(新)高中数学第2章平面向量2_2_3向量的数乘优化训练苏教版必修4
高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量的数乘学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案
2．2.3 向量的数乘[学习目标] 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．[知识链接]1．已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ 答OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a ＝3a ；a ＋a ＋a 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同；O ′C ′→＝O ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′C ′→＝(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a ，(－a )＋(－a )＋(－a )的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反．2．已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？ 答 λa 仍然是一个向量． 当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0，方向任意． |λa |＝|λ|·|a |. [预习导引] 1．向量的数乘一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa ＝0.实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘． 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要点一 向量的数乘运算 例1 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]． 解 (1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形方法．跟踪演练1 若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＋(2b －a )＝________.答案 －16i ＋323j解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＋(2b －a ) ＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－113a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋443j －5i －4j＝－16i ＋323j .要点二 用已知向量表示未知向量例2 如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.解 方法一 设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝AK →＋KB →＝e 1－12x ，DL →＝12AB →＝12e 1－14x ，又AD →＝x ，由AD →＋DL →＝AL →， 得x ＋12e 1－14x ＝e 2，解方程得x ＝43e 2－23e 1，即BC →＝43e 2－23e 1，由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝－43e 1＋23e 2.方法二 设BC →＝x ，CD →＝y ， 则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB →＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →，得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②由－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2，x ＝23(2e 2－e 1)，同理得y ＝23(－2e 1＋e 2)，即BC →＝43e 2－23e 1，CD →＝－43e 1＋23e 2.方法三 如图所示，延长BC 与AL 交于点E ，则△DLA ≌△CLE ， 从而AE →＝2AL →，CE →＝AD →，KE →＝32BC →，由KE →＝AE →－AK →，得32BC →＝2e 2－e 1，即BC →＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1.同理可得CD →＝23(－2e 1＋e 2)＝－43e 1＋23e 2.规律方法 (1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如方法三．(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题方法一、方法二．跟踪演练2 如图，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.解 ∵DE ∥BC ，AD →＝23AB →，∴AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a .由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝23(b －a )．又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ， ∴DN →＝12DE →＝13(b －a )．AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．∵△ADN ∽△ABM ，AD →＝23AB →，∴AN →＝23AM →＝13(a ＋b )．要点三 共线向量定理的应用 例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．(1)证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.规律方法 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．跟踪演练3 如图所示，已知在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD . 求证：M 、N 、C 三点共线．证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ，∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点．∴M 、N 、C 三点共线．1．化简：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b －4a －2b. 解 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c＝6a ＋4b .(2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a . 2．如图，AM →＝13AB →，AN →＝13AC →.求证：MN →＝13BC →.证明 ∵AM →＝13AB →，AN →＝13AC →，∴MN →＝AN →－AM →＝13AC →－13AB →＝13(AC →－AB →) ＝13BC →. 3．设e 1，e 2是两个不共线的非零向量，如果AB →＝3e 1－2e 2，BC →＝4e 1＋e 2，CD →＝8e 1－9e 2. 求证：A ，B ，D 三点共线．证明 ∵BD →＝BC →＋CD →＝4e 1＋e 2＋8e 1－9e 2 ＝12e 1－8e 2＝4(3e 1－2e 2)＝4AB →， ∴AB →与BD →共线．∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．如图，在▱OADB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →.解 由题意知，在▱OADB 中，BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ，则OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、基础达标1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________. 答案 12解析 －e 1＋k e 2与e 2－2e 1共线，则存在实数λ，使 －e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)由于e 1与e 2不共线，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2λ，k ＝λ，解得k ＝λ＝12.2．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 如图DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.3．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________． 答案 A 、B 、D解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A 、B 、D 三点共线．4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则下列结论正确的是________．①P 在△ABC 内部；②P 在△ABC 外部；③P 在AB 边上或其延长线上；④P 在AC 边上． 答案 ④解析 PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →， ∴PC →＝－2PA →，∴P 在AC 边上．5．在△ABC 中，点D 在直线CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →，则r －s ＝________. 答案 83解析 ∵CD →＝CB →＋BD →＝4BD →，∴CB →＝3BD →. ∴CD →＝AD →－AC →＝AB →＋BD →－AC →＝AB →＋13CB →－AC →＝AB →＋13(AB →－AC →)－AC →＝43AB →－43AC →∴r ＝43，s ＝－43，r －s ＝83.6．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ， 所以AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →， 因为AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2.7．如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点．∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →.∴四边形EFGH 为平行四边形． 二、能力提升8．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为________．①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . 答案 ①②解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为________． 答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.10．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC → |AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． ①外心；②内心；③重心；④垂心． 答案 ②解析 AB→|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD →上移动．∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．11.如图所示，设M ，N 为△ABC 内的两点，且AM →＝14AB →＋13AC →，AN →＝25AB →＋12AC →，则△ABM 的面积与△ABN 的面积之比为________．答案 2∶3解析 如图所示，设AP →＝14AB →，AQ →＝13AC →，则AM →＝AP →＋AQ →.由平行四边形法则知，MQ ∥AB ，∴S △ABM S △ABC ＝|AQ →||AC →|＝13. 同理S △ABN S △ABC ＝12.∴S △ABM S △ABN ＝23. 12．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解 ∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.三、探究与创新13．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 解 d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2.要使c ∥d ，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝k (2e 1－9e 2)＝2k e 1－9k e 2，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，∴λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．。
高中数学必修四(苏教版)：第二章 课件+练习(17份)(共25张PPT)(17份打包)2. 2.3 向量的数乘
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1．掌握向量数乘的定义并理解其几何意义． 2．掌握向量数乘的运算律． 3．掌握共线向量定理及其应用．
典例剖析
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向量数乘运算律的应用
设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j.
