s主应力法剖析
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金属塑性成形基本工序的力学分析及主应力法
s
s
a2 hx Nhomakorabeadx
la s 1
a
2h
p
P la
s
1
a
2h
例题2:
镦粗一圆柱体，侧面作用有均布压应力 0 ，
如图所示。设摩擦切应力满足常摩擦条件，即
（s s 为材料屈服应力）。
试用主应力法推导接触面上的成形力 和
单位流动压力 p 。
解：
1、切取基元体，受力分析， 如右图所示。
x d x
x dx
这样，力平衡方程简化为：
d x 2 f 0
dx h
或者可以从变形体上截取微元体，进行受力分析 建立力平衡方程，有：
x d x hl xhl 2 f ldx 0
则：
d xh 2 f dx 0
镦粗
方向 σy τ
σye
σx
σx+dσx h
d x 2 f 0
dx h
m
0,
d
m
0
x y z 0
1 2 3 0
一、主应力法的基本原理
1、根据实际变形区的情况，将问题简化 为轴对称问题或平面问题，这样联立 方程中的塑性条件就比较简单。对于 形状复杂的变形体，可以根据金属流 动情况，将它划分为若干形状简单的 部分，每一部分分别按照轴对称问题 或平面问题求解。
金属流动方向
x
τ
xe
σy dx
（显然，上式也是假设 x
在y方向均匀分布。）
σye
x
3、接触表面摩擦规律的简化
接触表面的摩擦多采用近似关系：
f n f mk(m为摩擦因子，取值在0 ~ 1） f k
k 其中 为屈服剪应力。
s主应力法讲解
本构方程，4个 几何方程，2个
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
Байду номын сангаас
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
Байду номын сангаас
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
主应力法
接触面上正应力σz的分布规律
1．滑动区
d z 2f z 0 dr h
k f z
2fr C1 exp h
上式积分得： σ
z
当r=R时， r 0 ，将屈服准则 代入上式，得积分常数C1
2f z 2K exp (R r ) 因此： h
x h ( x d x )h 2 k dx 0
d x 2 k 整理后得： dx h 0
（2）由近似塑性条件 y x s 2 K
（ x、 y分别为数值，即绝对值）
→
d y d x 0
（3）将上式带入平衡方程，得： d y 2 k
圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r 1 r zr 1 ( r ) 0 r r z r r 1 zr 2 r 0 r r z r rz 1 z z rz 0 r r z r
F xe
单位流动压力为： p P 1
xe
0
y dx
k . xe
h
ye
在摩擦系数较大时（热镦粗平板（长度远远大于宽 度）），整个接触面上作用着最大摩擦 力
k K
2
s
2
S
，则单位流动压力公式为：
2 1w p S (1 ) 4h 3
当考虑滑动摩擦时，将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
1 3 s
zx xy yz 2 x ( ) x y z x yz
主应力法
C = 2k + 2k
R h
2k σ z = 2k + ( R − r ) h
总压力和平均压力
假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 沿接触面的积分： 沿接触面的积分： R R
P=
2µ ( R−r ) h
∫
0
σ z ⋅ 2π rdr = ∫ σ s e
r z
为单元体边界上的摩擦应力，且是已知 为单元体边界上的摩擦应力，
的，剩下的未知应力只有两个，即 剩下的未知应力只有两个， 个方向的平衡方程就可以了。 个方向的平衡方程就可以了。
σr 和 σz
只需要建立一
§6.2 直角坐标平面应变问题解析
低摩擦条件下镦粗矩形件时， 低摩擦条件下镦粗矩形件时，接触面上单位压力分布 假定在任一瞬间工件的厚度 为h，接触面宽度为b，如 接触面宽度为b 图所示。由于对称性，仅研 图所示。由于对称性， 究其右半部。 究其右半部。
2µ ( R−r ) h
