关于矩阵特征值研究性教学的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是矩阵在线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质。
本文将讨论特征值及其性质的基本概念和应用。
我们来谈谈特征值的定义。
设A是一个n阶矩阵，如果存在一个n维向量x，使得Ax 等于这个向量的一个非零倍数，即Ax=lambda*x，其中lambda是一个常数，那么我们称lambda是矩阵A的一个特征值，而x是对应于这个特征值的特征向量。
特征值和特征向量之间存在着重要的关系。
一个矩阵的特征向量是与其特征值相对应的向量，而特征向量确定了特征值的取值。
特征向量与特征值之间的关系可以用矩阵特征方程表示，即A*x=lambda*x，这个方程也被称为特征方程。
我们来讨论特征值的存在性。
对于任意一个n阶矩阵，它都至少有一个特征值。
这是因为特征方程是一个以特征值为未知数的n次方程，根据代数学基本定理，方程至少有一组复数根，也就是至少有一个特征值。
我们来谈谈特征值和矩阵的关系。
特征值可以通过矩阵的特征多项式来求得，特征多项式定义为det(A-lambda*I)，其中I是单位矩阵。
通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。
特征值对于理解矩阵的性质和行为是非常重要的。
它可以告诉我们矩阵的特定性质和变化趋势。
特征值的大小可以决定矩阵的稳定性，如果一个特征值的绝对值大于1，那么矩阵的幂次将趋向于无穷大，表示系统是不稳定的。
特征值还可以告诉我们矩阵的对角化是否可能。
一个n阶矩阵是可对角化的，当且仅当它有n个线性无关的特征向量。
如果一个矩阵的特征值都是不同的，那么它是可对角化的。
对角化矩阵对于求解矩阵的幂次非常有用，可以简化计算过程。
特征值还可以与其他矩阵的特征值进行比较。
两个矩阵A和B的特征值之间存在着一些基本的关系。
矩阵的和、差、乘积都有着特征值之间的相互关系。
特征值还可以应用于一些实际问题中。
特征值可以用于图像处理中的特征提取，通过计算一个图像矩阵的特征值，可以得到图像的一些特征信息，如对称性、方向等。
矩阵特征值、特征向量的研究【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、前言部分数学作为一种研究问题的工具，大部分同学并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学对于学习知识及其解决问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决问题．许多理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获[]1。
矩阵就是数学中的一小部分，英文名Matrix（SAMND矩阵）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。
这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。
在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的，尤其是有了矩阵特征值、特征向量的各种求解及计算机的广泛使用和MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为矩阵提供了更为广阔的发展和应用前景。
矩阵特征值、特征向量运用非常的广泛，在很多方面都有涉及。
本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用[]2。
那什么是矩阵特征值、特征向量呢？定义：设A是N阶矩阵，如果数X和N维非零列向量x，使关系式Ax=Xx成立，那么，这样的数X就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值X的特征向量。
求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于λ) v = 0 (其中I是恒等矩阵)有非零解 (一个特征向量)，因说线性系统 (A –iλ)=0。
此等价于行列式 det(A –i第一：运用MATLAB求解矩阵特征值、特征向量。
首先，我用下面的例子，来引导我们认识MATLAB在求解矩阵特征值、特征向量上的运用。
例1：对亏损矩阵进行 Jordan 分解[]5。
A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。
[VJ,DJ]=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。
矩阵特征值和特征向量的研究
矩阵特征值和特征向量的研究首先，我们来定义矩阵的特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=λX，其中λ为一个常数，则称λ为矩阵A的一个特征值，称X为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量满足这个特殊的关系，可以用来研究矩阵的性质和变换。
接下来，我们来讨论一些矩阵特征值和特征向量的性质。
首先，矩阵的特征值和特征向量与矩阵的行列式和迹有关。
设A为一个n阶方阵，其特征值为λ1，λ2，...，λn，特征向量为X1，X2，...，Xn，则有以下性质：1. 所有特征值的和等于矩阵的迹：λ1+λ2+...+λn=tr(A)。
2.所有特征值的积等于矩阵的行列式：λ1λ2...λn=，A。
3.如果一个方阵A是可逆方阵，那么它的特征值都不为0。
4.如果一个方阵A的特征向量X对应的特征值λ，那么对于任意实数c，cX也是对应于λ的特征向量。
另外，矩阵的特征向量也具有以下一些性质：1.特征向量是线性无关的，即对应不同特征值的特征向量之间线性无关。
2.如果一个特征向量X对应的特征值λ是一个n重特征值，那么X 的一个非零分量为1，其他分量为0的向量也是对应于λ的特征向量，称为属于λ的基本特征向量。
矩阵特征值和特征向量在许多实际问题中有着广泛的应用。
其中，最常见的一种应用是在理解和分析线性变换和空间变换中。
对于一个线性变换T，其变换矩阵A的特征值和特征向量可以帮助我们理解该变换对于不同方向上的伸缩或压缩程度。
特别地，当特征值为1时，相应的特征向量表示空间中不变的方向。
另外，矩阵特征值和特征向量还可以用于解决大规模矩阵的特征值计算问题，例如在机器学习算法中的主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）。
此外，矩阵特征值和特征向量还在图论、电力系统、量子力学等领域有重要应用。
在图论中，矩阵的特征值和特征向量可以用于研究图的结构和性质。
在电力系统中，通过矩阵特征值和特征向量的分析，可以评估系统的稳定性和准确地计算功率流分布。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的特征向量密切相关，给出了矩阵在某些方面的重要信息。
本文将探讨矩阵特征值的一些基本性质，包括其定义、性质、计算方法以及应用等方面。
一、矩阵特征值的定义给定一个$n$阶方阵$A$，如果存在一个常数$\lambda$以及非零向量$x$，使得下式成立：$A x = \lambda x$则称$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，而$x$则是对应的特征向量。
