高二数学北师大版选修1-2《条件概率与独立事件》教案
高中数学 1.2 第1课时条件概率与独立事件课件 北师大版选修12
3．条件(tiáojiàn)概率计算公式 当P(B)>0时，P(A|B)＝__P__A_∩__B___； 当P(A)>0时，P(B|A)＝___P__B_____.
PA∩B PA
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独立(dúlì)事件
新知导学 4 ． 对 于 两 个 (liǎnɡ ɡè) 事 件 A ， B P，(A如)·P果(B)P(AB) ＝ __________，则称A、B相互独立． 可以证明：如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都相互独立．
中目标的概率是14，现在三人同时射击目标，求目标被击中的概 率．
[答案]
3 4
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[解析] 设甲击中目标为事件 A，乙击中目标为事件 B，丙 击中目标为事件 C，目标未被击中为事件 A B C ，
则 目 标 被 击 中 的 概 率 P ＝ 1 － P( A B C ) ＝ 1 － P( A )P( B )P( C )＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－12) 1－13)(1－14)＝34.
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[解析] 设 A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则 (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)＝PPA∩BB＝00..1128＝0.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)＝PPA∩AB＝00..1220＝0.60.
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[方法规律总结] 1.条件概率的判断 题目中出现已知“在……前提下(条件下)”等字眼时，一 般为求条件概率．题目中没有出现上述明显字眼，但事件 B 的 发生受事件 A 发生的影响时，也是条件概率． 2．求条件概率的方法： (1)用公式 P(B|A)＝PPAAB； (2)用 P(B|A)＝nnAAB.
高中数学(北师大版)选修1-2精品学案：第一章 统计案例 第3课时 条件概率与独立事件
第3课时条件概率与独立事件1.理解相互独立事件的定义,掌握相互独立事件同时发生的概率的计算方法.2.理解条件概率的概念,会应用条件概率的计算公式求概率.3.培养学生分析问题和解决问题的能力.重点:条件概率与独立事件的概念、特征以及求其概率的方法.难点:条件概率的求法.某人有两个孩子,那么他的两个孩子都是女孩的概率是.如果在已知他的一个孩子是女孩的情况下,他的两个孩子都是女孩的概率还是吗?问题1: 在创设情境中,已知他的一个孩子是女孩,求他的两个孩子都是女孩的概率是一个条件概率问题.一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.问题2:相互独立事件事件的相互独立性:事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的概率没有影响,即P(B|A)= P(B) ,这样两个事件叫作相互独立事件.问题3:如果A、B相互独立,那么A、B、、中相互独立的有哪些?如果A,B相互独立,可以得如下3对:A与,与 B ,与也相互独立.问题4:相互独立事件的性质以及事件独立性的推广(1)两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积,即P(AB)=P(A)·P(B) .(2)如果事件A1,A2,A3,…,A n是相互独立的,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积,即P(A1A2A3…A n)= P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n) .互斥事件与相互独立事件的区别两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生;两事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响.两个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生.1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于( ).A. B. C. D.【解析】P(AB)=P(A)·P(B|A)=×=.【答案】D2.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={出现一个5点},则P(B|A)等于( ).A. B. C. D.【解析】出现点数互不相同的共有6×5=30种,出现一个5点共有5×2=10种, ∴P(B|A)==.【答案】A3.设P(A|B)=P(B|A),P(A)=,则P(B)的值为.【解析】∵P(A|B)=,P(B|A)=,∴P(B)=P(A)=.【答案】4.某班有学生40人,其中共青团员15人,全班分成四个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人.现在要在班内任选一名共青团员当团员代表,求这个代表恰好在第一小组的概率.【解析】设在班内任选一名学生,该学生是共青团员为事件A,在班内任选一名学生,该学生恰好在第一小组为事件B,则所求概率为P(B|A).又P(B|A)===.所以所求概率为.求条件概率1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出红球的概率是多少?【方法指导】从2号箱取出红球,有两种互斥的情况:一是当从1号箱取出红球时,二是当从1号箱取出白球时.【解析】记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;事件B:从1号箱中取出的是红球.。
2018_2019学年高中数学第一章统计案例2.2.1条件概率与独立事件教案(含解析)北师大版选修1_2
2．1 条件概率与独立事件100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A ＝{产品的长度合格}，B ＝{产品的质量合格}，A ∩B ＝{产品的长度、质量都合格}． 问题1：试求P (A )，P (B )，P (A ∩B )． 提示：P (A )＝93100，P (B )＝90100，P (A ∩B )＝85100.问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B 发生)，求它的长度(即A 发生)也合格的概率．提示：若用A |B 表示上述事件，则A |B 发生相当于从90件产品中任取1件长度合格，其概率为P (A |B )＝8590.问题3：如何理解问题2?提示：在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B 发生的条件下事件A 发生． 问题4：试探求P (B )，P (A ∩B )，P (A |B )间的关系． 提示：P (A |B )＝P A ∩BP B.条件概率 (1)概念事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )． (2)公式P (A |B )＝P A ∩B P B(其中，A ∩B 也可记成AB )．(3)当P (A )>0时，A 发生时B 发生的条件概率为P (B |A )＝P ABP A.有这样一项活动：甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝{从甲箱里摸出白球}，B ＝{从乙箱里摸出白球}．问题1：事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ 提示：不影响．问题2：试求P (A )，P (B )，P (AB )．