第二十讲 应力状态解析法、图解法 (之一)
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平面应力状态解析法推导
平面应力状态解析法推导咱们今天来聊聊一个听起来有点高大上，但实际上超有用的东西——平面应力状态解析法。
别紧张，咱们一步步来，保证让你觉得这事儿就像喝杯茶一样轻松。
想象一下，你手里有一块钢板，上面受了各种方向的力，这时候，钢板里的应力状态就复杂了。
咱们要做的，就是用平面应力状态解析法，把这复杂的应力状态给拆解开来，看看它到底是个啥模样。
首先，咱们得明确一下，什么是平面应力状态。
简单来说，就是物体在某个平面上受到的力。
这个平面啊，就像咱们平时用的白纸一样，平平整整的。
而物体在这个平面上受到的力，就像是有人在纸上画画，有直的线、弯的线，还有各种颜色的笔迹。
好，接下来咱们进入正题，看看怎么推导平面应力状态解析法。
一、从基础开始1.1 力的分解咱们知道，力是有方向的。
在平面应力状态下，一个物体受到的力可以分解成两个方向上的分量：一个水平方向，一个垂直方向。
就像是咱们小时候玩的拉力器，你往两边拉，它就有了一个水平方向上的拉力；而如果你往上拉，它就多了一个垂直方向上的拉力。
1.2 应力的概念应力呢，就是物体单位面积上受到的力。
咱们可以把物体想象成一块大蛋糕，应力就像是蛋糕上挤的奶油，越多越厚，就表示受到的力越大。
二、平面应力状态的分析2.1 方向应力方向应力啊，就是物体在某个特定方向上受到的应力。
就像是咱们吃烤肉，肉片上的纹理就是它的方向，而火烤在上面，就是给它加了一个方向应力。
2.2 剪切应力剪切应力呢，就像是咱们用剪刀剪纸一样，纸在两个方向上都受到了力的作用，但它并没有被拉断或者压扁，而是被剪开了。
在平面应力状态下，物体也可能受到这样的剪切应力。
2.3 主应力和主方向主应力和主方向啊，就像是咱们找一个人身上的优点一样。
在平面应力状态下，物体也有一个“优点”，就是它受到的最大的那个应力，叫做主应力；而这个应力的方向呢，就是主方向。
三、推导过程3.1 建立坐标系咱们得先在物体上建立一个坐标系，就像是给地图定位一样。
平面应力状态分析-解析法
x 70MPa x 0 MPa
y 50 MPa
60
x
y
2
x
y
2
cos(2 60) x
sin(2 60)
70 50 70 (50) cos120 20 MPa
2
2
60
x
y
2
sin(2 60) x cos(2 60)
70 50
sin120 2
51.96 MPa
x
y
2
x
2
y
2
2 x
10 20
2
10
20
2
2
102
3.82 MPa 26.18 MPa
三个主应力按代数值排序为
1 0
2 3.82 MPa 3 26.18 MPa
练习
求主应力?
x 60 MPa y 0 MPa x 40 MPa
max
min
x
y
2
x
2
y
2
y
可确定两个相互垂直的主平面
0 0
限定它们为正的或负的锐角
主应力的计算：
max
min
x y
2
x
2
y
2
2 x
max min x y
校核式
主应力和主平面 之间的对应关系
顺τ转最大
【例 2】 求主应力?
x 10 MPa y 20 MPa x 10 MPa
max
min
主平面和主应力
对于平面应力状态，因为单元体有一对面上没有应力，所 以这一对面就是主平面，且必有一个数值为零的主应力。
下面分析单元体的其余两个主平面和主应力： 确定主平面的位置: 切应力为零的平面为主平面
应力分析
k
E 3(1 2 )
体积弹性模量
略去高阶无穷小
讨论: ⑴θ与三个主应力和有关 ⑵一般μ<0.5,θ都存在。
例题
34
§9.7 复杂应力状态的变形比能
㈠变形比能 ⒈简单应力状态:
1 u 2
1 u 2
⒉三向应力状态
变形能、变形比能与加力次序无关，与外力和 变形的最终值有关。
1 1 1 u 11 2 2 3 3 2 2 2
4
§9.2 二向和三向应力状态的实例
㈠二向应力状态实例(受压的薄壁筒) 设内压为p,壁厚为t,D为内径, ⒈横截面上应力(σ)
1 P p D 2 4 1 2 p D P ' 4 A Dt
'
pD 4t
横截面上应力
5
⒉纵截面上应力
N "tl
微截面: l
微压力: pl
⒉广义胡克定律
由实验知：对各向同性材料， 当小变形且在弹性范围内时， ε只与σ有关，与τ无关 γ只与τ有关，与σ无关 σx单独作用
εx=
εy= εz=
σy
σx
E为何相同？
x E
σy单独作用
y
E
σz单独作用
+
+
+
+
z
x
x E
E
+
y E y
E
E z
E
+
z E
31
V1 V 1 2 3 体积应变 V 3(1 2 ) 1 2 3 m 1 2 1 2 3 ( 1 2 3 ) E 3 k E 2 3 m 1 其中: 平均应力
二向应力状态分析--解析法和图解法
0 0 90 O
练习求单元体 1 主应力的大小 2 主单元体 3 (面内)最大切应力（应力单位取MPa)
TSINGHUA UNIVERSITY
20 40
顺时针!!
