二向应力状态分析解析法和图解法
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应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向
2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可 确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等， 但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较 低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy
n
材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所 示，（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)
x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内 对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
第三强度理论.
第七章 应力和应变分析 强度理论§7.1应力状态概述过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态§7.2二向和三向应力状态的实例§7.3二向应力状态分析—解析法1．任意斜截面上的应力在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。
在外法线n 和切线t 上列平衡方程αασαατσc o s )c o s (s i n )c o s (dA dA dA x xy a -+0s i n )s i n (c o s )s i n (=-+αασαατdA dA y yxαασααττsin )cos (cos )cos (dA dA dA x xya --0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=，ααα2sin cos sin 2=简化两个平衡方程，得ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=xyτyxτnαtατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=2．极值应力将正应力公式对α取导数，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=ατασσασα2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数0=ασαd d ，则 02cos 2sin 200=+-ατασσxy yxyx xytg σστα--=220上式有两个解：即0α和 900±α。
在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。
且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。
求得最大或最小正应力为22min max )2(2xy y x yx τσσσσσσ+-±+=⎭⎬⎫ 0α代入剪力公式，0ατ为零。
这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。
理论力学14应力状态分析
T
Wt
16M e πd3
联立解得扭转外力偶矩
Me
πd 3E45o
161
π
50103 3 210109
161 0.28
300 106
试求该扭转外力偶矩。
解： 在测点截取单元体
该点为纯剪切应力状态，与母线成45° 方向即为主方向，其主应力
1 2 0
根据广义胡克定律
3
45oBiblioteka 11 E
1
2
3
1
E
1
E
45o
1
E
圆轴表面的最大扭转切应力
2
MPa
80 MPa
第六节 广义胡克定律
一、二向应力状态下的胡克定律
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
二、三向应力状态下的胡克定律
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
x
x
2
y
2
2 xy
切应力最大值
max
1
3
2
注意：切应力极大值不一定就是切应力最大值
四、纯剪切应力状态
1. 斜截面上的应力
sin 2
cos 2
2. 主平面和主应力
主平面： 45°斜截面
主应力： 1
1.2应力状态解析法
Ft 0
t dA s xdAcos sin t xydAcos cos
s ydAsin cos t yxdAsin sin 0
5
sy
考虑切应力互等和三角变换，得：
y
sx
txy
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttyx
t
sx
s y
t xy
t
m Wp
t
求极值应力
t
y
Ox
s max s min
sx
sy
2
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t2 xy
t
14
s1 t ;s 2 0;s 3 t
tg20
2t xy sx sy
-
0 -45
铸铁构件破坏分析
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应 力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可 以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。
40
解：1）s x 60 s y －40 t xy 50
50 2）求主应力
60
s max s min
sx
sy
2
sx
s y
2
2
t
2 xy
80.7 60.7
（应力单位 MPa ） s1 80.7 s 2 0 s 3 60.7
11
3）求主方向
s3
s1
tg20
2t xy sx sy
1
0 22.5
0
s x s y 0为s max与x轴夹角
二向应力
2
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列
理论力学14应力状态分析
2
2
2 xy
在 - 坐标系下，其对应一圆，称为应力圆。
该应力圆的圆心坐标为
半径为
C
x
2
y
,
0
R
x