当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ=k 当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得：dσ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得： 积分后得： 积分后得： σ z = − 2 k 由边界条件可得： 由边界条件可得：
r +C h
z
= −2k
dr h
把k作常量处理 作常量处理
dσ x = dσ y
轴对称问题基本方程的简化
研究轴对称问题，采用圆柱坐标系 ( r , θ , z ) 研究轴对称问题， 根据主应力法的假设， 认为变形是均匀的。 根据主应力法的假设 ， 认为变形是均匀的 。 从变形体内分 离出来的单元体的界面是圆柱面， 离出来的单元体的界面是圆柱面 ， 在变形过程中仍保持为 圆柱面。假想一个半径为r 圆柱面 。假想一个半径为r ，高为 z的圆柱体，在变形过程 高为z的圆柱体， 中满足下面的体积不变条件： 中满足下面的体积不变条件：
第6章+主应力法及其应用(2)
根据几何关系可写出
h hb (tan tan ) x
倾斜砧板间平面应变基元扳块受力分析
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
将这些关系式代入前式，并略去二阶微量，整理后得
x (tan tan )dx [hb (tan tan )]d x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
2 0 ， xe Y 3
，
we K2 y ln( ) K1 wb yK1
华侨大学模具技术研究中心
二、平面应变挤压型的变形力
x y 的分布曲线如图所示。
华侨大学模具技术研究中心
三、轴对称镦粗型的变形力
下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变形 力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和接触表面状态没 有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线（z轴）， 即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与坐标无关，仅 与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标轴对称镦粗问题。
y x 2K
于是
C 2mk W 2K h 2
ye 2K
⑤因此接触面上正应力分布规律
2mk y ( x xe ) ye h
单位面积的平均变形力p为：
m W y 2 K [1 ( x)] h 2
P 1 p F xe
xe
0
y dx
mW ) 4 h
mk xe ye h
p 2 K (1
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
倾 斜 砧 板 间 的 平 面 应 变 镦 粗
收敛式流动 0， 0
h hb (tan tan ) x
倾斜砧板间平面应变基元扳块受力分析
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
将这些关系式代入前式，并略去二阶微量，整理后得
x (tan tan )dx [hb (tan tan )]d x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
2 0 ， xe Y 3
，
we K2 y ln( ) K1 wb yK1
华侨大学模具技术研究中心
二、平面应变挤压型的变形力
x y 的分布曲线如图所示。
华侨大学模具技术研究中心
三、轴对称镦粗型的变形力
下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变形 力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和接触表面状态没 有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线（z轴）， 即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与坐标无关，仅 与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标轴对称镦粗问题。
y x 2K
于是
C 2mk W 2K h 2
ye 2K
⑤因此接触面上正应力分布规律
2mk y ( x xe ) ye h
单位面积的平均变形力p为：
m W y 2 K [1 ( x)] h 2
P 1 p F xe
xe
0
y dx
