矩阵特征值的运算性质及推广
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵的特征值是矩阵在特定变换下的不变点，它在矩阵变换和线性代数中起着重要的作用。
研究矩阵特征值的性质对于深入理解矩阵的本质和其在现实问题中的应用具有重要意义。
本文将对矩阵特征值的相关性质进行探讨，包括特征值的定义、性质、计算方法以及特征值与矩阵的关系等方面。
一、特征值的定义矩阵A的特征值是指使得矩阵A减去这个特征值乘以单位矩阵后的矩阵不可逆的值。
具体来说，对于矩阵A，如果存在实数λ和非零向量X使得AX=λX，其中X称为特征向量，那么λ就是矩阵A的特征值。
特征值和特征向量是矩阵的重要属性，它们能够描述矩阵在变换中的不变性，对于矩阵的性质和应用具有重要的意义。
1. 特征值的个数等于矩阵的秩对于一个n阶矩阵，它最多有n个不同的特征值，特征值的个数等于矩阵的秩。
这一性质可以通过特征值与矩阵的迹和行列式之间的关系来进行证明。
特征值是矩阵的一个重要属性，通过特征值的数量可以进一步了解矩阵的结构和性质。
2. 特征值和特征向量的计算为了求解一个矩阵的特征值和特征向量，可以利用矩阵的特征多项式来进行计算。
特征多项式是矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式。
通过求解特征多项式的根，就可以得到矩阵的特征值。
进而，可以通过特征值来求解特征向量，从而完成对矩阵特征值和特征向量的求解。
3. 特征值与矩阵的关系矩阵的特征值和矩阵的相似性有着密切的关系。
如果两个矩阵A和B是相似的，那么它们的特征值是相同的。
这一性质对于矩阵的对角化过程和特征值的求解具有重要的意义。
通过相似变换可以将矩阵对角化，进而求解其特征值和特征向量。
特征值与矩阵的相似性是矩阵特征值的重要性质。
4. 特征值的应用特征值与矩阵的性质有着密切的关系，特征值在实际问题中有着广泛的应用。
在物理、工程、计算机科学等领域，特征值被广泛应用于矩阵的对角化、特征提取、模式识别等方面。
特征值的计算和应用已经成为现代科学和工程领域中不可或缺的一部分。
三、特征值的计算方法在实际问题中，为了求解一个矩阵的特征值和特征向量，可以采用不同的计算方法。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是线性代数中的一个重要概念，它在多个领域都有广泛的应用。
特征值描述了矩阵在特定方向上的特性，具有重要的几何和物理含义。
在本文中，我们将探讨矩阵特征值的一些基本性质。
1. 特征值的定义：设A是一个n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个实数或复数，则k称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值k的特征向量。
2. 特征值与特征向量的关系：特征向量是与特征值相关联的，矩阵的每个特征值都对应一个特征向量，且特征向量不唯一。
特征向量的一个重要性质是尺度不变性，即特征向量的任何常数倍仍然是特征向量。
3. 矩阵的迹与特征值之和：矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素之和，记作tr(A)。
根据矩阵特征值的定义，我们可以得到矩阵特征值的一个重要性质：矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，即∑λi=tr(A)。
这个性质对于计算特征值和特征向量具有重要的意义。
5. 矩阵的相似性与特征值：设A和B是两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，则称矩阵A与矩阵B相似。
相似矩阵具有相同的特征值，即A和B的特征值相同。
这个性质对于矩阵相似性的判断和计算特征值十分重要。
6. 特征多项式与特征值：设A是一个n阶方阵，特征多项式是一个关于变量λ的多项式，记作p(λ)=det(A-λI)，其中I是n阶单位矩阵。
根据特征多项式的定义，我们可以得到特征多项式与特征值之间的关系：特征值是特征多项式的零点，即p(λ)=0的解是矩阵的特征值。
这个性质方便了计算特征值的方法。
7. 特征值与矩阵的性质：矩阵的特征值可以提供关于矩阵性质的信息。
当矩阵的特征值全为正数时，矩阵是正定的；当矩阵的特征值全为非负数时，矩阵是半正定的；当矩阵的特征值全为负数时，矩阵是负定的；当矩阵的特征值既有正数又有负数时，矩阵是不定的。
这些性质在计算和矩阵的应用中具有重要的意义。
矩阵特征值是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用。
矩阵运算中的行列式与特征值
矩阵运算中的行列式与特征值矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
在矩阵运算中，行列式和特征值是两个重要的概念，它们在解决线性方程组、矩阵相似性等问题中起着重要的作用。
本文将重点介绍矩阵运算中的行列式和特征值的概念、性质及其在实际问题中的应用。
一、行列式的概念和性质行列式是一个与矩阵相关的标量值，它可以用来判断矩阵是否可逆、计算矩阵的秩等。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，其计算公式为：det(A) = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*an(n-1) + a12*a23*...*an(n-2) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*a2(n-1)*...*ann-1其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
