第05章 主应力法
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第05讲 应力张量
主应力
1、主应力的求解
旋转坐标轴，使Q点的斜面ABC
正好是主平面(τ=0),则斜面上 全应力S就是正应力σ(σ=S)。
S在三轴上的投影
SSyx
l m
S z n
以l,m,n为未知数的齐次线性 方程组。其解有二。
S S
x y
xl yxm zxn xyl ym zyn
1
2
3
又 l2 m2 n2 1
S1122
S22
2 2
S32
2 3
1
椭球面方程，其主半轴的长度分 别为σ1，σ2，σ3。——称应力椭球 面。它是任意斜面全应力矢量S端 点的轨迹。
应力椭球体
2、应力状态的分类
a）若σ1≠σ2≠σ3≠0——三向应力状态。 b）若σ1≠σ2≠0,σ3=0——二向应力状态。 c）若σ1≠0;σ2=σ3=0——单向应力状态。 d）若σ1≠σ2=σ3——圆柱应力状态（包括单向应力状态）。⊥ σ1 的方向均为主方向。 e）若σ1=σ2=σ3——球应力（静水应力）状态。τ≡0,各方向均 为主方向。
3阶张量
张量的概念
2、张量的概念
标量：一个数，当坐标变换时，(xi)= ’(xi’)，即不依赖 于坐标，则定义为标量——零阶张量。
矢量：三个数的集合，当坐标变换时，根据式ai’=Mi’iai,由 a1,a2,a3变为a1’,a2’,a3’，则此三个分量定义为矢量——一阶
张量。
张量：32个数的集合，当坐标变换时，根据式Ti’j’=Mi’i Mj’jTij,由Tij变为Ti’j’，则此九个分量定义为二阶张量——简
1 9 2 3 3 3 3 3
主应力法ppt课件
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
26
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
弯
2
b
Rd 1
r
d r r drhd
r rhd
2 f rdrd
2 hdrsin
d
2
0
整理得: d r 2 f r 0
dr h
r
在均匀变形条件下，圆柱体压缩时产生的径向应变为: d r
dr r
周向应变 :d
2
r
dr
2r
2r
dr r
即: d r d
由应力应变关系式可得: r
整理得到:
对上式微分得: d x dp
整理得: dp 2p 0
dx
h
( x
y )2
4
2 xy
4k 2
d x 2p 0 dx h
5） 积分并确定积分常数
对上式积分得:
2 x
p Ce h
根据应力边界条件定积分常数,当x=b/2时,σx=0,得:
2 b
C 2ke h 2
2 b x
p 2ke h 2
10
2） 列出单元体的静力平衡方程，单元体沿x方向的静力 平衡方程为:
Fx x d x lh xlh 2 f ldx 0
f
x
x d x
构造地质学05第五章岩石力学性质
一、库伦剪切破裂准则 所谓准则，指的是基本条件是什么，库伦指出， 假定材料的破坏，取决于最大剪切应力，按照 这个理论建立的条件是：
τｍａｘ＝ τ０ …（１）
τ０为抗剪强度极限
理论上，破裂面应沿最大剪应力面产生，形成棋 盘格式构造。剪裂角＜ ４５０？
库伦解释是岩石抗剪强度与剪应力和正应力有 关，因此将（１）式改为：
De/dt 常量
撤出应力
t0 t1 t2
t3
时间
永久应变
t4 t5
松弛——保持应变不变，应力随时间而减小。 （相当于降低了岩石的弹性极限） （1）、应力随时间减小，松弛速度急剧下降。 （2）、应力经很长时间后可趋于一极限值
实践证明：在地质上岩石能否在很长时间的极 小差异应力下不断变形，需要一定的温度和压 力条件，因为它一般发生在地壳深层或它具备 有利于蠕变之条件的地方，如某些强变形带中。
剪切 脆性
挠曲
压扁
流动 温度
韧性
熔融 围 压
岩石随P-T条件的变化而呈现 变形习性及相应的主要变形机制
显理 示想 了的 各地 构壳 造一 层段 次剖 构面 造， 样剖 式面
三．岩石变形的时间因素
在地质条件下，岩石变形是长期的，通常要 以百万年为单位，因此评价时间因素对岩石变 形的效应具有关键意义。
σｙ＝０
完全塑性材料。没
有载荷，变形继续
增大。
如果超过屈服点，继 续塑性变形，需施加 更大的应力超过屈服 应力，这个过程称应 变硬化或加工硬化。 经过一段应变硬化的 塑性变形后卸载，应 力－应变曲线回到e２ 表明总的永久变形。
