Delta并联机构工作空间解析及尺度综合

2008年5月农业机械学报第39卷第5期Delta 并联机构工作空间解析及尺度综合*高秀兰 鲁开讲 王娟平摘要 提出了Delta 并联机构工作空间解析及尺度综合的方法。

利用曲面包络理论得到Delta 并联机构单开链子空间边界曲面的解析表达式,求得机构可达工作空间,进而导出工作空间包容的最大内切球体及其位置与尺度参数的关系。

最后将上述球体作为设计空间,以雅可比矩阵条件数在设计空间的全域平均值作为机构操作性能衡量指标进行尺度综合,得到使机构操作性能最优的尺度参数。

关键词:并联机构 工作空间 尺度综合中图分类号:T P24文献标识码:AWorkspace Resolution and Dimensional Synthesis onDelta Parallel MechanismGao Xiulan Lu Kaijiang Wang Juanping(Baoj i Univer sity of A rts and Sciences,Bao j i,721007,China)AbstractA method of workspace resolution and dimensional synthesis on Delta parallel mechanisms was presented.T he resolution ex pression of the single open chain sub space boundary surface and the reachable workspace of the Delta parallel mechanism were obtained based on curve envelope theory.T hen the max imal inscribed spheroid contained in workspace was educed,and the relationship between its position and the dimensions was established.T aking the spheroid as the design space and using the universal average value of Jacobian m atrices condition number in desig n space as mechanism performance index for dimensional synthesis,the optimal dimensions for the Delta parallel mechanism w ere obtained lastly.Key words Parallel mechanism,Workspace,Dimensional sy nthesis 收稿日期:2007 01 08*陕西省教育厅科学研究项目(项目编号:05JK 138)高秀兰 宝鸡文理学院机电工程系 副教授,721007 陕西省宝鸡市鲁开讲 宝鸡文理学院机电工程系 副教授王娟平 宝鸡文理学院机电工程系 讲师引言并联机构受到运动副约束、支链干涉、奇异位形、位姿耦合等因素的影响,存在工作空间小的缺点,6自由度并联机构的问题更为突出。

3自由度并联机构如果选型合理,则可以改善以上不足。

Delta 并联机构只有3个移动自由度,具有工作空间大、正解运动学简单、定位精度高等优点。

工作空间解析与尺度综合是并联机构运动学原理设计的核心问题[1]。

工作空间解析的方法有几何法和代数法[2~4],尺度综合是在保证并联机构实现预定工作空间的前提下,以操作性能最优为目标确定机构的尺度参数[5~6]。

针对Delta 并联机构的结构特点,在几何分析的基础上,得到工作空间边界曲面解析表达式及其内切球体与机构尺度参数的关系,然后以此球体为设计空间进行尺度综合,得到机构最优尺度参数。

1 机构的约束方程Delta 并联机构由上、下2个等边三角形平台及3条完全相同的支链组成,如图1所示,每条支链都由1个定长杆和1个平行四边形机构组成,定长杆图1 Delta 型并联机构运动简图Fig.1 K inematic diagr am of Delta parallel mechanism与下面的静平台用转动副连接,平行四边形机构与动平台及定长杆均以转动副连接,这3处转动副轴线相互平行,机构具有3个移动自由度。

在静平台上固连参考坐标系Ox yz ,坐标原点位于静平台中心,x 轴过点A 1,y 轴平行于A 3A 2。

设OA i 到A i B i 的转角为 i ,动静平台外接圆半径分别为r 0和r ,则B i 、C i 在参考坐标系的位置矢量为b i =r cos i sin i 0+l 1cos i cos icosi sin i sin i(i =1,2,3)c i =r 0cos isin i 0+xy z(i =1,2,3)式中 l 1!!!定长杆长度x 、y 、z !!!动平台中心P 的坐标 i !!!转动副中心A i 、C i 的方向角按B i C i =l 2建立机构约束方程f i =(x -x i )2+(y -y i )2+(z -z i )2-l 22=0(i =1,2,3)(1)其中x i =l 1cos i cos i +(r -r 0)cos iy i =l 1sin i cos i +(r -r 0)sin i z i =l 1sin i(2)2 工作空间解析2 1 单开链子空间边界曲面方程对每一支链,式(2)是关于输入角 i 的单参数方程,表示一圆弧,记作 i ,圆心N i ((r -r 0)cos i ,(r -r 0)sin i ,0),半径为l 1。

