主应力法全解析全解
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WH6主应力法1
只有停滞区
17:48:18
z s 1 R2 r 2 hr
F
R
0
z 2 rdr 0
平面应变时 =1.155
1 x 3 y
y
y x 1.155 s
d x 2 y h dx
x
11
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
代入原式得：
17:48:18
d y
2 y h
d x
2 y h
单位流动应力：
2 rb 2 rb 1 h 1 2 R 1 rb 2 1 h p s { ( )2 [ (1 ) (1 )] ( ) (1 ) ( )2 } 2 r 2 h h 2 R 3h 12 R
30
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
情况2： 0 , d h 2
边界条件：
2 s h
rdr
z h r2 c
2
s
停滞区:
z r h s c
r h
制动区: z
(2
rb h h
1
) s
c (1 2
rb h h
1
) s
停滞区
的应力分布：
z (2
rb h h
1
h r ) 2
b)当 0( 0.5) 时：
rb R h
滑动区和制动区同时消失。
27
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
6) 镦粗变形力计算
F
17:48:18
Z
17:48:18
z s 1 R2 r 2 hr
F
R
0
z 2 rdr 0
平面应变时 =1.155
1 x 3 y
y
y x 1.155 s
d x 2 y h dx
x
11
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
代入原式得：
17:48:18
d y
2 y h
d x
2 y h
单位流动应力：
2 rb 2 rb 1 h 1 2 R 1 rb 2 1 h p s { ( )2 [ (1 ) (1 )] ( ) (1 ) ( )2 } 2 r 2 h h 2 R 3h 12 R
30
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
情况2： 0 , d h 2
边界条件：
2 s h
rdr
z h r2 c
2
s
停滞区:
z r h s c
r h
制动区: z
(2
rb h h
1
) s
c (1 2
rb h h
1
) s
停滞区
的应力分布：
z (2
rb h h
1
h r ) 2
b)当 0( 0.5) 时：
rb R h
滑动区和制动区同时消失。
27
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
6) 镦粗变形力计算
F
17:48:18
Z
6-2 主应力法及其应用_轴对称问题
代入边界条件：当z= ze时，σz = 0，得：
度h＝25mm，设接触表面摩擦切应力τ＝0.2Y，已知Y＝746ε0.2MPa，试 求单位变形力p及总的变形力P？
解： mK m Y 0.2Y
2
m 0.4
re 25 2mm d 50 2mm h 25mm
ln 25 0.7 Y 746 0.70.2 694 .64MPa
轴对称镦粗受力分析
金属塑性成形原理
屈服条件： z r 2K Y
d z d r
联解得：
d z
2
h
dr
z
2
h
r
C
代入边界条件求解C，即当r = re时，σz = σze，得：
z
2
h
(re
r) ze
re d / 2
C
ze
2
h
re
p
P F
1
re2
re 0
z
dF
1
re2
re [ 2
0h
(re
r) ze ]2rdr
2 re
3h
ze
又： K 对于轴对称变形： K Y
2 在自由表面上，σre= 0，故σze= Y
高度为h，直径为d的圆柱体自由镦粗时压应力和单位变形力分别为：
z
Y [1
h
(d 2
r)]
p Y (1 d )
6h
金属塑性成形原理
接触面上的摩擦切应力及其对正应力分布的影响：
300
（3）计算单位变形力和总变形力
p Y (1 d ) 791.48(1 0.6 566) 1090MPa
6h
6 150
变形力： P p d12 1090 (400 2)2 273946 kN
s主应力法讲解
本构方程，4个 几何方程，2个
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
Байду номын сангаас
