如图矩形ABCD中折叠问题
2020中考数学图形折叠与拼接问题(含答案)
2020中考数学 几何培优之图形折叠与拼接问题（含答案）【例1】 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D '处，则重叠部分△AFC 的面积为＿＿＿＿＿.例1题图 例2题图【例2】如图，直线26y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是（ ）A .2412(,)55B .（2,1）C .（6,3）D .（7，3.5）【例3】 如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在CD 边上点E 处，然后压平折痕FG ，若FG ＝13cm ，求CE 长.【例4】 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．A（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形.（1）求这个长方形的长和宽； （2）请画出拼接图.【例6】 将正方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 交于点G.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM ＝3：4：5；（2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长是否有与点M 的位置关系？若有关，请把△CMG 的周长用含CM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由．图1能力训练1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿cm.2、如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的比是_____.4、如图，EF为正方形纸ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，则∠DKG＝_______度.5、如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使80，则∠EGC的度数点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝0为________.第4题图第5题图第6题图6、将一张长为70cm的长方形纸片ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是______cm.7、如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A .3B .4C .5D .68、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 ( )A .12B 、2C 、3D 、4第7题图 第8题图 第9题图9、如图，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案. 10、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕(对角线)BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折线DG ，若AB ＝2，BC ＝1，求AG.11、如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F处，已知折痕3.4EC AE FC == ，求矩形ABCD 的周长.EA12、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′处的位置，BC′交AD于点G.C ；(1) 求证：AG＝G(2) 如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.B级1、如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折叠一次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME 的长为__________.2、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的面积为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.4、如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴上，y轴上，连结AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是______.5、如图，在平面直角坐标系中，已知直线334y x=-+与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C(0，n)是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上B′处，则点C的坐标是_________.第4题图第5题图第6题图6、如图，矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____cm.7、在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动，则线段AT 长度的最大值与最小值之和为__________(计算结果不取近似值)8、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝10.（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF 的长.9、如图，已知三角形纸片ABC的面积为25，BC的长为10，∠B，∠C都为锐角，M是AB 边上的一动点(M与A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x.(1）用x表示△AMN的面积；（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．①用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围．②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？10、如图：一正方形纸片，根据要求进行多次分割，把它分割成若干个直角三角形．具体操作过程如下：第一次分割：将正方形纸片分成4个全等的直角三角形；第二次分割：将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的方法重复进行．（1）请你设计出两种符合题意的分割方案（分割3次）；（2）设正方形的边长为a，请你通过对其中一种方案的操作和观察，将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表：（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S 与分割次数n 有什么关系？用数学表达式表示出来．11、如图1，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E ，F 分别在边AB ，CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连结EP .(1)如图②，若M 为AD 边的中点， ① △AEM 的周长＝_________cm ； ② 求证：EP ＝AE ＋DP ；（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由.12、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF (点E ，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原.（1）当0 x 时，折痕EF 的长为________；（2）写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；（3）令2EF ＝y ，当点E 在AD 上、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式（写出x的取值范围），当y 取最大值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似．若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由.参考答案 例1 10例2 A 提示：作RE ⊥y 轴于E ，RF ⊥x 轴于F ，则Rt △QRE ∽Rt △PRF ，从而PFQERF RE PR QR ==，设R (x ，y )，又PR ＝OP ＝3，QR ＝OQ ＝6，于是3636--==x y y x ，得x ＝524，y ＝512． 例3 7 提示：过F 作FM ⊥BC 于M ，证明△FGM ≌△ADE ，则FG ＝AE ＝13，DE ＝5 例4 （1）OP ＝6－t ，OQ ＝t ＋32（2）D (1，3) （3）①PQ 能与AC 平行，若PQ ∥AC ，则OC OA OQ OP =，即326+-t t ＝36．得t ＝914，而0≤t ≤37，∴t ＝914． ②PE 不能与AC 垂直．若PE ⊥AC ，延长QE 交OA 于F ，则OC OQ AC QF =，即33253+=t QF，QF ＝5(t ＋32)．∴EF ＝QF －QE ＝QF －OQ ＝5(t ＋32)－(t ＋32)＝(5－1)t ＋32(5－1)． 又Rt △EPF ∽Rt △OCA ，∴OA OC EF PE =，即63)32)(15(6=+--t t ，t ≈3.45，而0≤t ≤37，∴t 不存在． 例5 （1）10个正方形的面积和：32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47． 因为所拼成的长方形面积是3055．长方形的宽显然≥25，所以它的宽应当是47，长应当是5×13＝65．（2）注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.（图略）例6 提示：（1）证明：设正方形边长为a ，DE 为x ，则DM =，EM=EA=a-x .在Rt △DEM 中，∠D=90°，∴2+2=2，∴2+22=，∴，=58，∴DE：DM：EM=：：58=3:4:5（2）设DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，可证明△DEM∽△CMG.△ 周长△ 周长==△CMG的周长 △周长，在△DEM中，由勾股定理得（2）2=2+（2）2，化简得4ay=x（4a-x）即. ∴△CMG的周长=44（y+2a-x+2a-y）=（4a-x）=4a，为定值.A级1. 2.656 3.1:2 4.75° 5.80° 6.10 提示：长方形纸片折叠时，AB与CD间的距离缩短了10cm。
...把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠,使点A与点E重...