式(1)则表示球心位于S i (x i ,y i ,z i ),半径为l 2的球面,记作!i 。

当 i 变化时,动平台中心P 的变化范围是球面!i 的球心S i 沿圆弧 i 连续移动所形成的包络体,其外边界为圆环面,轴线过N i ,轴线方向的单位向量为n i ,i 即为各子空间边界圆环面的中心线,这3条中心线相交于点G (0,0,l 21-(r -r 0)2),如图2所示。

下面推导各子空间边界圆环面方程。

图2 单开链子空间边界圆环面中心线示意图Fig.2 Graphic of single open chain sub spaceboundar y torus ∀center line图3 单开链子空间边界圆环面形成原理图Fig.3 Forming theory of single open chainsub space boundary torus各支链子空间边界圆环面可以看作圆母线∀绕其轴线n i 旋转形成的,如图3所示,设M 1(x 1,y 1,z 1)是母线上任意一点,其坐标满足母线方程[x 1-(l 1+r -r 0)cos i ]2+[y 1-(l 1+r -r 0)sin i ]2+z 21=l 22z 1=0(3)过M 1的纬线圆可以看成是过M 1且垂直于轴线n i 的平面与以N i 为球心、半径为M 1N i 球面的交线,所以该纬线圆方程为n x (x -x 1)+n y (y -y 1)+n z (z -z 1)=0(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2= (x 1-x 0)2+(y 1-y 0)2+(z 1-z 0)2(4)从式(3)、(4)中消去x 1、y 1、z 1得到的关于x 、y 、z 的三元方程即为单开链子空间边界圆环面方程,具体为[x 2+y 2+z 2-2(r -r 0)(x cos i +y sin i )+l 21-l 22+(r -r 0)2]2=4l 21[x 2cos 2i +y 2sin 2i +z 2+2xy cos i sin i -2(r -r 0)(x cos i +y sin i )+(r -r 0)2](5)147第5期 高秀兰等:Delta 并联机构工作空间解析及尺度综合2 2 实例并联机构的工作空间是动平台中心点可以到达的工作区域,它是各支链子空间的交集,其边界也由各支链边界曲面围成,各支链边界曲面的交线形成了工作空间不规则的凸起,在这些位形时机构的运动性能都会变差,为了避开这些位形,通常以可达空间的最大内切规则几何体作为并联机构的设计空间。

各支链子空间边界环面中心线相交于点G ,则以G 为球心、l 2为半径的球体必内切于各子空间,该球体包容于工作空间中。

下面用数值方法求出机构工作空间,并验证该球体为工作空间的最大内切球体。

给定机构尺度参数:l 1=7 2cm ,l 2=4 2cm ,r =3cm ,r 0=2cm ,求解工作空间边界的步骤如下:(1)确定工作空间最高点和最低点z max =l 21-(r -r 0)2+l 2z min =l 21-(r -r 0)2-l 2(2)用一系列平行于Ox y 坐标面的平面将并联机构可达工作空间分割成厚度为#z 的微分子空间。

(3)在每一截面,将z j =z max -(j -1)#z 依次代入各支链边界圆环面方程(5),用极坐标法即能求得截面z j 与各支链i 边界圆环面的交线,如图4a 所示。

对每一方向,取m in {∃i |i =1,2,3},可得截面z j 上工作空间等高线图,如图4b 所示。

(4)循环j ,即可求得全部工作空间的边界,如图5所示。

(5)对每个截面z j ,在计算工作空间边界等高线时,同时计算该截面与球体G 的截交线圆,如图6所示。

该圆内切于工作空间边界等高线。

图4 工作空间截面等高线图F ig.4 Diag rams o f w orkspace ∀s cross section contour(a)截平面与单开链子工作空间边界交线(b)工作空间截面等高线图由图5、6可见:(1)Delta 并联机构的工作空间在每个截面上均为外凸的曲线六边形,这些曲线多边形的顶点是其中两个支链边界圆环面与截面z j的三面共有点,最终形成工作空间局部的凸起。

(2)球体G 为工作空间的最大内切球体,可以将它作为机构的设计空间进行尺度综合。

图5 Delta 型并联机构工作空间边界曲面Fig.5 Workspace boundary curve of Delta parallel mechani sms图6 设计空间与可达空间F ig.6 Reachable wor kspace and design(a)z =10 5cm (b)z =7 13cm (c)z =3 77cm3 并联机构尺度综合尺度综合是并联机构运动学设计的最终目标,它以在设计空间内机构的操作性能最优为目标,确定机构的尺度参数。