最新人教A版必修5高中数学 §1.2解三角形应用举例教案(精品)
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_11
《正余弦定理的应用(一)——距离测量问题》教学设计摘要：文章以人教A版高中数学教科书必修五为出发点，结合课程标准，通过对三维目标的设置和学生学情及教学重难点的分析，采用了小组讨论法、引导探究法、讲练结合法，按照复习回顾、讲授新课、随堂练习、小结、作业、教后反思等六个环节，就正余弦定理在距离测量问题方面的应用做了比较全面的教学设计，最后总结出解应用题的基本思路.设计在复习回顾部分特别加入了回顾小测，在例题讲解过程进行了点评和引申，在练习部分链接了相关的高考试题，这是该设计的三处亮点，旨在激发学生的学习热情和探究精神，也为高中数学一线教师的备课方式提供了一种案例参考.关键词：数学模型；正余弦定理；距离测量教学目标：知识目标：能够运用正弦定理和余弦定理等解三角形知识，解决不可到达点的距离测量问题.能力目标：能够将实际问题，尤其是距离测量问题转化成解三角形的问题进行解决.情感目标：（1）通过本节课所学知识解决一些生活中的实际问题，让学生体会数学的实用性；（2）通过小组讨论活动，培养学生的团队协作意识.学情分析：正余弦定理是高中数学中很重要的内容之一，在学生已经具备一些数学基本功的基础上，以正余弦定理本身为出发点，以其在实际生活中的应用为主线系统学习和掌握正余弦定理在诸如距离测量等的实际问题中的应用. 数学建模的过程是一个长期学习的过程，学生对数学必修内容的学习即将结束的时候，数学建模意识已经建立起来并达到成熟，教科书在必修5安排正余弦定理的应用是恰到好处，对教师的教和学都是有积极意义的.教学重点：分析测量问题的实际背景，从而找到测量距离的方法. 教学难点：从实际问题中抽象出正确的数学模型，同时做到操作的可行性.教学方法：小组讨论法、引导探究法、讲练结合法教学过程：一、 复习回顾1、正弦定理注：正弦定理可以解决以下的解三角形问题：（1）已知三角形的任意两边和其中一边的对角；（2）已知三角形的任意两角和一边.2、余弦定理注：余弦定理可以解决以下的解三角形问题：（1）已知三角形的三边；（2）已知三角形的任意两边和一角. R Cc B b A a 2sin sin sin === Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=3、回顾小测（1）在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin +=，则ABC ∆的形状是______三角形.（2）在ABC ∆中，已知2a =，则cos cos b C c B +等于______.二、讲授新课一些实际问题：1、如何测量地球和月亮之间的距离；2、怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；3、怎样测量不可到达的两点之间的距离.这将是我们今天要解决的问题.例1、设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ， 51=∠BAC ， 75=∠ACB ，求A 、B 两点间的距离（精确到0.1m ）.分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形.解：根据正弦定理，得B AC C AB sin sin ＝)(7.6554sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin 000000m ABCACB ABC ACB AC AB ≈=--=∠∠=∠∠=答：A 、B 两点间的距离为65.7m .点评：1、AC 是根据测量的需要适当确定的线段，称其为基线.2、这是测量不能直接度量的两点的一种方案，可引申如下： 测量两点都不能到达的两点间距离，如下例.例2、A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法.分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出BCA ∠的大小，借助于余弦定理可以计算出A 、B 两点间的距离.解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD a =，并且在C 、D 两点分别测得α=∠BCA ,β=∠ACD ,γ=∠CDB ，δ=∠BDA . 在BDC ADC ∆∆和中，应用正弦定理得：[])sin()sin()(180sin )sin(δγβδγδγβδγ+++=++-+=a a AC计算出AC 和BC 后，再在ABC ∆中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离请同学们想一想，还有没有别的测量方法？三、 随堂练习练习1、为了测量河宽，在岸的一边选定两点B A 、，望对岸的标记物C ，测得 45=∠CAB ， 75=∠CBA ，120=AB 米，则河宽为 米.练习2、（2009年宁夏高考）为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤.四、 小结解应用题的基本思路：[])sin(sin )(180sin sin γβαγγβαγ++=++-=a a BC αcos 222BC AC BC AC AB ⨯-+=五、作业P习题1.2A组1、2.19六、教后反思本节课是继正弦定理和余弦定理之后的应用型的章节，是基于正余弦定理基础之上的知识应用层次，正余弦定理的应用是高中重要且实用的章节，是知识层次的最高要求.能将实际问题转化为解三角形的问题，通过解三角形来求解实际问题是本节课的重点，也是知识能力的最高要求，通过学情分析，结合教材难易程度设计了本课，通过教学过程可以发现，学生对知识的应用已经上了一个台阶，需要在练习的过程中再加要求.基于以上分析，以后备课授课的过程中教师应该注意以下几点：首先，将课前测试科学合理的重视起来，做到新课前的小测巩固.这比单独的知识点的复习回顾效果明显，而且学生也有挑战感，让他们觉得自己是“跳起来吃到了桃子”，学生有成就感，教师也觉得开场有了激情，有了新课开演的前奏.其次，例题的教学分层次展开是本节课的一大亮点，这样做既降低了例题本身的难度，使得学生一节课后有一种自我整理为精华的感觉，更重要的是让学生在探究的过程中学会了化归思想，学会了如何将同类问题划归为基本问题.再次，课前准备这一环节也是必不可少的，比如本节课中要用到的距离测量的钢卷尺或者皮尺，角度测量的测角仪等，有的学生平时很少接触，可能不是很熟悉，这样的图片给学生做一课前演示准备是很有必要的，这样做无疑会让学生对新解决的问题产生“熟悉感”，会对新课的讲授起到一定的辅助作用.最后，练习的设计符合递进式原则，从易到难，也符合学生的认知规律，学生从做练习的过程中既能体会到成就感，也能感受到挑战性.在练习中加入一定难度的高考题链接，是遵循了新课改的基本理念的，以能力为基本要求，以知识点为基本依托，做到知识和考题的前呼后应.参考文献：[1] 张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社,2004.10.[2] 傅佳.实施数学课堂教学有效性之我见[J]. 教育观察,2012, (06):71-72.[3] 张春莉，王小明.数学学习与教学设计[M].上海：上海教育出版社，2004.[4] 课程教材研究所.数学必修5[M].北京:人民教育出版社,2012.5.[5] 任志鸿.志鸿优化十年高考分类解析与应试策略（数学）[M] .海南:南方出版社,2013.1.。