特别地，如果$x$可以选成单位向量，则称之为规范化特征向量。
1. 特征值的数量等于矩阵的阶数，且特征值可以存在重复。
2. 特征值和矩阵的行列式有以下关系：其中$I$是$n$阶单位矩阵。
$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \sum_{i=1}^n \lambda_i$其中$\lambda_i$表示矩阵$A$的第$i$个特征值。
4. 矩阵的特征向量线性无关。
5. 如果矩阵是可对角化的，则其特征向量构成矩阵的一组基。
6. 矩阵的特征值具有可乘性，即：1. 求解特征值的通常方法是通过计算矩阵的特征多项式的根，即通过求解以下方程组：2. 特殊情况下，例如矩阵为三角矩阵或对称矩阵时，特征值可以更加容易地求解。
矩阵特征值是线性代数中一个极其重要的概念，它在众多领域中都有重要的应用，例如：1. 信号处理与图像处理领域中，利用矩阵特征值进行信号与图像的压缩、噪声去除等处理。
2. 机器学习中，利用矩阵特征值进行降维、分类、聚类等操作。
3. 物理学中，矩阵特征值被广泛应用于量子力学、波动问题、振动问题等领域。
4. 工程与应用数学中，矩阵特征值被应用于控制系统分析与设计、特征提取、优化问题等领域。
总之，矩阵特征值在数理学科以及众多应用领域中都具有广泛的应用，其重要性显而易见。
因此，对于矩阵特征值的认识和掌握将对于我们深入理解许多数学和工程问题非常有帮助。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵的特征值是矩阵在特定变换下的不变点，它在矩阵变换和线性代数中起着重要的作用。
研究矩阵特征值的性质对于深入理解矩阵的本质和其在现实问题中的应用具有重要意义。
本文将对矩阵特征值的相关性质进行探讨，包括特征值的定义、性质、计算方法以及特征值与矩阵的关系等方面。
一、特征值的定义矩阵A的特征值是指使得矩阵A减去这个特征值乘以单位矩阵后的矩阵不可逆的值。
具体来说，对于矩阵A，如果存在实数λ和非零向量X使得AX=λX，其中X称为特征向量，那么λ就是矩阵A的特征值。
特征值和特征向量是矩阵的重要属性，它们能够描述矩阵在变换中的不变性，对于矩阵的性质和应用具有重要的意义。
1. 特征值的个数等于矩阵的秩对于一个n阶矩阵，它最多有n个不同的特征值，特征值的个数等于矩阵的秩。
这一性质可以通过特征值与矩阵的迹和行列式之间的关系来进行证明。
特征值是矩阵的一个重要属性，通过特征值的数量可以进一步了解矩阵的结构和性质。
2. 特征值和特征向量的计算为了求解一个矩阵的特征值和特征向量，可以利用矩阵的特征多项式来进行计算。
特征多项式是矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式。
通过求解特征多项式的根，就可以得到矩阵的特征值。
进而，可以通过特征值来求解特征向量，从而完成对矩阵特征值和特征向量的求解。
3. 特征值与矩阵的关系矩阵的特征值和矩阵的相似性有着密切的关系。
如果两个矩阵A和B是相似的，那么它们的特征值是相同的。
这一性质对于矩阵的对角化过程和特征值的求解具有重要的意义。
通过相似变换可以将矩阵对角化，进而求解其特征值和特征向量。
特征值与矩阵的相似性是矩阵特征值的重要性质。
4. 特征值的应用特征值与矩阵的性质有着密切的关系，特征值在实际问题中有着广泛的应用。
在物理、工程、计算机科学等领域，特征值被广泛应用于矩阵的对角化、特征提取、模式识别等方面。
特征值的计算和应用已经成为现代科学和工程领域中不可或缺的一部分。
三、特征值的计算方法在实际问题中，为了求解一个矩阵的特征值和特征向量，可以采用不同的计算方法。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是线性代数中的一个重要概念，它在多个领域都有广泛的应用。
特征值描述了矩阵在特定方向上的特性，具有重要的几何和物理含义。
在本文中，我们将探讨矩阵特征值的一些基本性质。
1. 特征值的定义：设A是一个n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个实数或复数，则k称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值k的特征向量。
2. 特征值与特征向量的关系：特征向量是与特征值相关联的，矩阵的每个特征值都对应一个特征向量，且特征向量不唯一。
特征向量的一个重要性质是尺度不变性，即特征向量的任何常数倍仍然是特征向量。
3. 矩阵的迹与特征值之和：矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素之和，记作tr(A)。
根据矩阵特征值的定义，我们可以得到矩阵特征值的一个重要性质：矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，即∑λi=tr(A)。
这个性质对于计算特征值和特征向量具有重要的意义。
5. 矩阵的相似性与特征值：设A和B是两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，则称矩阵A与矩阵B相似。
相似矩阵具有相同的特征值，即A和B的特征值相同。
这个性质对于矩阵相似性的判断和计算特征值十分重要。
6. 特征多项式与特征值：设A是一个n阶方阵，特征多项式是一个关于变量λ的多项式，记作p(λ)=det(A-λI)，其中I是n阶单位矩阵。
根据特征多项式的定义，我们可以得到特征多项式与特征值之间的关系：特征值是特征多项式的零点，即p(λ)=0的解是矩阵的特征值。
这个性质方便了计算特征值的方法。
7. 特征值与矩阵的性质：矩阵的特征值可以提供关于矩阵性质的信息。
当矩阵的特征值全为正数时，矩阵是正定的；当矩阵的特征值全为非负数时，矩阵是半正定的；当矩阵的特征值全为负数时，矩阵是负定的；当矩阵的特征值既有正数又有负数时，矩阵是不定的。
这些性质在计算和矩阵的应用中具有重要的意义。
矩阵特征值是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用。
矩阵特征值方法研究与初探
ANYANG INSTITUTE OF TECHNOLOGY本科毕业论文矩阵特征值的计算方法初探Study on calculation method of the matrixfeature学院：数理学院专业班级：信息与计算科学09-1学生姓名：王江朋学号：200911010004指导教师姓名：刘肖云指导教师职称：讲师2013年5 月毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果.尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得安阳工学院及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料.对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名：日期：指导教师签名：日期：使用授权说明本人完全了解安阳工学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容.作者签名：日期：矩阵特征的计算方法初探摘要：矩阵是主要的研究工具，而且在很多领域都有很重要的应用.矩阵的特征值是矩阵应用的一个重点之一，在科学研究方面具有重要的地位.