
( x - y )cos2 - 2 xysin2
0
由此得出另一特征角，用α1表示
tan
21＝
x -
2τ xy
30
10MPa
300
30o
x
x
y
2
x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
b 300
20MPa
30o
10 - 30 10 30 cos 60o - 20 sin 60o
2
2
30MPa
Hale Waihona Puke -17.32MPax- y
2
sin 2
xy cos 2
30o
10 30 sin 60o 2
1 方向角与应力分量的正负号规定
正应力正负规定
拉应力为正压应力为负
x' y'
切应力正负号规定
xy
使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义
yx
y 外法线
n
x
以及正负号规定
问题 已知原始单元体互相垂直面上的应力
3 判断 最大主应力(的区间) 面的法线方向(的区间)
(两个切应力箭头指向决定)
第一主应力方向
大 4 (求出的主应力) 之间夹角 (小)
大(原始单元体中代数值)
4 主(应力)单元体：
0 15.5, 0 15.5 90 105.5
y ????? xy
x
x 60 MPa，
xy -30 MPa,
起点代数值大的面 对应的点
D
2 α 0
C
b
D’ 大的正应力的面对 应的点
转向 顺时针
有几个主应力？
σ e o
d
a
C
b
σ1 σ σ2 σ
3 0
4 从应力圆上确定面内最大切应力
τmax
应力圆上的最高点的纵坐标对应 “
面内最大切应力” 。
Co
四 几种特殊应力 状态下 的应力圆
1：单向拉伸应力状态的应力圆
min
x y
2
(x
- y
2
)2
2 xy
''' 0
tan
2
＝
0
－
2τ xy
x -
y
0 0 90 O
练习求单元体
1 主应力的大小 2 主单元体 3 (面内)最大切应力（应力单位取MPa)
20 40
顺时针!!
x -40MPa \ \ \ \ y -20MPa xy -40MPa
例题3
P
解：
x -70 MPa
y 0
xy 50 MPa
70
50
1 主应力大小 2 主平面位置 3 绘出(主应力)单元体。
1 求主应力
大 大 27.5o
max min
x
y
2
x
- y
2
2
2 xy
- 70 0 ( - 70 - 0 )2 (50)2
2
2
1
3
二向应力状态 26MPa
这一主平面上的主应力等于零
σ
σ 0
σ
2 求正应力的极值面
x
y
2
x
- y
2
cos2
- xysin2
上式对α 求一次导数，并令其等于零
d d
-( x - y )sin2 - 2 xycos2 0
解出的角度
tan 2＝－ 2τ xy x - y
表明∶ 正应力的极值面与主平面重合；
角度α与α 0 完全重合。
- y
2
cos2
- xysin2
x
- y
2
sin2 xycos2
1 切应力为零的面为主平面
0
x
- y
2
sin20 xycos20
0
tan
2
＝
0
－
2τ xy
x -
y
0
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
0 90 O
对于平面应力状态，平行于 xy坐标面的平面，其上既没 有正应力，也没有切应力作用， 前后面是一个主平面。
自学§7-4 二向应力状态分析-图解法
自学提纲
一、 写出应力圆方程
并判断应力圆的圆心在那个轴上？
二、 应力圆的画法
1 定圆心 2 定半径 3 画圆
三、 应力圆的应用
1 求主应力 2 面内最大切应力
四、 几种特殊应力状态的应力圆
(1)
1：单向拉伸应力状态的应力圆
2 ：纯剪切应力状态的应力圆
(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
x
- ( dA sin ) sin yx ( dA sin ) cos 0
y
平衡方程
Ft 0
x
n
xy dA
yx
t
y
dA - ( dA cos ) sin - ( dA cos ) cos
x
xy
( dA sin ) sin ( dA sin ) cos 0
A B
D’
C
o
D
2：纯剪切状态的应力圆
σ-45＝
45＝-
B
be
A
D (0, )
C
o
D'(0,- )
四 几种特殊应力 状态下 3：二向等值拉伸应力状态
的应力圆
的应力圆
o
习题7-5 P253-254
结论：二向等值拉伸下,
所有的面
都是主平面
要求
一、 应力圆方程
二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 几种特殊应力状态的应力圆
(
-x
y
)2
2
2
(
x
-
y
)2
2 xy
2
二、 应力圆的画法
1、点面对应
y y yx
x
xy x
x
——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应 y
力和切应力；
2、转向对应
——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；
3、二倍角对应
——半径转过的角度是方向面 法线旋转角度的两倍；
点面对应
40
1 11.2MPa\ \ \ \ 3 -71.2MPa 2 0
max 41.2MPa
0 -37 059'
铸铁扭转
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
例题4：讨论圆轴扭转时
的应力状态，
并分析铸铁试件受扭
时的破坏现象
Me
这也是横力弯曲中性轴上点的单元 体
y
x
解: 1 (取单元体) 圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其
tan
2
＝
0
－
2τ xy
x -
y
0 0 90 O
max
min
x y
2
(x
- y
2
)2
2 xy
''' 0
max
min
(x
- y
2
)2
2 xy