行列式有以下几个重要的性质：1. 行列式的值与矩阵的行列互换无关，即det(A) = det(A^T)。
2. 如果矩阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
3. 如果矩阵A的两行（列）互换，则det(A)的值改变符号。
4. 如果矩阵A的某一行（列）与另一行（列）成比例，则det(A) = 0。
5. 如果矩阵A的某一行（列）元素乘以一个数k，行列式的值也乘以k。
6. 如果矩阵A的两行（列）相等，则det(A) = 0。
行列式的计算可以通过展开定理来简化，展开定理是利用代数余子式的概念，通过将矩阵按某一行（列）展开为多个子矩阵的行列式之和。
通过递归地应用展开定理，可以将一个n阶矩阵的行列式计算化简为n-1阶矩阵的行列式计算，直至化简为1阶矩阵的行列式，即矩阵中的一个元素。
行列式的值可以判断矩阵是否可逆，当且仅当矩阵的行列式不等于0时，矩阵可逆。
可逆矩阵的逆矩阵可以通过行列式的值和伴随矩阵来求解，即A^(-1) =(1/det(A)) * adj(A)，其中adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵。
二、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵运算中另一个重要的概念，它们描述了矩阵在线性变换下的性质。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是线性代数中的重要概念，有很多与之相关的性质。
在本文中，我们将对一些与矩阵特征值有关的性质进行探讨。
矩阵的特征值具有以下性质：1. 矩阵的特征值是矩阵的特征方程的根，即满足以下方程：det(A - λI) = 0，其中A是n阶矩阵，I是单位矩阵，λ是特征值。
2. 特征值的个数等于矩阵的秩，且特征值是以重数计算的。
3. 矩阵的特征值与矩阵的转置的特征值相同。
4. 矩阵的特征值与矩阵幂的特征值也相同。
特征值与矩阵的其他性质之间还存在着一些关联：1. 特征值与矩阵的行列式和迹有关。
矩阵的行列式等于其特征值之积，即det(A) = λ₁* λ₂* ... * λₙ，而矩阵的迹等于其特征值之和，即tr(A) = λ₁+ λ₂+ ... + λₙ。
2. 特征值与矩阵的逆矩阵有关。
如果A是一个可逆矩阵，那么它的逆矩阵A⁻¹的特征值等于A的特征值的倒数，即λ⁻¹。
3. 特征值与矩阵的特征向量有关。
对于一个给定的特征值λ，矩阵A的特征向量是满足方程Ax = λx的非零向量x。
特征向量可以通过解特征方程得到。
在矩阵特征值的求解过程中，有一些常用的方法：1. 特征值可以通过解矩阵的特征方程得到。
特征方程是一个关于特征值的多项式方程，可以通过求解该方程得到特征值的值。
2. 使用特征向量构成的矩阵(P矩阵)可以将矩阵对角化。
对角化可以将矩阵变为对角矩阵，使得特征值成为该对角矩阵的对角元素。
3. 特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征值问题得到。
对于大多数情况，特征值问题可以通过数值方法来求解，如幂法和反幂法。
矩阵特征值具有很多与矩阵本身以及其他性质相关的特点。
这些性质不仅在理论上有重要意义，也在实际中有广泛应用，如在信号处理、电路分析和力学等领域。
研究和理解矩阵特征值的性质对于深入理解线性代数和相关应用具有重要意义。
矩阵的基本运算与特征值特征向量
矩阵的基本运算与特征值特征向量矩阵是现代线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将介绍矩阵的基本运算，包括加法、乘法和转置，并详细解释特征值与特征向量的概念及其在矩阵分析中的应用。
一、矩阵的基本运算矩阵加法是指将两个矩阵的相应元素进行相加，得到一个新的矩阵。
例如，对于两个m行n列的矩阵A和B，它们的和记作C=A+B，其中C的第i行第j列元素等于A的第i行第j列元素与B的第i行第j列元素之和。
矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作C=AB，其中C 的第i行第j列元素等于A的第i行元素与B的第j列元素依次相乘再求和。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
例如，对于一个m行n列的矩阵A，它的转置记作AT，其中AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。
二、特征值与特征向量在矩阵分析中，特征值与特征向量是矩阵的重要性质，能够揭示矩阵的结构和性质。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是A的一个特征值，x就是对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的求解过程可以通过方程(A-kI)x=0来实现，其中I为单位矩阵。
通过求解这个齐次线性方程组，可以得到特征值k以及对应的特征向量x。
特征值和特征向量在矩阵的应用中有着广泛的应用，例如在图像处理、信号处理和机器学习等领域中，它们被用于降维、数据压缩、特征提取等任务上。
三、矩阵的应用举例1. 线性变换矩阵可以用于描述线性变换，例如平移、旋转和缩放等操作。
通过将变换矩阵作用于向量，可以实现对向量的变换。
2. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，它存在一个逆矩阵A-1，满足A-1A=AA-1=I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵的求解可以通过行列式和伴随矩阵的方法来实现。
3. 特征值分解对于一个对称矩阵A，可以进行特征值分解，即将A表示为特征值和特征向量的形式，A=PΛP-1，其中P为特征向量的矩阵，Λ为特征值的对角矩阵。
矩阵的特征值求解技巧
矩阵的特征值求解技巧矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，对于解决矩阵的性质和应用问题有着重要的作用。
特征值求解是矩阵特征值问题的核心内容，本文将介绍特征值求解的技巧和方法。
一、特征值和特征向量的定义首先，我们需要理解特征值和特征向量的概念。
给定一个n阶矩阵A，如果存在数λ和非零向量X使得AX=λX，则称λ为矩阵A的一个特征值，X称为对应于特征值λ的特征向量。
二、特征值的求解1. 利用特征多项式对于n阶矩阵A，我们可以定义其特征多项式p(λ)=|A-λI|，其中I是n阶单位矩阵。
求解特征多项式的根即为矩阵的特征值。
2. 利用特征值的性质特征值的性质有助于我们求解特征值。
下面列举一些常见的性质：- 特征值与矩阵的行列式相等。
即det(A-λI)=0。
- 矩阵的特征值个数等于其矩阵的阶数。
- 如果矩阵A是n阶矩阵，那么矩阵A的特征值之和等于A的主对角线元素之和。
- 特征值互不相等，特征向量也互不相等。
即不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
3. 利用特殊矩阵的性质对于特殊的矩阵，我们可以利用其性质来求解特征值。
例如，对于对称矩阵，其特征值一定是实数；对于三角矩阵，其特征值等于主对角线元素。
三、特征向量的求解特征向量的求解是在已知特征值的情况下进行的。
对于给定的特征值λ，我们可以利用矩阵特征方程(A-λI)X=0，利用高斯消元法或其他行列运算方法求解出特征向量。
四、实际问题中的应用特征值和特征向量在实际问题中有着广泛的应用，如：- 在物理学中，特征值和特征向量可以用来描述量子力学中的量子态和量子力学运算符的本征态和本征值。
- 在工程中，特征值和特征向量可以用来描述系统的振动模态和固有频率。
- 在数据分析中，特征值和特征向量可以用来进行降维处理和特征选取。
总结：特征值和特征向量是矩阵的重要性质，通过求解特征值和特征向量，我们可以了解矩阵的本质、性质和应用。
特征值的求解可以利用特征多项式、特征值的性质和特殊矩阵的性质等方法，特征向量的求解可以通过矩阵特征方程进行求解。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，特征值与特征向量是矩阵理论中常被提到的概念。
在本文中，我们将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，以及它们之间的关系和应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A是一个n阶方阵，那么非零向量x是矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Ax = λx其中λ为实数，称为矩阵A的特征值。
特征向量是指在变换矩阵作用下，只发生缩放而不改变方向的向量。
特征值则是衡量该变换强度的标量。
二、求解特征值与特征向量的方法1. 特征值的求解要求解特征值，我们需要解方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵。
解这个方程就可以得到矩阵A的特征值。
2. 特征向量的求解当求得特征值λ之后，我们可以将其代入方程(A-λI)x=0中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 特征值的重要性质矩阵A的特征值个数等于其阶数n，且特征值具有唯一性。
2. 特征向量的重要性质特征向量x与特征值λ的关系为：Ax = λx。
这表明特征向量在矩阵A的作用下只发生了缩放，而未改变方向。
3. 特征值与特征向量的关系同一特征值对应的特征向量可由标量倍数唯一确定。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量可以被用于对矩阵进行对角化。
对角化使得矩阵运算更加简单，且能够揭示矩阵的某些性质。
2. 矩阵的相似性特征值与特征向量的概念也被用于定义矩阵的相似性。
相似矩阵具有相同的特征值。
3. 特征值在图像处理中的应用特征值与特征向量的概念在图像处理中有广泛的应用。
例如，它们可以用于图像压缩、边缘检测等领域。
五、总结矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是矩阵的度量，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到揭示矩阵性质的重要信息，并应用于各种实际问题中。
特征值与特征向量的概念在科学领域中有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。
它们的理解与掌握对于深入理解矩阵理论以及解决实际问题具有重要的意义。
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用矩阵作为数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个科学领域中。
在矩阵的运算中，特征值和特征向量是其中的一个重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质以及它们的应用。