进行矩阵特征值的讨论可以直接用来解决实际的问题.矩阵特征的计算方法初探，引入矩阵的定义以及性质，主要介绍了矩阵的普通矩阵特征值的求法和求解矩阵的一些其他优化方法.其中求解矩阵的普通方法包括传统的求法以及初等变换求矩阵的特征值方法；其他的一些优化方法包括幂法、反幂法、Jacobi方法、QR方法.在实际的求解矩阵特征值的问题，根据矩阵的不同特点，选择最快速的方法求解，从而达到最优化解决实际问题.关键词：矩阵矩阵特征值幂法反幂法 Jacobi方法 QR方法Study on calculation method of the matrix feature Abstract ：The matrix is the main research tool, and has very important application in many fields. The eigenvalue of the matrix is one of the key matrix application, has the important status in the fields of scientific research. Discussion of matrix eigenvalues can be directly used to solve practical problems. Calculation of matrix characteristic, introducing the definition of matrix and properties, mainly introduces the common matrix eigenvalue matrix value calculation methods and some other optimization method for solving matrix. One common method for solving matrix eigenvalue approach method including traditional and elementary transformation matrix; some other optimization approaches including power method, inverse method, QR method, Jacobi method. In solving the matrix characteristics of practical value of the problem, according to different characteristics of matrix, solving method to select the most quickly, so as to achieve the optimization to solve practical problems.Key words：matrix matrix eigenvalue power method inverse power method Jacobimethod QR method目录第1章矩阵特征值的定义以及性质 (2)1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 (2)1.2 矩阵特征值的性质 (2)第2章普通矩阵特征值的求法 (2)2.1 传统方法 (2)2.2 初等变换求矩阵的特征值 (3)第3章求解矩阵特征值的其他优化方法 (4)3.1 幂法 (4)3.2 幂法 (10)3.3 Jacobi方法 (11)3.4 QR方法 (15)结论 (19)致谢 (20)参考文献 (21)附录 (22)引言1 课题的主要内容随着电子计算机的普及和记忆电子技术的迅猛发展，矩阵特征值的计算越来越被从事计算数学的人们所关注，在现有的经典Jacobin算法、QR算法的基础上，出现了一些新的计算方法，还有一些实在这积累算法基础上进行改进的，都有很大的实用性.本文首先介绍矩阵特征值的概念，接着引出求特征值的普通使用的常规方法，在此基础上进行改进的新方法，对各种方法进行适用性及复杂性的比较，最后在不同的分类矩阵问题上探索矩阵特征值的最佳方法，运用于实际的求解问题当中.2 课题的目的和意义本文通过对矩阵特征值的概念的引入，给出一些特征值的方法.根据不同的矩阵，探讨不同种类的矩阵，探讨能够运用最合适的方法进行特征值的求解，使得在以后的学习中，对矩阵的计算方法的问题上能够灵活的运用各种方法.矩阵特征值的问题在许多领域的研究有重要的地位，是高等代数学习的一个重要内容，也是一个基础性的知识，所以熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论和计算方法是非常必要的矩阵特征值问题不仅可直接解决数学中诸如非线性规划、优化、常微分方程，以及各种数学计算问题，而且在结构力学、工程设计、计算物理和量子力学中具有重要作用，目前矩阵特征值问题的应用大多来自解数学物理方程、差分方程等.正因为它具有重要意义和广泛的应用，所以矩阵特征值问题是当前国内外高性能计算机的主要任务之一.第1章 矩阵特征值的定义以及性质1.1 矩阵特征值与特征向量的定义设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x ，使得A xxλ=成立，则称λ是A 的一个特征值或本征值.非零n 维列向量x 称为矩阵A 的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A 的特征向量或A 的本征向量.1.2 矩阵特征值的性质设λ为n nA R⨯∈的特征值, 且()0A xx x λ=≠，则有⑴ c λ为的cA 特征值(c ≠0为常数)； ⑵ pλ-为A p I-的特征值，即()()A p I x p xλ-=-；⑶ k λ为A k 的特征值，即A kx kxλ= ；⑷ 设A 为非奇异矩阵，那么0λ≠, 且1λ-为1A -的特征值，即11A xxλ--= .第2章 普通矩阵特征值的求法2.1 传统方法求解矩阵特征值的传统方法，即求解A xxλ=，等价于求λ，使得()0IA x λ-=，其中I 是单位矩阵，0为零矩阵.0IA λ-=，求得的λ值即为A 的特征值.IAλ-是一个n 次多项式，它的全部根就是n 阶方阵A 的全部特征值.例：求矩阵011111011⎡⎤⎢⎥A =-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值解()2111111011E A λλλλλλ---=--=---所以由()210λλ-=知道A 的特征根1λ=，231λλ==2.2 初等变换求矩阵的特征值下面是矩阵的三种变换 （1）互换j i 、两列()j ic c ↔，同时互换ij 、两行()i j r r ↔；（2）第i 列乘以非零数()i kc k ,同时第i 行乘⎪⎭⎫ ⎝⎛i r k k 11；（3）第i 列k 倍数加到第j 列()i i kc c +，同时第j行k-倍加到第i 行()i i kr r -.推论1： 对任一个n 阶复矩阵A , 则一定存在一系列初等矩阵12,,...,r P P P , 使得()()11212,,...,,,...,r r P P P A P P P B-=为一个上三角矩阵.定理：相似矩阵有相同的特征多项式. 证明: 设A , B 为两个n 阶矩阵, 若~AB,则存在可逆矩阵C , 使得1B CA C-=,因而有()111EB E CA C CEA C cE A C E Aλλλλλλ----=-=-=-=-推论2 : 相似矩阵有相同的特征值.