矩阵特征值的运算性质及推广
矩阵特征值的性质
矩阵特征值的性质矩阵是数学中一种重要的概念，也是基础学科的一大内容，它非常实用，在很多科学研究和工程应用中发挥着重要作用。
其中，矩阵特征值的性质就是数学分析中的一个重要概念，它在当前的数学理论研究中发挥着重要的作用。
一、矩阵特征值的定义矩阵特征值是指矩阵的一个重要性质，也是一种定性特征。
它是一个标量，可以用一个实数表示，它与矩阵完全相关，是矩阵唯一性质。
换句话说，矩阵特征值是矩阵的特定值，由线性矩阵特定方程式获得，可以用来表示特定矩阵的特殊性质，它们帮助我们更深入地理解矩阵的内容。
二、矩阵特征值的属性矩阵特征值具有多种属性。
第一，它是定性的，它代表了矩阵的特定性质，它们是矩阵的特殊属性；第二，它是标量，用一个实数表示，可以用线性矩阵特定方程式得出；第三，它是唯一的，每个矩阵都有不同的特征值，这个特征值是它自身的；第四，它是完全相关的，它代表了矩阵的唯一性质。
三、矩阵特征值的应用矩阵特征值具有重要的实际应用。
首先，它可以用来确定矩阵的特殊性质，可以帮助我们更深入地探究矩阵的内容；其次，它可以用来推断矩阵的行列式值，从而间接判断解的状态；此外，它还可以帮助我们研究矩阵的特殊性质，以及研究矩阵的变换性质。
四、矩阵特征值的性质矩阵特征值的性质也是被广泛考虑的内容。
一般来说，它具有一致性和稳定性等特征，它满足三角不变形的性质，也满足线性可分离的性质。
同时，它具有乘卷和可逆性，也可以用来求解线性方程组，求解最小二乘和最大似然估计等问题，帮助我们更好地理解矩阵。
五、矩阵特征值的计算矩阵特征值的计算也是一个重要的内容，广泛应用在矩阵的分析中。
首先，根据矩阵的特定性质，可以采用线性矩阵特定方程式，从而计算出矩阵的特征值；其次，也可以使用数值方法，如Jacobi迭代法、延拓变换法等，得到矩阵的特征值；此外，还可以采用奇异值分解法，根据矩阵的特殊属性，计算矩阵的特征值。
综上所述，矩阵特征值是一个重要的概念，它被广泛用于矩阵分析、矩阵运算和数学理论研究等方面，它具有一致性、稳定性、可逆性等性质，可以用来确定矩阵的特殊性质，以及帮助我们求解线性方程组、求解最小二乘和最大似然估计等问题，为现代信息处理技术提供重要支持。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵的特征值是矩阵在特定变换下的不变点，它在矩阵变换和线性代数中起着重要的作用。
研究矩阵特征值的性质对于深入理解矩阵的本质和其在现实问题中的应用具有重要意义。
本文将对矩阵特征值的相关性质进行探讨，包括特征值的定义、性质、计算方法以及特征值与矩阵的关系等方面。
一、特征值的定义矩阵A的特征值是指使得矩阵A减去这个特征值乘以单位矩阵后的矩阵不可逆的值。
具体来说，对于矩阵A，如果存在实数λ和非零向量X使得AX=λX，其中X称为特征向量，那么λ就是矩阵A的特征值。
特征值和特征向量是矩阵的重要属性，它们能够描述矩阵在变换中的不变性，对于矩阵的性质和应用具有重要的意义。
1. 特征值的个数等于矩阵的秩对于一个n阶矩阵，它最多有n个不同的特征值，特征值的个数等于矩阵的秩。
这一性质可以通过特征值与矩阵的迹和行列式之间的关系来进行证明。
特征值是矩阵的一个重要属性，通过特征值的数量可以进一步了解矩阵的结构和性质。
2. 特征值和特征向量的计算为了求解一个矩阵的特征值和特征向量，可以利用矩阵的特征多项式来进行计算。
特征多项式是矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式。
通过求解特征多项式的根，就可以得到矩阵的特征值。
进而，可以通过特征值来求解特征向量，从而完成对矩阵特征值和特征向量的求解。
3. 特征值与矩阵的关系矩阵的特征值和矩阵的相似性有着密切的关系。
如果两个矩阵A和B是相似的，那么它们的特征值是相同的。
这一性质对于矩阵的对角化过程和特征值的求解具有重要的意义。
通过相似变换可以将矩阵对角化，进而求解其特征值和特征向量。
特征值与矩阵的相似性是矩阵特征值的重要性质。
4. 特征值的应用特征值与矩阵的性质有着密切的关系，特征值在实际问题中有着广泛的应用。
在物理、工程、计算机科学等领域，特征值被广泛应用于矩阵的对角化、特征提取、模式识别等方面。
特征值的计算和应用已经成为现代科学和工程领域中不可或缺的一部分。
三、特征值的计算方法在实际问题中，为了求解一个矩阵的特征值和特征向量，可以采用不同的计算方法。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是线性代数中的一个重要概念，它在多个领域都有广泛的应用。
特征值描述了矩阵在特定方向上的特性，具有重要的几何和物理含义。
在本文中，我们将探讨矩阵特征值的一些基本性质。