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目
求31a－b－a－23b＋(2b－a)．
链 接
分析：先化简所求的向量式，再将 a 与 b 代入即可．
∴M→N＝O→N－O→M＝23a＋23b－61a＋65b＝12a－16b.
解析：原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a
＝31－1－1a＋－1＋23＋2b
＝－53a＋35b
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链
＝－53(3i＋2j)＋35(2i－j)
接
＝－5＋130i＋－130－53j ＝－53i－5j.
方法指导：已知某些向量，而要化简与它们有关的向量式，其解题方
法可类比于初中所学的“求代数的值”，即先化简向量式，再代入，
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再化 a 与 b，且 5x＋2y＝a，3x－y＝b，求 x、y(分别用 a 与 b 表示)．
分析：可类比于代数中解二元一次方程组来求 x、y. 解析：将 3x－y＝b 的两边同乘以 2 得 6x－2y＝2b，与 5x＋2y＝ a 相加得 11x＝a＋2b，即 x＝111a＋121b. ∴y＝3x－b＝3111a＋121b－b＝131a－151b.
解析：∵AD∥BC，且 AD＝31BC， ∴A→D＝31B→C＝13b，∴A→E＝21A→D＝16b. ∵B→F＝12B→C，∴B→F＝12b. ∴F→A＝B→A－B→F＝a－21b. ∴E→F＝E→A＋A→F＝－A→E－F→A＝－16b－a－12b＝31b－a， D→F＝D→E＋E→F＝E→A＋E→F＝－A→E＋E→F＝－16b＋31b－a＝16b－a， C→D＝C→F＋F→D＝－(D→F＋F→C)＝－(D→F＋B→F)＝－16b－a＋12b＝a －23b.
数学苏教版必修4 第2章2.2.3向量的数乘 作业 Word版含解析
[学业水平训练]．设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是．(填序号)①与λ的方向相反；②与λ的方向相同；③－λ≥；④－λ＝λ·.解析：λ可正可负，故①不正确；而λ是非零实数，故λ>，所以与λ的方向相同，②正确；又λ与的大小不确定，故③不正确；又－λ＝λ·，故④不正确．答案：②已知＝，＝，＝λ，则λ等于．解析：因为＝λ，所以＝λ·，即＝·λ，所以λ＝±.答案：±若＝，与反向，＝，则＝.解析：∵与反向，由共线向量基本定理知，＝－.答案：－点在线段上，且＝，则＝，＝.解析：∵＝，∴点为线段的等分点，∴＝，＝－.答案：－已知向量，不共线，实数，满足(－)＋(－)＝＋，则－的值为．解析：由原式可得解得∴－＝.答案：在△中，已知是边上一点，若＝，＝＋λ，则λ＝．解析：由＝，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝＋λ，知λ＝.答案：()已知(＋)＋(－)－(－＋)＝(其中，为已知向量)，求；()已知其中，为已知向量，求，.解：()原方程化为＋＋－－＋－＝.得＋－＝，即＝－.∴＝－.()由②得＝－，代入①，得＋(－)＝.∴＋－－＝，＝＋.∴＝＋.∴＝(＋)－＝＋－＝－.综上可得设两个向量与不共线．()试证：起点相同的三个向量，，－的终点在同一条直线上(≠)；()求实数，使得＋与＋共线．解：()证明：设＝，＝，＝－.因为＝－＝(－)－＝(－)，＝－＝－，所以＝－，故，共线．又，有公共起点，所以，，在同一条直线上．()因为＋与＋共线，所以设＋＝λ(＋)，λ∈，即＋＝λ＋λ，又与不共线，所以所以＝±.[高考水平训练]已知是△内的一点，且＋＋＝，则是△的．解析：＋是以、为邻边作平行四边形的对角线，且过的中点，设中点为，则＋＝，∴＋＝，同理设、为，中点，则满足条件的点为△三边中线的交点，故为重心．答案：重心已知△和点满足＋＋＝.若存在实数使得＋＝成立，则＝．解析：由＋＋＝知，点为△的重心，设点为底边的中点，则＝＝×(＋)＝(＋)，所以有＋＝，故＝.答案：证明：若向量、、的终点、、共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝，使得：＝λ＋μ；反之，也成立．证明：①如图所示，若、、的终点、、共线，则∥，故存在实数，使得＝，又＝－，＝－，所以－＝(－)，即＝－＋(＋).令λ＝－，μ＝＋，则存在实数λ、μ且λ＋μ＝，使得＝λ＋μ.②若＝λ＋μ，其中λ，μ∈且λ＋μ＝，则μ＝－λ.故＝λ＋(－λ)，即－＝λ(－)，即＝λ.所以、、三点共线，即向量、、的终点在一条直线上．．设，，为非零向量，其中任意两向量不共线，已知＋与共线，且＋与共线，则与＋是否共线？请证明你的结论．解：与＋共线．证明如下：∵＋与共线，∴存在惟一实数λ，使得＋＝λ.①∵＋与共线，∴存在惟一实数μ，使得＋＝μ.②由①－②得，－＝λ－μ.∴(＋μ)＝(＋λ).又∵与不共线，∴＋μ＝，＋λ＝，∴μ＝－，λ＝－，∴＋＝－，即＋＋＝.∴＋＝－.故＋与共线．。
（新）高中数学第2章平面向量2_2_3向量的数乘学案苏教版必修4
（新）高中数学第2章平面向量2_2_3向量的数乘学案苏教版必修42.2.3 向量的数乘1．掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．[基础·初探]教材整理1 向量的数乘定义阅读教材P68第一、二、三个自然段，完成下列问题．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)λa＝0，则λ＝0.( )(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．( )(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( )【解析】(1)若λa＝0，则λ＝0或a＝0，(1)错误．(2)正确．(3)|－6a|＝6|a|，|3a|＝3|a|，(3)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 向量数乘的运算律阅读教材P 68倒数第2自然段，完成下列问题．1．λ(μa )＝(λμ)a ； 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb .1．5×(－4a )＝________.【解析】5×(－4a )＝5×(－4)a ＝－20a . 【答案】－20a2．a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－2e 2，则a ＋b ＝________. 【解析】 a ＋b ＝(e 1＋2e 2)＋(3e 1－2e 2)＝4e 1. 【答案】 4e 1 教材整理3 向量共线定理阅读教材P 70，完成下列问题．如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .1．已知e 1和e 2不共线，则下列向量a ，b 共线的序号是________．①a ＝2e 1，b ＝2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.【解析】∵e 1与e 2不共线，∴①不正确；对于②有b ＝－2a ；对于③有a ＝4b ；④不正确．【答案】②③2．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．则AB →与BD →________.【解析】∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →，∴BD →与AB →共线．【答案】共线[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]向量数乘的基本运算计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )； (2)12?3a ＋2b－23a －b －7612a ＋37? ????b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．【精彩点拨】利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并．【自主解答】 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12? ????3a ＋2b －23a －b －7612a ＋37b ＋12a＝32a ＋b －13a －12b －712a －12b －712a ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝6a ＋2b .向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.[再练一题]1．