一、矩阵的特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个实数λ和一个n维非零向量x使得Ax = λx，则称λ为矩阵A的一个特征值，x为矩阵A的对应于特征值λ的一个特征向量。
特征向量可以是任意量值，但是特征向量的长度必须是1。
特征值和特征向量的性质特征值和特征向量都有一些重要的性质，其中一些性质如下：1.特征值的和等于矩阵A的迹假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1+λ2+…+λn=tr(A)其中tr(A)表示矩阵A的迹，即矩阵A的主对角线上元素的总和。
2.特征值的积等于矩阵A的行列式假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1λ2…λn=det(A)其中det(A)表示矩阵A的行列式。
3.对于对称矩阵，所有特征向量都是正交的如果一个矩阵A是对称矩阵，那么所有特征向量都是正交的，即对于不同的特征向量x和y，都有xTy=0。
4.如果一个矩阵是正定矩阵，那么所有特征值都是正的如果一个矩阵A是正定矩阵，那么所有特征值都是正的。
反之，如果一个矩阵A的特征值都是正的，那么矩阵A不一定是正定矩阵。
特征向量的应用特征向量在各个领域中都有非常广泛的应用，其中一些应用如下：1.图像处理特征向量在图像处理中有着非常重要的应用。
通过对一个图像的像素矩阵进行特征向量分解，我们可以得到该图像的主要特征，包括图像的边缘，轮廓等。
2.信号处理特征向量在信号处理中也有重要应用。
通过分析信号的特征向量，我们可以得到信号的主要频率分量，进行频率分析，识别峰值等。
3.机器学习特征向量在机器学习中也非常重要。
在特征提取中，我们可以通过对样本数据进行主成分分析，得到样本的主要特征向量，然后再利用这些特征向量进行分类。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矩阵特征值的运算性质及推广摘要:本篇论文主要从五方面来进行讲解：引言；矩阵特征值的性质；矩阵特征值的应用推广；分块矩阵的性质；分块矩阵特征值应用推广。
由于本篇论文是要以矩阵特征值性质的应用为主题，首先介绍总结了矩阵的一些基本概念及矩阵基本运算，然后在文中着重阐述了矩阵特征值性质，罗列出相关引理并予以证明,然后通过五种类型的矩阵特征值的应用例子将矩阵特征值的运算性质进行推广。
将矩阵拓展到分块矩阵，讨论分块矩阵的性质及应用.关键词：矩阵，特征值，特征向量，特征方程，特征多项式The Operation Properties and Promotion of EigenvalueCui haiyang(Institute of Computer Science, Math)Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues.Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic concepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion.Key words：Matrix , Eigenvalue, Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial1引言矩阵计算领域在不断的发展和成熟，作为一门数学学科，它是众多理工学科重要的数学工具，矩阵理论既是经典数学的基础课程，是数学的一个重要且目前仍然非常活跃的领域，又是一门最有实用价值的数学理论，是计算机科学与工程计算的核心，已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系强有力的工具.计算机科学和工程问题很多都可以转化成矩阵的运算与求解，特别是计算机普及应用为矩阵论的应用开辟了广泛的前景.随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数的知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具.半个多世纪以来，计算机已广泛应用于自然科学和工程技术的各个领域，使得矩阵理论的重要性越来越显著，这是因为用矩阵理论和方法解决现代工程技术中的各种问题，不仅表述简洁，便于进行研究，而且更具有适合计算机处理的特点，电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
矩阵理论在各学科领域有广泛的应用，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用.目前在高等院校，矩阵论（或称为矩阵分析、矩阵理论、矩阵方法等）已经列为工科研究生的必修课程.但是对本科学生来说，一般只作为选修课程（也有为数不多的院校把它列为必修课），学生学到的矩阵理论知识与方法非常有限，无法适应现代科学技术的飞速发展.本课题引入几种在矩阵的理论和计算方法中有重要应用的特殊的矩阵乘法运算，深入讨论矩阵特征值的研究意义，以及矩阵特征值的应用.2. 矩阵特征值的性质与应用2.1 矩阵特征值的性质设A 是n 阶方阵,如数λ与n 维非零列向量x 使关系式x Ax λ=成立,则称数λ为方阵A 的特征值,x 称为A 的对应于λ的特征向量；()A E f -=λλ称为特征多项式，()0=-=A E f λλ称为特征方程[5].性质1[6] 设A 为n 阶方阵,n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值,则n A λλλ 21⋅=.