应变硬化
σｙ＞０ σｙ＝０
如果将同样应力继续 加上去，应力－应变 曲线则沿以前路径回 到塑性变形Ｐ位置上 ，好像增大了弹性范 围和增高了屈服应力 （σｙ／）。因此应变 硬化可以看作屈服强 度随递进变形而连续 升高。
τｍａｘ＝ τ０ …（１）
τ０为抗剪强度极限
理论上，破裂面应沿最大剪应力面产生，形成棋 盘格式构造。剪裂角＜ ４５０？
库伦解释是岩石抗剪强度与剪应力和正应力有 关，因此将（１）式改为：
De/dt 常量
撤出应力
t0 t1 t2
t3
时间
永久应变
t4 t5
松弛——保持应变不变，应力随时间而减小。 （相当于降低了岩石的弹性极限） （1）、应力随时间减小，松弛速度急剧下降。 （2）、应力经很长时间后可趋于一极限值
实践证明：在地质上岩石能否在很长时间的极 小差异应力下不断变形，需要一定的温度和压 力条件，因为它一般发生在地壳深层或它具备 有利于蠕变之条件的地方，如某些强变形带中。
剪切 脆性
挠曲
压扁
流动 温度
韧性
熔融 围 压
岩石随P-T条件的变化而呈现 变形习性及相应的主要变形机制
显理 示想 了的 各地 构壳 造一 层段 次剖 构面 造， 样剖 式面
三．岩石变形的时间因素
在地质条件下，岩石变形是长期的，通常要 以百万年为单位，因此评价时间因素对岩石变 形的效应具有关键意义。
σｙ＝０
完全塑性材料。没
有载荷，变形继续
增大。
如果超过屈服点，继 续塑性变形，需施加 更大的应力超过屈服 应力，这个过程称应 变硬化或加工硬化。 经过一段应变硬化的 塑性变形后卸载，应 力－应变曲线回到e２ 表明总的永久变形。
应变硬化
σｙ＞０ σｙ＝０
如果将同样应力继续 加上去，应力－应变 曲线则沿以前路径回 到塑性变形Ｐ位置上 ，好像增大了弹性范 围和增高了屈服应力 （σｙ／）。因此应变 硬化可以看作屈服强 度随递进变形而连续 升高。
第05讲 应力张量
主应力简图
受力物体内一点的应力状态，可用作用在应 力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数 及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。 一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负 号，并不表明所作用应力的大小。
主切应力
概念
主切应力平面：切应力取极值的平面。 主切应力：主切应力平面上的切应力。 最大切应力：主切应力中最大者。
l m n 1
2 2 2
主应力
3、应力不变量
3 J1 2 J 2 J 3 0
对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应 力数值,即J1,J2,J3是不变量,不随着坐标轴的变换而 发生变化。所以J1,J2,J3分别被称为应力张量的第 一、第二、第三不变量。
主应力
张量的性质
（1）张量的分量一定可以组成某些函数f(Tij),这些函数的值不 f (Tij ) f (Tkl ) 随坐标而变。即 （2）同阶张量各对应分量之和或差为另一同阶张量。
（3）二阶张量T，若TT=T，则称为对称张量，若TT=--T，
则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和 一个反对称张量之和。
( x )l yxm zx n 0 xyl ( y )m zy n 0 l m ( )n 0 yz z xz
-5l 2m 3n 0 2l -3m n 0 3l m-4n 0
S x x l yx m zx n S y xyl y m zy n S l m n xz yz z z
以l,m,n为未知数的齐次线性 方程组。其解有二。
( x )l yx m zx n 0 xy l ( y )m zy n 0 l m ( )n 0 yz z xz
构造地质学 05章-节理
2013-7-8
《构造地质学》-李强
21
雁裂节理的要素： 雁列带: 雁列节理和雁列脉成带状展
布的空间范围
雁列面: 穿过雁列带中各个单脉的中
心而平分雁列带的中心面叫雁列面。
雁列轴: 雁列面在雁列带横截面上的 迹线。 雁列角: 单脉与雁列脉之间的锐夹角 为雁列角。雁列角有两个高峰值, 一 个为45°左右, 属于张裂型节理; 另