例：求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=312130112A 的特征值解：[]211031213A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1331C C r r ++−−−→11113104-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2112c c r r ++−−−→20012104⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦32231212c c r r -+−−−→20012004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦33212c r −−→20012004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以特征值221==λλ，43=λ第3章 求解矩阵特征值的其他优化方法传统方法对于n 很小时是可以的.但当n 稍大时，计算工作量将以惊人的速度增大且由于计算带有误差，特征方程0I A λ-=的求解就很困难了.这时我们就需要一些其他方法求解矩阵特征值.3.1 幂法幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)以及对应特征向量的迭代法， 设矩阵()ijm nAa ⨯=有一个完备的特征向量组，其特征值为1λ，2λ，3λ，…，n λ，相应的特征向量为1x ，2x ，3x …，n x .已知A 的主特征值都是实根，且满足条件1λ>2λ≥3λ≥…≥nλ幂方法的基本思想是任意取一个非零的初始值向量0v ，由矩阵A 构造一向量序列102210110,...,...k k k v A v v A v A v v A v A v ++=⎧⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎩称为迭代向量.由假设，0v 可表示为01122...n nv x x x ααα=+++（设1α≠）于是10111222...kkkkk k n n nv A v A v x x x αλαλαλ-===+++11111112()()nkk kii i k i x x x λααλλλαε=⎡⎤=+≡+⎢⎥⎣⎦∑其中k ε=12()nki i ii x αλλ=∑，由假设11(2,3,...)i i n λλ<=，故li m 0k k ε→∞=，从而111limkkk v x αλ→∞=这说明序列1kkv λ越来越接近A 的相对应1λ的特征向量，或者说当k 充分大时，及111kk v x αλ≈，即迭代向量kv 为1λ的特征向量的相似向量(除了一个因子外).下面再考虑主特征值1λ的计算，再用()k i v 表示k v 的第i 个分量，则()()()()()()1111111k k i i ik k ii iv x v x αελαε++⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬+⎪⎪⎩⎭， 故()()11limk i k k iv v λ+→∞=也就说明两相邻迭代向量的比值收敛到主特征值.这种由一直非零向量0v 以及矩阵A 的幂乘k A 构造向量序列{}k v 以计算A 的主特征值1λ以及相应特征向量的方法称为幂法在上述同等条件下，幂法可以这样进行：取一初始向量()0100v α≠≠，构造向量序列：()()1002210010m a x ...m a x kkk v A u A v A v v A u A v A v v A v -==⎧⎪⎪==⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪=⎪⎩{}{}{}{}{}111022222000m a x m a x m a x m a x ...m a x kk k A v v u v A v A v v u v A v A v u A v =====其中{}111m a x v u v =中{}1m ax v 表示向量1v 的绝对值最大的分量.由上面的式子可以得到：.01111121knnkk ki i i i i i i A v x x x λαλλααλ==⎡⎤⎛⎫⎢⎥==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑{}11121.0.011121m a x m a x knki i i ki k kknki i ii x x A v u A v x x λλααλλλααλ==⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪+⎢⎥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑∑{}1121111121m a x m a x kni i ii kni i i i x x x x x x λααλλααλ==⎛⎫+⎪⎝⎭=→⎧⎫⎛⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑111211111121m a x knki i i i k k nk i i i i x x v x x λλααλλλααλ=--=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪+⎢⎥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑∑{}1112111121m a x m a x kni i i i k kni i i i x x v x x λλααλλλααλ==⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=→⎧⎫⎛⎫⎪⎪+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑所以求解矩阵的主特征值就只需要求解{}m ax k v 就行了.例：用幂法求解110.5110.250.50.252A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的主特征值解，取初值向量0(1,1,1)Tu =K Tku()m ax kv5 (0.7651,0.6674,1) 2.5887918 10 (0.7494,0.6508,1) 2.5380029 15 (0.7483,0.6497,1) 2.5366256 20(0.7482,0.6497,1)2.5365323矩阵A 的主特征值 2.5365258λ=幂法的加速方法：原点平移法应用幂法计算A 的主特征值的收敛速度主要由比值 21rλλ=来决定，但当r 接近于1时，收敛可能很慢. 这时，一个补救办法是采用加速收敛的方法. 引进矩阵B A p I=-其中p 为参数，设A 的特征值为12,,,n λλλ ，则对矩阵B 的特征值为12,,,n p p pλλλ--- ，而且A , B 的特征向量相同如果要计算A 的主特征值1λ, 只要选择合适的数p ，使1pλ-为矩阵BA p I=- 的主特征值，且2211p pλλλλ-<-那么，对矩阵B A p I=-应用幂法求其主特征值1pλ-收敛速度将会加快. 