性质2[6] 方阵A 可逆⇔A 的n 个特征值都不为零.性质3[6] 设λ为方阵A 的特征值，()A ϕ为A 的多项式,则()λϕ为()A ϕ的特征值.性质4[6] λ不为方阵A 的特征值0≠-⇔E A λ.性质5[6] (凯莱—哈密顿定理)设n 阶方阵A 的特征多项式为()n n n n a a a f ++++=--λλλλ111 , 则()0111=++++=--E a A a A a A A f n n n n .性质6[6] 设n 阶方阵A 的n 个特征值为n λλλ,,,21 ,且n p p p ,,,21 为对应的n 个线性无关的特征向量,记()n p p p P 21=,则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-n AP P λλλ 211性质7[6] 设A 为n 阶实对称阵, n λλλ,,,21 是它的n 个特征值,则(1)当且仅当n λλλ,,,21 都大于零时, A 正定; (2)当且仅当n λλλ,,,21 都小于零时, A 负定;(3)当且仅当n λλλ,,,21 都非负,但至少一个等于零时, A 是半正定; (4)当且仅当n λλλ,,,21 都非正,但至少一个等于零时, A 是半负定; (5)当且仅当n λλλ,,,21 中既有正数,有又负数时, A 是不定的.2. 2 矩阵特征值的应用2. 2. 1 求方阵A 的行列式A 以及A 的多项式()A ϕ的行列式()A ϕ[7]. 例1 已知三阶矩阵A 的特征值为1,-1,2,设()235A A A -=ϕ,求：①A ；②()A ϕ；③E A 5-.解: ①由性质1可得()2211-=⨯-⨯=A ；②因()235A A A -=ϕ,由性质3可知()A ϕ的特征值为()41-=ϕ, ()61-=-ϕ,()122-=ϕ.故()()()()288211-=⋅-⋅=ϕϕϕϕA .③A 的特征多项式为()()()()211-+-=-=λλλλλA E f ,令5=λ,得()()()()7225151555=-+-=-=A E f ，故：()725153-=--=-A E E A .例2 设2=λ是A 的特征值, ()E A A A 232+-=ϕ,求()A ϕ.解: 因2=λ是A 的特征值,既有02=-E A ,故()()()022232=-⋅-=--=+-=E A E A E A E A E A A A ϕ.2. 2. 2 判断方阵A 及KE A -的可逆性[7].例 3 设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=284014013A ,问当k 为何值时，kE A -可逆.解：因()()21228401413)(-+=+-+--=-=λλλλλλλA E f , 故21-=λ,132==λλ为A 的三个特征值,由性质4可知,当2,1-≠k 时,kE A -可逆.例 4 设矩阵A 满足E A =2,证明A E -3可逆.证明：设x Ax λ=,则x x A 22λ=,因E A =2,即有x x 2λ=,即()012=-x λ,而0≠x ,只有012=-λ,于是1±=λ,可知3不是A 的特征值,所以03≠-A E ,即A E -3可逆.2. 2. 3 求方阵A ,A 的逆阵1-A 及A 的k 次幂[7].例 5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A ,求①3A ;②1-A ;③5A . 解： ①()12101102013+-=--+--=-=λλλλλλλA E f , 由性质5有()023=+-=E A A A f ,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=12023040123E A A ②由()10=f ,可知0不是A 的特征值,由性质2知A 可逆.而2112111332222A E A A E A A E A A A A E A A -=⇒-=⇒⋅-⋅=⋅⇒-=-----,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1101002211A③E A A A E A A A A A E A A 24)2(2222252353-+-=--=⇒-=⇒-=,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3505806215A 注：用此法可将)3(>k A k 都化作A 的次数小于等于3的多项式,从而简化kA 的计算.例 6 设3阶方阵A 的特征值为1,0,1321-===λλλ;对应的特征向量依次为()()'--='-='=2,1,2,)1,2,2(,2,2,1321p p p .求k A (k 为大于1的整数).解: 因321,,p p p 线性无关,记()321,,p p p P =,由性质6有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∧=-1000000011AP P 所以()111111,------∧=∧∧⋅∧=∧=∧=P P P P P P P P P P A P P A k kk故()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------+-+-+---+-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=kkk k kk kkk k k A 14412414214141221421221419121212222191100000001212122221于是当k 为偶数时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=82225424591k A ；k 为奇数时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=022********k A 注：此法当A 可以对角化时才可使用.