提示：P (A )＝35，P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310.问题3：P (AB )与P (A )，P (B )有什么关系？ 提示：P (AB )＝P (A )P (B )＝35×12＝310.问题4：P (B |A )与P (B )相等吗？ 提示：相等，由P (B |A )＝P AB P A ＝12，可得P (B |A )＝P (B )．独立事件(1)概念：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)推广：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)拓展：若A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．1．由条件概率的定义知，P (B |A )与P (A |B )是不同的；另外，在事件A 发生的前提下，事件B 发生的概率为P (B |A )，其值不一定等于P (B )．2．事件A 与B 相互独立就是事件A 的发生不影响事件B 发生的概率，事件B 的发生不影响事件A 发生的概率．[例1] (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[思路点拨] 先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同．[精解详析] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸到白球”为AB ，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果．∴P (A )＝2×34×3＝12，P (AB )＝2×14×3＝16.∴P (B |A )＝P AB P A ＝13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，两次都摸到白球为事件A 1B 1.∴P (A 1)＝2×44×4＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14.∴P (B 1|A 1)＝P A 1B 1P A 1＝1412＝12. 故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13；先摸1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.[一点通] 求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P (B |A )＝n ABn A，其中n (AB )表示事件AB 包含的基本事件个数，n (A )表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P (B|A )＝P ABP A，特别要注意P (AB )的求法．1．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A 为“三次抽到的号码之和为6”，事件B 为“三次抽到的号码都是2”，则P (B |A )＝( )A.17B ．27C.16D.727解析：选A 用列举法将所有情况全部列出(略)，可知共有27种情况，其中事件A 有(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,2,2)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共7种情况，事件B 有(2,2,2)，共1种情况，所以P (A )＝727，P (AB )＝P (B )＝127，根据条件概率公式P (B |A )＝P ABP A ＝127727＝17. 2．甲、乙二人参加一项测试，已知甲通过该项测试的概率为35，他们同时通过该项测试的概率为47.若甲先参加并顺利通过测试，则乙也通过测试的概率是________．解析：设“甲通过测试”为事件A ，“乙通过测试”为事件B .则所求概率为P (B |A )＝P ABP A ＝4735＝2021.答案：20213．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”为事件A ，“乙地为雨天”为事件B ，由题意，得P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P (A |B )＝P AB P B ＝0.120.18≈0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝0.60.[例2] }，B ＝{硬币乙出现正面}，验证事件A ，B 是相互独立的．[思路点拨] 判定两个复杂事件是否独立应借助定义判断，即判断P (AB )＝P (A )P (B )是否成立，再作出结论．[精解详析] 掷甲、乙两枚硬币的所有可能情形为 Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．事件A 中含2个基本事件，事件B 中含2个基本事件，事件AB 中含1个基本事件． ∴P (A )＝24＝12，P (B )＝24＝12，P (AB )＝14.∴P (AB )＝P (A )P (B )．∴事件A ，B 是相互独立的．[一点通] (1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．4．甲、乙二人分别对一目标进行一次射击，记“甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B ”中，满足相互独立的有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解析：选D 由于A 与B 是两个相互独立事件，所以根据相互独立事件的性质可知，A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立事件，故有4对相互独立事件．5．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A ＝“抽得老K”，B ＝“抽得红牌”，判断事件A 与B 是否相互独立．解：抽到老K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 即为“既抽得老K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K 或方块老K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 互为独立事件.[例3] 100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大？[思路点拨] 若用A ，B ，C 表示甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格，则事件A ，B ，C 相互独立．[精解详析] 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110. (2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝35×14×23＝110. (3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13 ＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.结合(1)(2)可知P 1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．[一点通] (1)公式P (AB )＝P (A )P (B )可以推广到一般情形：如果事件A 1，A 2，…，A n相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．6．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12和P ，且乙投球2次均未命中的概率为116.求：(1)乙投球的命中率P ；(2)甲投球2次，至少命中1次的概率．