这种通过求BA p I=-的主特征值和特征向量，而得到A 的主特征值和特征向量的方法叫原点平移法. 对于A 的特征值的某种分布，它是十分有效的. 例： 设44R A ⨯∈有特征值，15(1,2,3,4)jjj λ=-=比值21/0.9rλλ=≈. 做变换(12)B A p Ip =-=, 则B的特征值为12342,1,0,1μμμμ====-.应用幂法计算B 的主特征值1μ的收敛速度的比值为22211110.92p pμλλμλλ-==<≈-虽然常常能够选择有利的p 值, 使幂法得到加速, 但设计一个自动选择适当参数p的过程是困难的.下面考虑当A 的特征值是实数时，怎样选择p 使采用幂法计算1λ得到加速 设A 的特征值都是实数，且满足121,n n λλλλ->≥≥> 则不管p 如何，BA p I=-的主特征值为1pλ-或npλ-.当希望计算1λ及1x 时，首先应选择p 使1n p pλλ->-且使收敛速度的比值211m a x ,m in .n p p p p λλωλλ⎧⎫--⎪⎪==⎨⎬--⎪⎪⎩⎭显然，当211n p p ppλλλλ--=---时，即2*2npp λλ+=≡时ω为最小值，这时收敛速度的比值为221112****2n nnp p p p λλλλλλλλλ---=-≡----当A 的特征值都是实数，满足121n nλλλλ->≥≥>且2λ,n λ能初步估计出来，我们就能确定P *的近似值. 当希望计算n λ时，应选取11*2n p p λλ-+==使得应用幂法计算n λ得到加速例：用原点平移加速法求2321034361A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭矩阵的主特征值解，2321034361A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 4.532105.54363.5B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对B 应用幂法，仍取 ()00,0,1v T=, 则()1m a x (1,2,)k k k k k k kv B u v k u v /μμ-=⎧⎪==⎨⎪=⎩()()1111112,4,3.5,4,0.5,1,0.875.TTu u v μμ====迭代5步的计算结果见下表kT k u k μ Tkv12,4, 3.540.5, 1, 0.8752 7,14, 10.562514 0.5, 1, 0.75453 6.76, 13.5179, 10.140613.5179 0.5, 1, 0.75074 6.7503, 13.5007, 10.125613.5007 0.5, 1, 0.75005 6.7500, 13.5000, 10.125013.5000 0.5, 1, 0.7500可得到B 的主特征值为113.5000μ≈,因此，A 的主特征值为1111.0000p λμ=+≈3.2 幂法反幂法用来计算矩阵按模计算最小值及其特征向量，也可以用来计算对应一个给定近似特征值的特征向量设m nA R⨯∈为非奇异矩阵，A 的特征值依次记12....0n λλλ≥≥≥>，相应的特征向量为1x ，2x ，3x ，…n x .则1A -的特征值为11111...n n λλλ-≥≥≥，对应的特征向量为n x ，1n x -，…，1x .因此计算A 的按模最小的特征值n λ的问题就是计算1A -的按摩最大的特征值的问题.对于1A -引用幂法迭代（称反幂法），可求得矩阵1A -的主特征值1nλ，从而求得A 的按摩最小的特征值n λ.反幂法迭代公式为：取任意初始向量000v u =≠，，构造向量序列()111,2,...m a x k k k k k v A u k v u v --⎧=⎪=⎨=⎪⎩迭代向量k v 可以通过解线性方程1kk A v u -=求得3.3 Jacobi 方法吉文斯变换： 设2,x y R∈，则变换1122c o s s in s in c o s y x x y θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，或者yP x=是平面向量的一个旋转变换，其中()c o s sin sin c o s P θθθθθ⎛⎫=⎪-⎝⎭为正交矩阵nR中的变换yP x=，其中()12...Tnxx x x =，()12...Tnyy y y =而()11c o s s in 1,,1s in c o s 11P P i j θθθθθ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≡= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为n R 中平面{},i j x x 的旋转变换，也称吉文斯变换()(),,,P P i j P i j θ==称为平面旋转矩阵.设()n nij Aa R⨯=∈为对称矩阵，(),J i j 为一平面旋转矩阵，则()Tij B J A Jb ==的元素计算公式为：22co s sin 2sin co s ii ii jj ij b a a a θθθθ=++ 22sin co s 2sin co s jj ii jj ij b a a a θθθθ=+-()1s in 2c o s 22ij ji jjii ij b b aa a θθ==-+c o s s in ,,ik k i ik jkb b a ak i jθθ==+≠ c o s s in ,,jk k j jkik b b aa k i jθθ==-≠,,;,im m l lm b b a l i j m i j==≠≠而且不难验证22222222ii jj ij ii jj ijb b b a a a ++=++定理：设m nA R⨯∈为对称矩阵，若TBP A P=，P 为正交矩阵，则F FBA=.证明：设()1,2,......i in λ=为A 的特征值，则()()2222111n n nTij iFi j i Aa trAA trA λ=======∑∑∑另外，矩阵B 的特征值也是()1,2,......i in λ=，()2221niFi Btr Bλ===∑因此FFBA=得证设A 的非对角元素0ija ≠，我们可选择平面旋转矩阵(),P i j ，使得TBP A P=的非对角元素0ijji b b ==.为此，由矩阵B 元素的计算公式可是，可选择θ，使得2ta n 2,4ij ii jja a a πθθ=≤-如果()D A 表示A 的对角线平方和，用()S A 表示A 的非对角线的平方和，则对TB P A P=由22222222ii jj ij ii jjij b b b a a a ++=++，2ta n 2,4ij ii jja a a πθθ=≤-，和定理得到()()22ij D B D A a =+，()()22ij S B SA a =-这说明B 的对角元素的平方和比A 的对角元素的平方和增加了22ij a ，而B 的非对角元素的平方和减少了22ij a ，这就是Jacobi 方法求矩阵特征值的依据下面介绍Jacobi 方法的计算过程先在()()00ijAA a ==中选择非对角元中绝对值最大的()()0ij a .可设()00ija ≠，否则A已经对角化了.可由2ta n 2,4ij ii jja a a πθθ=≤-选择平面旋转矩阵1P ，使得1011TP A P A =的元素()10ija =.