例 7 设3阶实对称阵A 的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为()'=1,1,11p ,求A .解：设对应于3的特征向量为()'=321,,x x x x ,因实对称阵的不同特征值下的特征向量正交,即有01='p x ,即x 的分量满足0321=++x x x .又因特征值3的重数为2,所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量,显然0321=++x x x 的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量.由0321=++x x x 得它的一个基础解系为()()'-='-=1,0,1,0,1,121p p .令()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==101011111321p p p P ，由性质6有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-3000300061AP P . 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-4111411141P P A .2. 2. 4 求方阵A 的多项式()A ϕ[7].例 8 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A ,计算()E A A A A A 4322458-++-=ϕ. 解：()123+-=-=λλλλA E f ，而()()()10372443222458+-+⋅=-++-λλλλλλλλq f ， 显然)103724()()(43222458E A A A q A f E A A A A +-+⋅=-++-. 由性质5可知0)(=A f ，所以()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-=3461061950264831037242E A A A ϕ. 2. 2. 5 判断实对称阵的正定性例 9 设n 阶实对称阵A 正定,则存在矩阵B ,使A B =2,且B 也是正定矩阵.证明: 因A 为实对称阵,故存在正交矩阵P ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-n AP P λλ 111， 其中),,2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值.因A 正定，故有()n i i ,,2,10 =>λ.于是11111111111-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=p P P P p P p P P P A n n n n n λλλλλλλλλλ令11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P B n λλ,故有2B A =,又因211∧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n BP p λλ即B 与对角阵2∧相似，相似矩阵的特征值相同，故n λλ,,1 为B 的n 个特征值，因),,1(0n i i =>λ，由性质7知B 正定.3. 矩阵特征值的推广3. 1 分块矩阵的性质在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性．而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明．下面就分块在矩阵特征值问题中的应用进行一些简单的讨论．对普通矩阵作初等变换相当于在矩阵左（或右）乘一个初等矩阵，同理，我们用广义初等矩阵左（或右）乘一分块矩阵，也就相当于对分块矩阵作一次广义行（或列）初等变换．且对矩阵作若干广义初等变换，其秩也不变．性质1 设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,证明AB 的特征多项式)(λAB f 与BA 的特征多项式)(λBA f 有关系:()()λλλλBA mAB n f f =. [11]分析:我们先把上式改写为BAE AB E n m m n -=-λλλλ因为都是抽象矩阵,我们无法把ABE m -λ和BAE n -λ直接算出来,但它们是两个行列式的值,我们就不妨构造出两个矩阵来,使得它们的行列式为AB E m -λ和BA E n -λ,这样,我们构造分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m nE A B E H λ1,要出现行列式ABE m -λ,则我们对H 做初等变换,即左乘一个广义初等分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB E BE E A B E E A E m n m nm n λλλ111对上式求行列式,得到:ABE AB E H m mm -⎪⎭⎫⎝⎛=-=λλλ11(1)同理, H 右乘一个矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n m n m n E B BA E E A E E AB E 01101λλλ 两边取行列式得到:BAE H n n-⎪⎭⎫⎝⎛=λλ1 (2)由(1)和(2)命题得证阶引理1 设A 为n 矩阵,则A 为幂等矩阵的充分必要条件是()()n A E A r =+-,E 为n 阶单位矩阵,()A r 表示A 的秩.