mW ) 4 h
mk xe ye h
p 2 K (1
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
倾 斜 砧 板 间 的 平 面 应 变 镦 粗
收敛式流动 0， 0
主应力法全解析
h 2 md p Y (1 ) 6h
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
主应力法
x
x
yx
y
0
xy
y
0
x y
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
cos
cos
u
dx
cos
sin
l
dx
cos
sin
0
整理
xh ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
ydx
sin( ) dx cos
u
cos
dx
cos
0
y tan u 0
ij 0 （3个）
x j
f ( ij ) C （1个）
dij d ij '
（6个）
dij
1 2
(dui x j
)
(du xi
j
)
（6个）
未知量： ij , dij , dui 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分方 程，无足够边界条件，不可解。
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 平衡方程简化 x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
代入 u y tan l y tan
3-1-2 应力分析_主应力与主切应力
J1 x y z 15
J2
( x y
yz
z
x
)
2 xy
2 yz
2 zx
60
J3
x
y z
2 xy
yz zx
( x
2 yz
2
y zx
z
2 xy
)
54
金属塑性成形原理
将J1、J2和J3代入应力状态特征方程（式3-15） 主应力：
3 15 2 60 54 0 ( 9)( 2 6 6) 0
σ1 = σ2 = σ3 球应力状态。所有方向都没有剪应力，所以都是主方向
而且所有方向的应力都相等。
σ1
σ1
σ1
σ1
σ2 σ3
σ2 σ3
σ2
σ3
σ2
主应力表示的各种应力状态
金属塑性成形原理
主应力图：
一点的应力状态可用作用在单元体上的主应力来描述，只用主应力 的个数及符号来描述一点的应力状态的简图称为主应力图。
2 6
3 ,m3
2 6
3 ,n3
1 3
金属塑性成形原理
二、应力张量不变量
利用应力张量的三个不变量J1、J2、J3 ，可以辨别应力状态是否相同
J11 x y z a b
J
1 2
( x y
y z
z x
)
2 xy
2 yz
2 zx
ab
J
1 3
x
y z
2
xy
yz zx
( x
2 yz
金属塑性成形原理
3-1-2：应力分析 ——主应力与主切应力
内容提纲
一、主应力 二、应力张量不变量 三、应力椭球面 四、主切应力和最大切应力
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s主应力法剖析
• 金属塑性成形理论的主要任务之一就是确定各种成形 工序所需的变形力；变形力是指在塑性加工过程中， 工具对坯料所施加的使之发生塑性变形的作用力。变 形力是正确设计模具、选择设备和制定工艺规程的重 要参数。
• 求解变形体（毛坯）内部的应力大小及分布。需联解 平衡微分方程、塑性条件、几何方程和本构方程。
或者 13 s 2K
对于刚塑性材料还需满足 体积不变条件
xyz 0
分析对象
方程个数 未知数个数 问题属性
一 般 空 间 微分方程，3个
问题
塑性条件，1个
6
静不定
轴 对 称 问 微分方程，2个
题
塑性条件，1个
4
平面问题
微分方程，2个 塑性条件，1个
3
静不定 静定
联立方程
本构方程，6个 几何方程，6个
h1 b e h
h0
1hdh
15
(2) 圆柱体镦粗问题
f
采用圆柱坐标 (r,θ,z),设 h为圆柱体的高度，R为
半径，σr为径子午面上的正应力， f为接触表面上的摩擦
切应力。从变形体中切
取一高度为h、厚度为
dr、中心角为dθ的单元
体
单元体径向的静力平衡方程:
r d r r d r d h r r d h 2 f r d d r 2 h d r s i n d 2 0
dp 2p 0
整理得: dr h
积分得:
2 r
p Ce h
利用应力边界条件:r=R 时, r 0
2 R
得到: C se h
2(Rr)
及pse h
变形力:
R
P 2r 0
R 2 (R r) pdse rh 2r
0