1. 特征值的定义：设A是一个n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个实数或复数，则k称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值k的特征向量。
2. 特征值与特征向量的关系：特征向量是与特征值相关联的，矩阵的每个特征值都对应一个特征向量，且特征向量不唯一。
特征向量的一个重要性质是尺度不变性，即特征向量的任何常数倍仍然是特征向量。
3. 矩阵的迹与特征值之和：矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素之和，记作tr(A)。
根据矩阵特征值的定义，我们可以得到矩阵特征值的一个重要性质：矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，即∑λi=tr(A)。
这个性质对于计算特征值和特征向量具有重要的意义。
5. 矩阵的相似性与特征值：设A和B是两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，则称矩阵A与矩阵B相似。
相似矩阵具有相同的特征值，即A和B的特征值相同。
这个性质对于矩阵相似性的判断和计算特征值十分重要。
6. 特征多项式与特征值：设A是一个n阶方阵，特征多项式是一个关于变量λ的多项式，记作p(λ)=det(A-λI)，其中I是n阶单位矩阵。
根据特征多项式的定义，我们可以得到特征多项式与特征值之间的关系：特征值是特征多项式的零点，即p(λ)=0的解是矩阵的特征值。
这个性质方便了计算特征值的方法。
7. 特征值与矩阵的性质：矩阵的特征值可以提供关于矩阵性质的信息。
当矩阵的特征值全为正数时，矩阵是正定的；当矩阵的特征值全为非负数时，矩阵是半正定的；当矩阵的特征值全为负数时，矩阵是负定的；当矩阵的特征值既有正数又有负数时，矩阵是不定的。
这些性质在计算和矩阵的应用中具有重要的意义。
矩阵特征值是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是线性代数中的基本概念之一，它与矩阵的一系列性质密切相关。
在本文中，我们将探讨矩阵特征值的基本概念、性质以及应用。
一、矩阵特征值的基本定义以及计算方法矩阵特征值，也称为 eigenvalue，是指一个矩阵 A 的某个实数λ 在运算下满足det(A-λI) = 0 的实数λ。
其中，I 为单位矩阵，det 为矩阵的行列式，符号“=”表示相等。
特征值的计算方法可以通过求解矩阵的特征方程来完成，即 det(A-λI) = 0。
例如，对于一个2 × 2 的矩阵 A，它的特征方程为：$det\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda & a_{12}\\a_{21} & a_{22}-\lambda\end{pmatrix}=0$通过求解该方程可以得到该矩阵的特征值λ1 和λ2。
1. 特征值的数量等于矩阵的秩对于一个n×n 的矩阵 A，它最多有 n 个特征值。
此外，如果 A 的秩为 r，则 A 至少有 n-r 个特征值为零。
2. 特征值与矩阵的行列式和迹的关系对于一个矩阵 A，它的所有特征值的积等于 A 的行列式，即$\prod_{i=1}^n \lambda_i=det(A)$此外，矩阵 A 的迹等于其特征值之和，即对于一个n×n 的矩阵 A，如果它有 n 个线性无关的特征向量，则 A 可以被相似对角化，即存在一个可逆矩阵 P，使得$P^{-1}AP=D$其中，D 为对角矩阵，其对角线上的元素为 A 的特征值。
三、矩阵特征值的应用1. 矩阵对角化矩阵对角化是矩阵运算中的一个重要概念。
如果一个矩阵可以被相似对角化，那么我们可以通过对角矩阵上的元素进行操作，从而简化矩阵的运算。
3. 特征值与矩阵的谱半径矩阵的谱半径指矩阵所有特征值的绝对值的最大值。
对于一个对称矩阵，谱半径等于矩阵的模最大特征值。
谱半径在矩阵论中具有重要的应用，比如可以用来评估矩阵的稳定性。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵的特征值是线性代数中的重要概念，它在许多领域都具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨一些与矩阵特征值相关的性质。
一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是方程Av = λv的解，其中v是一个非零向量，λ是一个标量。
具体来说，λ是使得(A-λI)v=0的非零向量v的标量。
特征值的性质如下：1. 矩阵的特征值是与其相似变换不变的。
即如果A和B相似，那么它们的特征值是相同的。
2. 矩阵的特征值的和等于矩阵的迹(trace)。
矩阵的迹是对角线元素的和，表示矩阵的特征值之和。