引理2 幂等矩阵A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rE 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛r E 000相似,()A r r =.性质2 设21,,A A A 均为n 阶方阵,且()()2,1,,,21===+=i r A r r A r A A A i i .若212,r r r A A +==,则21,,A A A 的特征值为1或0,且1的个数和它们的秩相等. 分析:因为给出的矩阵并不是具体的,所以我们考虑用分块矩阵初等变换来解这个题目. [12]证明: (1) A 可逆时,即()n A r =,因为A A =2,所以E A =,又21r r r +=,21A A E +=,由已知得()()()()n A r A r A r A E r =+=+-2111,由引理1得到121A A =,同样,222A A =所以21,A A 是幂等矩阵,由引理2,⎪⎪⎭⎫⎝⎛000~11r E A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2000~2r E A21,,A A A 和E ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001r E ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛2000r E 有相同的特征值,所以21,,A A A 的特征值为1或0,且特征值1的个数和它们的秩相等.(2) 当()0=A r 时,即0=A ,结论显然成立.(3)设n r <<0,即A 为非零又不可逆矩阵.因为A A =2,故存在可逆矩阵P ,使()A r r P A P P A P AP P =+=---,21111,令⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2221121122211211000B B B B A A A A E r这里()()11112111,B A E B P A P A P A P r ij ij +=⇒==--()()()()()r A r A r B r A r B A r r =+≤+≤+=2111111111()()()()211111A r A r B r A r +=+∴()()()()0,0112111≥-≥-B r A r A r A r ,从而()()()()112111,B r A r A r A r == 这样1111B A E r +=,且()r B A r =+1111,由(1)的证明可知,存在可逆矩阵Q ,使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--21000,000111111r r E Q B Q E Q A Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------222112111122211211112221121112221121112111110000000000000000000B Q B B Q Q B Q A Q A A Q Q A Q E QB B B B E Q E Q A A A A E Q E Q P A P E Q E QP A P E Q E r n r n r n r n r n r n r n r n r设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221211211122*********00A G GC C E A Q A A Q Q A Q r因为12212112111000r A G G C C E r r =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛所以0,02112==C G 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221211211122211211112000B Z ZW E W B Q B B Q Q B Q r同上可得0,01111==W Z ，故0,0,0,011122111====C Z W G又⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22222112111100000001A E A Q A A Q Q A Q r，从而022=A （因为上述矩阵的秩为1r ），同样⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000022*********r E B Q B B Q Q B Q ，及⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--r n E Q P T 001故有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---00000000,00000000,0000000212121111r r r r E T A T E T A T E E AT T综上所述，对于n r ≤≤0，结论都成立。