2013-7-8
《构造地质学》-李强
8
④剪节理一般切割力较强，发育于砾岩和砂岩中的 剪节理，一般都会穿切砾石和沙粒等粒状物体。 ⑤典型的剪节理往往组成由两组不同走向的剪节理
构成的共轭“X”型节理系，这种节理系发育较
好时，则将岩石切割成菱形或棋盘格状。
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《构造地质学》-李强
9
“X”型共轭节理系将岩石切割成棋盘格式岩块
《构造地质学》-李强
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三、特殊节理组合类型
雁列节理和雁列脉的要素及其特征: 左列和右列:
雁列节理或雁列脉在平面上有左列和右列两种型
式。当垂直节理走向观察时，远侧节理向左侧错列或
在左端重叠时，称为左列；反之，远侧节理向右侧错
列或在右端重叠时，称为右列。
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《构造地质学》-李强
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右列型式的雁列脉
2013-7-8
《构造地质学》-李强
5
根据节理产状与褶皱轴方位之间的关系 纵节理: 节理走向与褶皱轴向平行的节理。 横节理: 节理走向与褶皱轴向直交的节理。 斜节理: 节理走向与褶皱轴向斜交的节理。
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《构造地质学》-李强
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节理的成因分类: 可将节理划分为原生节理和次生节理两类:
材料成形原理-第5章 主应力法
主要塑性解析方法
主应力法 滑移线法 上限法
特殊问题
平面应变，轴对称，平面应力等
简化模型 简化边界，简化物理模型，简化几何模型 近似解析 求解过程简化
主应力法
主应力法 主应力法是求解塑性加工问题的一种比较常用 的解析方法。又称为切块法，初等解析法，力 平衡法等 假设材料以均匀变形； 将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡 方程； 将二次方程的Mises屈服准则简化为线性方程； 最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。 优点是数学运算简单，可以确定材料参数、变 形几何体尺寸、摩擦等对成形的影响
为摩擦系数
常摩擦力模型
f = mk m为摩擦因子，0<m<1， k为剪切屈服强度
主塑性流动规律切取单元体，单元体
包含接触表面在内；
通常所切取的单元体高度等于变形区的高度，将
切面上的正应力假设为均匀分布的主应力
正应力的分布只随单一坐标变化，就可以将偏微 分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程
主应力法
主应力法的基本原理 在应用Mises屈服准则时，忽略应力和摩擦切应力 的影响，将Mises屈服准则简化为线性方程； 对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示
主应力法
主应力法的基本原理 假设材料变形是均匀的，变形状态属于平面应变 或轴对称问题； 在平面应变条件下，变形前为平截面变形后仍为 平截面，且与原平截面平行
在轴对称条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为 圆柱面，且与原圆柱面同轴
对于形状复杂的变形体，可以根据变形体流动规 律，将其分成若干部分，对每一部分都近似地按 平面应变或轴对称问题处理，最后再拼合在一起， 就可以得到整个问题的解
主应力法 滑移线法 上限法
特殊问题
平面应变，轴对称，平面应力等
简化模型 简化边界，简化物理模型，简化几何模型 近似解析 求解过程简化
主应力法