高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案
《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例》优质课教案_7
课题：解斜三角形的应用举例教学目标（一）知识目标：1、测量不可到达的两点间的距离的方法及航海问题；2、解斜三角形问题的类型。
（二）能力目标：1．掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法，会利用解任意三角形的知识解决一些实际问题；2．能够在解斜三角形应用过程中，灵活地选择正弦定理和余弦定理；3．通过解斜三角形应用举例进一步培养学生将实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题的能力。
（三）德育目标：使学生体会知识来源于实际生活，数学知识在实际生活的中的应用，从而培养学生学习数学的兴趣．重点、难点：利用解斜三角形解决相关实际问题．利用解斜三角形解决相关实际问题及运算问题．教学方式启发引导式教学、多媒体辅助教学教学过程一、动手实验闭上一只眼睛，将两只笔的笔尖相对；两只眼睛都睁开，再试一次，感受有何不同？想一想，为什么会出现这种状况？试想想：如果一个人的眼睛左右各长一只或者前后各长一只，会出现什么情况？从数学角度来分析该问题，从而引出解决测量问题的一般思路。
方法总结：构造三角形，把要求的这两点间的距离作为三角形的一边，通过解斜三角形可以得出两点间的距离。
让学生识别本例解斜三角形的类型，顺便复习正弦定理及其能解决的问题，引出课题（板书课题：解斜三角形的应用举例）二、新课1、案例一（1）设置情境:湖北四渡河大桥用火箭抛索架桥为世界首创四渡河特大桥位于巴东和长阳交界处，主跨900米，索塔顶至峡谷底高差达650米，正桥面到谷底高差达500余米，堪称“天路”上的“天桥”。
（2）提出问题①想一想：假如你是设计人员，在设计此桥前，你怎样得到主跨900米这个数据？（测量工具：测角仪，皮尺）②要测的A、B 两点有什么特点？（能相互看见，但不能相互到达，因此不能直接测得，只能采用间接的方法）③根据前面的方法总结，想想解决此问题的关键是什么？④怎样构造三角形？（见下图第三图）（3）带领学生构建三角形模型，抽象出数学问题（4）请学生解决该数学问题2、案例二（1）设置情境：沪蓉西高速路某段在沿清江河岸施工的过程中碰到一座山，需要设计一条隧道。
新人教A版必修5高中数学学案教案：《1.2 应用举例(二)》
数学必修五《1.2 应用举例（二）》教案教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法 师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m ) ③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C , BC =sin sin AB A C=5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？ 答案：20+2033(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_14
1.2 解三角形应用举例（高度测量问题）（人教A版高中课标教材数学必修5）教学设计一、教学内容解析：本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第一课时，测量一点或两点不可到达的距离问题. 力于让学生学习应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力.本节课的教学重点：1.通过对实际问题的解决，体会解三角形在生活中的广泛应用；2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法；3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题.二、教学目标解析：（一）教学目标：1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关一点或两点不可到达的测量问题；3.在试验报告中测量角度、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用；4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；5.创设问题情境、组织讨论交流提高学生参与学习的热情，通过小组合作学习方式，培养学生的合作意识和合作学习的能力，发展学生的创新意识和实践能力. （二）目标解析：1.高中数学学科素养包含数学抽象、逻辑推理、几何直观、数学运算、数据分析和数学建模六个方面，本节课重点培养学生的数学建模素养．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.本节课从实际背景出发，让学生亲自经历提出问题、建构模型、应用数学知识运算得到数学结果，反复检验得到符合实际的结果这样一个数学建模过程，培养学生数学建模素养；2.本节的例题是有关有关一点或两点不可到达的距离问题．由于不可到达，常常需要建构多个三角形，转化为一个或两个可到达的点所构成的三角形．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要数学测量工具皮尺、经纬的使用与限制，二是要会选点构建三角形模型，在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题；3.用数学是学数学的出发点和归宿，通过设计操作实验，让学生体验数学在解决问题中的应用价值；4.将探究问题与解三角形运算相结合，引导学生既要关注实际背景，又要重视基础落实，同时创造更多的实践机会在“做数学”中落实基础；5.通过小组合作的方式完成测量任务，在课上以小组汇报的形式展示实验报告，以小组为单位进行讨论交流，培养学生合作学习的能力.三、学情分析：1.学生学习背景：我校属于区属市重点学校，学生知识基础较好，学校有丰富的社团活动，学生有小组活动经验，具有一定的动手能力和表达能力.2.学生知识储备：学生在初中已经学习过解直角三角形，能够通过建立直角三角形模型解决实际问题中的长度和角度的测量，在必修一中学生已经学习过数学建模的知识，了解建模的基本过程.在本章第一节学生学习了正弦定理和余弦定理，这些知识都将为本节课的学习奠定基础，在此基础上进一步向探究构建多个三角形的问题自然过渡.教学难点：从实际问题出发，在有限的工具下自行设计方案解决问题四、教学策略分析：本节课以数学实验为抓手，以问题探究为载体，为学生提供动手操做、动脑思考和主动交流的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在学生体验测量过程的基础上，通过学生动手实践、动手画图等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.通过小组交流，互相取长补短，提高合作意识.五、教学过程：引入：古有嫦娥奔月，那嫦娥“奔”了多远？古人没有去探究。