解：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ，则A ，B 相互独立． (1)法一：由题意，得(1－P (B ))2＝(1－P )2＝116.解得P ＝34或P ＝54(舍去)．∴乙投球的命中率为34.法二：由题意，得P (B )·P (B )＝116.∴P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)，∴P (B )＝1－P (B )＝1－14＝34.即乙投球的命中率为34.(2)由题意知，P (A )＝12，P (A )＝12.法一：甲投球两次，至少命中一次的概率为 1－P (A ·A )＝1－P (A )P (A )＝1－12×12＝34.法二：甲投球两次，至少命中一次的概率为P (A A ＋A A ＋AA )＝P (A A )＋P (A A )＋P (AA )＝12×12＋12×12＋12×12＝34. 7．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12.假设各级考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率． 解：设“A 级第一次考试合格”为事件A 1，“A 级补考合格”为事件A 2；“B 级第一次考试合格”为事件B 1，“B 级补考合格”为事件B 2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为A 1B 1，注意到A 1与B 1相互独立， 则P (A 1B 1)＝P (A 1)×P (B 1)＝23×12＝13.即该考生不需要补考就获得合格证书的概率为13.(2)设“该考生一共参加3次考试”为事件C ，则C ＝A 1B 1B 2＋A 1B 1 B 2＋A 1A 2B 2， 注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得P (C )＝P (A 1B 1B 2＋A 1B 1B 2＋A 1A 2B 2)＝P (A 1B 1B 2)＋P (A 1B 1 B 2)＋P (A 1A 2B 2) ＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12 ＝16＋16＋19＝49. 即该考生一共参加3次考试的概率为49.1．计算条件概率要明确：(1)准确理解条件概率的概念，条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A 发生”“事件A 发生并且事件B 也发生”“事件B 在事件A 发生的条件下发生”的概率之间的关系．2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系：1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件解析：选B A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件． 2．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )的值为( )A.12 B ．14 C.13D ．1解析：选A P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12.3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选D 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB ，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B |A ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率公式，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72.4．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么56等于( )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率解析：选D 设“甲、乙都击中靶心”为事件A ，则P (A )＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P (A )＝1－P (A )＝1－16＝56.5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1 人能解决问题． ∴P ＝1－13＝23.答案：13 236．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．解析：法一：设A ＝{第一次取到新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝6×9＝54，n (AB )＝6×5＝30，∴P (B |A )＝n AB n A ＝3054＝59.法二：在第一次取到新球的条件下，盒中装有9只乒乓球，其中5只新球，则第二次也取到新球的概率为P ＝59.答案：597．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．解：设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知，P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.8．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：设“只购买甲种商品”为事件A ，“只购买乙种商品”为事件B ，“购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C ，“至少购买甲、乙两种商品中的一种”为事件D .(1)因为C ＝(A B )＋(A B )，所以P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.5×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.6＝0.5. (2)因为D ＝A B ，所以P (D )＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2. 所以P (D )＝1－P (D )＝1－0.2＝0.8.9．2018年某中学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； (2)求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率． 解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D .则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝4445.(2)由题意，得在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为3分的概率为P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝145，在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为4分的概率为P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝845.所以在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率为145＋845＝15.。
(教师用书)高中数学 1.2.1 条件概率与独立事件课件 北师大版选修1-2
【解析】
由独立事件的意义可定性地判断B，C，D
法二 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的 概率． 5 4 P(AB)＝100×99， 5 4 × PAB 100 99 4 ∴有P(B|A)＝ ＝ ＝ . 5 99 PA 100