23.（2011贵州遵义，23，10分）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。
（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC，再由图形折叠的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，进而可得出△BEH≌△DFG；（2）先根据勾股定理得出BD的长，进而得出BF的长，由图形翻折变换的性质得出CG=FG，设FG=x，则BG=8-x，再利用勾股定理即可求出x的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，∵△BEH是△BAH翻折而成，∴∠1=∠2，，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，∵△DGF是△DGC翻折而成，∴∠3=∠4，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，∴△BEH与△DFG中，∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠2=∠3，∴△BEH≌△DFG，（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∴BD= = =10，∵由（1）知，BD=CD，CG=FG，∴BF=10-6=4cm，设FG=x，则BG=8-x，在Rt△BGF中，BG2=BF2+FG2，即（8-x）2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．22.（2011广西崇左，22）矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的矩形，也是特殊的菱形．因此，我们可利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．回答下列问题：（1）将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系的下图中．（2）要证明一个四边形是正方形，可先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的相等；或者先证明四边形是菱形，在证明这个菱形有一个角是．（3）某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S=0.5a2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．考点：正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．分析：（1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系，即可求得答案；（2）由正方形的的判定定理，即可求得答案；（3）根据正方形的性质，即可的对角线相等，又由菱形面积计算公式，即可推导出对角线长为a的正方形面积是S=0.5a2．解答：解：（1）（2）邻边，直角；（3）正确．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC =BD =a ，S 正方形ABCD =21AC •BD ， ∴S =0.5a 2．点评：此题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系，正方形的性质．此题难度不大，解题的关键熟记定理．20. （2011广东肇庆，20， 分）如图，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ，（1）求证：△BEC ≌△DEC ：（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。
中考数学矩形的折叠与剪拼专题训练试题
矩形的折叠与剪拼专题训练1、如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，那么AG 的长为〔 〕A ．1B ．34C ．23D ．22、如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚线〕剪下，再翻开，得到的菱形的面积为〔 〕A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm3、形纸片ABCD 按如下图的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．那么BC 的长为〔 〕．A 、3B 、2C 、3D 、324、四边形ABCD 是矩 ，AB :AD = 4:3，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，那么DE :AC =A ′GDBCAA BCD图2A ．1:3B ．3:8C ．8:27D ．7:255、图5，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D C 、分别落在11 D C 、的位置．假设65EFB ∠=°，那么1AED ∠等于_______度．6、，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒ 的菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为A ．15︒或者30︒B ．30︒或者45︒C ．45︒或者60︒D ．30︒或者60︒7、 方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,假设M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，那么A ′N =; 假设M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点〔2n ≥,且n 为整数〕，那么A ′N =〔用含有n 的式子表示〕CA BCDE AEDCFB D 1C 1 图58、，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.〔1〕试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.〔2〕假设AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH 的值，并说明理由.9、个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原那么是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大间隔．．．．〔看守点到本区域内最远处的间隔〕相等．按照这一原那么，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心〔对角线交点〕，看守自己的一块牧场．过了一段时间是，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大间隔相等．请答复：〔1〕牧童B 的划分方案中，牧童 ▲ 〔填A 、B 或者C 〕在有情况时所需走的最大间隔 较远；〔2〕牧童C 的划分方案是否符合他们商量的划分原那么？为什么？〔提示：在计算时可取正方形边长为2〕10、问题解决：如图〔1〕，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C ，D 重合〕，压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN的值．类比归纳在图〔1〕中，假设13CE CD =，那么AM BN 的值等于 ；假设14CE CD =，那么AMBN 的值等于 ；假设1CE CD n =〔n 为整数〕，那么AMBN的值等于 ．〔用含n 的式子表示〕 联络拓广如图〔2〕，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C D ，重合〕，压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，那么AMBN的值等方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 F图〔1〕A BCDEFMN，的式子表示〕于．〔用含m n11、以下材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决以下问题：〔1〕现有5个形状、大小一样的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形〔画出一个符合条件的平行四边形即可〕；〔2〕如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小〔画图并直接写出结果〕.12、将正方形沿图中虚线〔其中x ＜y 〕剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰．能拼成一个．．．．．矩形〔非正方形〕． 〔1〕画出拼成的矩形的简图；〔2〕求xy的值．13、正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能互相全等的四个三角形外，你还能用三种不同的．．．方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。