若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则? ????13a －b －3? ??a ＋23b ＋(2b －a )＝________.【解析】原式＝13a －b －3a －2b ＋2b －a＝－113a －b＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝(－11－5)i ＋? ??443－4j ＝－16i ＋323j .【答案】－16i ＋323j向量的共线问题已知非零向量e 1，e 2不共线.(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【精彩点拨】对于(1)，欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使BD →＝λAB →即可；对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．【自主解答】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有?k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，AC →，BC →在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．[再练一题]2．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【解】BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2. 因为A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2. 由向量相等的条件，得λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8，所以k ＝－8.[探究共研型]向量共线的有关结论探究1 已知O 为平面ABC 内任一点，若A ，B ，C 三点共线，是否存在α，β∈R ，使OC＝αO A →＋βOB →，其中α＋β＝1?【提示】存在，因A ，B ，C 三点共线，则存在λ∈R ，使AC →＝λAB →，∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →. 令1－λ＝α，λ＝β，则OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1.探究2 已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，那么A ，B ，C 三点是否共线？【提示】共线，因为存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1，∴β＝1－α，∴OC →＝αOA →＋(1－α)OB →，∴OC →＝αOA →＋OB →－αOB →，∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)，∴BC →＝αBA →，∴A ，B ，C 三点共线．如图2-2-20所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D是把OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值. 【导学号：06460048】图2-2-20【精彩点拨】由已知得A 为BC 中点，D 为OB 的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决．【自主解答】 (1)依题意，A 是BC 中点，∴2OA →＝OB →＋OC →，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE →与DC →共线，∴存在实数k ，使CE →＝kDC →，∴(λ－2)a ＋b ＝k ?2a －53b ，解得λ＝45.用已知向量表示未知向量的求解思路：1先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；2然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；3求解过程体现了数学上的化归思想.[再练一题]3.如图2-2-21，在?OADB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →.图2-2-21【解】由题意知，在?OADB 中，BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b .则OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ，ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .[构建·体系]1．已知m ∈R ，下列说法正确的是________．①若m a ＝0，则必有a ＝0；②若m ≠0，a ≠0，则m a 与a 方向相同；③m ≠0，a ≠0，则|m a |＝m |a |；④若m ≠0，a ≠0，则m a 与a 共线．【解析】①错．若m a ＝0，则m ＝0或a ＝0. ②错．m ＞0时，m a 与a 同向，m ＜0时，m a 与a 反向．③错．∵|m a |＝|m ||a |，∴m ＞0时，|m a |＝m |a |；m ＜0时|m a |＝－m |a |. 【答案】④2.△ABC 中，E ，F 分别是AB 、AC 的中点，且AB →＝a ，AC →＝b ，则EF →＝________(用a ，b 表示)．图2-2-22【解析】EF →＝AF →－AE →＝12AC →－12AB →＝12(b －a )．【答案】 12(b －a )3．平面向量a ，b 共线的等价条件是________．(填序号) ①a ，b 方向相同；②a ，b 两向量中至少有一个为零向量；③存在λ∈R ，b ＝λa ；④存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0.【解析】由两个非零向量a ，b 共线的条件，即由向量共线定理可知，①②③不是a ，b 共线的等价条件，④是．【答案】④4．若|a |＝3，b 与a 反向，|b |＝2，则a ＝________b . 【解析】∵b 与a 反向，∴a ＝λb ，λ＜0. 又|a |＝3，|b |＝2，∴|a |∶|b |＝|λ|，∴λ＝－32，∴a ＝－32b .【答案】－325．计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13122a ＋8b －4a －2b；(3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．【导学号：06460049】【解】 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b . (2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a .(3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十七) 向量的数乘(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知λ∈R ，则下列说法错误的是________．(填序号) ①|λa |＝λ|a |；②|λa |＝|λ|a ；③|λa |＝|λ||a |；④|λa |>0.【解析】当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa |∈R ，而|λ|a 是数乘向量，故②必不成立．【答案】①②④ 2．化简14?a ＋2b ＋3a －136a －12b 为________．【解析】原式＝14[]a ＋2b＋3a －2a ＋4b ＝14(2a ＋6b )＝12a ＋32b .【答案】 12a ＋32b3．若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.【解析】∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线，且AC →与AB →同向，∵|AC →||AB →|＝57(如图)，∴|BC →||AC →|＝25，又BC →与AC →反向，∴BC →＝－25AC →. 【答案】－254．在△ABC 中，已知BC →＝3BD →，则AD →＝________(用AB →，AC →表示)．【解析】∵BC →＝3BD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，∴AD →＝23AB →＋13AC →.【答案】23AB →＋13AC →5．(2016·苏州高一检测)设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________. 