高中数学新人教A版必修5教案 1.2 应用举例
正余弦定理及其应用的教案教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解三角形．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A）解法有两种：2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标通过对正余弦定理及其变形式的应用，达到边角互化的目的，在题型中的操练，达到熟练掌握的同时，并掌握一定的解题技巧和方法。
（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。
教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况2、利用正余弦定理实现边角互化，体现正余弦定理搭建边角互化的桥梁，是解三角形有利的两大工具。
难点：在具体的题型中真正体现正余弦定理作为桥梁的作用，并能挖掘出题目中的隐含条件，达到求解的目的。
教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。
教学过程设计 一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ．2、余弦定理：二、教师指导学生完成，教师最后总结．正余弦定理精确地表达了三角形中的边与角之间的关系，我们就可利用它根据三角形中的已知元素去求出未知元素．)(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R CcB b Aa∆===，2bc a c b cosA 222-+=，2ca b a c cosB 222-+=。
2abc b a cosC 222-+=2R sinCc2R，sinB b 2R，sinA a ===2Rc，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===（一）解三角形二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化例3：在 ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断三角形的形状。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计 新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5的全部内容。
《解三角形的实际应用举例—高度、角度问题》一、教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量高度、角度问题等实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想—-总结规律-—反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题,设计变式，帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题。
情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形,得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学过程一、课题导入提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题二、讲授新课［范例讲解］例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
高中数学人教A版必修5 1.2.2三角形中的几何计算学案
高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2解三角形的实际应用举例1.2.2三角形中的几何计算学案【课前自主学习】预习课本P16～18，思考并完成以下问题(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？(2)已知三角形的面积如何求其他量？【新知探究•夯实知识基础】三角形的面积公式(1)S＝12a·h a(h a表示a边上的高)．(2)S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B.[点睛]三角形的面积公式S＝12ab sin C与原来的面积公式S＝12a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边上的高．【学练结合】1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式S＝12ab sin C适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()解析：(1)正确，S＝12ab sin C适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积．答案：(1)√ (2)× (3)√2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则S △ABC ＝( ) A.32 B.332 C. 3D ．3解析：选B S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.3．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( ) A ．60°或120° B ．60° C ．120°D ．30°或150°解析：选A 由S △ABC ＝12bc sin A 得 32＝12×2×3×sin A ， 所以sin A ＝32， 故A ＝60°或120°，故选A.4．若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________. 解析：由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A 42＝1，sin A ＝817.答案：817【学以致用•探究解题方法】题型一 三角形面积的计算[典例] 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． [解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32.∵AB >AC ，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC ＝12AB·AC＝23；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC ＝12AB·AC sin A＝ 3.故△ABC的面积为23或 3.[解题规律总结][活学活用]△ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且2A＝B＋C，a＝3，△ABC的面积S△ABC＝32，求边b的长和B的大小．解：∵A＋B＋C＝180°，又2A＝B＋C，∴A＝60°.∵S△ABC ＝12bc sin A＝32，sin A＝32，∴bc＝2.