计算出1A ，再类似的选择2J ，计算2212TA P A P =,继续这个过程，连续对A旋行一系列平面变换消除非对角线绝对值最大的元素，直到将A 的非对角线元素全化为充分小为止. 定理： 设n nA R⨯∈为对称矩阵，A 施行上述一系列平面旋转变换1,1,2,,m m m m A J A J m -== 则有lim )0m n S A →∞=（.证明：设()()m a x m m ijlkl ka a ≠=，由于 ()21()()2()m m m ijS A S A a +=-，()2()2()()(1)()m m m lk ijl kS A a n n a ≠=≤-∑则1211m m S A S A n n +≤--（）（）（）（）反复利用上式，即可得到11021,2(1)n m S A S A n n n ++≤->-（）（）（）因此lim()0m n S A →∞=设m 充分大时候，有2112TTTm m m A J J J A J J J D=≈D为对角阵，则m A 的对角线元素就是A 的吉斯特征值例：用Jacobi 方法求210121012A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值.解，先取,)(1,2)i j =（则有co t 20θ=，12s c ==所以11102211022012J ⎛⎫⎪⎪⎪=-⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，1111102103211222TA J A J ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪--⎪⎝⎭再取,(1,3)i j =（）可得1c o t 22θ=，0.88808c=，0.45970s=20.8880800.459700100.4597000.88808J ⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭，22120.633980.325050.3250530.6279700.627972.36603TA J A J -⎛⎫⎪==-- ⎪⎪-⎝⎭连续重复可得9 3.41420.00000.00000.00000.58580.00000.00000.00002.0000A ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭则A 的近似特征值已经求出3.4 QR 方法QR 算法是计算中小型矩阵的全部特征值最有效方法. 理论原理：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R 的乘积，而且当R 的对角元符号取定时，分解是唯一的.QR 方法的基本思想是利用矩阵的QR 分解通过迭代格式1(1,2,...)k k Kk K K A Q R k A R Q +=⎧=⎨=⎩将1AA-=化成相似的上三角矩阵，从而求出矩阵的全部特征值.由111A A Q R ==，即11QA R -=.于是12111A R Q QA Q -==，即2A 与A 相似.同理可知kA A≈，即k A 与A 相似.目前QR 方法主要用来计算上海森伯格矩阵的全部特征值以及对称三角矩阵全部特征值的问题.对于一般矩阵m nA R⨯∈(或对称矩阵)，则首先用豪斯霍尔德方法将A 化为上海森伯格阵B (或对称三对角阵)，然后再用Q R 方法计算B 的全部特征值.设m nA R⨯∈，且A 对进行Q R 分解，即AQ R=其中R 为上三角阵, Q 为正交阵, 于是可得到一新矩阵TB R Q Q A Q==显然，B 是由A 经过正交相似变换得到，因此B 与A 的特征值相同. 再对B 进行Q R 分解，又可得一新矩阵,重复这一过程可得到矩阵序列：设1AA =将1A 进行Q R 分解111A Q R =作矩阵111111TA R Q Q R Q ==… …Q R算法，就是利用矩阵的Q R 分解，按上述递推法则构造矩阵序列{}k A 的过程.只要A 为非奇异矩阵，则由Q R 算法就完全确定{}k A . 定理：（基本Q R 方法）设1m nAA R⨯=∈，构造Q R 算法：()()1,1,2,...T kk k k k k k k k A Q R Q Q I R A R Q k +⎧==⎪⎨==⎪⎩其中为上三角阵记12...kkQ Q Q Q =，21...kk R R R R =，则有（1）1k A +相似于k A ，即1Tk k A Q A Q+=（2）()()1111212......TT k kkk kA Q Q Q A Q Q Q Q A Q +==（3）k A 的分解式为kk kA Q R =证明：（1），（2）显然，证明（3）.用归纳法，显然当1k =时有1111A Q R Q R == ，设1k A -有分解式111k k k A Q R ---= ，于是11111111111111111()().k k k k k k k k k T k k k k k k k k k k k Q R Q Q Q R R R Q Q A R R Q A R Q Q A Q R A Q R A A A -------------=======将k A 进行Q R 分解，即将k A 用正交变换化为上三角矩阵.T k kkQ A R =，其中k 121...Tn Q P P P -=,所以1121121.TTTTk k k k n k n A Q A Q P P P A P P P +--== 这就是说1k A +可由k A 按下述方法求得： 左变换121...n kkP P P A R -=（上三角阵）；右变换1211...T T T k n k R P P P A -+=.例：532644445Q R A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦用方法求矩的全部特征值.解，A 首先化成上Hessen b erg矩阵，取22 (6,4)64(1,0)(652,4)TTTu =++=+100.9160250.27735022010.2773500.0839747TTu uI u u ⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0.8320500.5547000.5547000.832050--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦110000.8320500.5547000.5547000.832050H ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦于是115 1.386750 3.3282007.211102 1.2307688.15384000.1538462.230767 H H A H ⎡⎤⎢⎥==---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦H即为与A 相似的上三角矩阵，将H 进行Q R 分解记1B =H ,2215(7.21102)8.774964r =+-=,1c o s 50.56980r θ==.sin 0.821781θ=-0.5698030.8217810 (2,1)0.8217810.5698030001R -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦取于是18.7749641.8015968.597089(2,1)00.438310 