【导学号：06460050】【解析】∵m 与n 共线，∴存在实数λ，使得m ＝λn ，∴－e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)，∴?－1＝－2λ，k ＝λ，∴λ＝12，k ＝12.【答案】 126．已知向量a ，b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________．【解析】∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．【答案】 A ，B ，D7．若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝________.(用e 1，e 2表示)【解析】∵AD →＝BC →，∴BD →＝AD →－AB →＝3e 2－2e 1. 又∵BD →＝2BO →，∴BO →＝32e 2－e 1.【答案】 32e 2－e 18．(2016·南通高一检测)已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则下列说法正确的是________．(填序号)①点P 在△ABC 外部；②点P 在线段AB 上；③点P 在线段BC 上；④点P 在线段AC 上．【解析】PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，∴2PA →＋PC →＝0.如图，易知P 在线段AC 上．【答案】④ 二、解答题9．如图2-2-23所示，已知在?ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .图2-2-23求证：M ，N ，C 三点共线．【证明】设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13? ??12a ＋b ，∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点，∴M ，N ，C 三点共线．10．如图2-2-24，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.图2-2-24【解】连接CN .∵AN ∥DC ，且AN ＝DC ＝12AB ，∴四边形ANCD 为平行四边形，∴CN →＝－AD →＝－b . ∵CN →＋NB →＋BC →＝0，∴BC →＝－NB →－CN →＝b －12a ，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝14a －b .[能力提升]1．若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →，∴AB →与CD →平行且方向相反，易知|CD →|＞|AB →|. 又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形．【答案】等腰梯形2．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为________．【解析】由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 是△ABC 的重心．取BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →.又M 是△ABC 的重心，∴AM →＝2MD →，∴AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3. 【答案】 33．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m ＝________，n ＝________. 【解析】AD →－AB →＝2AC →－2AD →，∴3AD →＝AB →＋2AC →，∴AD →＝13AB →＋23AC →.【答案】 13 234．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？【解】d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2. 要使c∥d ，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝k (2e 1－9e 2)＝2k e 1－9k e 2，∵e 1，e 2不共线，∴?2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，∴λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d 与c 共线.。
2016-2017数学苏教版高一必修4第2章2.2.3向量的数乘作业word版含解析
[学业水平训练]1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是________．(填序号)①a 与λa 的方向相反；②a 与λ2a 的方向相同；③|－λa |≥|a |；④|－λa |＝|λ|·a .解析：λ可正可负，故①不正确；而λ是非零实数，故λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同，②正确；又|λ|与1的大小不确定，故③不正确；又|－λa |＝|λ|·|a |，故④不正确．答案：②2.已知|a |＝1，|b |＝2，a ＝λb ，则λ等于________．解析：因为a ＝λb ，所以|a |＝|λ|·|b |，即1＝2·|λ|，所以λ＝±12. 答案：±123.若|a |＝8，b 与a 反向，|b |＝7，则a ＝________b .解析：∵b 与a 反向， 由共线向量基本定理知，a ＝－87b . 答案：－874.点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →. 解析：∵AC CB ＝32，∴点C 为线段AB 的5等分点， ∴AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →.答案：35 －255.已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为__________．解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3. 答案：36.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝__________． 解析：由AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB → ＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， 结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.答案：237.(1)已知3(x ＋a )＋3(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0(其中a ，b 为已知向量)，求x ；(2)已知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝a ，2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，求x ，y . 解：(1)原方程化为3x ＋3a ＋3x －6a －4x ＋4a －4b ＝0.得2x ＋a －4b ＝0，即2x ＝4b －a .∴x ＝2b －12a .(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝a ， ①2x －3y ＝b ， ②由②得y ＝23x －13b ，代入①， 得3x ＋4(23x －13b )＝a . ∴3x ＋83x －43b －a ＝0，17x ＝4b ＋3a . ∴x ＝317a ＋417b . ∴y ＝23(317a ＋417b )－13b ＝217a ＋851b －13b ＝217a －317b . 综上可得⎩⎨⎧x ＝317a ＋417b ，y ＝217a －317b . 8.设两个向量a 与b 不共线．(1)试证：起点相同的三个向量a ，b ，3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )；(2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线．解：(1)证明：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝3a －2b .