2
y
2
2 xy
30
x y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
30 50 30 50 cos 60 20sin 60 52.3 MPa
2
2
30
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
30
30 50 sin 60 20cos 60 18.66 MPa
3
3. 切应力最大值
max
五、单向应力状态
1. 斜截面上的应力
2
2
cos 2
2
sin 2
2. 主平面和主应力
主平面： 主应力：
0 0
1 1 0
2 0 2 0
3 0 3
3. 最大切应力及其所在平面
最大切应力所在平面： 最大切应力：
45°斜截面
max
2
[例1] 试求图示单元体指定斜截面上的正应力和切应力（图中应 力单位为 MPa）
解： 对于图示单元体，有 x 30 MPa y 50 MPa xy 20 MPa 30 代入相应公式，即得指定斜截面上的正应力和切应力
2
2 xy
在 - 坐标系下，其对应一圆，称为应力圆。
该应力圆的圆心坐标为
半径为
C
x
2
y
,
0
R
x
2
y
2
2 xy
30
x y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
30 50 30 50 cos 60 20sin 60 52.3 MPa
2
2
30
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
30
30 50 sin 60 20cos 60 18.66 MPa
3
3. 切应力最大值
max
五、单向应力状态
1. 斜截面上的应力
2
2
cos 2
2
sin 2
2. 主平面和主应力
主平面： 主应力：
0 0
1 1 0
2 0 2 0
3 0 3
3. 最大切应力及其所在平面
最大切应力所在平面： 最大切应力：
45°斜截面
max
2
[例1] 试求图示单元体指定斜截面上的正应力和切应力（图中应 力单位为 MPa）
解： 对于图示单元体，有 x 30 MPa y 50 MPa xy 20 MPa 30 代入相应公式，即得指定斜截面上的正应力和切应力
材料力学第9章应力分析强度理论
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
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y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的 位y 置？？）
解决问题的方法 平衡 的思想
2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x
xy
y
yx
y
2、单元体的局部平衡
Fn 0
????
x
n
x y dA
yx
t
y
dA + 0 - x (dA cos) cos xy(dAcos) sin - y (dAsin) sin yx (dAsin) cos 0
3
最大主应力
(代数值大)
xy
15.5 1
起点
x
代数值大
?????
1 6 .3 M 8 P 2 0 a , ,3 - 4 .3 M 8 Pa
二向应力状态 若 y 0, 二向应力状态
特别说明
y 0,
二向应力状态
横力弯曲
xy
x
中性轴
其它点
中性轴
xy
圆轴扭转
除了梁顶(底) 二向应力状态
A B
D’
C
o
D
2：纯剪切状态的应力圆
σ-45＝
45＝-
D (0, )
B
be
A
C
o
D'(0,- )
四 几种特殊应力 3：二向等值拉伸应力状态
状态下的应力圆
的应力圆
o
结论：二向等值拉伸下,
习题7-5 P253-254 所有的面 都是主平面
要求 一、 应力圆方程
二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 几种特殊应力状态的应力圆
3 判断 最大主应力(的区间) 面的法线方向(的区间)
(两个切应力箭头指向决定) 第一主应力方向
大 4 (求出的主应力) 之间夹角 (小)
大(原始单元体中代数值)
4 主(应力)单元体： x 60MP，a
0 15.5,
xy -30MPa,
01.59010.55
y ?????
y
-40MP,a转向逆时针?
xy -30MPa,
tg20
- 2xy x -y
- -60 0.6 6040
0 15.5,
01.59010.55
主应力 1 方向：0 15.5
主应力方向
主应力 3 方向：0 10.55 ---主平面的法线方向
简单方法 主（应力）单元体 1 习惯直角坐标系按公式确定 绝对值小于45度角的
0
2 判断 给出原始单元体中代数值大的那个正应力
例题3
P
70
50
解：
x -70MPa
1 主应力大小 2 主平面位置 3 绘出(主应力)单元体。
y 0
xy 50MPa
1 求主应力
大 27.5 大
m mainxx 2y
x-y
2
2x2y
-70 0 (-70 -0)2(5)02
2
2
1
3
70
二向应力状态 26M Pa
-
9
6
M
P
a
50
大大
1 26MPa 2 0MPa 3 -96MPa 3 主单元体
tan20＝
－2τxy
x -y
0 090O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，前后面是一个主 平面。
σ
σ 0
σ
这一主平面上的主应力等于零
2 求正应力的极值面
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
上式对α 求一次导数，并令其等于零
二向应力状态分析解 析法和图解法
§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确 定！）
思路 ----分析任意斜截面上的应力 一 任意斜截面上的应力 要求： 1 掌握解决问题的思想 要求： 2 考研的同学理解记忆公式
y
yx
x
xy
x
y
各量的含义 1) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 ) 左 右 面 上 的 切 应力
b
30
0
20MPa 1 0 - 3 0 1 0 3 0 c o s6 0- 2 0 s in 6 0
3 0
2
2
30MPa
-17.32M Pa
x- 2ysin2xycos2
30
1030sin6020cos60 27.32M Pa 2
思考 900 ？ 900 ？？
x
yx
用 斜截面截取，此截面上的应力为
二者不一定是过一点的所有方向面中切应力的最
大和最小值 切记!
