(仅供参考)平面应力状态分析-主应力主平面详细推导
平面问题中一点的应力状态
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
x y 2 2 xy
2
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
m ax
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
yx
A
y
x
x l l m p l m l l xy m xy x x x x y x l xy p xyl m m l y ym y xy m xy m l px m y xy l y
问题
§2－ 5
平面问题中一点的 应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
,xy 已知任一点P处坐标面上应力 σx, σy，
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p ,p ), p ( σ , ). x y n n 求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
小结： （1）斜面上的应力
p l m yx x x p m l y y x y
（2-3） （2-4）
2 2 l m 2 l m N x y x y （2-5） 2 2 l m ( ) ( l m ) （2-6） N y x x y
材料力学：第八章 应力应变状态分析
正负符号规定：
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相9;
斜对角线的线
应变和角应变
OB转角
应变与位移分析
3 gxy引起的
B'
斜对角线的线
B''
应变和角应变
OB转角
a
BB BO
BB BO
=
g
xydysinα dl
g
xysin2α
应变与位移分析
(1) (2) (3)
方位线应变ea的参数方程
应变与位移分析
(1) (2) (3)
OB转角(切应变) OD转角(切应变)
二向与三向应力状态，统称为复杂应力状态
纯剪切与扭转破坏
纯剪切状态的最大应力
σc,max
σ t,max
圆轴扭转破坏分析
滑移与剪断发生
在tmax的作用面
断裂发生在
smax 作用面
例题
例4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位
解：1. 解析法
已知:
2. 图解法
先画出应力圆, 在圆上找出主应力大小与方位, 并标在截面图上
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
回顾
设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
回顾
由于tx 与 ty 数值相等，同时
2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)
当面积 AB 无限减小而趋于 P 点时，平面 AB 上的 应力就是上述斜面上的应力。 现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分 量（ px ， py ），或沿法向和切向的分量（ σn ， τn），如图 2-4b所示。
用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：
cosn, x l， cosn, y m
c
0
，则有
F 0， F Mc 0
x
y
0
yx dy dy dx dx xy dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 2 2 y 2 2
力矩方程化简后得到：
xy
1 xy 1 yx dx yx dy 2 x 2 y
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连 续性和小变形假定。 5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微 分方程相同。 6.由于τxy =τyx，以后只作为一个独立未知函数 处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2） 中含有 3个应力未知函数。
由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意 斜面上的正应力 n 及切应力 n 。
3.然后，再求出主应力和应力主向
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面 称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向 称为在P点的一个应力主向。
（2）只在侧边上受有平行于板面且不沿厚度变化 的面力和体力，且不沿厚度变化，体力 f x , f y , o 和面 力 f x , f y , o ，只是x，y的函数，并构成平衡力系；
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位y x xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：z M y I σ=bI QS z z*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。
平面应力状态理论分析
称此圆为应力圆。
R x y xy 2 2
2
由于应力圆最早由德 国工程师莫尔 （otto.mohr,18351918）提出，故又称 为莫尔圆。
R
B
O
x y
2
A
O1
工程力学系
二、应力圆作法 (1)在坐标系内画出A1( x , xy) (2)在坐标系内画出B1( y , yx)
2 0 21
2
即：剪应力极值平面和主平面夹角为45°
工程力学系
第九章 应力状态分析
§9-3 平面应力状态分析的图解法
一、应力圆方程
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 斜截面应力解析表达式 x y sin 2 xy cos 2 2
y yx
zx
yz
xz
z
zy
xy
x
工程力学系
三、应力状态分类
第九章 应力状态分析
三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力 都不等于0;
二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力 都不等于0;
单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于0
y yx
zx
y yx
o
25
30
30
o
30 40
o
x y
2
x y
2
cos 60o xy sin 60o 49.7MPa
30
o
x y
2
cos 60o xy sin 60o 13.1 MPa
max
(推荐)平面应力问题
l
yx
m yx l y
yx P xy
x
y A
fx px
x
为 l2、m2，则
y
B fy py
n
tan 2
cos(90 2 ) cos 2
m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
22
应力主向的计算公式：
tan
1
x
(x
dx,
y)
x
(
x,
y)
x (x, x
y)
dx
1 2!