中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题(距离问题)
中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题（距离问题）专题二矩形的折叠中的距离或线段长度问题【典例】在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图例1-1 图例1-2 图例1-3【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'P A的角平分线，与AD的交点即为点Q. 由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形. 所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。
作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A 的落点A '，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ 的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.1、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A ′处，当△A ′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2 【分析】根据△A ′DC 为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A 'D =A 'C ，②A 'D =DC ，③CA '=CD ，分别求得AP 的长，并判断是否符合题意．【解析】①如图，当A ′D =A ′C 时，过A ′作EF ⊥AD ，交DC 于E ，交AB 于F ，则EF 垂直平分CD ，EF 垂直平分AB∴A 'A =A 'B ，由折叠得，AB =A 'B ，∠ABP =∠A 'BP ，∴△ABA '是等边三角形，∴∠ABP =30°，∴AP =2 3333==； ②如图，当A 'D =DC 时，A 'D =2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'D =2+2=4连接BD ，则R t △ABD 中，BD =2222 2425AB AD +=+= ，∴A 'B +A 'D ＜BD （不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD =CA '时，CA '=2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'C =2+2=4，∴点A '落在BC 上的中点处此时，∠ABP =12∠ABA '=45°，∴AP =AB =2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为或2．故选C.【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3 B．32C．2或3 D．3或32【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在R t△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP 与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )A．PGCG =13B．△PBC是等边三角形C．AC＝2AP D．S△B G C＝3S△A G P【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段C G、A G之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，AC，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝√3，BC＝3，∴AC＝2√3，AB＝12∴∠ACB＝30°；由翻折变换的性质得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，B G＝P G，∴G C＝√3B G＝√3P G，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；B G，C G＝3A G，∴S△BC G＝3S△AB G；由射影定理得：B G2＝C G•A G，∴A G＝√33由题意得：S△AB G＝S△A G P，∴S△B G C＝3S△A G P，故选项D正确；故选：A．【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．4、如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．【分析】由矩形的性质和已知条件OP OF =，可判定OEF OBP ∆≅∆,设EF x =，根据全等三角形的性质及矩形的性质可用含x 的式子表示出DF 和AF 的长，在Rt ADF ∆根据勾股定理可求出x 的值，即可确定AF 的值. 【解析】四边形ABCD 是矩形, ∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠= DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的，∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=B E ∴∠=∠，又,FOE POB OP OF ∠=∠= ，∴OEF OBP ∆≅∆（AA S ）,EF BP OE OB ∴==，BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==- ，5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=- 解得67x = 620277AF ∴=+= 故答案为：207【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为__．【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】设BE=x，则：EF=x，AE=3-x在R t△ABC中，由勾股定理得：AC在R t△EBC中，由勾股定理得:EC由折叠可知CF=CB=2，所以：AF=AC-CF-2.【小结】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.6、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【分析】利用勾股定理求出CE ，再证明CF =CE 即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA ′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在R t △BCE 中，EC，∴CF ＝CE＝，∵AB ＝CD ＝6，∴DF＝CD ﹣CF ＝6﹣，当点F在DC 的延长线上时，易知EF ⊥EF′，CF ＝CF ′＝，∴DF ＝CD +CF ′＝，故答案为6﹣或．【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE 的等腰三角形，属于中考常考题型．==7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在R t△A′CD与R t△DBA中，，∴R t△A′CD≌R t△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【解析】连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在R t△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5，故答案为：510、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在R t△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在R t△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中，∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在R t△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在R t△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．13、在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在R t△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在R t△CEG和△FEG中，，∴R t△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在R t△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．。
