有限元第二章(2)

Um
t xy
sx
vi
Ui
ex*£¬ y*£¬ xy* e g
v m*
vi *
Ui *
i
(a)½ µ Á ¡ Ä ² Ó Á á ã ¦ ¢ Ú ¿ ¦ ¦
m
Um
*
i
(b)Ð Î Ò ¡ Ð Ó ± é » Æ ¢ é ¦ ä
2-6 单元刚度矩阵
考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：
Ui V i Uj F Vj U m Vm
δ
* e
e *
2-6 单元刚度矩阵
令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为
T ui Ui vi Vi uj Uj vj Vj u m U m v m Vm
Ui Vi Uj Vj U m Vm
*
*
*
*
*ห้องสมุดไป่ตู้
*
ui

*
vi
*
uj
*
vj
*
um
*
vm
*

δ
*

eT
F
e
2-6 单元刚度矩阵
计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx 和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。
(a)Ê ¼ Ó Á µ Ê ¦ ¦
syt dx
sxt dy
dy dx
t xyt dx
sxt dy
ε
eT
* T
(B δ
e
* e T
)
* eT
δ
T * e
[B]
T

*
F
e



T
[B] stdxdy
T
F
ζ [B] tdxdy
2-6 单元刚度矩阵
接上式，将应力用结点位移表示出
有
令 则
DB ζ δ
F
单元刚度矩阵的性质： 例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设 1、求[B]
y j(0,a) a x i(a,0)
1 1 B 0 a 0
0
0 0 0 0 0 1 1 0
2、求[D] 3、求[S]
1 1 0 1 1 0 0 D E 0 1 0 0 0 0.5
F K δ
e e
e
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义： 将 Fe 写成分块矩阵 Fi
K ii Fj K ji K mi Fm
ij j
Kij K jj K mj
Kim K jm K mm
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
结点力和结点位移的关系：(以简单平面桁架为例)
A D P A P
B
C
平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合 体在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力 与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。 结点力和结点位移的关系前面已经求出：
s x s sy t xy
任意虚设位移，结点位移与内部应变为
u * i * v i u j* * vj u * m * v m
e * x * ey * g xy
* * *
*
*
*



整个弹性体的内力虚功为
U

dU
ε
*
T
tdxdy ζ
2-6 单元刚度矩阵
根据虚功原理，得

*
eT
F
e

e
*
T
stdxdy
这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之 间的平衡方程。 虚应变可以由结点虚位移求出： 代入虚功方程
K mi
K δ K δ K
i
jj mj
δ K δ δ K δ δ K δ
j m j mm m

2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义： e e 均展开成 将结点力列矩阵 F 与结点位移列矩阵 (6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵：
3、解方程组，求出结点 位移；(消去法与叠加法) 4、根据结点位移求出应 力。
a
a
dy dx
t xyt dy dy
syt dx
dx
t xyt dy
(b)Ð É Ó ± é è ¦ ä
ey*dy
dy dx dx
g xy*
dy
t xyt dx
dy
g xy *
dx
ex*dx
2-6 单元刚度矩阵
微小矩形的内力虚功为
dU (ζ xtdy) (ε x dx) (ζ ytdx) (ε y dy) (η xytdx) (γ xy dy) (ε x ζ x ε y ζ y γ xy η xy )tdxdy ζ x * T * * * tdxdy ε ζ ε x ε y γ xy ζ y tdxdy η xy
元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-” 的表示垂直方向。
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
Ur

S i, m j,
(K r s us K rsvs )(r i,j, m)
Vr

S i, m j,
(K r s us K rsvs )(r i,j, m)
imi jm
δi j δ δ m
m
写成普通方程
Fi
j
F K
Kii δ i
ji i
其中 K rs 表示结点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在结点 r(r=i,j,m)上所需要施加的结点力的大小。
Fi
Ui K i i K Vi ii Uj K j i K Vj j i U m K m i Vm K m i K ii K i j Kii K ji K mi K mi Ki j Kj j K mj K mj K ji K j j K ij K im Kij K jj K mj K mj Kim K jm K mm K mm K jj K jm K im Kim K jm K jm K mm K mm ui vi uj vj u m v m
2-6 单元刚度矩阵
F
e

δ [B] [D][B]tdxdy
T
e
由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的 元素也是常量，且 dxdy A 因此 e e F [B]T[D][B]tA δ
K [B]T[D][B]tA
e
可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元 刚度矩阵。
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
已经求出了下列关系
Fe
(6)
s
e
e
BTt A
(6w 3) ¨
(3)
D
(3)
B
(3w 6) ¨
(3w 3) ¨
S [ D [ B] ]
(3w 6) ¨
K e [ B] T[ D [ B]t A ]
(6w 6) ¨
e T
e
e
[B] [D][B]tdxdy δ
K
e
[B] [D][B]tdxdy
T
F K δ
e e
e
建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， Ke 称 为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点 沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的 形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随 单元或坐标轴的平行移动而改变。
单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。 K r s，K rs，K r s，K rs 表示结点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向 产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平 结点力和垂直结点力的大小。例如K i j 表示结点j在垂直方 向产生单位位移时，在结点i所需要施加的水平结点力的大小。
0 1 1
m(0,0)
a
4、求 K
K
e
e
1 0 0 0 1 0 E S 0 0 0 1 0 1 a 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5
0 .5 .5 0 .5 .5 0 .5 .5 0 .5 .5 0 0 0 1 0 1 1 .5 .5 0 1. 5 .5 0 .5 .5 1 .5 1.5
1 0 Et 0 2 0 1 0
2-8 整体分析
将各单元组合成结构，进行整体分析。
1
Py1
a
Ù ¢
2
Py3
3
整体分析分4个步骤 1、建立整体刚度矩阵； F K 2、根据支承条件修改整 体刚度矩阵；
Px3
Px2
a
Û ¢ Ú ¢
4 5
Ü ¢
6
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的性质：
1)对称性： K
2)奇异性： K
e
是对称矩阵
是奇异矩阵， K
e
e
0
单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶 数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元 素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。