1.91103000.1538462.230767R B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦再取222(0.438310)(0.153846)0.464526,r =+-=22c o s 0.4383100.943564,r θ==22s in 0.1538460.331189r θ=-=-100(3,2)00.9435640.3311890.3311890.943564R ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是(3,2)R (2,1)R 1B 18.7749641.8015968.59708900.4645262.541982001.471953R ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10.5698030.7754030.272165 (2,1)(3,2)0.8217810.5376430.18871200.3311890.943564 T TQ R R ⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第一次迭代得2113.519482 4.92549110.840117 0.381739 1.091627 2.31065300.487495 1.388883B R Q ⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦重复上述过程11次得到122.992032 1.000385312.013392 0.007496 2.004695 1.94197100.0003250.999895B-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12.9949λ≈，2 2.0055λ≈，30.9997λ≈结论本文中，第一张介绍了矩阵特征值的定义以及矩阵特征值的一些主要的性质，为下面介绍矩阵特征值的求法做了铺垫，第二章主要通过介绍求解矩阵特征值的传统方法以及行列式变换法，这两种方法适用于低阶简单的矩阵特征值的计算，第三章中，罗列了一些求矩阵特征值其他算法，包含了乘幂法，反乘幂法，Jacobi方法，和QR方法.矩阵的理论和计算博大精深，在这里我只是简单的做了一些探求.致谢本论文是在导师刘肖云的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理.本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血.在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！本论文的顺利完成，离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助.参考文献[1]徐树方. 矩阵计算的理论与方法[M] . 北京: 北京大学出版社, 1995.[2]张凯院徐仲.数值代数(第二版): 科学出版社[3]北京大学数学系. 1995. 高等代数(第二版). 北京：高等教育出版社[4]蔡大用. 1987. 数值代数. 北京：清华大学出版社[5]蔡大用, 白峰衫. 1997. 高等数值分析. 北京：清华大学出版社[6]解学书. 1986. 最优控制. 北京：清华大学出版社[7]古以熹.矩阵特征值的分布[J].应用数学学报，1994，4；501-511[8]逄明贤.矩阵谱论.长春:吉林大学出版社1989,47[9]Golub G.H.,Van Loan C.F.矩阵计算(袁亚湘等译).北京:科学出版社,2001[10]黄廷祝，游兆永．矩阵最小奇异值下界的估计［J］．计算数学， 1997(4) : 359-364[11]徐仲, 张凯院, 路全. 1999. TOEPLITZ矩阵类的快速算法. 西安：西北工业大学出版社[12]Gohberg I, Kailath T, Koltracht I. 1986. Efficient solution of linear systems of equations with recursive.附录附录A：矩阵的幂方法求解矩阵特征值的matalab计算A=[1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2];%A为矩阵；ep为精度要求；N为最大迭代次数；m为绝对值最大的特征值；u为对应最大特征值的特征向量.N=0;ep=1e-8;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;while k<=Nv=A*u;m=max(abs(v));u=v/mif abs(m-m1)<epindex=1;break;endm1=m;k=k+1;endm %特征值u/norm(u) %特征向量[vv,ll]=eig(A); %matlab求解的特征值和特征向量 [mm,ii]=max(abs(diag(ll)));m_matlab=mmv_matlab=vv(:,ii)其中的N可以设定为上述的5 10 15 20附录B：矩阵的Jacobi法求解矩阵特征值的matalab计算clc;clear all;%矩阵AA=[2 ,-1,0;-1,2,-1;0,-1,2]%取矩阵A的维数n=max(size(A));%迭代误差Eps=1E-5;r=1;%最大迭代次数为100m=100;k=1;%小于迭代次数或迭代误差进入计算while r>=Eps & k<=mp=1;q=1;amax=0;for i=1:nfor j=1:nif i~=j & abs(A(i,j))>amaxamax=abs(A(i,j));p=i;q=j;endendendr=amax;%计算当前迭代误差%以下为构造正交矩阵Ul=-A(p,q);u=(A(p,p)-A(q,q))/2;if u==0w=1;elsew=sign(u)*l/sqrt(l*l+u*u);ends=-w/sqrt(2*(1+sqrt(1-w*w)));c=sqrt(1-s*s);U=eye(n);U(p,p)=c;U(q,q)=c;U(p,q)=-s;U(q,p)=s;%旋转计算A=U'*A*U%显示每步计算A的计算结果k=k+1;endif k>mdisp('A矩阵不收敛');elsefor i=1:nD(i)=A(i,i);enddisp('A特征值为:');Dend附录C：矩阵的QR方法求解矩阵特征值的matalab计算clcclearn=11%迭代次数A=[5,-3,2;6,-4,4;4,-4,5]H=hess(A)[Q,R]=qr(H)for i=1:11B=R*Q;[Q,R]=qr(B);endM=R*Qdisp('特征值为')diag(M)结果特征值为ans =2.99492.00550.9997。
矩阵特征值及特征多项式问题探讨 学位论文