1．注意抽取方式是“不放回”地抽取． 2．解答此类问题的关键是搞清在什么条件下，求什么 事件发生的概率． 3．第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算 nAB 的，其公式为P(B|A)＝ ，此法常应用于古典概型中的条 nA 件概率求法．
§ 2 2．1
独立性检验
条件概率与独立事件
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解条件概率的概念，能利用条件概率分析和解决简 单的实际问题． (2)能从条件概率的角度理解两个事件相互独立的含义， 能求两个相互独立事件同时发生的概率．
2．过程与方法 在利用事件的独立性对生活中的随机现象进行辨析的过 程中，进一步培养学生的随机观念，掌握利用概率的知识， 分析解决实际问题的方法． 3．情感、态度与价值观 通过利用概率知识解决简单的实际问题，进一步体会和 感受数学知识在生活中的应用，培养随机意识．
B
【答案】
判断两个事件是不是相互独立有以下两种方法： (1)由定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与B相互独 立． (2)由事件本身的性质直接判断，也就是判断一个事件的 发生对另一个事件有没有影响．
下列事件A，B是独立事件的是(
)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第 二次为反面” B．袋中有4个小球，其中2个白球，2个黑球，不放回地 摸两次，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现 点数为偶数” D．A＝“人能活到30岁”，B＝“人能活到60岁”
北师大版高考数学选修1-2同步教案备课 第1章 2.1 条件概率与独立事件
§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件学习目标 1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一 条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格． 令A ＝{产品的长度合格}，B ＝{产品的质量合格}，AB ＝{产品的长度、质量都合格}． 思考1 试求P(A)，P(B)，P(AB)． 答案 P(A)＝93100，P(B)＝90100，P(AB)＝85100.思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B 发生)，求它的长度(即A 发生)也合格(记为A|B)的概率． 答案 事件A|B 发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝8590.思考3 P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系． 答案 P(A|B)＝P (AB )P (B ).梳理 条件概率 (1)概念事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A|B)． (2)公式P(A|B)＝P (A ∩B )P (B )(其中，A ∩B 也可以记成AB)．(3)当P(A)>0时，A 发生时B 发生的条件概率为P(B|A)＝P (AB )P (A ).知识点二 独立事件甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”． 思考1 事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ 答案 不影响．思考2 P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？ 答案 P(A)＝35，P(B)＝12，P(AB)＝3×25×4＝310.思考3 P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？ 答案 P(AB)＝P(A)·P(B)． 梳理 独立事件(1)概念：对两个事件A ，B ，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A ，B 相互独立． (2)推广：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)拓展：若A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P(A 1A 2…A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )．1．在“A 已发生”的条件下，B 发生的概率可记作P(A|B)．( × )2．在某种情况下，条件概率中的条件意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算．( √ )3．如果事件A 与事件B 相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( √ )4．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( √ )类型一 条件概率例1 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？ 解 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则： (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是 P(A|B)＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23.(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60.反思与感悟 条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P (AB )P (A ).特别地，当B ⊆A 时，P(B|A)＝P (B )P (A ).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n (AB )n (A ).跟踪训练1 某地区气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率是110，设下雨为事件A ，刮风为事件B.求： (1)P(A|B)； (2)P(B|A)．考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率解 由题意知P(A)＝415，P(B)＝215，P(AB)＝110.(1)P(A|B)＝P (AB )P (B )＝110215＝34.(2)P(B|A)＝P (AB )P (A )＝110415＝38.类型二 事件的独立性的判断例2 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A 与B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断解 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}， B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立．从而事件A 与B 是相互独立的．反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．跟踪训练2 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 是“第一枚为正面”，事件B 是“第二枚为正面”，事件C 是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填序号) ①A ，B ；②A ，C ；③B ，C. 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 答案 ①②③解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．