d 2 rsh 22 e2 h R 1 2 hR
图 8-28 圆柱体镦粗
谢谢观赏
➢ 简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系 库仑摩擦定律： k n （滑动摩擦）
常摩擦定律： k k 式中：
（粘着摩擦）
k——摩擦应力 k——屈服切应力（ k s / 3 ）
—n —正应力 ——摩擦系数
➢ 其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为 均质和各向同性等。
3 镦粗的主应力法分析
•6个应力分量 •6个应变分量 •3个位移分量 •比例系数dλ
应力平衡微分方程：
x yx z x 0 x y z xy y zy 0 x y z xz yz z 0 x y z
应变几何方程:
x
u x
;
xy
yx
1 u
2
y
v
x
y
v y
式中，p为工具作用在长矩形板上的单位压力，为摩擦系数
得:
dx 2p 0
dx h
4）引用屈服准则
设工具作用在变形体上的单位压力p为正值,则y方向上的压缩应力
y p
根据平面应变状态的密塞斯屈服准则得: xyxp2k
对上式微分得: dx dp
整理得: dp 2p 0
dx h
(xy)24x 2y4k2
dx 2p 0
本构方程，4个 几何方程，2个
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
1．把实际变形过程视具体情况的不同看作是平 面应变问题和轴对称问题。如平板压缩、宽板轧 制、圆柱体镦粗、棒材挤压和拉拔等。
2．假设变形体内的应力分布是均匀的，仅是一 个坐标的函数。这样就可获得近似的应力平衡微 分方程，或直接在变形区内截取单元体切面上的 正应力假定为主应力且均匀分布，由此建立该单 元体的应力平衡微分方程为常微分方程。
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
4 必要时需要考虑板料的各向异性
4 圆筒件拉深的主应力法分析
拉深也称拉延，是利用拉伸模具将一定形状的平板毛坯制成各种形状的开口空 心零件的冲压工艺方法。 1 拉深过程的变形特点
圆筒件的拉深
板料拉深时的变形特点
2 变形区的应力应变分析 1、凸缘变形区的应力分布 截取扇形基元体 沿径向列基元体的平衡方程：
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
)]
—
d dy
—
[
y
1 2
(
x
z
)]
—
d dz
—
[
z
1 2
(
x
y
)]
—
d d xy
3 2
— xy
—
d d
yz
3 2
—
yz
—
d d zx
3 2
— zx
屈服准则
(x y ) 2 (y z ) 2 (z x ) 2 6 ( x 2 y y 2 z z 2 ) x 6 K 2
8）变形功w
设矩形板变形前的高度为h0、变形后的高度为h1，在变形的某一 瞬时，矩形板高度为h，变形体体积为V,在变形力P作用下，高
度发生变化dh，则变形功为 : h1
h1 V
W Pdh p dh
h0
h0 h
得:
W
h1 h0
2bkhebh
1Vh dh
由体积不变条件可得:
bV lh
W
2k
l
可以求解变形力和变形功，但是无法求出变形体内的应力分布。
➢ 求解原理
P SndspS
常用 单n —位—压工力作应p 表力示，一般它在工作面上是不均匀的，
S——工作面积，按“工作面投影代替力的投影”
法则求解
求解要点 ➢工程法是一种近似解析法，通过对物体应力状态
作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡 微分方程和塑性条件。 ➢ 这些简化和假设如下：
平均压力:
p P
R2
2Rs2h22e2hR12hR
4 圆筒件拉深的主应力法分析
1 板料大多数是一个板面与模具接触，另一个板面为 自由表面，厚向应力很小，多可作平面应力问题处 理；
2 板料成形大多数在室温下进行，因此必须考虑材料 加工硬化，因此往往需要真实应力-应变曲线来表 达；
3 板料成形过程厚度是变化的，但为了简化问题，求 解过程中忽略材料厚度变化；
弯
2
b
Rd 1
t
3）考虑凹模圆角摩擦阻力增大径向拉应力，乘上摩擦阻力系数 e 2 11.6 。
最后得：
p
r max
Q r0t
1 1.6
2
b
Rd 1
t
作业
思考题
8. 镦粗一圆柱体，侧面作用有均布压应力 0 ，如图 8-28 所示。设摩擦切
应力满足常摩擦条件，试用主应力法求解单位流动压力 p。
z z
0
z z z 0 z
x xy 0 x y xy y 0 x y
2 主应力法的基本原理