专题04 折叠问题(解析版)
专题04 折叠问题1．（2019•江苏扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD=________ .2.（2019•山东烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼的度数是________.间无缝隙)，AOB3．（2019•山东青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．4（2019•江苏连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心．其中正确的个数为③PC；④BP＝2A．2个B．3个C．4个D．5个5.（2019•四川资阳）如图，在△ABC中，已知AC=3，BC=4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′=______．6.（2019南通）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠BCE= 4．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为()3A. B.C. D.7．（2019•山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．8．（2019•海南）如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A ．12B ．15C ．18D ．219.（2019•四川攀枝花）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8CE =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G ．连接AG ，现在有如下四个结论：①45EAG ∠=︒；②FG FC =；③FC ∥AG ；④14GFC S ∆=; 其中结论正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410．（2018•成都）如图，在菱形ABCD 中，tanA=，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF ⊥AD 时，的值为 ．11．（2018•河南模拟）如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=15，点E 是AD 边上一点，连接BE ，把△ABE 沿BE 折叠，使点A 落在点A′处，点F 是CD 边上一点，连接EF ，把△DEF 沿EF 折叠，使点D 落在直线EA′上的点D′处，当点D′落在BC 边上时，AE 的长为 ．12.(2019山西)综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：(1)在图5中，∠BEC的度数是，AEBE的值是；(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：.专题04 折叠问题1．（2019•江苏扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD=________ .【答案】128°【解析】延长DC到F，∵矩形纸条折叠，∴∠ACB=∠∠BCF，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCF=26°，∴∠ACF=52°，∵∠ACF+∠ACD=180°，∴∠ACD=128°.【点睛】矩形的性质，折叠问题，等腰三角形，平行线，平角2.（2019•山东烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼∠的度数是________.间无缝隙)，AOB【答案】45°【分析】根据折叠过程可知，在折叠过程中角一直是轴对称的折叠.【解析】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，22.5245∠=⨯=,故答案为：45°AOB︒︒【点睛】考核知识点：轴对称.理解折叠的本质是关键.3．（2019•山东青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．【答案】6﹣【解析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．4（2019•江苏连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC ＝2；④BP ＝2AB ；⑤点F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为 A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】由折叠可知∠MEG=∠A=90°，∠MEC=∠D=90°，故G,M,C 在同一直线上，故②错；由折叠可知∠AMP=∠PME ，∠CME=∠DMC,,且∠AMP+∠PME+∠CME+∠DMC=180°，所以∠PMC=∠PME+∠CME=180°÷2=90°，故①正确；③正确，④错；因为△MPC 为直角，所以PC 是直径，故⑤正确.故选B.【点睛】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握与圆相关的知识求解是解题的关键．5.（2019•四川资阳）如图，在△ABC 中，已知AC =3，BC =4，点D 为边AB 的中点，连结CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，将△ACE 沿直线AC 翻折到△ACE ′的位置．若CE ′∥AB ，则CE ′=______．【答案】95【解析】如图，作CH ⊥AB 于H ．由翻折可知：∠AE′C=∠AEC=90°，∠ACE=∠ACE′，∵CE′∥AB ，∴∠ACE′=∠CAD ，∴∠ACD=∠CAD ，∴DC=DA ， ∵AD=DB ，∴DC=DA=DB ，∴∠ACB=90°，∴AB==5， ∵•AB•CH=•AC•BC ，∴CH=，∴AH==，∵CE ∥AB ，∴∠E′CH+∠AHC=180°，∵∠AHC=90°，∴∠E′CH=90°，∴四边形AHCE′是矩形， ∴CE′=AH=，故答案为．【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．6.（2019南通）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠BCE=43．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A. B.C. D.【答案】D【分析】设AB ＝x ，根据折叠，可证明∠AFB=90°，由tan ∠BCE=43，分别表示EB 、BC 、CE ，进而证明△AFB ∽△EBC ，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF 的面积. 【解析】设AB ＝x ，则AE ＝EB ＝12x ，由折叠，FE ＝EB ＝12x ，则∠AFB ＝90°，由tan ∠BCE ＝43，∴BC ＝23x ，EC ＝56x ，∵F 、B 关于EC 对称，∴∠FBA ＝∠BCE ，∴△AFB ∽△EBC ，∴2()EBCy AB S EC ＝，∴y ＝221366×62525x x ＝，故选D. 【点睛】本题考查了三角函数，相似三角形，三角形面积计算，二次函数图像等知识，利用相似三角形的性质得出△ABF 和△EBC 的面积比是解题关键.7．（2019•山东潍坊）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A ′，折痕为DE ．若将∠B 沿EA ′向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B ′，则AB ＝ ．【答案】【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC＝DB'，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE＝＝，设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣∵AE2+AD2＝DE2，∴（）2+22＝（x+x﹣）2，解得，x1＝（负值舍去），x2＝，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED＝∠A'ED ＝∠A'EB＝60°．8．（2019•海南）如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD =∠ACE =90°，∴∠BAC =90°， 又∵∠B =60°，∴∠ACB =30°，∴BC =2AB =6，∴AD =6， 由折叠可得，∠E =∠D =∠B =60°，∴∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 9.（2019•四川攀枝花）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8CE =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G ．