3. 矩阵的特征值的积等于矩阵的行列式。
矩阵的行列式是其特征值的乘积。
5. 如果矩阵的特征值是实数，那么它的特征向量可以是复数。
二、特征值与矩阵的类型特征值与矩阵的类型之间有许多关联。
一些重要的关系如下：1. 对于对称矩阵，它的特征向量是正交的。
这意味着对称矩阵可以通过特征值和特征向量来对角化。
2. 正定矩阵的特征值都是正数。
3. 对于一个不可对角化的矩阵，它的特征值可能是重复的。
1. 特征值分解是许多数值方法的基础。
特征值分解可以将一个矩阵A分解为PDP^-1的形式，其中D是一个对角矩阵，P是一个可逆矩阵。
这种分解可以帮助我们计算矩阵的幂次、逆矩阵等。
2. 特征值在电力系统中有广泛的应用。
电力系统的稳定性和振荡频率可以通过特征值分析来分析和优化。
3. 特征值可以用于图像处理。
图像是由像素矩阵表示的，特征值分析可以帮助我们提取图像中的特征和模式。
4. 特征值也可以用于网络分析。
特征值可以用于判断一个网络的连通性和稳定性。
总结：矩阵特征值是线性代数中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
掌握了矩阵特征值的性质和应用，可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和行为，同时也可以在实际问题中得到更准确和高效的解答。
矩阵的运算与特征值特征向量
矩阵的运算与特征值特征向量矩阵是线性代数中一个重要的概念，它广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、经济学等等。
而矩阵的运算和特征值特征向量是矩阵理论中的基础知识，对于深入理解矩阵以及其在实际问题中的应用具有重要意义。
一、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是指将两个相同大小的矩阵进行逐元素的相加或相减。
如果两个矩阵的维度相同，则它们可以进行加法或减法运算。
具体计算方法是将两个矩阵对应位置的元素进行相加或相减，得到的结果构成一个新的矩阵。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行逐元素的相乘，并将结果相加得到新的矩阵。
在矩阵乘法中，乘法的前提是左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到一个新的矩阵。
转置后的矩阵行和列的顺序发生了变化，原矩阵的第i行转置后变为新矩阵的第i列。
矩阵的转置操作可以通过交换矩阵中元素的索引实现。
二、特征值与特征向量1. 特征值在矩阵理论中，特征值是与方阵相对应的一个数量。
如果存在一个非零向量，使得这个向量与矩阵相乘后仍然是这个向量的一个倍数，并且这个倍数就是一个实数λ，则称实数λ为矩阵的特征值。
特征值可以帮助我们了解矩阵变换的重要性质和特征。
2. 特征向量特征向量是与特征值对应的向量，它描述了矩阵变换过程中的不变方向。
特征向量和特征值是一一对应的关系，一个特征值可能对应多个特征向量。
特征向量可以用来描述矩阵变换的轴线和缩放比例。
三、矩阵的运算与特征值特征向量的关系矩阵的运算与特征值特征向量之间有着密切的联系。
通过矩阵的运算，我们可以求解矩阵的特征值和特征向量。
1. 矩阵的运算与特征值矩阵的运算可以帮助我们求解矩阵的特征值。
通过对矩阵进行特征值运算，我们可以得到矩阵的特征值。
特征值具有重要的物理和几何意义，可以帮助我们分析矩阵的性质和变换过程。
矩阵运算中的行列式与特征值
矩阵运算中的行列式与特征值矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
在矩阵运算中，行列式和特征值是两个重要的概念，它们在解决线性方程组、矩阵相似性等问题中起着重要的作用。
本文将重点介绍矩阵运算中的行列式和特征值的概念、性质及其在实际问题中的应用。
一、行列式的概念和性质行列式是一个与矩阵相关的标量值，它可以用来判断矩阵是否可逆、计算矩阵的秩等。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，其计算公式为：det(A) = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*an(n-1) + a12*a23*...*an(n-2) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*a2(n-1)*...*ann-1其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
行列式有以下几个重要的性质：1. 行列式的值与矩阵的行列互换无关，即det(A) = det(A^T)。
2. 如果矩阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