①又由余弦定理得3＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－2×2×1 2，即b2＋c2＝5.②解①②可得b＝1或2.由正弦定理知asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝b2.当b＝1时，sin B＝12，B＝30°；当b＝2时，sin B＝1，B＝90°.题型二三角恒等式证明问题[典例]在△ABC中，求证：a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.证明：[法一化角为边]左边＝a－c(a2＋c2－b2)2acb－c(b2＋c2－a2)2bc＝a2－c2＋b22a·2bb2－c2＋a2＝ba＝2R sin B2R sin A＝sin Bsin A＝右边，其中R为△ABC外接圆的半径．∴a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.[法二化边为角]左边＝sin A－sin C cos Bsin B－sin C cos A＝sin(B＋C)－sin C cos Bsin(A＋C)－sin C cos A＝sin B cos Csin A cos C＝sin Bsin A＝右边(cos C≠0)，∴a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.[解题规律总结][活学活用]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A .证明：法一：由正弦定理，得c －b cos Ab －c cos A＝2R sin C －2R sin B cos A 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (A ＋B )－sin B cos A sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C .法二：由余弦定理，得c －b cos Ab －c cos A ＝c －b 2＋c 2－a 22c b －b 2＋c 2－a 22b＝a 2＋c 2－b 22c b 2＋a 2－c 22b ＝a 2＋c 2－b 22ac b 2＋a 2－c 22ab＝cos B cos C.题型三 与三角形有关的综合问题命题点一：与三角形面积有关的综合问题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a cos B －c ＝b 2. (1)求角A 的大小；(2)若b －c ＝6，a ＝3＋3，求BC 边上的高． 解：(1)由a cos B －c ＝b2及正弦定理可得， sin A cos B －sin C ＝sin B2，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin B2＋cos A sin B ＝0. 因为sin B ≠0，所以cos A ＝－12， 因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，所以(3＋3)2＝b 2＋c 2＋bc ＝(b －c )2＋3bc ＝6＋3bc ， 解得bc ＝2＋2 3.设BC 边上的高为h ，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12ah ， 得12(2＋23)sin 2π3＝12(3＋3)h, 解得h ＝1. 命题点二：三角形中的范围问题2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)求3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围．解：(1)由正弦定理得：(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0， 即sin C (2cos B －1)＝0，∵sin C ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)由(1)知B ＝π3，∴C ＝2π3－A ， ∴3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈(1,2]， ∴3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围是(1,2]．命题点三：三角形中的最值问题3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc .(1)求角A 的大小；(2)当a ＝6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大时△ABC 的形状． 解：(1)由sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc ，得sin (A －B )sin (A ＋B )＝sin B ＋sin Csin C .又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )．∴sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin B ＋2 cos A sin B ＝0， 又sin B ≠0，∴cos A ＝－12. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)S ＝12bc sin A ＝34bc ＝34×2R sin B ·2R sin C ＝3R 2sin B ·sin C ＝3R 2sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B＝32R 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6－34R 2，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. 由正弦定理2R ＝a sin A ＝6sin 2π3＝43，∴R ＝2 3.当2B ＋π6＝π2，即B ＝C ＝π6时，S max ＝33，∴△ABC 面积的最大值为33，此时△ABC 为等腰钝角三角形． 题点四：多边形面积问题4．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连接BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C . ∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ，∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝20－16cos A，在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos C＝52－48cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C.又cos C＝－cos A，∴cos A＝－12，∴A＝120°，∴S＝16sin A＝8 3.