主平面 主应力 面内最大(小)切应力总结
tan20＝
－2τxy
x -y
0 090O
max
min
xy
2
(x
-y
2
)2
2 xy
''' 0
max
min
(x -y
2
)2 x2y
例题2：一点处的应力状态如图。
已知 x 60MP，a xy -30MPa,
x- 2ysi2nx y co2s
(-x 2y)22 (x- 2y)22xy
二、 应力圆的画法
1、点面对应
y y y x
x
xy x
x
——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一 y 方向面上的正应力和切应力；
2、转向对应
——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；
3、二倍角对应
——半径转过的角度是方向面 法线旋转角度的两倍；
点面对应
y yx
e xy
E
C
x
转向对应 与二倍角对应
y
yx
n
xy x
e
x
d
D
E 2
C
二倍角对应
具体作圆步骤
yy
yx
B
A
x
xy
O
C
D’(y ,yx)
确建定立圆由坐心面标和找系半点径
圆心的特点
D D’两点一定是直径的两个端点?
D(x ,xy)
三、 应力圆的应用 信息源
在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分 析问题的工具，而不是计算工具
y yx
x
xy x
x
y
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
解：x 1 0 M P a, y - 3 0 M P a
20MPa
a
x y 2 0 M P a , y x - 2 0 M P a , 30
10MPa 3 0 0 30
x x 2 y x- 2 yco s2 - xysin2
的面对应的点
D
e
o
2 α 0
Cb
D’ 大的正应力的
面对应的点
转向 顺时针
有几个主应力？
σ e o
d
a
C b
σ1 σ σ 2 σ
3 0
4 从应力圆上确定面内最大切应力
τmax
C o
应力圆上的最高点的纵坐标 对应 “ 面内最大切应力” 。
四 几种特殊应力 状态下的应力圆
1：单向拉伸应力状态的应力圆
1 方向角与应力分量的正负号规定
x' y'
正应力正负规定 拉应力为正压应力为负
切应力正负号规定
xy
使微元或其局部顺时针方向转动为正；
反之为负
yx
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义
y 外法线
n
x
以及正负号规定
问题 已知原始单元体互相垂直面上的应力
d d (x- y)co - s2 2 xsyi n 0 2
由此得出另一特征角，用α1表示
tan21＝x2-τxy y
tan21＝x2-τxy y
得到α 的极值
x- 2ysin12xc y os12
max
min
(x -y
2
)2 x2y
特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
y
xy
2
- x 2 xy - - yx- 2 sy i2 c no 2 - s xx y cs yoi2 2 n s
900xy
x
即单元体两个相互垂直面上
的正应力之和是一个常数
-900
yx
xy y
即又一次证明了切应力的互等定理
二 主平面、主应力与主应力方向 1 切应力为零的面为主平面?? 2 主应力
2
排序??
-48.3MPa
1 6 .3 M 8 P 2 0 a , ,3 - 4 .3 M 8 Pa
2 面内最大切应力
y xy
x
xyx-630M 0MPP，aa, y -40MP,a
max
(x -y)22xy
2
3400
3 主平面的位置
y xy
x
代入 表达式可知
x 60MP，a y -40MP,a
主平面上的正应力 ??
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
要求方向
x x 2 - 2 y y s ix n - 2 2 y c xcyo o - ss2 x 2syi n2
1 切应力为零的面为主平面
0x- 2ysi n 0 2 xc y o 0s2 0
2 求主平面位置