主应力法 主应力法是求解塑性加工问题的一种比较常用 的解析方法。又称为切块法，初等解析法，力 平衡法等 假设材料以均匀变形； 将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡 方程； 将二次方程的Mises屈服准则简化为线性方程； 最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。 优点是数学运算简单，可以确定材料参数、变 形几何体尺寸、摩擦等对成形的影响
为摩擦系数
常摩擦力模型
f = mk m为摩擦因子，0<m<1， k为剪切屈服强度
主塑性流动规律切取单元体，单元体
包含接触表面在内；
通常所切取的单元体高度等于变形区的高度，将
切面上的正应力假设为均匀分布的主应力
正应力的分布只随单一坐标变化，就可以将偏微 分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程
主应力法
主应力法的基本原理 在应用Mises屈服准则时，忽略应力和摩擦切应力 的影响，将Mises屈服准则简化为线性方程； 对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示
主应力法
主应力法的基本原理 假设材料变形是均匀的，变形状态属于平面应变 或轴对称问题； 在平面应变条件下，变形前为平截面变形后仍为 平截面，且与原平截面平行
在轴对称条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为 圆柱面，且与原圆柱面同轴
对于形状复杂的变形体，可以根据变形体流动规 律，将其分成若干部分，对每一部分都近似地按 平面应变或轴对称问题处理，最后再拼合在一起， 就可以得到整个问题的解
主应力法
接触面上正应力σz的分布规律
1．滑动区
d z 2f z 0 dr h
k f z
2fr C1 exp h
上式积分得： σ
z
当r=R时， r 0 ，将屈服准则 代入上式，得积分常数C1
2f z 2K exp (R r ) 因此： h
x h ( x d x )h 2 k dx 0
d x 2 k 整理后得： dx h 0
（2）由近似塑性条件 y x s 2 K
（ x、 y分别为数值，即绝对值）
→
d y d x 0
（3）将上式带入平衡方程，得： d y 2 k
圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r 1 r zr 1 ( r ) 0 r r z r r 1 zr 2 r 0 r r z r rz 1 z z rz 0 r r z r
F xe
单位流动压力为： p P 1
xe
0
y dx
k . xe
h
ye
在摩擦系数较大时（热镦粗平板（长度远远大于宽 度）），整个接触面上作用着最大摩擦 力
k K
2
s
2
S
，则单位流动压力公式为：
2 1w p S (1 ) 4h 3
当考虑滑动摩擦时，将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
1 3 s
zx xy yz 2 x ( ) x y z x yz
主应力法
C = 2k + 2k
R h
2k σ z = 2k + ( R − r ) h
总压力和平均压力
假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 沿接触面的积分： 沿接触面的积分： R R
P=
2µ ( R−r ) h
∫
0
σ z ⋅ 2π rdr = ∫ σ s e
r z
为单元体边界上的摩擦应力，且是已知 为单元体边界上的摩擦应力，
的，剩下的未知应力只有两个，即 剩下的未知应力只有两个， 个方向的平衡方程就可以了。 个方向的平衡方程就可以了。
σr 和 σz
只需要建立一
§6.2 直角坐标平面应变问题解析
低摩擦条件下镦粗矩形件时， 低摩擦条件下镦粗矩形件时，接触面上单位压力分布 假定在任一瞬间工件的厚度 为h，接触面宽度为b，如 接触面宽度为b 图所示。由于对称性，仅研 图所示。由于对称性， 究其右半部。 究其右半部。
2µ ( R−r ) h
当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ=k 当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得：dσ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得： 积分后得： 积分后得： σ z = − 2 k 由边界条件可得： 由边界条件可得：