连接AG ，现在有如下四个结论：①45EAG ∠=︒；②FG FC =；③FC ∥AG ；④14GFC S ∆=; 其中结论正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】如图，连接DF ．∵四边形ABC 都是正方形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠ABE ＝∠BAD ＝∠ADG ＝∠ECG ＝90°，由翻折可知：AB ＝AF ，∠ABE ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，BE ＝EF ＝4，∠BAE ＝∠EAF ， ∵∠AFG ＝∠ADG ＝90°，AG ＝AG ，AD ＝AF ，∴Rt △AGD ≌Rt △AGF （HL ）， ∴DG ＝FG ，∠GAF ＝∠GAD ，设GD ＝GF ＝x ， ∴∠EAG ＝∠EAF ＋∠GAF ＝12（∠BAF ＋∠DAF ）＝45°，故①正确， 在Rt △ECG 中，∵EG 2＝EC 2＋CG 2，∴（4＋x ）2＝82＋（12−x ）2，∴x ＝6， ∵CD ＝BC ＝BE ＋EC ＝12，∴DG ＝CG ＝6，∴FG ＝GC ， 易知△GFC 不是等边三角形，显然FG≠FC ，故②错误， ∵GF ＝GD ＝GC ，∴∠DFC ＝90°，∴CF ⊥DF ，∵AD ＝AF ，GD ＝GF ，∴AG ⊥DF ，∴CF ∥AG ，故③正确，∵S△ECG＝12×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，∴FG：EG＝3：5，∴S△GFC＝35×24＝725，故④错误，故选B．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．10．（2018•成都）如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN 翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为．【答案】【解析】解：延长NF与DC交于点H，∵∠ADF=90°，∴∠A+∠FDH=90°，∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN，∴∠A=∠DFH，∴∠FDH+∠DFH=90°，∴NH⊥DC，设DM=4k，DE=3k，EM=5k，∴AD=9k=DC，DF=6k，∵tanA=tan∠DFH=，则sin∠DFH=，∴DH=DF=k，∴CH=9k﹣k=k，∵cosC=cosA==，∴CN=CH=7k，∴BN=2k，∴=．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．11．（2018•河南模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，点E是AD边上一点，连接BE，把△ABE 沿BE折叠，使点A落在点A′处，点F是CD边上一点，连接EF，把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA′上的点D′处，当点D′落在BC边上时，AE的长为．【答案】或【解析】∵把△ABE沿BE折叠，使点A落在点A′处，∴AE=AE′，AB=BE′=8，∠A=∠BE′E=90°，∵把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA′上的点D′处，∴DE=D′E，DF=D′F，∠ED′F=∠D=90°，设AE=A′E=x，则DE=ED′=15﹣x，∵AD∥BC，∴∠1=∠EBC，∵∠1=∠2，∴∠2=∠EBD′，∴BD′=ED′=15﹣x，∴A′D′=15﹣2x，在Rt△BA′D′中，∵BD′2=BA′2+A′D′2，∴82+（15﹣2x）2=（15﹣x）2，解得x=，∴AE=或．【点睛】本题考查了轴对称图形性质解题时注意折叠是一种对称变换，根据BD′2=BA′2+A′D′2，列出方程即可解决问题．12.(2019山西)综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD 沿对角线AC 所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C 的直线折叠，使点B ，点D 都落在对角线AC 上.此时，点B 与点D 重合，记为点N ，且点E ，点N ，点F 三点在同一直线上，折痕分别为CE ，CF.如图2.第二步：再沿AC 所在的直线折叠，△ACE 与△ACF 重合，得到图3第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C 与点F 重合，如图4，展开铺平，连接EF ，FG ，GM ，ME ，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：(1)在图5中，∠BEC 的度数是 ，AE BE的值是 ； (2)在图5中，请判断四边形EMGF 的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形： .【答案】(1)67.5°；；(2)四边形EMGF 是矩形，理由见解析；(3)菱形FGCH 或菱形EMCH(一个即可).【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=12∠BCD=45°，∠BAC=12∠BAD=45°， ∵折叠，∴∠BCE=12∠BCE=22.5°，BE=EN ，∠ENC=∠B=90°， ∴∠BEC=90°-22.5°=67.5°，∠ANE=90°，Rt △AEN 中，sin ∠EAN=EN AE ，∴2EN AE =，∴EN ，∴AE AE BE EN==67.5°； (2)四边形EMGF 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG ，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC，FC，∴MC=ME，GC=GF，∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，∴∠MEF=∠GFE=90°，∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°，又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，∴四边形EMGF是矩形；(3) 如图所示，四边形EMCH是菱形，理由如下：由(2)∠BME=45°=∠BCA，∴EM//AC，∵折叠，∴CM=CH，EM=CM，∴EM=CH，∴EM//CH，∴四边形EMCH是平行四边形，又CM=EM，∴平行四边形EMCH是菱形.(同理四边形FGCH是菱形，如图所示).【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正确把握相关知识是解题的关键.。
矩形的五种折叠方法
矩形的五种折叠方法折叠问题的实质是轴对称问题，折叠原理实际上是图形的全等问题，对应角相等，对应线段相等。
对应点的连线被折痕垂直平分。
矩形在日常生活中随处可见，矩形的性质又具有平行四边形的所有性质，并且具有对角线互相平分且相等的特有性质，它不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形.所以矩形的折叠问题是中考热点问题，并且折叠的方法不同，问题不同，给参加中考的考生带来各种各样的困境，为了让参加中考的孩子们轻松应考，先把矩形的折叠问题进行总结一下.一.沿对角线折叠例1.在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。
如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M。
（1）判断△OBM是什么三角形，并说明理由，并求出△OBM的面积（2）求MN的长.【分析】由矩形性质可知，AB=OC=3,BC=OA=4,∠COA=∠OAB=90°OA∥BC 所以∠AOB=∠MBO根据折叠原理得∠AOB=∠MOB，所以∠MBO=∠MOB，∴MB=MO所以△OBM是等腰三角形，二．折一角，使直角顶点到对边例2.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC ＝4.在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．则点D 的坐标是 ．【分析】折叠原理知，AE=AO=5，AB=OC=4，OD=ED 由勾股先求得BE=3，∴CE=2，然后设OD=x ，则CD=4-x在Rt △DCE 中由勾股定理即可求得OD 的长，然后就得到点D 的坐标。
练习：如图，折叠矩形的一边AD ，点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC 的长是 。
（这道题目先求BF 的长，再求CF 的长，然后再勾股定理）练习2.如图，矩形纸片ABCD ，若把△ABE 沿折痕BE 上折叠，使A 点恰好落在CD 上，此时，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的长和宽。
浙教版八年级数学下册第5章专题十 矩形的折叠问题
专题
由勾股定理可得 BD＝ AB2＋AD2＝ 42＋32＝5. 设 AG＝x，则 BG＝4－x，A′G＝x. BA′＝BD－A′D＝BD－AD＝5－3＝2. 在 Rt△ BA′G 中，x2＋22＝(4－x)2，解得 x＝32，∴AG ＝32.由勾股定理得 DG＝ AD2＋AG2＝ 32＋322＝32 5.