3. 如果矩阵A的两行（列）互换，则det(A)的值改变符号。
4. 如果矩阵A的某一行（列）与另一行（列）成比例，则det(A) = 0。
5. 如果矩阵A的某一行（列）元素乘以一个数k，行列式的值也乘以k。
6. 如果矩阵A的两行（列）相等，则det(A) = 0。
行列式的计算可以通过展开定理来简化，展开定理是利用代数余子式的概念，通过将矩阵按某一行（列）展开为多个子矩阵的行列式之和。
通过递归地应用展开定理，可以将一个n阶矩阵的行列式计算化简为n-1阶矩阵的行列式计算，直至化简为1阶矩阵的行列式，即矩阵中的一个元素。
行列式的值可以判断矩阵是否可逆，当且仅当矩阵的行列式不等于0时，矩阵可逆。
可逆矩阵的逆矩阵可以通过行列式的值和伴随矩阵来求解，即A^(-1) =(1/det(A)) * adj(A)，其中adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵。
二、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵运算中另一个重要的概念，它们描述了矩阵在线性变换下的性质。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解
第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4. 1tr(P AP)tr(A)-=；5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
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矩阵特征值的运算性质及推广摘要:本篇论文主要从五方面来进行讲解：引言；矩阵特征值的性质；矩阵特征值的应用推广；分块矩阵的性质；分块矩阵特征值应用推广。
由于本篇论文是要以矩阵特征值性质的应用为主题，首先介绍总结了矩阵的一些基本概念及矩阵基本运算，然后在文中着重阐述了矩阵特征值性质，罗列出相关引理并予以证明,然后通过五种类型的矩阵特征值的应用例子将矩阵特征值的运算性质进行推广。
将矩阵拓展到分块矩阵，讨论分块矩阵的性质及应用.关键词：矩阵，特征值，特征向量，特征方程，特征多项式The Operation Properties and Promotion of EigenvalueCui haiyang(Institute of Computer Science, Math)Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues.Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic concepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion.Key words：Matrix , Eigenvalue, Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial1引言矩阵计算领域在不断的发展和成熟，作为一门数学学科，它是众多理工学科重要的数学工具，矩阵理论既是经典数学的基础课程，是数学的一个重要且目前仍然非常活跃的领域，又是一门最有实用价值的数学理论，是计算机科学与工程计算的核心，已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系强有力的工具.计算机科学和工程问题很多都可以转化成矩阵的运算与求解，特别是计算机普及应用为矩阵论的应用开辟了广泛的前景.随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数的知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具.半个多世纪以来，计算机已广泛应用于自然科学和工程技术的各个领域，使得矩阵理论的重要性越来越显著，这是因为用矩阵理论和方法解决现代工程技术中的各种问题，不仅表述简洁，便于进行研究，而且更具有适合计算机处理的特点，电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