因为AC →＝OC →－OA →＝(3a －2b )－a ＝2(a －b )，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，所以AC →＝－2AB →，故AC →，AB →共线．又AC →，AB →有公共起点A ，所以A ，B ，C 在同一条直线上． (2)因为k a ＋b 与2a ＋k b 共线，所以设k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，λ∈R ，即k a ＋b ＝2λa ＋kλb ，又a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝kλ，所以k ＝±2. [高考水平训练]1.已知O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的________．解析：OA →＋OB →是以OA →、OB →为邻边作平行四边形的对角线，且过AB 的中点，设中点为D ，则OA →＋OB→＝2OD →，∴2OD →＋OC →＝0，同理设E 、F 为AC ，BC 中点，则满足条件的点O 为△ABC 三边中线的交点，故为重心．答案：重心2.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， 所以有AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3.答案：33.证明：若向量OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，使得：OC →＝λOA →＋μOB →；反之，也成立．证明：①如图所示，若OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 共线，则AB →∥BC →，故存在实数m ，使得BC →＝mAB →，又BC →＝OC →－OB →，AB →＝OB →－OA →，所以OC →－OB →＝m (OB →－OA →)，即OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →.令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则存在实数λ、μ且λ＋μ＝1，使得OC →＝λOA →＋μOB →.②若OC →＝λOA →＋μOB →，其中λ，μ∈R 且λ＋μ＝1，则μ＝1－λ.故OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，即OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →.所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA →、OB →、OC →的终点在一条直线上．4．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．解：b 与a ＋c 共线．证明如下：∵a ＋b 与c 共线，∴存在惟一实数λ，使得a ＋b ＝λc .①∵b ＋c 与a 共线，∴存在惟一实数μ，使得b ＋c ＝μa .②由①－②得，a －c ＝λc －μa .∴(1＋μ)a ＝(1＋λ)c .又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0，1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.∴a ＋c ＝－b .故a ＋c 与b 共线．。
苏教版必修四第二章 平面向量 第二讲 向量的线性运算2 向量的数乘 (习题+解析)
苏教版必修四第二章平面向量第二讲向量的线性运算2 向量的数乘（习题+解析）线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论。
1. ①②④解析：当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a＝0时，④式不成立；又|λa|∈R，而λ|a|是数乘向量，故②必不成立。
2. 2b－a 解析：原式＝16（2a＋8b）－13（4a－2b）＝13a＋43b－43a＋23b＝－a＋2b＝2b－a。
3. －25解析：∵AC＝57AB，∴点A，B，C三点共线且AC与AB同向，ACAB ＝57（如图），∴BCAC ＝25，又BC与AC反向，4. 4 解析：∵GA＋GB－GC＝GA＋GB＋CG＝2CG ＝4GD，∴λ＝4。
5. ①②解析：作出四个向量可知，只有①②满足条件。
6. 14b－14a解析：方法一如题图，＝－12b－a＋34AC＝－12b－a＋34（a＋b）＝14（b－a）。
方法二设AC交BD于O，由于N为AC的34分点，则有N为OC的中点，MN＝12BO＝14BD＝14（b－a）。
7. 解：由ma－3b与向量a＋（2－m）b共线可知，存在实数λ满足ma －3b ＝λ[a ＋（2－m ）b ]， 即（m －λ）a －[3＋λ（2－m ）]b ＝0， 又a 与b 不共线，解得m ＝3或m ＝－1。
8. 解：如图，设AB ＝a ，AD ＝b 。
∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN ＝12b ，DM ＝12a . ∵在△ADM 和△ABN 中，,,AD DM AM AB BN AN ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 即1,21,2b a c a b d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①×2－②，得b ＝23（2c －d ）， ②×2－①，得a ＝23（2d －c ）， ∴AB ＝43d －23c ，AD ＝43c －23d 。
9. 解：b 与a ＋c 共线，证明如下： ∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a ＋b ＝λc ，① ∵b ＋c 与a 共线，∴存在唯一实数μ，使得b ＋c ＝μa ，② 由①－②得，a －c ＝λc －μa .∴（1＋μ）a ＝（1＋λ）c ，又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ， 即a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ，故a＋c与b共线。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 向量的数乘成长训练
高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 向量的数乘成长训练 苏教版必修4夯基达标1.4（a -b ）-3（a +b ）-b 等于（ ）A.a -2bB.aC.a -6bD.a -8b 解析：4（a -b ）-3（a +b ）-b =4a -4b -3a -3b -b =a -8b . 答案：D2.已知=32，=32，则等于（ ） A.31 B.-31 C.-32 D.32解析: =-=32323232-==-.答案:C3.点C 在线段AB 上，且=53，则等于（ ） A.32 B.23 C.-32 D.-23解析:如图，设AB=5，则AC=3，BC=2，又AC 与BC 方向相反，故AC =-23BC .答案:D 4.若O 为ABCD 对角线的交点，=2e 1,=3e 2,则23e 2-e 1等于（ ） A.AO Ｂ.BO Ｃ.CO Ｄ.DO 解析:23e 2-e 1=21(3e 2-2e 1)=21(-)=21(+)=21=.答案:B5.已知5（x +a ）=3(b -x )，则x 等于（ ）A.85a -83bB.83a -85bC.-85a +83bD.-83a +85b 解析:5(x +a )=2(b -x )⇒5x+5a =3b -3x ⇒8x=-5a +3b ⇒x=b a 8385+-.答案:C6.如右图所示，D 、E 、F 分别是三角形所在边的中点，则++等于（ ）A.-AC Ｂ.-21BC Ｃ.AC Ｄ.0 解析：2=++，又DF 为△ABC 的中位线， ∴-==2.答案：A7.给出下面四个结论中，其中正确的个数是（ ） ①对于实数p 与向量a 、b ，有p （a -b ）=p a -p b ②对于实数p 、q 和向量a ，有（p-q ）a =p a -q a ③若p a =p b (p∈R )，则有a =b ④若p a =q a ,(p·q∈R ,a ≠0)则p=q A.1 B.2 C.3 D.4 解析:结论③中，p=0也有p a =p b .其余正确. 答案:C 走近高考8.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=-4a -b ，=-5a -3b ，（a ，b 为不共线向量） 求证：四边形ABCD 是梯形.证明：∵=a +2b ，=-4a -b ，=-5a -3b ， ∴++==a +2b -4a -b -5a -3b =-8a -2b ， ∴=2BC ，∴AD ∥BC 且AD=2BC ， ∴四边形ABCD 是梯形.9.