[解题规律总结]高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2应用举例1.2.2三角形中的几何计算同步检测基础达标题1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12 B.32 C.3 D．2 32．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A．－78 B.78C．－87 D.873．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的大小为()A．135°B．45°C．60°D．120°4．在△ABC中，若cos B＝14，sin Csin A＝2，且S△ABC＝154，则b＝()A．4 B．3 C．2 D．15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40 3 B．20 3 C．40 2 D．20 26．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为________．7.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC ＝3，则AB＝________.8．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．9．在△ABC中，求证：b2cos 2A－a2cos 2B＝b2－a2.10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．能力达标题1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( )A ．5B ．6C ．7D ．82．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152 B.15 C ．2 D ．33．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 5．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则AB ·AC ＝________. 6．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知sin A sin B ＝sin C tan C .(1)求a2＋b2c2的值；(2)若a＝22c，且△ABC的面积为4，求c的值．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2,2cos2B＋C2＋sinA＝4 5.(1)若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；(2)当△ABC的周长取最大值时，求b的值.高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2应用举例1.2.2三角形中的几何计算同步检测解析基础达标题1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12 B.32 C.3 D．2 3解析：选B S△ABC ＝12AB·AC·sin A＝32.2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A．－78 B.78C．－87 D.87解析：选B设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cos θ＝4a2＋4a2－a28a2＝78.3．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的大小为()A．135°B．45°C．60°D．120°解析：选B∵S＝14(a2＋b2－c2)＝12ab sin C，由余弦定理得：sin C＝cos C，∴tan C＝1.又0°<C<180°，∴C＝45°.4．在△ABC中，若cos B＝14，sin Csin A＝2，且S△ABC＝154，则b＝()A．4 B．3 C．2 D．1解析：选C依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋(2a)2－2×a×2a×14＝4a2，所以b＝c＝2a.因为B∈(0，π)，所以sin B＝1－cos2B＝154，又S△ABC ＝12ac sin B＝12×b2×b×154＝154，所以b＝2，选C.5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40 3 B．20 3 C．40 2 D．20 2解析：选A设另两边长为8x,5x，则cos 60°＝64x2＋25x2－14280x2，解得x＝2或x＝－2(舍去)．故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.6．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为________．解析：∵cos C＝13，0<C<π，∴sin C＝223，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 37.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC ＝3，则AB＝________.解析：在△ADC中，cos C＝AC2＋DC2－AD22·AC·DC＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C<180°，∴sin C＝53 14.在△ABC中，ACsin B＝ABsin C，∴AB＝sin Csin B·AC＝5314×2×7＝562.答案：56 28．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．解析：不妨设b＝2，c＝3，cos A＝1 3，则a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝9，∴a＝3.又∵sin A＝1－cos2A＝22 3，∴外接圆半径为R＝a2sin A＝32·223＝928.答案：92 89．在△ABC 中，求证：b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.证明：左边＝b 2(1－2sin 2A )－a 2(1－2sin 2B )＝b 2－a 2－2(b 2sin 2A －a 2sin 2B )， 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ， ∴b 2sin 2A －a 2sin 2B ＝0，∴左边＝b 2－a 2＝右边， ∴b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．