2019山西省高二上学期数学(理)期末考试试题

高 二 年 级 期 末 考 试数 学 试 题（理）时间：120分钟 满分：150分一．选择题（共12题，每题5分）1．把1,3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如图所示,试求第七个三角形数是( )A.27B.28C.29D.302．命题“∀x ∈（﹣∞，0），均有e x ＞x+1”的否定形式是（ ） A ．∀x ∈（﹣∞，0），均有e x ≤x+1 B ．∃x ∈（﹣∞，0），使得e x ≤x+1 C ．∀x ∈[﹣∞，0），均有e x ＞x+1 D ．∃x ∈[﹣∞，0），使得e x ＞x+13．若()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( )A. 30x y --=B. 230x y +-=C. 10x y +-=D.250x y --=4．若大前提: ,a b R +∈,2a b ab +≥,小前提: 112x x x x+≥⋅,结论: 12x x +≥,以上推理过程中的错误为( )A.大前提B.小前提C.结论D.无错误 5．经过直线3100x y +-=和30x y -=的交点,且和原点间的距离为1的直线的条数为( )A.0B.1C.2D.36．由曲线x y e =,直线3,0,2y x x x ===所围成的平面图形的面积S 可以表示为( )A. 320xe dx ⎰ B. 320xdx ⎰ C. ()320xe x dx -⎰ D. ()320x e x dx +⎰7．长方体共顶点的三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是( ) A. 63 B. 36 C. 11 D. 128．某几何体的三视图如图所示,根据图中数据可知该几何体的体积为( )A. 43π B. 153π C. 41533π-π D. 41533π+π 9．已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件 10．设'()f x 是函数()f x 的导函数, '()y f x =的图象如下图所示, 则()y f x =的图象最有可能的是( )A. B. C.D.11．若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线22(0)y px p =>的准线上,则p 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 4212．已知0a b >>,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b -=,1C 与2C 的离心率之积为32,则2C 的渐近线方程为( ) A. 20x y ±= B. 20x y ±= C. 20x y ±= D.20x y ±=二．填空题（共4题，每题5分）13.在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，与棱AA 1垂直且异面的棱有________条. 14．设直线30ax y -+=与圆()()22124x y -+-=相交于A 、B 两点,且弦AB 的长为23,则a =__________.15．3(2sin )x x dx π+⎰=__________.16．E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，将△ADE 绕AE 旋转，则异面直线AD 与直线BE 所成角的余弦值的取值范围是 . 三．解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分）ECBADAED CBA 1FD 1C 1B 117．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆C 的方程．18．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1?x =及2x =时取得极值. (1)求a 、 b 的值;(2)若对于任意的[]0,3x ∈,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围.19．如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点， 求证：MN ⊥平面PCD.(12分)20．如右下图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB = 4， AD =3， AA 1= 2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB = FB =1．(1)求二面角C -DE -C 1的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1所成的余弦值．21. 已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1，0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.22．已知函数f(x)＝ln x－ax＋1－ax－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤12时，讨论f(x)的单调性．高二期末考试理数答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBABCCAD CCCA13. 4． 14. 0 15.2192π+ 16. （，）17．答案：【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意，得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. 18．答案：(1)2'()663f x x ax b =++, 因为函数f ()x 在1?x =及2x =取得极值, 则有'(1)0,'(2)0f f ==.即6630{241230a b a b ++=++=，．解得3a =-,4b =.(2)由1可知, 32()29128f x x x x c =-++,2'()618126(1)(2)f x x x x x =-+=--. 当()0,1x ∈时, '()0f x >; 当()1,2x ∈时, '()0f x <; 当(2,3)x ∈时, '()0f x >.所以,当1?x =时, f ()x 取得极大值(1)58f c =+, 又(0)8,(3)98f c f c ==+ .则当[]0,3x ∈时, f ()x 的最大值为(3)98f c =+. 因为对于任意的[]0,3x ∈,有2()f x c <恒成立, 所以298c c +<, 解得1c <-或9c >,因此c 的取值范围为(,1)(9,)-∞-⋃+∞.19．答案：证明：.,,,;0)|||(|21|||(|21)()(21;0)(21)(210,0,0,,,,)(21)(2121)(2121.},,{,,,2222PCD MN D PD DC PD MN DC MN AP AD a c a c c a PD MN b c b a b c a DC MN a c c b b a AD AB AD PA AB PA ABCD PA a c PD b AB DC c a c b a b AC AP b AM AN MN c b a c AD b AB a AP 平面又故且矩形则为空间的一个基底则设⊥∴=⋂⊥⊥∴=--=--=-⋅+-=⋅=⋅+⋅-=⋅+-=⋅=⋅=⋅=⋅∴⊥⊥⊥∴⊥-===+-=++-=+-=-====20．答案：（1）以A 为原点，1,,AA AD AB 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系A -xyz ，则有D (0，3，0)、D 1(0，3，2)、E (3，0，0)、F (4，1，0)、C 1(4，3，2)．于是，1(3,3,0),(1,3,2)DE EC =-=，1(4,2,2)FD =-．设向量(,,)x y z =n 与平面C 1DE 垂直，则有133013202DE x y x y z x y z EC ⎫⊥-=⎫⎪⇒⇒==-⎬⎬++=⊥⎭⎪⎭n n ．∴(,,)(1,1,2),222z z zz =--=--n 其中z ＞0．取n 0=(-1，-1，2)，则n 0是一个与平面C 1DE 垂直的向量． ∵向量1AA =（0，0，2）与平面CDE 垂直，∴n 0与1AA 所成的角θ为二面角C -DE -C 1的平面角． ∵010********cos 3||||114004AA AA -⨯-⨯+⨯θ===⨯++⨯++n n ， ∴2tan 2θ=． （2）设EC 1与FD 1所成角为β，则11222222111(4)322221cos 14||||132(4)22EC FD EC FD ⨯-+⨯+⨯β===⨯++⨯-++． 21. 答案：【解】 过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎨⎧x ＝－y 2，y ＝k （x ＋1），消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1. 设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或16.22．答案：解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)， 因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)，令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a －1.a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．b ．当0<a <12时，1a －1>1， x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，1a －1)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；x ∈(1a －1，＋∞)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．c ．当a <0时，由于1a －1<0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，1a －1)上单调递增，在(1a －1，＋∞)上单调递减．。