x -40MPa\ \ \ \ y -20MPa xy -40MPa 40
1 11.2MPa\ \ \ \3 -71.2MPa 2 0
特别说明
y 0,
二向应力状态
xy x
横力弯曲 中性轴
其它点
中性轴
xy
圆轴扭转
除了梁顶(底) 二向应力状态
例题3
P
70
TSINGHUA UNIVERSITY
50
解：
x -70MPa
1 主应力大小 2 主平面位置 3 绘出(主应力)单元体。
y 0
xy 50MPa
1 求主应力
大 大 27.5
x
x
y
2
x
- y
2
cos 2
- xy
sin 2
b
3
00
20MPa
10 - 30 10 30 cos 60 - 20sin 60
30
2
2
30MPa
-17.32MPa
x
- y
2
sin 2
xy
cos 2
30
10 30 sin 60 2
20cos 60
27.32MPa
思考 900 ？ 900 ？？
T (Me)
Wt
x y 0 xy
TSINGHUA UNIVERSITY
2 求主应力
max min
x
y
2
x
-
2
y
二向应力状态分析—图解法
§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
二向应力状态分析--解析法和图解法ppt共54页
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
二向应力状态分析--解析法和图解法ppt 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
54
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
二向应力状态分析--解析法和图解法ppt 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
54
1.2应力状态解析法
Ft 0
t dA s xdAcos sin t xydAcos cos
s ydAsin cos t yxdAsin sin 0
5
sy
考虑切应力互等和三角变换，得：
y
sx
txy
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttyx
t
sx
s y
t xy
t
m Wp
t
求极值应力
t
y
Ox
s max s min
sx
sy
2
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t2 xy
t
14
s1 t ;s 2 0;s 3 t
tg20
2t xy sx sy
-
0 -45
铸铁构件破坏分析
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应 力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可 以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。
40
解：1）s x 60 s y －40 t xy 50
50 2）求主应力
60
s max s min
sx
sy
2
sx
s y
2
2
t
2 xy
80.7 60.7
（应力单位 MPa ） s1 80.7 s 2 0 s 3 60.7
11
3）求主方向
s3
s1
tg20
2t xy sx sy
1
0 22.5
0
s x s y 0为s max与x轴夹角
《应力状态分析》课件
意义
揭示了物体在受力状态下 内部应力的分布规律，为 分析强度、刚度和稳定性 问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作 用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的 正应力作用，即平面应力 状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的 的正应力作用，即空间应 力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的 应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、 薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态 的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变 。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢 量在空间位置和方向上的 分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力 状态由三个正交的主应力 及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对 每个单元进行受力分析，再通过单元 的集合得到整体的平衡方程，求解得 到各点的应力分量。适用于复杂几何 形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关 系，从而反推出物体的应力状态。适 用于无法通过理论分析求解的复杂问 题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。
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例4 两端铰支的焊接工字钢梁，如图所示。试绘制 C截面稍 左截面上a、b两点应力单元体，并求出单元体上应力的数值，
然后求这两点的主应力。P 250kN
P
C -平面
FS 15
270
120 9
0.4m
b
1.6m
x,b
x,a
a
a
Mc Iz
ya
80 103 88 106
0.135Pa
123MPa
x,a
a
FF
S
za
Iz b
200 103 256 106 88106 9 103
Pa 64.6MPa
aM
a
b
15 b
中性
max
之一
Iz
120
300 3 12
55.5 270 3 12
2
88 106 mm 4 88 10 6 m4
例题4 §7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
Mechanic of Materials
4 0
6
§7.4 二向应力状态分析——图解法
Mechanic of Materials
1 y
σx x
若x<y，0 对应不为零的较小主应力
3 0 x y 0, x 0
x
y