解：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°， 由正弦定理，得AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9×sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°， 由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922，故BD 的长为922.能力达标题1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152 B.15 C ．2 D ．3 解析：选A 因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.3．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°， ∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，∴R ＝2.4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.5．已知△ABC的面积S＝3，A＝π3，则AB·AC＝________.解析：S△ABC ＝12·|AB|·|AC|·sin A，即3＝12·|AB|·|AC|·32，所以|AB|·|AC|＝4，于是AB·AC＝|AB|·|AC|·cos A＝4×12＝2.答案：26．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ba＋ab＝6cos C，则tan Ctan A＋tan Ctan B＝________.解析：∵ba＋ab＝6cos C，∴a2＋b2ab＝6×a2＋b2－c22ab，∴2a2＋2b2－2c2＝c2，又tan Ctan A＋tan Ctan B＝sin C cos Asin A cos C＋sin C cos Bsin B cos C ＝sin C(sin B cos A＋cos B sin A)sin A sin B cos C＝sin C sin(B＋A)sin A sin B cos C＝sin2Csin A sin B cos C＝c2ab cos C＝c2aba2＋b2－c22ab＝2c2a2＋b2－c2＝4.答案：47．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知sin A sin B＝sin C tan C.(1)求a2＋b2c2的值；(2)若a＝22c，且△ABC的面积为4，求c的值．解：(1)由已知sin A sin B ＝sin C tan C 得cos C ＝c 2ab . 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，故a 2＋b 2＝3c 2，故a 2＋b2c 2的值为3.(2)由a ＝22c, a 2＋b 2＝3c 2得b ＝102c . 由余弦定理得cos C ＝255，故sin C ＝55. 所以12×22c ×102c ×55＝4，解得c ＝4.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2,2cos 2 B ＋C2＋sinA ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值. 解：2cos 2B ＋C 2＋sin A ＝45⇒1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45⇒sin A －cos A ＝－15. 又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝35，cos A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，则b 的取值范围为(0,2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103.(2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得 l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A (sin B ＋sin C ) ＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )]＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ] ＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010 ，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时取到． 此时b ＝asin A sin B ＝10.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
例题讲解：
例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， BAC= ， ACB= 。求A、B两点的距离(精确
ACD= ， CDB= ， BDA = ，在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得
AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 BCA=60 ， ACD=30 ， CDB=45 ， BDA =60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
教
学
小
结
解斜三角形应用题的一般步骤：
分析――建模――求解――检验
课后
反思
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出
2
教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得 BCA= ，
高中数学4.应用举例教案新人教A版必修5
备课人
授课时间
课题
§1.2解三角形应用举例
课标要求
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
教
学
目
标
知识目标
掌握正弦定理、余弦定理等知识和方法
技能目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
3
情感态度价值观
培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
教学过程
一.课题导入
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
到0.1m)
启发提问1： ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
=
AB =
=
=
=
≈65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30 ，灯塔B在观察站C南偏东60 ，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略： a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。