矩阵理论在各学科领域有广泛的应用，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用.目前在高等院校，矩阵论（或称为矩阵分析、矩阵理论、矩阵方法等）已经列为工科研究生的必修课程.但是对本科学生来说，一般只作为选修课程（也有为数不多的院校把它列为必修课），学生学到的矩阵理论知识与方法非常有限，无法适应现代科学技术的飞速发展.本课题引入几种在矩阵的理论和计算方法中有重要应用的特殊的矩阵乘法运算，深入讨论矩阵特征值的研究意义，以及矩阵特征值的应用.2. 矩阵特征值的性质与应用2.1 矩阵特征值的性质设A 是n 阶方阵,如数λ与n 维非零列向量x 使关系式x Ax λ=成立,则称数λ为方阵A 的特征值,x 称为A 的对应于λ的特征向量；()A E f -=λλ称为特征多项式，()0=-=A E f λλ称为特征方程[5]. 性质1[6] 设A 为n 阶方阵,n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值,则n A λλλ 21⋅=.性质2[6] 方阵A 可逆⇔A 的n 个特征值都不为零.性质3[6] 设λ为方阵A 的特征值，()A ϕ为A 的多项式,则()λϕ为()A ϕ的特征值.性质4[6] λ不为方阵A 的特征值0≠-⇔E A λ.性质5[6] (凯莱—哈密顿定理)设n 阶方阵A 的特征多项式为()n n n n a a a f ++++=--λλλλ111 ,则()0111=++++=--E a A a A a A A f n n n n .性质6[6] 设n 阶方阵A 的n 个特征值为n λλλ,,,21 ,且n p p p ,,,21 为对应的n 个线性无关的特征向量,记()n p p p P 21=,则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-n AP P λλλ 211 性质7[6] 设A 为n 阶实对称阵, n λλλ,,,21 是它的n 个特征值,则(1)当且仅当n λλλ,,,21 都大于零时, A 正定;(2)当且仅当n λλλ,,,21 都小于零时, A 负定;(3)当且仅当n λλλ,,,21 都非负,但至少一个等于零时, A 是半正定;(4)当且仅当n λλλ,,,21 都非正,但至少一个等于零时, A 是半负定;(5)当且仅当n λλλ,,,21 中既有正数,有又负数时, A 是不定的.2. 2 矩阵特征值的应用2. 2. 1 求方阵A 的行列式A 以及A 的多项式()A ϕ的行列式()A ϕ[7]. 例1 已知三阶矩阵A 的特征值为1,-1,2,设()235A A A -=ϕ,求： ①A ；②()A ϕ；③E A 5-.解: ①由性质1可得()2211-=⨯-⨯=A ；②因()235A A A -=ϕ,由性质3可知()A ϕ的特征值为()41-=ϕ, ()61-=-ϕ, ()122-=ϕ.故()()()()288211-=⋅-⋅=ϕϕϕϕA .③A 的特征多项式为()()()()211-+-=-=λλλλλA E f ,令5=λ,得()()()()7225151555=-+-=-=A E f ， 故：()725153-=--=-A E E A . 例2 设2=λ是A 的特征值, ()E A A A 232+-=ϕ,求()A ϕ. 解: 因2=λ是A 的特征值,既有02=-E A ,故()()()022232=-⋅-=--=+-=E A E A E A E A E A A A ϕ.2. 2. 2 判断方阵A 及KE A -的可逆性[7].例 3 设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=284014013A ,问当k 为何值时，kE A -可逆.解：因()()21228401413)(-+=+-+--=-=λλλλλλλA E f , 故21-=λ,132==λλ为A 的三个特征值,由性质4可知,当2,1-≠k 时,kE A -可逆.例 4 设矩阵A 满足E A =2,证明A E -3可逆.证明：设x Ax λ=,则x x A 22λ=,因E A =2,即有x x 2λ=,即 ()012=-x λ,而0≠x ,只有012=-λ,于是1±=λ,可知3不是A 的特征值,所以03≠-A E ,即A E -3可逆.2. 2. 3 求方阵A ,A 的逆阵1-A 及A 的k 次幂[7].例 5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A ,求①3A ;②1-A ;③5A . 解： ①()12101102013+-=--+--=-=λλλλλλλA E f , 由性质5有()023=+-=E A A A f ,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=12023040123E A A ②由()10=f ,可知0不是A 的特征值,由性质2知A 可逆.