r +C h
z
= −2k
dr h
把k作常量处理 作常量处理
dσ x = dσ y
轴对称问题基本方程的简化
研究轴对称问题，采用圆柱坐标系 ( r , θ , z ) 研究轴对称问题， 根据主应力法的假设， 认为变形是均匀的。 根据主应力法的假设 ， 认为变形是均匀的 。 从变形体内分 离出来的单元体的界面是圆柱面， 离出来的单元体的界面是圆柱面 ， 在变形过程中仍保持为 圆柱面。假想一个半径为r 圆柱面 。假想一个半径为r ，高为 z的圆柱体，在变形过程 高为z的圆柱体， 中满足下面的体积不变条件： 中满足下面的体积不变条件：
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K dx ( h K x ) d 0 即： 2 b 1 y
K 2 d dx y h K x b 1
倾斜砧板问题
平衡方程积分
K 2 d dx y h K x b 1
当 x x 时 , e y ye
K 1
K 2 ln( h xK ) C y b 1 K 1
tan 代入 tan l y u y
(tan tan ) dx hd 2 dx x x
(tan tan ) dx hd 2 dx x x
2 2 (tan tan ) dx (tan tan ) dx 0 y
2 2 y
(tan tan ) dx (tan tan ) dx 0
倾斜砧板问题
平衡方程简化
(tan tan ) dx [ h (tan tan ) x ] d 2 dx x b x
2 2 y
(tan tan ) dx (tan tan ) dx 0
第五章 主应力方法
第一讲 平面问题主应力法
第一讲 平面问题主应力法
主应力法基本原理 平行砧板镦粗问题 倾斜砧板镦粗问题
主应力法的基本原理
塑性力学分析的目的 1.确定变形力(功),合理选用设备、设计模具、制定工 艺 2.分析金属流动规律，合理选用毛坯尺寸、设计型腔
主应力法的基本原理
塑性力学分析的基本方法
h h (tan tan ) dx d h d (tan tan ) dx 2 dx tan dx tan dx 0
x x x x x u l
(tan tan ) dx d h 2 dx tan dx tan dx 0 x x u l
平行砧板问题
平均流动应力
2 mK ( x x ) y e ye h
单位流动压力：
P 1 x 1 x mK e e 2 p dx [ ( x x ) ] dx y e ye 0 0 A x x h e e mKx 1 mK 1 x 2 x e e e ( 2 x x x ) | | e 0 ye 0 ye x h x h e e
倾斜砧板问题
平衡方程简化
(tan tan ) dx d h 2 dx tan dx tan dx 0 x x u l
2 2 tan dx tan dx tan dx tan dx 0 y y
3. 忽略摩擦切应力的影响，认为基元体上的应力为主应力，塑性条件简化。
2 2 2 ) 4 4 K 平面应变： ( x y xy
2 K x y
主应力法：以主应力表示的近似平衡方程与近似塑性 条件联解以求接触面上应力分布的一种方法。
主应力法的基本原理
主应力方法的本质
2 Y 3
由近似塑性条件 y x
d d y x
2 Y (tan tan ) dx [ h (tan tan ) x ] d b y 3 2 2 2 dx (tan tan ) dx 0
倾斜砧板问题
平衡方程简化
主应力法又称切块法、切片法、切条法 实质：平衡微分方程和塑性条件联解
ij 0 x j
f( C ij)
主应力法的基本原理
主应力方法的适用范围
镦粗型流动：金属流动方向⊥模具运动方向；
挤压型流动：金属流动方向∥模具运动方向。 常见的金属流动类型：
纵 平面应变的 横 轴对称的
纵 横
向流动 向流动
镦粗型（平面应变镦粗） 挤压型（平面应变挤压）
镦粗型（轴对称镦粗） 挤压型（轴对称挤压）
平行砧板问题
例一
例一：平行砧板间的平面应变镦粗
设 mK , K Y /3
求：变形力和平均应力
平行砧板问题
列平衡方程
对基元板块，列平衡方程：
P lh ( d ) lh 2 ldx 0 x x x x
ij 0 （3个） x j
f( C（1个） ij)