如下图，已知=3e 1, =3e 2,（1） （2）(1)若C 、D 是AB 的三等分点，求，.（用e 1,e 2表示）（2）若C 、D 、E 是AB 的四等分点，求，，.（用e 1,e 2表示） 解析:（1）∵C、D 是AB 的三等分点， ∴==DB =31AB =31（-）=31（3e 2-3e 1）=e 2-e 1.∴=+=3e 1+e 2-e 1=2e 1+e 2,=+=3e 1+2=3e 1+2e 2-2e 1=e 1+2e 2.（2）====41=41（3e 2-3e 1）=43e 2-43e 1， ∴=+=3e 1+43e 2-43e 1=49e 1+43e 2，=+=49e 1+43e 2+43e 2-43e 1=23e 1+23e 2,OE =OD +DE =23e 1+23e 2+43e 2-43e 1=43e 1+49e 2.10.设G 是△A BC 的重心，O 为平面内不同于G 的任一点，求证:=31（++）. 证明:∵=+，=+，=+, 又∵G 为△ABC 重心， ∴++=0.∴++=++，即=31（++）. 点评:若O 与G 重合，上式即为31（++）=0，即++=0走近高考11.（2006安徽高考）在ABCD 中，=a ，=b ，AN =3NC ，M 为BC 中点，则MN=_______________（用a 、b 表示）. 解法一：如图，++==-21b -a +43AC =-21b -a +43（a +b ）=41（b -a ）. 解法二：设AC 交BD 于O ，由于N 为AC 的43处分点，则有N 为OC 中点，=21=41BD =41（b -a ）. 答案:41（b -a ） 12.（2005全国高考）△A BC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH =m(OA +OB +OC ),则实数m=_____________.解析:（特殊值法）当△ABC为直角三角形时，O为AC中点.AB、BC边上高的交点H与B重合.OA+OB+OC=OB=OH，∴m=1.答案:1。
高中数学 第2章 平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算优
2.3.2 平面向量的坐标运算5分钟训练（预习类训练,可用于课前） 1.在△ABC 中，设AB =m ，BC =n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则AD =_______,AE =___________.思路解析:由D 、E 是边BC 上的三等分点，可得BD =31BC ,BE =32BC ，转化为已知向量即可. 答案:m +31n m +32n 2.下列所给向量共线的有( )A.(1，5)，(5，-5)B.(2，-3)，(21,-43) C.(1，0)，(0，1) D.(1，-3)，(8，21)思路解析:本题考查平面向量共线的条件，只需将所给坐标代入公式，看“x 1y 2-x 2y 1=0”是否成立即可. 答案:B10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.已知向量a =(1,2),b =(2,3),c =(3,4)且c=λ1a +λ2b ,则λ1、λ2的值分别为( ) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 思路解析:因为c =λ1a +λ2b ,则有(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),∴⎩⎨⎧=+=+,432,322121λλλλ解得λ1=-1,λ2=2.答案:D2.已知|a |=10,b =(3,4),a ∥b ,则向量a =_____________.思路解析:首先设a =(x,y)，然后利用|a |=10,a ∥b ,列出含x 、y 的两个等式，解出x 、y. 答案:(6,8)或(-6,-8)3.已知点A(3，1)、B(0，0)、C(3，0).设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC =λCE ,其中λ等于( )A.2B.21 C.-3 D.-31思路解析:∵AE 为∠BAC 的平分线，∴.212||||||||===AC AB CE BE∴BE =-2CE .∴=BE -=-2-=-3.答案:C4.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1)、B(-1,3)，若点C 满足OC=αOA +βOB ，其中α、β∈R ，且α+β=1,则点C 的轨迹方程为_________________.思路解析:将点C 所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C 的轨迹方程. 答案:x+2y-5=0 5.用坐标法证明AB +BC +CA =0.思路解析:本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算. 证明:设A(a 1,a 2)、B(b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则AB =(b 1-a 1,b 2-a 2)，BC =(c 1-b 1,c 2-b 2)，CA =(a 1-c 1,a 2-c 2).∴AB ++=(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0)=0. ∴AB +BC +CA =0.6.平面内给定三个向量:a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1). (1)求3a +b -2c ；(2)求满足a =m b +n c 的实数m 和n ； (3)若(a +k c )∥(2b -a )，求实数k ；(4)设d =(x,y)满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，求d .思路解析:根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解.解:(1)3a +b -2c =3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)∵a =m b +n c ,m 、n ∈R ，∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+-.98,95,22,34n m n m n m 解得(3)∵(a +k c )∥(2b -a )且a +k c =(3+4k,2+k)2b -a =(-5,2)，∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0. ∴k=-1316. (4)∵d -c =(x-4,y-1)，a +b =(2,4)，且(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎩⎨⎧=-+-=---.5525,55205525,5520.1)1()4(,0)1(2)4(422y x y x y x y x 或解得 ∴d =(5525,5520++)或d =(5525,5520--). 志鸿教育乐园聪明的学生物理课上，老师正在讲振动和共鸣，为了让学生更好地理解它们的物理原理，老师提问道：“如果我朝鱼塘扔一块石头，会发生什么现象？……” 学生异口同声地回答：“罚款5元！” 30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.在△ABC 中，已知A(2，3)、B(8，-4),G(2，-1)是中线AD 上的一点，且|AG |=2|GD |，则点C 的坐标为( )A.(-4，2)B.(-4，-2)C.(4，-2)D.(4，2) 思路解析:设C 点坐标为(x ，y)，由于G 是△ABC 的重心，则2=382x++，∴x=-4. -1=343y +-，∴y=-2.答案:B2.已知A 、B 、C 三点共线，且A(3，-6)、B(-5，2)，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A.-13B.9C.-9D.13 思路解析:设C(6，y)，则AB ∥.又AB =(-8，8)，AC =(3，y+6)，∴-8(y+6)-3×8=0.∴y=-9. 答案:C3.已知A(-2，4)、B(3，-1)、C(-3，-4)且CM=3CA ，CN=2CB ，试求点M 、N 和MN 的坐标.解:∵A(-2，4),B(3，-1),C(-3-4)，∴CA =(-2+3，4+4)=(1，8)， CB =(3+3，-1+4)=(6，3).于是=3=3(1，8)=(3，24)，CN =2CB =2(6，3)=(12，6).