而2112111332222A E A A E A A E A A A A E A A -=⇒-=⇒⋅-⋅=⋅⇒-=-----,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1101002211A③E A A A E A A A A A E A A 24)2(2222252353-+-=--=⇒-=⇒-=,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3505806215A 注：用此法可将)3(>k A k 都化作A 的次数小于等于3的多项式,从而简化k A 的计算.例 6 设3阶方阵A 的特征值为1,0,1321-===λλλ;对应的特征向量依次为()()'--='-='=2,1,2,)1,2,2(,2,2,1321p p p .求k A (k 为大于1的整数).解: 因321,,p p p 线性无关,记()321,,p p p P =,由性质6有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∧=-1000000011AP P 所以()111111,------∧=∧∧⋅∧=∧=∧=P P P P P P P P P P A P P A k k k故 ()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------+-+-+---+-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=k k k k k k k k k k k A 14412414214141221421221419121212222191100000001212122221于是当k 为偶数时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=82225424591k A ；k 为奇数时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=022********k A 注：此法当A 可以对角化时才可使用.例 7 设3阶实对称阵A 的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为()'=1,1,11p ,求A .解：设对应于3的特征向量为()'=321,,x x x x ,因实对称阵的不同特征值下的特征向量正交,即有01='p x ,即x 的分量满足0321=++x x x .又因特征值3的重数为2,所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量,显然0321=++x x x 的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量.由0321=++x x x 得它的一个基础解系为()()'-='-=1,0,1,0,1,121p p .令()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==101011111321p p p P ，由性质6有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-3000300061AP P . 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-4111411141P P A .2. 2. 4 求方阵A 的多项式()A ϕ[7].例 8 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A ,计算()E A A A A A 4322458-++-=ϕ. 解：()123+-=-=λλλλA E f ，而()()()10372443222458+-+⋅=-++-λλλλλλλλq f ， 显然)103724()()(43222458E A A A q A f E A A A A +-+⋅=-++-. 由性质5可知0)(=A f ，所以()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-=3461061950264831037242E A A A ϕ. 2. 2. 5 判断实对称阵的正定性例 9 设n 阶实对称阵A 正定,则存在矩阵B ,使A B =2,且B 也是正定矩阵.证明: 因A 为实对称阵,故存在正交矩阵P ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-n AP P λλ 111， 其中),,2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值.因A 正定，故有()n i i ,,2,10 =>λ.于是11111111111-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=p P P P p P p P P P A n n n n n λλλλλλλλλλ。