类型三求相互独立事件的概率例3 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率解用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A，B，它们发生的概率分别为P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.(2)A，B都发生为事件AB.(3)A，B都不发生为事件A B.(4)A，B恰有一个发生为事件A B＋A B.(5)A，B中至多有一个发生为事件A B＋A B＋A B.跟踪训练3 某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，则此次考试中恰有一科成绩未获得第一名的概率是( ) A ．0.612B ．0.765C ．0.329D ．0.68 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求多个相互独立事件同时发生的概率 答案 C解析 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ， 则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85， 故P(A BC ＋A B C ＋AB C ) ＝P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C )＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329.1．下列说法正确的是( ) A ．P(B|A)<P(AB) B ．P(B|A)＝P (B )P (A )是可能的C ．0<P(B|A)<1D ．P(A|A)＝0 答案 B解析 ∵P(B|A)＝P (AB )P (A )，而P(A)≤1，∴P(B|A)≥P(AB)，∴A 错； 当P(A)＝1时，P(AB)＝P(B)， ∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )，∴B 正确；而0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴C 、D 错，故选B.2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.512C.14D.16考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个相互独立事件同时发生的概率 答案 B解析 设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A ， 因为事件相互独立，所以P(A)＝23×14＋13×34＝512.3．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A 1表示第1次摸得白球，A 2表示第2次摸得白球，则A 1与A 2是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 答案 D解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A ，C 错．而事件A 1的发生对事件A 2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件．4．在感冒流行的季节，设甲、乙两人患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________． 答案 0.8解析 设甲、乙患感冒分别为事件A ，B ，则P ＝1－P(A B )＝1－P(A )P(B )＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝0.8.5．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是________，问题得到解决的概率是________． 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个相互独立事件同时发生的概率 答案13 23解析 设“甲解决这道难题”为事件A ，“乙解决这道难题”为事件B ，则A ，B 相互独立．所以两人都未解决的概率为P(A B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝13.问题得到解决的概率为P(A B )＋P(A B)＋P(AB)＝1－P(A B )＝1－13＝23.1．条件概率的前提条件是：在知道事件A 必然发生的前提下，只需局限在A 发生的范围内考虑问题，在事件A 发生的前提下事件B 发生，等价于事件A 和B 同时发生，由古典概型知，其条件概率为P(B|A)＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A )， 其中，n(Ω)为一次试验可能出现的所有结果数，n(A)为事件A 所包含的结果数，n(AB)为AB 同时发生时的结果数．2．P(AB)＝P(A)P(B)使用的前提条件是A ，B 为相互独立事件；当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立．3．求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可考虑用他们的对立事件求解．一、选择题1．抛掷一颗骰子，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．既互斥又相互独立事件 D ．既不互斥又不独立事件 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 答案 B解析 A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P(A)＝12，P(B)＝13，P(AB)＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件．2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A ．0.2B ．0.33C ．0.5D ．0.6 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 A解析 记“数学不及格”为事件A ，“语文不及格”为事件B ， 则P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.030.15＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.3．盒中有5个红球，11个蓝球，红球中有2个玻璃球，3个塑料球，蓝球中有4个玻璃球，7个塑料球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同，若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率是( ) A.13B.23C.14D.34 答案 B解析 设“摸到玻璃球”为事件A ，“摸到蓝球”为事件B ，则P(A)＝616＝38，P(AB)＝14，∴所求概率P ＝P (AB )P (A )＝14×83＝23.4.如图，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是( )A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06 答案 B解析 系统可靠即A ，B ，C3种开关至少有一个能正常工作， 则P ＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.5.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y)，则所有数对(x ，y)中，满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 C解析 满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率为P ＝P(x ＝1，y ＝4)＋P(x ＝2，y ＝2)＋P(x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 6．