设M(x ，y)，则有=(x+3，y+4)，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+,20,0,244,33y x y x 解得 即M 点的坐标为(0，20).同理,可求得N(9，2). 因此=(9-0，2-20)=(9，-18).故所求的点M 、N 的坐标分别为(0，20)，(9，2)，的坐标为(9，-18). 4.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(+||AC AC )，λ∈[0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心思路解析:此题之所以答得不好，主要原因是很多考生看不明白用向量表述的问题，理不清题意.实际上,||AB AB 与||AC AC分别表示与AB 、AC 同向的单位向量， 设AP1=λ||AB AB,AP 2=λ||AC AC,则当λ=0时，P 与A 重合；当λ＞0时AP 为菱形AP 1PP 2的对角线，故点P 在∠BAC 的平分线或其延长线上.答案:B5.若a =(3，4)，b ∥a 且b 的起点为(1，2)，终点为(x ，3x)，则b =___________. 思路解析:∵b =(x ，3x)-(1，2)=(x-1，3x-2)，且b ∥a ， ∴3(3x-2)-4(x-1)=0.∴x=52. ∴b=(-53，-54).答案:(- 53，-54)6.已知点M(x ，y)在向量OP=(1，2)所在的直线上，则x 、y 所满足的条件为________.思路解析:∵M 在所在的直线上，∴OM ∥OP .又OM=(x ，y)，=(1，2)，∴2x-y=0，即y=2x. 答案:y=2x7.如图2-3-7所示，已知△ABC 中A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，NM 与AD 交于点F.求DF.图2-3-7解:∵A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)， ∴AB =(3-7，5-8)=(-4，-3)，AC =(4-7，3-8)=(-3，-5).又∵D 是的中点，∴AD =21(AB +AC )=(-27，-4).又∵M 、N 分别为AB 、AC 的中点， ∴F 为AD 的中点. ∴DF =-21AD =(47，2).8.已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若AP =AB +λAC (λ∈R )，则λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上,点P 在第三象限内？ 解:设点P 的坐标为(x ，y)，则AP =(x ，y)-(2，3)=(x-2，y-3)，AB +λ=(5，4)-(2，3)+λ［(7，10)-(2，3)］=(3，1)+λ(5，7)=(3，1)+(5λ，7λ)=(3+5λ，1+7λ). ∵AP =AB +λAC ，∴(x-2，y-3)=(3+5λ，1+7λ).∴⎩⎨⎧+=+=∴⎩⎨⎧+=-+=-.74,55.713,532λλλλy x y x ∴P 点的坐标为(5+5λ，4+7λ).(1)若点P 在一、三象限的角平分线上，则5+5λ=4+7λ，∴λ=21.(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎨⎧<+<+,074,055λλ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<.74,1λλ∴λ＜-1，即只要λ＜-1时，点P 就在第三象限内.9.如图2-3-8所示,已知平面上三点A 、B 、C 的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求点D 的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.图2-3-8思路解析:本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情形分别求解. 解:(1)当平行四边形为ABCD 时，因为AD =DC，所以(4，1)=(x+2，y-1)，所以x=2，y=2，即D(2，2).(2)当平行四边形为ACDB 时，因为BA =，所以(-1，-2)=(3-x ，4-y)，所以x=4，y=6，即D(4，6). (3)当平行四边形为DACB DA =BC ，所以(-2-x ，1-y)=(4，1)，所以x=-6，y=0，即D(-6，0). 10.已知向量AB =(6，1)，BC =(x ，y)，CD =(-2，-3)，当BC ∥DA 时，求实数x 、y 应满足的关系. 解:DA =-AD =-(AB +BC +CD )=-［(6，1)+(x ，y)+(-2，-3)］ =(-x-4，-y+2)，BC =(x ，y).当∥DA 时，x(-y+2)-y(-x-4)=0，化简得y=-21x. 所以当BC ∥DA 时，x 、y 应满足y=-21x.11.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时，k a +b 与a -3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解法一:k a +b =k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)， a -3b =(1，2)-3(-3，2)=(10，-4).当k a +b 与a -3b 平行时，存在唯一实数λ 使k a +b =λ(a -3b ).由(k-3，2k+2)=λ(10，-4)，∴⎩⎨⎧-=+=-.422,103λλk k解之,得k=-31，λ=-31. 当k=-31时，k a +b 与a -3b 平行，这时k a +b =-31a +b . ∵λ=-31＜0，∴-31a +b 与a -3b 反向.解法二:由解法一知k a +b =(k-3，2k+2)， a -3b =(10，-4)，∵(k a +b )∥(a -3b )， ∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0.解得k=-31，此时k a +b =(-31-3，-32+2)=(-310，34)=-31(10，-4)=-31(a -3b ). ∴当k=-31时，k a +b 与a -3b 平行并且反向.12.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A(1，0)、B(4，3)、C(2，4)、D(0，2).证明四边形ABCD 是梯形. 证明:∵AB =(4，3)-(1，0)=(3，3)，CD =(0，2)-(2，4)=(-2，-2)，∴AB =-23CD ，故AB 与CD 共线，即AB ∥CD .∴AB ∥CD. ∵AD =(0，2)-(1，0)=(-1，2)，BC =(2，4)-(4，3)=(-2，1)，又∵(-1)×1-2×(-2)≠0， ∴AD 不平行于BC. ∴四边形ABCD 是梯形.13.(2005 上海)已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,AB =2i +2j (i 、j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x 2-x-6. (1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)>g(x)时,求函数)(1)(x f x g +的最小值. 解:(1)由已知得A(-kb,0)、B(0,b),则AB ={kb ,b},于是kb=2,b=2. ∴k=1,b=2.(2)由f(x)>g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0,得-2<x<4,21225)(1)(2+++=+--=+x x x x x x f x g -5,由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立. ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3.。
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2.2.3 向量的数乘
5分钟训练（预习类训练,可用于课前）
判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由:
(1)向量a 与向量b 平行，则向量a 与向量b 方向相同或相反；
(2)向量AB 与向量CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；
(3)若干个向量首尾相连，形成封闭图形(即向量链)，则这些向量的和等于0；
(4)起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等的向量.