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
Байду номын сангаас
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
6-1 主应力法及其应用_平面应变问题
挤压型的金属流动，基本上沿着平行于工模具运动的方向
金属塑性成形原理
一、平面应变镦粗型的变形力
长矩形板的镦粗， l >>宽b和高 ， l 方向应变 很小，可视为平面应变处理。求接触面上的压力 σy，单位面积变形力p。
1. 平行砧板间的平面应变镦粗(常摩擦条件)
摩擦力不变条件： K （μ为摩擦因子 ）
设长度为l（垂直于图平面的z方向）
X方向应力满足平衡方程式：
xlh ( x d x )lh 2ldx
d
x
2
h
dx
2K
h
dx
即x方向的应力增量由切向摩擦力导致
镦粗 方向
σy
σye
τ
σx
金属流动方向
τ
x
dx
b/2
平行砧板间平面应变镦粗
σx+dσx
h
金属塑性成形原理
屈服方程为： y x 2K
图6-1 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
金属塑性成形原理
2．假设在接触面上有正应力和切应力(摩擦力)，切面上的正应力假定为 主应力，且为均匀分布（即与一坐标无关）。
3. 在对该基元体或基元板块列塑性条件时，假定各坐标面上作用的正应 力即为主应力，而不考虑面上切应力（包括摩擦切应力）对材料塑性条 件的影响。
d y d x
所以：
y
d
y
d x
2K
h
dx
2K
h
x
C
代入边界条件求解C，即当x=b/2时，σy = 2K，所以：
工件外端为自由表面： xe 0 ye 2K
主应力法又称切块法，是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件，并联立求解。
金属塑性成形原理
一、平面应变镦粗型的变形力
长矩形板的镦粗， l >>宽b和高 ， l 方向应变 很小，可视为平面应变处理。求接触面上的压力 σy，单位面积变形力p。
1. 平行砧板间的平面应变镦粗(常摩擦条件)
摩擦力不变条件： K （μ为摩擦因子 ）
设长度为l（垂直于图平面的z方向）
X方向应力满足平衡方程式：
xlh ( x d x )lh 2ldx
d
x
2
h
dx
2K
h
dx
即x方向的应力增量由切向摩擦力导致
镦粗 方向
σy
σye
τ
σx
金属流动方向
τ
x
dx
b/2
平行砧板间平面应变镦粗
σx+dσx
h
金属塑性成形原理
屈服方程为： y x 2K
图6-1 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
金属塑性成形原理
2．假设在接触面上有正应力和切应力(摩擦力)，切面上的正应力假定为 主应力，且为均匀分布（即与一坐标无关）。
3. 在对该基元体或基元板块列塑性条件时，假定各坐标面上作用的正应 力即为主应力，而不考虑面上切应力（包括摩擦切应力）对材料塑性条 件的影响。
d y d x
所以：
y
d
y
d x
2K
h
dx
2K
h
x
C
代入边界条件求解C，即当x=b/2时，σy = 2K，所以：
工件外端为自由表面： xe 0 ye 2K
主应力法又称切块法，是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件，并联立求解。
主应力法
接触面上正应力σz的分布规律
1．滑动区
d z 2f z 0 dr h
k f z
2fr C1 exp h
上式积分得： σ
z
当r=R时， r 0 ，将屈服准则 代入上式，得积分常数C1
2f z 2K exp (R r ) 因此： h
x h ( x d x )h 2 k dx 0
d x 2 k 整理后得： dx h 0
（2）由近似塑性条件 y x s 2 K
（ x、 y分别为数值，即绝对值）
→
d y d x 0
（3）将上式带入平衡方程，得： d y 2 k
圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r 1 r zr 1 ( r ) 0 r r z r r 1 zr 2 r 0 r r z r rz 1 z z rz 0 r r z r
F xe
单位流动压力为： p P 1
xe
0
y dx
k . xe
h
ye
在摩擦系数较大时（热镦粗平板（长度远远大于宽 度）），整个接触面上作用着最大摩擦 力
k K
2
s
2
S
，则单位流动压力公式为：
2 1w p S (1 ) 4h 3
当考虑滑动摩擦时，将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