d ij ( du 1 ( du j) i) d （6个） d （6个） ij ij ' 2 x x j i
ij,du 未知量： ij,d i 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分无摩擦时(τ=0),如 直线mn所示。 2 mK ( x x ) y e ye σy=2K h Δgmn为τ引起的σy 1. 若xe为相邻变形区边界，则σye, σy,由边界条件定； 增加值。 2. 若xe为自由表面，σxe=0,则σye=2K。
讨论分析
2 2 K ( Y ) 当x=xe时， y ye 3 2 mKx e x=0 时， y ye h
整理 h ( d )[ h (tan tan ) dx ] 2 dx x x x
tan dx tan dx 0 u l
倾斜砧板问题
局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
tan 同理： tan u y l y
K K 2 2 ln( h x K ) C ln[ h x (tan tan )] C 即 ye b e 1 b e K 1 K 2ln h C e K 1
代入原式
h K e 2 ln( ) y ye K h xK 1 b 1
平行砧板问题
求解微分方程
2 2 mK d dx dx y h h
2 mK x C y h 当 x x 时 , , e y ye 2 mK 则 x C ye e h 2 mK C x ye e h
2 mK 得： ( x x ) y e ye h
倾斜砧板问题
平衡方程简化
(tan tan ) dx hd 2 dx x x
2
(tan tan ) dx (tan tan ) dx 0 y
2
代入 h h (tan tan ) x b
(tan tan ) dx [ h (tan tan ) x ] d 2 dx x b x
讨论
平面挤压问题的变形力
讨论
h K 2 ln( e ) y ye K h xK 1 b 1
2 l n ( x
K K 1
w e ) x e w y K b 1
讨论
w K e 2 l n ( ) x x e K w y K 1 b 1
2 x - y Y 3
dx cos cos
l
dx sin cos
倾斜砧板问题
平衡方程
xh (x dx )[h (tan tan)dx ] dx dx cos cos cos cos
u dx dx sin l sin 0 cos cos
2K
g m
y
n
b
平行砧板问题
讨论分析
与材料有关 与摩擦系数有关 与边界条件有关 与几何形状有关
mKx e p y e h
宽度b,高度h的工件平面自由镦粗时： m b 2 K [ 1 ( x )] y h2 mb p2 K ( 1 ) 4h
倾斜砧板问题
角度定义
w 2 K 2 e 2 =Y l n ( ) - Y x x x e K 3 K 3 1 wy b 1
当 y=ye时
ye 0
2 xe - ye Y 3
xe
2 Y 3
讨论
w 2 K 2 e 2 =Y l n ( ) - Y x x x e K 3 K 3 1 wy b 1
倾斜砧板问题
平均应力求解
h K e 2 ln( ) y ye K h xK 1 b 1
x x h P1 1 e eK e 2 p dx [ ln( ) ] dx y ye 0 0 A x x K xK e e 1 h b 1
K 1 K 2 2 p [ h (ln h 1 ) h (ln h 1 )] ( h ) e e b b ye ln e 2 K x K 1 e 1
为了使推导的 σy和p 的计算公式适合于 所有类型，规定α,β 的正负号： α,β使流道变宽为 正，且 tan(- α)=-tan(α)
倾斜砧板问题
平衡方程
xh
( ) [ ( t a nt a n )] d x x dh x
dx dx sin cos u cos cos
x x
h ( d ) h 2 d x 0
x
整理
2 d x dx h
平行砧板问题
带入近似屈服条件
2 d x dx h
由近似塑性条件： y x 2K 得
d d x y
2 2 mK d dx dx y h h
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设