2 x (x,
x2
y)
(dx)2
1 n!
n x (
x
x,
n
y
)
(dx)n
10
略去二阶及二阶以上的微量后便得
x
(
x,
y)
x (x, x
y)
dx
同样 y 、 xy 、 yx 都一样处理，得到图示应力状
l x m yx l
m y l xy m
19
求解得：
m l
x yx
o
m yx
l y
y
2
(
x
y )
(
x
y
2 xy
)
0
yx y
x
P
A
xy
x B
px
n
n
py p
n
p x l x m yx
应力与应力状态分析
应力与应力状态分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡)其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。
更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。
§4-1 几组基本术语与概念一、变形固体的基本假设1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。
根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。
2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。
3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。
根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。
二、应力的概念1、正应力的概念分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。
由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。
沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。
应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号Ka P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。
几种单位的换算关系为：1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P2、切应力与全应力的概念与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。
K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。
第三讲 平面应力状态分析
f
y
§3.3 平面应力状态分析
3、求解过程
(3) 任意斜截面的应力
e
x xy α
α n
α
α
e
dA
dAcos α
ayx
f
y
a dAsin f
设斜截面的面积为dA, ae的面积为dAcos，af的面积为dAsin。
对研究对象列n和t方向的平衡方程得
Fn = 0
σαdA + (τxydAcos α)sin α − (σxdAcos α)cos α + (τ yxdAsin α)cos α − (σ ydAsin α)sin α = 0
dσα dα
=
−2[ σ x
−σy 2
sin 2α + τxy
cos 2α] = 0
tan
2α0
=
−
2τ xy σx −σy
α0
α0
+
90
0和0+90º确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所
在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。
§3.3 平面应力状态分析
3、求解过程
(4) 斜截面的最大正应力及方位
σα
=
σx
+σy 2
+
σx
−σy 2
cos 2α
− τ xy
sin 2α
最大正应力
将0和0+90º代入公式
得到max和min（主应力）
σσmmainx
=
σx
+σy 2
(
σx
−σy 2
)2
+
τ
2 xy
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
材料力学72平面应力状态应力分析主应力
一、公式推导：
a x
y
y
c
x
a
x
x
b
y
n
c
y
Fn 0 F 0
cos2 1 cos 2
2
sin 2 1 cos 2
2
x y
dA x dAcoscosx 2x dyAcosxs2inycoysd2Asin cxossin 2y dAsin sin 0
sin 2
max
x y sin 2
2
x cos 2
cos 2
450
450
max
450
max
450 0
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。
应力圆
一、应力圆的方程式
x y
300 600 x y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢 拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
450
x y
2
x y cos 2
2
x sin 2
x
x
2
y
2
x y cos 2
2
x sin 2
x y sin 2
2
x cos 2
轴向拉伸压缩
x (1 cos 2)
1
x
y
2
x
2
y
2
2 x
2
切应力等于零的截面为主平面 主平面上的正应力称为主应力
2
12第二章应力状态分析一、内容介...
第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
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平面应力状态分析--主应力主平面详细推导
老和尚小方丈（storylee_dut@）大连理工大学+哈尔滨电机厂有限责任公司
平面应力状态有一个主应力为0，全部应力分量假设位于一个平面，鉴于市场上材料力学教材关于平面应力状态分析公式推导不尽详细，在此进行详细推导，为广大力学人士提供参考，敬请批评指正。
任意斜截面上的应力公式为：
α
τασσσσσα2sin 2cos 2
2xy y
x y x --++=（1）
ατασστα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
（2）
式中，α为斜截面外法线n 与x 轴正向的夹角。
对于主平面方位的确定，根据主平面定义可知，主平面上的切应力为0，由（2）式得：
02cos 2sin 2
000
=+-=
ατασσταxy y
x （3）
即
y
x xy
σστα--
=22tan 0（4）
方程（4）有两个解，主平面方位角0α与 900+α，说明两个主平面互为垂直关系。
将公式（3）的解回代公式（1），可得另外两个主应力，代数值较大的记为max σ，较小的记为min σ，则
2
2
max 22xy y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=（5）
22
min
22xy
y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+=（6）
关于公式（3）的解诸多材力教材没有此部分推导，本文列如下：
对于方程y
x xy
σστα--
=22tan 0更改等效形式0
02cos 22sin ασσταy
x xy
--
=（7）添加方程
1
2cos 2sin 0202=+αα（8）
联立（7）、（8）求得：
222
0222cos xy y x y x τσσσσα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-±=（9）
22
2
022sin xy y x xy
τσστα+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=
（10）
注意（9）、（10）公式正负号的对应，再将（9）、（10）代入公式（3）推得主应力计算公式（5）、（6），至此，详细推导完成！。