以均匀塑性变形假设为前提，将偏微分应力平衡方程简化 为常微分方程，将密塞斯屈服准则二次方程简化为线性方 程，最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。
f
r r dr
单元体径向的静力平衡方程:
r d r r d h r d r rh 2 fr dd 2 r h s d d d 2 i n 0 r
整理得: dr 2f r 0
dr h r
在均匀变形条件下，圆柱体压缩时产生的径向应变为: d r
周向应变 :d2r2d rr2rd rr
（1）长矩形板镦粗问题的求解（滑动摩擦，直角坐标系）
设矩形板的长度,高度,宽度分别为:l, h, b; 且l远大于h, b,近似地认为矩形板沿
长度方向的变形为零（最小阻力流动原理）。 1）切取单元体
设Z轴方向的变形为零 ,切取宽度为dx、长度为l的单元体
长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
2） 列出单元体的静力平衡方程，单元体沿x方向的静力 平衡方程为:
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
➢ 采用近似的塑性条件。工程法把接触面上 的正应力假定为主应力，忽略切应力和摩擦切 应力，将二次方程简化为线性方程。
对于平面应变问题，塑性条件 (xy)24x 2y4k2
简化为： xy 2k 或 dx dy
对于轴对称问题，塑性条件 (rz)23z2rs2
可简化为 rzs 或 dr 者 dz 0
dx h
5） 积分并确定积分常数
• 金属塑性成形理论的主要任务之一就是确定各种成形 工序所需的变形力；变形力是指在塑性加工过程中， 工具对坯料所施加的使之发生塑性变形的作用力。变 形力是正确设计模具、选择设备和制定工艺规程的重 要参数。
• 求解变形体（毛坯）内部的应力大小及分布。需联解 平衡微分方程、塑性条件、几何方程和本构方程。
或者 13 s 2K
对于刚塑性材料还需满足 体积不变条件
xyz 0
分析对象
方程个数 未知数个数 问题属性
一 般 空 间 微分方程，3个
问题
塑性条件，1个
6
静不定
轴 对 称 问 微分方程，2个
题
塑性条件，1个
4
平面问题
微分方程，2个 塑性条件，1个
3
静不定 静定
联立方程
本构方程，6个 几何方程，6个
h1 b e h
h0
1hdh
15
(2) 圆柱体镦粗问题
f
采用圆柱坐标 (r,θ,z),设 h为圆柱体的高度，R为
半径，σr为径子午面上的正应力， f为接触表面上的摩擦
切应力。从变形体中切
取一高度为h、厚度为
dr、中心角为dθ的单元
体
单元体径向的静力平衡方程:
r d r r d r d h r r d h 2 f r d d r 2 h d r s i n d 2 0
dp 2p 0
整理得: dr h
积分得:
2 r
p Ce h
利用应力边界条件:r=R 时, r 0
2 R
得到: C se h
2(Rr)
及pse h
变形力:
R
P 2r 0
R 2 (R r) pdse rh 2r
0
d 2 rsh 22 e2 h R 1 2 hR
图 8-28 圆柱体镦粗
谢谢观赏
➢ 简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系 库仑摩擦定律： k n （滑动摩擦）
常摩擦定律： k k 式中：
（粘着摩擦）
k——摩擦应力 k——屈服切应力（ k s / 3 ）
—n —正应力 ——摩擦系数
➢ 其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为 均质和各向同性等。
3 镦粗的主应力法分析
•6个应力分量 •6个应变分量 •3个位移分量 •比例系数dλ
应力平衡微分方程：
x yx z x 0 x y z xy y zy 0 x y z xz yz z 0 x y z
应变几何方程:
x
u x
;
xy
yx
1 u
2
y
v
x
y
v y
式中，p为工具作用在长矩形板上的单位压力，为摩擦系数
得:
dx 2p 0
dx h
4）引用屈服准则
设工具作用在变形体上的单位压力p为正值,则y方向上的压缩应力
y p
根据平面应变状态的密塞斯屈服准则得: xyxp2k
对上式微分得: dx dp
整理得: dp 2p 0
dx h
(xy)24x 2y4k2
dx 2p 0
本构方程，4个 几何方程，2个
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
1．把实际变形过程视具体情况的不同看作是平 面应变问题和轴对称问题。如平板压缩、宽板轧 制、圆柱体镦粗、棒材挤压和拉拔等。