解:(1)不正确.因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不确定.
(2)不正确.若向量
AB 与向量CD 是共线向量，则向量AB 与向量CD 在同一条直线上，或者向量AB 与向量所在的直线平行，因此，A 、B 、C 、D 四点不一定在一条直线上.
(3)正确.
(4)正确
10分钟训练（强化类训练,可用于课中）
1.若3m +2n =a ，m -3n =b ，其中a 、b 是已知向量，求m 、n .
思路解析:此题可把已知条件看作向量m 、n 的方程，通过方程组的求解获得m 、n .在此题求解过程中，要利用实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，与解向量的二元一次方程组的方法和解实数的二元一次方程组的方法是一致的.
解:记3m +2n =a ， ① m -3n =b ， ② 3×②得3m -9n =3b . ③ ①-③得11n =a -3b .
∴n =
111a -11
3b . ④ 将④代入②,有m =b +3n =113a +112b . 2.在平行四边形ABCD 中，AC =a ，BD =b ，求AB 、AD .
思路解析:由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量；也可用所求向量表示已知向量，联立方程组，求得所求向量.
解法一:利用平行四边形的性质，得OA =21AC =2
1a ， =21BD =2
1b . ∵
AB =OA +OB =OA -BO ， ∴AB =21a -2
1b .
又∵AD =OA +OD ,OD =21BD ， ∴AD =21a +21b . 解
法二:将AB 、AD 视为未知量，由向量的加法、减法,得
⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,
,BD AB AD AC BC AB 两式相加得2
AD =AC +BD , ∴AD =2
1AC +21BD =21a +21b . 两式相减得2
AB =AC -BD , ∴AB =2
1AC -21BD =21a -21b . 3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际航行速度.
思路解析:用向量法解决物理问题的步骤为:(1)用向量表示物理量;(2)进行向量运算;(3)回扣物理问题，解决问题.本题求速度，可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可. 解:如图，OA 表示水流速度，OB 表示船垂直于对岸方向行驶的速度，OC
表示船的实际航行速度，∠AOC=30°,|
OB |=5，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴|OA |=|AC |cot30°=35，
.102
33530cos ||||=== OA OC
∴水流速度为35km/h,船的实际航行速度为10 km/h. 4.用向量方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半. 证明:如图所示，在△ABC 中，
∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，
∴AD =21AB ，AE =2
1AC . ∴DE =AE -AD =21(AC -AB )=2
1BC . 又D 不在BC 上，
∴DE ∥BC ，且DE=
21BC. 志鸿教育乐园
腹部的疤痕
5岁的女儿不明白妈妈的肚皮为什么有一个疤痕，妈妈向女儿解释说：“这是医生割了一刀，把你取出的地方.”
女儿认真想了一会儿，很认真地问妈妈：“那你为什么要吃掉我？”
30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）
1.若3x -2(x -a )=0，则x 等于( )
A.2a
B.-2a
C.52a
D.-5
2a 思路解析:这是一个简单的向量多项式的运算，通过移项、合并同类项可以得到正确答案. 答案:B
2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A.a 与-λa 的方向相反
B.|-λa |≥|a |
C.a 与λ2a 的方向相同
D.|-λa |=|λ|a
思路解析:如果λ>0,则a 与-λa 的方向相反，如果λ<0，则a 与-λa 的方向相同，A 错；如果|λ|<1，则|-λa |<|a |，B 错；|-λa |是一个大于或等于零的实数，而|λ|a 是向量，它们之间不能比较大小，D 错.
答案:C
3.如图2-2-11，
ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN=3
1BD.求证:M 、N 、C 三点共线.
图2-2-11 证明:设AB =a ，BC =b ， 则MN =MB +BN
=21a +31(-a +b )=61a +31b ， MC =MB +BC =21a +b ， 所以MC =3MN .
所以M 、N 、C 三点共线.
4.设x 是未知向量，满足
3
1x +3a -125b =0，求x . 解:原方程可变形为31x =-3a +12
5b ， ∴x=3(-3a +125b )=-9a +45b . 5.如图2-2-12所示，在△ABC 中，
AB =a ，BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG .
图2-2-12
解法一:∵
AB =a ，BC =b ， 则BD =21BC =21b ，
∴
AD =AB +BD =a +21b ，而AG =32AD . ∴AG =32a +3
1b .
解法二:过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F 两点.
∵△AEF ∽△ABC ，
AE =32
AB =32
a ，EF =32
=32
b ，=21
EF =31
b ， ∴AG =AE +EG =32
a +31
b .。