0,
x
0
σ
x
3
y
3
A x σx tan 20 0
y 1
tan 20 0
x
1 y
1
σx
0
x 3
1
σx
x
y 3
x
x y 0, x 0
σ0 x tan 20 0
3 y
x y 0,x 0 σx x
sin 2
x
cos 2
61.21 0 sin(120o) (73.24) cos(120o) 2
10.115(MPa)
之一
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
Mechanic of Materials
例6：试画图示拉弯构件点A的原始应力单元体，并求 A 点-60o斜截面上的应力。
MM
MM δδ
（2）求主应力
40
60 s
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 x
40 0 2
40
0
2
2
(60)2
20
63.25
83.25MPa 43.25MPa
解:（1）求450斜截面上的应力 大小: 1 83.25MPa, 2 0,3 43.25MPa
x 40MPa, y 0, x 60MPa
40 sin 90o (60) cos 90o 20MPa 2
方向: s 80.78o或 9.22o
正应力: 9.22o
x y
2
40 2
0
20MPa
Mechanic of Materials
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
例2 试求图示应力状态的 1）图示截面上的应力； 2）主平面位置 主应力大小并用图表示； 3）最大切应力。(单位Mpa）
(3) 求梁的主应力及主平面方位角：
PP
A 30O30O A606O0O
dd
(aa))
MM
TT
PP
AA
(σb1)(σb1)τAyτ(Adyτ)στx 1σx 1
(d)
FFNN σσxx
ττyy AA
(c)
σσxx ττxx
A
A
33.9(c3)O
33.93O
σ =48.7(e)
σ =48.7(e)
min
难点： 应力单元体与实际工程结合的分析法
Mechanic of Materials
第二十讲目录
第七章 应力和应变分析 强度理论
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二) §7.4 二向应力状态分析——图解法 (之一)
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
复习: 1、任意斜截面上的应力
斜截面与水平方所夹锐角α—逆正
(a) 0.4m P A
2m 200
(b) B
15
270 15
120
z
9 a b
+ σa σb
+ τa
解：（1）画Fs、M图。 （2）截面几何性质。
FS(kN)
+
80
(c)σb 50
σb σ3
Iz
120 3003 12
55.5 2703 12
2mm4
88106 m4
M(kN·m)
+
(d)σa
σa σ1 τa
2、应力状态分析： x 70MPa x 50MPa 计算主应力的大小及位置
M
x
K
x
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
70 0 2
( 70 0)2 502 2
26
( 96
MPa)
1 26MPa 2 0 3 96MPa
tan 20
2 x x y
2 50 70 0
Pa
61.21MPa
x
M WT
16
(d
600 2 )3[1
(
d
d 2
)
4
]
Pa
73.24MPa
(2)求A点指定-600斜截面上的应力
x
y 2
x
2
y
cos 2
x
sin
2
61.21 0 61.21 0 cos(120o ) (73.24)sin(120o) 48.125(MPa)
2
2
x
x 2
切应力极值大小：
max ＝ min
x
2
y
2
2 x
＝ max min 2
复习: 3、主应力与最大切应力 主应力
最大切应力
大 小
m m
ax
in
x
y
2
x
2
y
2
2 x
max min
x
2
y
2
2 x
主平面上无切应力
最大切应力面有正应力
方
tg 2 0
2 x x
y
位
不为零的较大主应力与 τx 、τy指向趋于一
50
20
300
30
50 20
2 1
1 2
x 30MPa, y 50MPa, x 20MPa
30
0
3300225500sin3xx062202o5y0y2cs0oicsno62sx06o20o2y0xcsic1on8os6.s26026oM5P2ax.3s2inM2Pa
50 20 s
30
cos 2
令：d d
( x y )sin 2 2 x cos 2
0
令 0时上式成立
主应力 方向
tan
20
2 x x
y
主应力 大小
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 x
令：d
d
x y
cos 2 2 x sin 2 0
令
时上式成立
s
切应力极值 方向：
tan
2 s
x y 2 x
(a) 0.4m P A
2m
200
FS kN)
+
80 M kN·m)
+
270 15
120 (b)
B
z
+
9
15
a
+ σa
b
σb
τa
(c)σb
b
σb
50
(d)σa
σ1
3 x b
σ σ3 23.2 ax a
aσ3
σ1 τa
023.20
1
3
之二
Mechanic of Materials
例题4 §7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
mmmmaiainxnx30x2250
y
302x5202y（2-20）x2 2
40
22.36
62.36MPa 17.64MPa
1 62.36MPa，2 17.64MPa，3 0
tan 20
2 x x y
2(20) 30 50
2 0
31.72o
max min
max
min 2
x
y 2
x
y 2
cos2
x
sin 2
x
y 2
sin 2
x
cos2
方向:
tan 20
2 x x y
2 (60) 40 0
3 0
35.78o
（3）最大切应力
大小:
max min
max
min 2
83.25 (43.25) 2
63.3MPa
45o 45o
40 40 cos 90o (60) sin 90o 80MPa 22
23.2 σ1
ya 135mm 0.135m
σ3
（3）求b点的应力：
S
za
12015 (300 7.5) 256000mm 3 2
256106 m 3
b
Mc Iz
yb
80 103 88 106
0.150Pa
136MPa
b 0
（4）c截面稍左上a点的应力
a
Mc Iz