1 3 s
zx xy yz 2 x ( ) x y z x yz
主应力法
C = 2k + 2k
R h
2k σ z = 2k + ( R − r ) h
总压力和平均压力
假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 沿接触面的积分： 沿接触面的积分： R R
P=
2µ ( R−r ) h
∫
0
σ z ⋅ 2π rdr = ∫ σ s e
r z
为单元体边界上的摩擦应力，且是已知 为单元体边界上的摩擦应力，
的，剩下的未知应力只有两个，即 剩下的未知应力只有两个， 个方向的平衡方程就可以了。 个方向的平衡方程就可以了。
σr 和 σz
只需要建立一
§6.2 直角坐标平面应变问题解析
低摩擦条件下镦粗矩形件时， 低摩擦条件下镦粗矩形件时，接触面上单位压力分布 假定在任一瞬间工件的厚度 为h，接触面宽度为b，如 接触面宽度为b 图所示。由于对称性，仅研 图所示。由于对称性， 究其右半部。 究其右半部。
2µ ( R−r ) h
当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ=k 当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得：dσ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得： 积分后得： 积分后得： σ z = − 2 k 由边界条件可得： 由边界条件可得：
r +C h
z
= −2k
dr h
把k作常量处理 作常量处理
dσ x = dσ y
轴对称问题基本方程的简化
研究轴对称问题，采用圆柱坐标系 ( r , θ , z ) 研究轴对称问题， 根据主应力法的假设， 认为变形是均匀的。 根据主应力法的假设 ， 认为变形是均匀的 。 从变形体内分 离出来的单元体的界面是圆柱面， 离出来的单元体的界面是圆柱面 ， 在变形过程中仍保持为 圆柱面。假想一个半径为r 圆柱面 。假想一个半径为r ，高为 z的圆柱体，在变形过程 高为z的圆柱体， 中满足下面的体积不变条件： 中满足下面的体积不变条件：
第五章主应力法及应用.ppt
3）求摩擦：
4）列出屈服条件：
5）上式和平衡微分方程联解，并将摩擦力代 入，得：
6）由边界条件求c： 当
7）求镦粗力和单位流动压力：
例2：设一球壳，外径 ，内径 ，材 料真实流动应力 ，液压胀形，求内压
轴对称问题，采用球坐标。
解：1）切取单元体。
用四个两两夹角为 的平面和两个同心 球面切取一个单元体。
第五章主应力法及应用
§5.1主应力法的基本原理 §5.2主应力法的应用
§5.1主应力法的基本原理
主应力法的基本思想
是求解金属塑性成形问题的一种简便近似 方法，通过引进一些假设，将变形体的状 态简化成平面或轴对称问题，从而建立新 的能求解的常微分形态的应力平衡方程。
主应力法求解的步骤
1）沿作用力方向选取一个基元块或单元体，画 出应力并假设应力在面元上分布均匀。 2）沿某一方向建立静力平衡微分方程。
由（1）（2）（3）式可得：
*在变形区内边缘， 最大； 最小。
*在变形区外边缘， 最大； 最小。
大作业：一块板料，长L，宽B，厚t，B/t》3，
求解板料弯曲时变形区内的主应力大小。（假设 是无硬化大塑性变形）
2）沿径向列出应力平衡微分方程：
展开且忽略高阶微量，可得：
3）列出屈服条பைடு நூலகம்：
4）上式和应力平衡微分方程(5-1)联解,得：
积分得：
5）由边界条件求c：
边界条件：
内压
例3：轴对称镦粗的变形力。
解：
例4：圆锥孔形挤压。
例5：主应力法在板料成形中的应用。
1.板料成形的特点
a）可作为平面应力问题。 板料成形时，只有一个板面与模具接触，板 厚方向的平均应力不会很大，可忽略。
主应力法全解析
h 2 md p Y (1 ) 6h
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
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第四篇 几种金属流动类型
1.平面应变镦粗型的变形力 2.平面应变挤压型的变形力
3.轴对称镦粗型的变形力
4.轴对称挤压型的变形力
一、平面应变镦粗型的变形力
镦粗 方向
σy τ
σx σx+ dx dx σy
σye
1、基元板（设长dl）平衡方程
P
h
x
xlh ( x d x )lh 2 ldx 0
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
金属塑性成形原理