本科毕业论文（ 2010 届）题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学摘要矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量.关键词特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵AbstractThe problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses.Keywordscharacteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices目录1.引言 (5)1.1 有关于矩阵特征值的重要结果 (5)1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题 (6)1.3 矩阵特征值的理论及应用 (7)2.一种改进的求矩阵特征值的方法 (8)3.同时求出特征值和特征向量的一种方法 (13)4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法 (14)4.1 秩为1的矩阵的特征多项式 (14)4.2 正交矩阵的特征多项式 (16)4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法 (19)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。
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征 值特 征 向量 的定 义 ，很 少 介 绍为 什 么 要研
Ａｘ＝ 及 其 是 怎么产 生 的 。在教 学 中加 入 这 些
细节 ，可以使学生知其然 也知其所 以然，也能使
学 生较 清 晰地 感 受到 学科 之 间 的联系 ，对 启 发 学
生的求知欲 ，培养学生的思维能力和学习兴趣有 １ 为什么研究矩阵特征值 问题 矩阵特征值 问题可 以陈述为：给定一个 ｎ阶
３ ． １求
教师 由特征值一 特征向量方程入手 ， 讲解特征
值 和 特 征 向量 的 求解 ，会 使 学 生感 到 思路 清 晰 ，
ｆ （ Ａ ） ＝Ａ ” ＋ Ｇ Ａ 十 Ｌ＋ — ｌ ＋ ， 若矩阵 有 特征对 （ ， “ ） ，即Ａ ｕ ：２ ｕ，则ｆ （ Ａ ） ｕ： （ ） ， 即ｆ （ ２ ） 是矩 阵多项式ｆ（ Ａ ） 的特征值。
２ ． １ 特征值． 特征向量方程
关 于矩 阵 的特 征 值 ，一 个 自然 的 问题 是 ：给
∈Ｒ ，
＝ｌ 的实对称二次型的极大值 ，即当
取遍 中的 单位 球 时 ，求 ｍａ ｘｘ Ａ ｘ。这 样一 个
定 一 个矩 阵 ， 它有 多少 特 征 值 ？如 何求 解特 征值
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ １ — ０ ４
程 ，方程 的根就 是矩 阵 的特 征值 ，若 为复 矩 阵 ，
３ 矩阵特征值的应用
有了矩 阵的特征值 ，我们可 以很容易地了解
矩 阵 是 否可 逆 ，是 否可 对 角 化 ，也 能 较轻 松 地得 到 它 的行 列 式 、迹 、惯 性 等 一 些矩 阵标量 。此外 它 还 在 一阶 线 性常 系 数微 分 方 程组 和 数 学建 模 中 有 着 广泛 的应 用 ， 目前 仍有 一 些学 者 致 力于 特 征 值 的研 究 ，结 合 自己的 科研 体 会 ，下 面给 出特 征 值 的如下 几 点应用 ：
２ ０ １ ３年 ３月 第２ ３卷 第 ２期
榆 林 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＹＵＵ Ｎ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ
Ｍａ ｒ ． ２ ０ １ ３ Ｖ０ Ｉ ｜ ２ ３ Ｎｏ ． ２
关 于 矩 阵 特 征值 研 究 性 教 学 的 探 讨
赵琳 琳
（ 德 州学院 数学系， 山东 德州 ２ ５ ３ ０ ２ ３ ） 摘 要： 矩阵特征值在科学研究与工程计算中有着广泛的应用。结合教学实践和科研体会 ， 本文从为什 么研 究矩 阵特 征值 问题 、 怎 么研 究及 其应 用等 方 面给 出了矩 阵特 征值研 究性教 学 的探讨 。
向量 称 为属 于 的特 征 向量 ， 和 所满 足 的 方程 有 时也称 为特 征值 一 特 征 向量方 程 。矩 阵特 征 值 问题 产 生 于 应 用 中 。 例 如 ：求 具 有 几 何 约 束
程Ａ ｘ＝ ，从而我们可 以从特征值一 特征向量方
程 和特 征 向量 的角度 研究特 征 值 。
则它有 ｎ 个特征值 。 观察式 ｄ ｅ ｔ （ Ｍ —Ａ １ ＝ ０， 可得
特 征值 问题 的求解 由以下两步 组成 ：
（ １ ）解方程 ｄ ｅ ｔ （ 一 ＝０ ，求出所有满足 方程 的标量 ；
（ ２ ）对每 一个 ，求 出所有 满足 Ａｘ＝） Ｉ ｘ的 非 零 向量 ，它就 是对应 于 的特 征 向量 。
关键 词 ： 矩阵； 特 征值 ； 研 究性教 学
中 图分类 号 ： Ｇ ６ ４ ２文献 标 志码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ８— ３ ８ ７ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２— ０ ０ ４ ３— ０ ３
矩 阵 的特征值 是 高等代数 中的一 个重要 概 念，也是矩 阵论的主要研究对象 ，它在科学研究 和工程计算 中有着， 泛的应用 。教师在讲授矩阵
约 束
问 题 引 出 了
Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｕ ｇ ｅ 函 数
Ｌ＝Ｘ ｒ Ａ ｘ一２ ｘ ｒ ， 它 有 极 值 的 必 要 条 件 是 Ｖ Ｌ＝２ （ Ａ ｘ 一 ） ＝０，即 Ａ ｘ＝２ ｘ。因而 ，我们
很有 必 要研 究矩 阵的特 征值 问题 。 在 一般 的教材 中 【 ｌ 】 ， 大 都是 直接 给 出矩 阵特
问题 ？由特 征值一 特征 向量方程可 以很容 易得到
答案 ，分 析如 下 ：
他们对特征 向量、特征值概念的理解 ，为其 以后
的学 习打 下坚 实 的基础 。
由Ａ ｘ ＝ 可得 （ 一Ａ ） ｘ ＝０ ， Ｘ ≠０。因而，
为矩阵 的特征值当且仅 当 一 奇异 ，即 ｄ ｅ ｔ （ ２ ， Ｉ － Ａ ＝０，将其展开可得一 ｒ ／ 次多项式方
矩 阵 ，确 定标 量 的值 ，使得 方程 Ａ ｘ＝２ ｘ具
很 好 的作用 。
２ 怎么研究矩阵特征值
从特 征 值 的定 义可 以看 出 ，特 征 值和 特征 向 量 不 可 避免 地 要成 对 出现 ， 同时它 们 还要 满足 方
有非零解 。 这样的标量 称为矩阵 的特征值 ，
特 征 值 的定 义 及 其性 质 的 同 时 ，让 学 生接 触 一 些 它 的应用 或 后 续 可研 究 的 工作 ，可 以在 一 定程 度 上调 动 学生 的积极 性 ，激 发学 生 的学 习 兴趣 。结 合 教 学 与科 研 工 作体 会 ，本 文 从为 什 么研 究 矩 阵 特 征值 问题 、 怎 么研 究及 其 应用 等 方 面给 出 了矩 阵特征 值研 究性 教 学 的几点体 会 。
作 者简介 ： 赵琳琳 （ １ ９ ８ １ 一） ， 女， 山东聊城人 ， 讲师 ， 博士研究生 ， 主要从事数值代数研究 ， Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ： ｚ ｈ ａ ｏ ｌ ｉ ｎ ｌ ｉ ｎ ０ ６ ３ ５ ＠１ ６ ３ ． （ ３ ｏ ｅ ｒ
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４ ４・
榆
林 学
院 学 报
２ ０ １ ３年第 ２期《 总第 １ ０ ６期 ）