形沿AC折叠，使点D落在点E处，CE与AB交于点F，
则S△ACF为(
)
A．12
B．15
C．6D．10源自题由折叠可知∠DCA＝∠ACE. ∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB， ∴∠ACE＝∠CAB，∴AF＝FC. 设 AF＝FC＝x，则 FB＝8－x， 由勾股定理得 x2＝(8－x)2＋42， 解得 x＝5，∴S△ACF＝12×5×4＝10. 【答案】D
专题
设 AF＝x，则 DF＝10－x. 在 Rt△ BAF 中，BF2＝x2＋42. 在 Rt△ B′DF 中，B′F2＝(10－x)2＋12， ∴x2＋42＝(10－x)2＋12， 解得 x＝147.∴AF＝147.
专题
变式3如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为 BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的 点F处，连结CF.求CF的长．
浙教版 八年级下
第5章 特殊平行四边形
专题十 矩形的折叠问题
专题
1 母题 【教材第5.1节作业题】已知：如图，将矩形纸 ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无 重叠的四边形EFGH.
专题
【方法点拨】 在折叠问题中，折叠前后的图形是全等图形，折
叠前后的对应点的连线被折痕所在直线垂直平分， 由此可得线段相等、角相等，结合勾股定理等知识 可求线段长．
专题
变式2如图，在矩形ABCD中，BC＝10，AB＝4，点E， F分别是BC，AD上的动点，将四边形CDFE沿EF折叠， 点C，D的对应点分别为C′，D′，当线段C′D′恰好过点 B，且BC′＝3BD′时，求AF的长．
题型四 几何图形的折叠与动点问题
题型四几何图形的折叠与动点问题试题演练1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，则x的取值范围是__________.2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________．3. (’15洛阳模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、CD边上的动点．在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF ＝90°.则直角三角形的斜边EF的取值范围是________．4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点，过点P作PE⊥AB交射线AD于点E，将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为________．5. 如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分线AE交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为________．6. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在矩形的对角线上时，DE的长为________．7. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上，对应点为点E，若BG＝10，则折痕FG的长为________．8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE＝AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为________．9. (’15商丘模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB 上的点F处，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为________．10. (’15郑州模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，AD的中点为E，点F是AB边上一点(不与A、B重合)，连接EF，把∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接CG.则线段CG的取值范围是________．11. (’15江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△P AB为直角三角形时，AP的长为________．12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为_____【答案】1. 1≤x≤3【解析】通过观察图形，可得当点E与点A重合时AP最小，则AP＝EP＝AD ＝1；当点P与点B重合时，AP最大，则AP＝3，∴1＜AP≤3，则x的取值范是1≤x≤3.2. 2【解析】由题意得：DF＝DB，∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D，连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小；∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4.由勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2∴AD＝5，而FD＝3，∴F A＝5－3＝2，即线段AF长的最小值是2.3. 4≤EF≤5【解析】∵点M为BC的中点，正方形ABCD的边长为4，∴BM＝CM＝2，∵∠EMF＝90°，∴∠BME＋∠CMF＝90°，∵∠CFM＋∠CMF＝90°，∴∠BME＝∠CFM，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BME∽△CFM，∴BMCF＝BECM，∴BE·CF＝BM·CM＝2×2＝4，∵CF最大时为4，此时BE＝1，BE最大时为4，此时CF＝1，∴0≤|CF－BE|≤3，过点E 作EG⊥CD于点G，则EG＝BC＝4，在Rt△EFG中，EF2＝EG2＋FG2＝16＋(CF－BE)2，∴16≤EF2≤16＋9，∴4≤EF≤5.4. 12或32 【解析】根据题意可得△FDC 为直角三角形时分三种情况考虑：(1)如解图①，当∠FDC ＝90°时，DF ⊥AB ，在△AFD 中，∠A ＝60°，AD ＝2，∴AF ＝1，AP ＝12；(2)如解图②，当∠DCF ＝90°时，CF ⊥AB ，在△CFB 中，∠CBF ＝60°，BC ＝2，∴BF ＝1，AF ＝3，AP ＝32；(3)当∠DFC ＝90°，不存在．综上可知AP 的值为12或32.5. 2 【解析】如解图，作D 关于AE 的对称点D ′，则D ′落在对角线AC 上，过点D ′作 D ′P ′⊥AD 于点P ′，∴D ′P ′即为DQ ＋PQ 的最小值，∵DD ′⊥AE ，∴∠AFD ＝∠AFD ′，∵AF ＝AF ，∠DAF ＝∠D ′AF ，∴△DAF ≌△D ′AF ，∴AD ＝AD ′＝2，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAD ′＝45°，∴AP ′＝P ′D ′，∴在Rt △AP ′D ′中，P ′D ′2＋AP ′2＝AD ′2， AD ′2＝4，∴P ′D ′＝2，即DQ ＋PQ 的最小值为 2.6. 32或94【解析】分两种情况进行讨论，设DE ＝x .ⅰ)D ′落在AC 上，如解图1，在Rt △ED ′C 中，EC ＝4－x ，D ′C ＝AC －AD ′＝5－3＝2，ED ′＝x ，根据ED ′2＋D ′C 2＝EC 2可得x 2＋22＝(4－x )2，解得x ＝32；ⅱ)D ′落 在BD 上，如解图2，设DD ′交AE 于F 根据轴对称性质可知AE 垂直平分DD ′.在Rt △DF A 中，sin ∠ADF ＝AF AD ，∵sin ∠ADF ＝sin ∠ADB ＝AB BD ＝45，∴AF AD ＝45，又∵AD ＝3，∴AF ＝125，∴DF ＝95，又∵∠DEF ＝∠ADF ，∴sin ∠DEF ＝sin ∠ADF ＝45，∴DF DE ＝45，即95DE ＝45，∴DE ＝95×54＝94.综上DE 的长为32或94.7. 55或45 【解析】分两种情况讨论：(1)如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于点H ，则四边形ABGH 为矩形，∴GH ＝AB ＝8，由图形折叠可知△BFG ≌ △EFG ，∴EG ＝BG ＝10，∠B ＝∠FEG ＝90°，∴EH ＝6，AE ＝4，∠AEF ＋∠HEG ＝90°，∵∠AEF ＋∠AFE ＝90°，∴∠HEG ＝∠AFE ，又∵∠A ＝∠EHG ＝90°，∴△EAF ∽△GHE ，∴EF EG ＝AE GH，∴EF ＝5，∴FG ＝102＋52＝55；(2)如解图②，由图形的折叠可知四边形ABGF ≌四边形HEGF ，∴BG ＝EG ，AB ＝EH ，∠BGF ＝∠EGF ，∵EF ∥BG ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EFG ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ，∴BG ＝EF ，∴四边形BGEF 为平行四边形，∵EF ＝EG ，∴平行四边形BGEF 为菱形，连接BE ，∴BE 、FG 互相垂直平分．在Rt △EFH 中，EF ＝BG ＝10，EH ＝AB ＝8，由勾股定理可得FH ＝AF ＝6，∴AE ＝AF ＋EF ＝16，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝85，∴BO ＝45，∴OG ＝BG 2－BO 2＝25，∵四边形BGEF 为菱形，∴FG ＝2OG ＝4 5.8. 1227或352【解析】在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC ＝10，BC ＝8，∴AB ＝102－82＝6，则AE ＝6，EC ＝AC －AE ＝10－6＝4；∵AB ＝AE ，∠BAD ＝∠EAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED ，∴BD ＝DE ，∠B ＝∠AED ＝90°，设BD ＝x ，则DE ＝x ，CD ＝8－x ，∴x 2＋42＝(8－x )2，解得：x ＝3，∴CD ＝5，DE ＝3.(1)如解图①，若沿∠DEC 的角平分线EG 折叠，使点C 落在ED 延长线上F 点处，过G 分别作GM ⊥EC ，GN ⊥EF ，垂足分别为M 、N .