——主应力法求解塑性成形问题
制导教师：李纬民 小组成员：刘 鹏 刘 帅
张春亮
赵金新
刘章臣
康 冬
第一篇 概述
研究不同形状和性能的坯料，在 不同形状的工模具和不同外力作用下 发生塑性变形时的应力、 应变、流动 状态，是塑性成形理论的根本任务。
第二篇 塑性成形方法概述源自求解塑性变形时的应力、应变和流动状态的基本方 程有平衡微分方程、屈服准则方程、几何方程、本构方程。 这些基本方程包含15个未知数，且为高阶微分方程，加之 变形体的几何形状和边界条件很复杂，因此求得一般解析 是非常困难，甚至是不可能的。目前只有特殊情况或将一 些实际问题进行一些简化假设后才能求得。根据简化假设 的不同，求解方法有主应力法、滑移线法、上限法、有限 元法等。 现在让我们来讨论主应力法在求解塑性成形问题时 的要点和出现的问题
结论：
主应力法的运算比较简单，所得的数学表达式 中，可以分析各有关参数（如摩擦系数、变形 体几何尺寸、变形程度、模孔角等）对变形力 的影响，因此至今仍是变形力计算的一种重要 的方法。
参考文献
王仲仁等编著.塑性加工力学基础. 北京：国防工业出版社 王占学主编.塑性加工金属学. 北京：冶金工业出版社 徐秉业等编.弹塑性力学及其应用.北京：机械工业出版社
第三篇 主应力法的基本原理
实质
将应力平衡微分方程和屈服方程联立求解
基本假设(要点)
一、 把问题简化成平面问题或轴对称问题
二、根据工件变形特点选取基本分析单元——基元体（板块）。 三、接触面上的摩擦切应力采用库伦（常、最大）摩擦条件。 四、建立基元体的力学平衡条件。 五、在屈服条件中忽略切应力的影响。
缺点：
缺点优化讨论：
接触表面上的摩擦切应力都 是按常摩擦条件 τ ＝ mK确定的。 事实上，接触表面上摩擦切应力 的分布相当复杂，不可能是一个 恒值。例如，在接触面上正压力 较小的区域， 的分布更符合库仑 摩擦定律即 ；当正压力较 大以致 达到极值时，则 将不 再随正压力 的增大而增大，此相 应的区域应遵循最大摩擦力不变 条件，即 τ ＝ K；而在分流点 （线）附近的区域，根据金属 沿 接触 表面流动的特点，该区域内 的τ将由某一数值递减至零，过分 流点后沿反向再由零递增至某一 数据。
主应力法的特点：
优点：
主应力法的运算比较简单，所得的数学表达式中，可以分 析各有关参数（如摩擦系数、变形体几何尺寸、变形程度、 模孔角等）对变形力的影响，因此至今仍是变形力计算的 一种重要的方法。 使用这种方法无法分析变形体内部的应力分布。因为所做 的假设是变形体内的应力分布在一个坐标方向上平均化了。 求解的准确性受假设近似程度的限制。 求解复杂形状变形力时需要复杂分解和拼合，降低了准确 度和应用灵活性。 仅适用于接触面积较大的工序，接触面较小时很难算出变 形力的大小。
{简化后的屈服准则方程：σx － σy = 2K（当σx ＞σy）}
第三篇 主应力法的基本原理
得出主应力概念： 将简化的平衡微分方程和屈服方程联 立求解，并利用应力边界条件确定积分 常数，以求得接触面上的应力分布，进 而求得变形力。经过简化后的应力平衡 方程和屈服准则方程实际上都是用主应 力来表示的，故称此法为主应力法。又 因为此法需要切去基元体或基元板块着 手，故又称为“切块法”
3．模锻变形力分析 图6—13a表示圆盘类锻件模锻过程的闭合(打靠) 瞬间。此时的变形力为最大，它包括两部分：飞 边的变形力Pb和锻件本体的变形力Pd .
二、在板料成形中的应用
1、板料成形的特点 1）在板料成形，坯料大多只有一个板面 与模具接触，而另一个板面为自由表面。 2)板料成形大多在室温下进行，因此必须 考虑材料的加工硬化。 3）板料成形过程中，变形区的板料厚度 是变化的。 4)在必要时，还需考虑板料的各向异性的 影响。 2．薄壁管缩口变形的力学分析 薄壁管缩口时，其变形区集中在管子 的锥面段内。现用两个相交的径向平面(子 午面)和两个垂直于锥面的平行平面在变形 区内切取一基元体，其上作用的内、外力 如图。
m b y 2 K [1 ( x)] h 2 mb p 2 K (1 ) 4h
二、轴对称镦粗型的变形力
镦粗 方向
σz τ
σr
σze
金属流动方向
h
dθ σr
σθ σr+ dr σθ
σr+ dr dr σz
r
τ re
高度为h，直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的压 应力σz和单位变形力p m d z Y [1 ( r )]
h 2 md p Y (1 ) 6h
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
6、得结论：宽为b、高为h的工件平面应变自由镦粗时 接触面上的压应力σy和单位变形力p：