设两个相互独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A)为( ) A.29B.118C.13D.23考点 相互独立事件的性质及应用 题点 相互独立事件性质的应用 答案 D解析 由P(A B )＝P(B A )，得P(A)P(B )＝P(B)P(A )， 即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P(A B )＝19，则P(A )＝P(B )＝13，∴P(A)＝23.7．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为( )A.35B.45C.34D.14答案 C解析 设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P(A)＝35，P(A )＝1－35＝25，P(B)＝P ，P(B )＝1－P ，依题意得35×(1－P)＋25×P ＝920， 解得P ＝34，故选C. 8．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军．若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34考点 相互独立事件的性质及应用题点 相互独立事件性质的应用答案 D解析 根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队再胜一局．甲队直接胜一局，其概率为P 1＝12；乙队先胜一局，甲队再胜一局，其概率为P 2＝12×12＝14.由概率加法公式可得甲队获胜的概率为P ＝12＋12×12＝34. 二、填空题9．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．考点 相互独立事件同时发生的概率计算题点 求多个相互独立事件同时发生的概率答案 35解析 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因为事件M ，N 相互独立，所以能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝160200×180240＝35.10．某种元件用满6000小时未坏的概率是34，用满10000小时未坏的概率是12，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，则它能用到10000小时的概率为________．考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 23解析 设“用满6 000小时未坏”为事件A ，“用满10 000小时未坏”为事件B ，则P(A)＝34，P(AB)＝P(B)＝12，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝1234＝23. 11．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．答案 0.09解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.三、解答题12．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．解 画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P(A)＝1836＝12，P(AB)＝636＝16，∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝1612＝13. 即在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为13. 13．已知10张奖券中有3张有奖，甲、乙两人从中各抽1张，甲先抽、乙后抽，求：(1)甲中奖的概率；(2)乙中奖的概率；(3)在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率．解 设“甲中奖”为事件A ，“乙中奖”为事件B.(1)由题意得P(A)＝310. (2)P(B)＝P(AB ＋A B)＝P(AB)＋P(A B)，∵P(AB)＝310×29＝115，P(A B)＝710×39＝730， ∴P(B)＝115＋730＝930＝310. (3)方法一 P(A )＝710，P(A B)＝730， ∴P(B|A )＝P (A B )P (A )＝730710＝13. 方法二 甲未中奖条件下9张奖券中有3张有奖，∴P(B|A )＝39＝13. 四、探究与拓展14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P(B|A)＝________. 考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 13解析 根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．∴事件A 发生的概率为P(A)＝2×3×36×6＝12，而A ，B 同时发生，基本事件有“2＋4”，“2＋6”，“4＋2”，“4＋6”，“6＋2”，“6＋4”，共6个，∴事件A ，B 同时发生的概率为P(AB)＝66×6＝16， ∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝1612＝13. 15．设M ，N 为两个随机事件，给出以下命题：①若M ，N 为互斥事件，且P(M)＝15，P(N)＝14，则P(M ∪N)＝920； ②若P(M)＝12，P(N)＝13，P(MN)＝16，则M ，N 为相互独立事件； ③若P(M )＝12，P(N)＝13，P(MN)＝16，则M ，N 为相互独立事件； ④若P(M)＝12，P(N )＝13，P(MN)＝16，则M ，N 为相互独立事件； ⑤若P(M)＝12，P(N)＝13，P(M N )＝56，则M ，N 为相互独立事件． 其中正确命题的个数为________．答案 3解析 ①中，若M ，N 为互斥事件，且P(M)＝15，P(N)＝14，则P(M ∪N)＝15＋14＝920，故①正确； ②中，若P(M)＝12，P(N)＝13，P(MN)＝16， 则由相互独立事件乘法公式知，M ，N 为相互独立事件，故②正确；③中，若P(M )＝12，P(N)＝13，P(MN)＝16， 则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，M ，N 为相互独立事件，故③正确；④中，若P(M)＝12，P(N )＝13，P(MN)＝16，当M ，N 为相互独立事件时，P(MN)＝12×23＝13， 故④错误；⑤若P(M)＝12，P(N)＝13，P(M N )＝56， 则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，⑤错误．故正确命题的个数为3.。
高中数学北师大版选修1-2+2.1+条件概率和独立事件教案
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学2.3条件概率与独立事件一教案北师大选修23