2．假设变形体内的应力分布是均匀的，仅是一 个坐标的函数。这样就可获得近似的应力平衡微 分方程，或直接在变形区内截取单元体切面上的 正应力假定为主应力且均匀分布，由此建立该单 元体的应力平衡微分方程为常微分方程。
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
4 必要时需要考虑板料的各向异性
4 圆筒件拉深的主应力法分析
拉深也称拉延，是利用拉伸模具将一定形状的平板毛坯制成各种形状的开口空 心零件的冲压工艺方法。 1 拉深过程的变形特点
圆筒件的拉深
板料拉深时的变形特点
2 变形区的应力应变分析 1、凸缘变形区的应力分布 截取扇形基元体 沿径向列基元体的平衡方程：
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
)]
—
d dy
—
[
y
1 2
(
x
z
)]
—
d dz
—
[
z
1 2
(
x
y
)]
—
d d xy
3 2
— xy
—
d d
yz
3 2
—
yz
—
d d zx
3 2
— zx
屈服准则
(x y ) 2 (y z ) 2 (z x ) 2 6 ( x 2 y y 2 z z 2 ) x 6 K 2
8）变形功w
设矩形板变形前的高度为h0、变形后的高度为h1，在变形的某一 瞬时，矩形板高度为h，变形体体积为V,在变形力P作用下，高
度发生变化dh，则变形功为 : h1
h1 V
W Pdh p dh
h0
h0 h
得:
W
h1 h0
2bkhebh
1Vh dh
由体积不变条件可得:
bV lh
W
2k
l
可以求解变形力和变形功，但是无法求出变形体内的应力分布。
➢ 求解原理
P SndspS
常用 单n —位—压工力作应p 表力示，一般它在工作面上是不均匀的，
S——工作面积，按“工作面投影代替力的投影”
法则求解
求解要点 ➢工程法是一种近似解析法，通过对物体应力状态
作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡 微分方程和塑性条件。 ➢ 这些简化和假设如下：
平均压力:
p P
R2
2Rs2h22e2hR12hR
4 圆筒件拉深的主应力法分析
1 板料大多数是一个板面与模具接触，另一个板面为 自由表面，厚向应力很小，多可作平面应力问题处 理；
2 板料成形大多数在室温下进行，因此必须考虑材料 加工硬化，因此往往需要真实应力-应变曲线来表 达；
3 板料成形过程厚度是变化的，但为了简化问题，求 解过程中忽略材料厚度变化；
弯
2
b
Rd 1
t
3）考虑凹模圆角摩擦阻力增大径向拉应力，乘上摩擦阻力系数 e 2 11.6 。
最后得：
p
r max
Q r0t
1 1.6
2
b
Rd 1
t
作业
思考题
8. 镦粗一圆柱体，侧面作用有均布压应力 0 ，如图 8-28 所示。设摩擦切
应力满足常摩擦条件，试用主应力法求解单位流动压力 p。
z z
0
z z z 0 z
x xy 0 x y xy y 0 x y
2 主应力法的基本原理
以均匀塑性变形假设为前提，将偏微分应力平衡方程简化 为常微分方程，将密塞斯屈服准则二次方程简化为线性方 程，最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。
f
r r dr
单元体径向的静力平衡方程:
r d r r d h r d r rh 2 fr dd 2 r h s d d d 2 i n 0 r
整理得: dr 2f r 0
dr h r
在均匀变形条件下，圆柱体压缩时产生的径向应变为: d r
周向应变 :d2r2d rr2rd rr
（1）长矩形板镦粗问题的求解（滑动摩擦，直角坐标系）
设矩形板的长度,高度,宽度分别为:l, h, b; 且l远大于h, b,近似地认为矩形板沿
长度方向的变形为零（最小阻力流动原理）。 1）切取单元体
设Z轴方向的变形为零 ,切取宽度为dx、长度为l的单元体
长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
2） 列出单元体的静力平衡方程，单元体沿x方向的静力 平衡方程为:
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
➢ 采用近似的塑性条件。工程法把接触面上 的正应力假定为主应力，忽略切应力和摩擦切 应力，将二次方程简化为线性方程。
对于平面应变问题，塑性条件 (xy)24x 2y4k2
简化为： xy 2k 或 dx dy
对于轴对称问题，塑性条件 (rz)23z2rs2
可简化为 rzs 或 dr 者 dz 0
dx h
5） 积分并确定积分常数