∴GN＝GM ，∵S △DEC ＝12×3×4＝6，S △DEG ＝12×3·GN ＝32GN ，S △CEG ＝12×4·GM ＝2GM ，∴2GM ＋32GN ＝6，即2GN ＋32GN ＝6，解得：GN ＝127，故EG ＝1227；(2)如解图②，若沿∠EDC 的角平分线DG 折叠，使点C 落在DE 延长线上F 点处．∴CG ＝FG ，DC ＝DF ＝5，∵DE＝3，∴EF ＝2，设CG ＝y ，则FG ＝y ，EG ＝4－y ，∴(4－y )2＋22＝y 2，解得：y ＝52，∴EG＝4－52＝32，∵DE ＝3，∴DG ＝（32）2＋32＝94＋9＝352. 9. 1或54或710【解析】本题考查三角形的折叠，等腰三角形的性质求线段的长．在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5.由折叠性质得AE ＝EF ，在△BCF 中，当BF ＝BC 时，有BF ＝AB －AF ＝AB －2AE ＝3，则AE ＝1; 当BF ＝CF 时，过BC 中点作AC 的平行线，交AB 于点F ，此时F 点满足题意，且AF ＝BF ＝52，则AE ＝54； 当CF ＝CB 时，如解图，过C 作CN ⊥AB 于点N .由等面积法得CN ＝AC ·BC AB ＝125.由△BCN ∽△BAC ，得BN BC ＝BC AB ，则BN ＝95.由等腰三角形三线合一性质得FN ＝BN ＝95，则AE ＝12AF ＝12(AB －BF )＝12×(5－185)＝710. 10. 2537＜CG ＜213 【解析】如解图所示，在Rt △ADC 中，AD ＝6，CD ＝4，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝213，把∠A 沿EB 折叠，此时CG 最小，使点A 落在点G 处，连接AG ，DG ，∴∠EAG ＝∠EGA ，AE ＝EG ，∵AE ＝DE ，∴EG ＝ED ，∴∠ADG ＝∠EGD ，∴∠AGD ＝∠AGE ＋∠EGD ＝∠DAG ＋∠ADG ＝90°，∵AE ＝3，AB ＝4，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝5，∵12AG ·BE ＝AE ·AB ，∴AG ＝245，在Rt △ADG 中，DG ＝AD 2－AG 2＝62－（245）2＝185，过G 点作MN ⊥AD ，∴∠AMG ＝∠AGD ＝90°，∵∠MAG ＝∠GAD ，∴△AMG ∽△AGD ，∴AM AG＝MG DG ＝AG AD ，即：AM 245＝MG 185＝2456，∴AM ＝9625，MG ＝7225，∵BN ＝AM ＝9625，MN ＝CD ＝4，∴CN ＝6－9625＝5425，GN ＝4－7225＝2825，在Rt △CNG 中，CG ＝CN 2＋GN 2＝2537.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝213，∴线段CG 的取值范围是2537＜CG ＜213.11. 2或23或27 【解析】由于点P 在射线CO 上运动，∴当△P AB 为直角三角形时，有三种情况：(1)当∠APB ＝90°时，①如解图①，当点P 在线段CO 上时，∵AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，∴AO ＝2，∴PO ＝AO ＝2，∵∠AOC ＝60°，∴△APO 是等边三角形，∴AP ＝AO ＝2；②如解图②所示，当点P 在CO 的延长线上时，∵AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，∠AOC ＝60°，∴OP ＝OA ＝OB ＝2，∵∠POB ＝∠AOC ＝60°，∴△POB 是等边三角形，即PB ＝OB ＝2，∴AP ＝AB 2－PB 2＝42－22＝23；(2)当∠ABP ＝90°时，如解图③所示，∵AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，∴AO ＝BO ＝2，又∵∠BOP ＝∠AOC ＝60°，∠ABP ＝90°，∴BP ＝23，在Rt △APB 中，AP ＝AB 2＋PB 2＝42＋（23）2＝27；∴AP 的长度为2或23或27.12. 92或4877【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝8，AB ＝DC ＝12，AD ∥BC ，∠C ＝90°.∵把△DCE 沿DE 折叠得△DFE ，∴DC ＝DF ＝12.∵AD ≠DF ，∴△AFD 为等腰三角形只有两种情况： (1)当AF ＝FD ＝12时，如解图①，过点F 作FM ⊥AD于点M ，∴AM ＝MD ＝4，在Rt △MDF 中，由勾股定理，得MF ＝122－42＝82，∵AD ∥BC ，∴∠MDF ＝∠DPC .∵∠DMF ＝∠C ＝90°，∴△MDF ∽△CPD ，∴MF CD ＝FD PD ，即：8212＝12PD，解得PD ＝92； (2)当AD ＝AF ＝8时，如解图②，DF 的延长线交CB 的延长线于点P ，过点A 作AN ⊥DF 于点N, ∴FN ＝ND ＝6，在Rt △AND 中，由勾股定理，得AN ＝82－62＝27，∵AD ∥BC ，∴∠ADN ＝∠DPC ，∵∠AND ＝∠C ＝90°， ∴△AND ∽△DCP ，∴AN CD ＝AD PD ，即：2712＝8PD ，解得PD ＝4877.综上所述，DP 的长为92或4877。