2.3条件概率教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：条件概率定义的理解.教学难点：概率计算公式的应用.授课类型：新授课 .课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1()3P B=.思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) .思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此(|)P B A =12=()()n AB n A .其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，()()(),()()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ 其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，(|)P B A =()()()()()()()()n AB n AB P AB n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A =. 由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅.并称上式微概率的乘法公式.2.P （·|B ）的性质：（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|B ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+.更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞= 1|i i B A =)|(1B A P i i ∑∞=.例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n （Ω）=35A =20.根据分步乘法计数原理，n (A ）=1134A A ⨯=12 ．于是 ()123()()205n A P A n ===Ω. (2）因为 n (AB)＝23A =6 ，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω. (3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概3()110(|)3()25P AB P B A P A ===. 解法2 因为 n (AB ）=6 , n (A ）=12 ，所以()61(|)()122P AB P B A P A ===. 例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则112()A A A A =表示不超过2次就按对密码．(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得 1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+14125545⨯=+=⨯.课堂练习.1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。
高中数学第一章统计案例条件概率与独立事件学案含解析北师大版选修1_2
高中数学学案：条件概率与独立事件一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )A ．0.56B ．0.48C ．0.75D ．0.6【答案】 A【解析】 设甲击中为事件A ，乙击中为事件B .∵A 、B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.562．甲、乙二人分别对一目标进行一次射击，记“甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B ”中，满足相互独立的有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【答案】 D【解析】 由于A 与B 是两个相互独立事件，所以根据相互独立事件的性质可知，A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立事件，故有4对相互独立事件．3．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A.16B.25C.215D.56【答案】 A【解析】 记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A ，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B ，则事件A 、B 是相互独立事件．P (A ∩B )＝P (A )·P (B )＝24×26＝16. 二、填空题4．由长期统计资料可知，某地区在4月份下雨(记为事件A )的概率为415，刮风(记为事件B )的概率为715，既刮风又下雨的概率为110，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.【答案】 314 38 【解析】 由题意P (A )＝415，P (B )＝715，P (AB )＝110， 则P (A |B )＝P AB P B ＝110715＝314， P (B |A )＝P AB P A ＝110415＝38. 5．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是__________，三人中至少有一人达标的概率是__________．【答案】 0.24 0.96【解析】 三人均达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24，三人中至少有一人达标的概率为1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.三、解答题6．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人不放回地依次各抽1题，在甲抽到选择题的前提下，乙抽到判断题的概率是多少？[分析] 本题为条件概率，事件A 为甲抽到选择题，事件B 为乙抽到判断题．本题所求为在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率．【解析】 设甲抽到选择题为事件A ，乙抽到判断题为事件B ，则P (A )＝610＝35，P (AB )＝6×410×9＝415. ∴P (B |A )＝P AB P A ＝41535＝49，即在甲抽到选择题的条件下，乙抽到判断题的概率是49.。
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事件A：第一次罚球，球进了；事件A：同学甲获得冠军；
事件B：第二次罚球，球进了。事件B：同学乙获得冠军。
3、某人提出一个问题，规定由甲先答，答对的概率为0.4，若答对，则问题结束；若答错，则由乙接着答，但乙能否答对与甲的回答无关系，已知两人都答错的概率是0.2，求问题由乙答出的概率。
石泉中学课时教案
科目:高二数学 教师:张艳琴授课时间：第1周星期五2016年2月26日
单元（章节）课题
本节课题
2.1条件概率和独立事件
三维目标
知识与技能：了解条件概率和独立事件的概念，掌握条件概率和独立事件的计算公式，并能运用概率公式解决有关的简单概率问题；
过程与方法：通过对典型案例的探究，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质．
情感,态度与价值观：在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法．
提炼的课题
条件概率、独立事件
教学重难点
重点：条件概率和独立事件的概念；
条件概率公式和独立事件概率公式的简单应用；
难点：正确理解条件概率公式，
教学手段运用
教学资源选择
PPT、
，
则称A、B相互独立。
典
例
精
讲
正确应用概率公式
例1调查发现，某班学生患近视的概率为0.4，现
随机抽取该班级的2名同学进行体检，求他们都近视
的概率。
师生共同完成
课堂检测内容
1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。
2、判断：下列哪些事件相互独立。
教学过程
环节
学生要解决的问题或任务
教师如何教
学生如何学
知
识
回
顾
复习：《必修3》中的古典概型和对立事件。
一、古典概型
（1）特征：有限性、等可能性；
（2）
二、对立事件的概念
学生回答，教师补充
情
境
导
入
典型案例探究
实例：100个产品中有93个产品的长度合格，90个产
品的质量合格，85个产品的长度、质量都合格。现
课后作业布置
1．投掷两枚骰子，已知点数和为10，求两枚骰子中第一次投掷的点数大于第二次投掷点数的概率.
2、课本第19页练习
预》
在任取一个产品，若已知它的质量合格，那么它的
长度合格的概率是多少？
时间：
5分钟+5分钟
(5分钟自主学习+5分钟小组讨论)
点
拨
精
讲
理解条件概率和独立事件的概念及其概率公式
1、（多媒体演示）设A、B是事件，用P(B|A)表示已知A发生的条件下B发生的条件概率，简称为条件概率.
2、概率公式
3、一般地，两个事件A、B，若有P(AB)=P(A)P(B)