第1章本章整合

专题 2
垂直问题
直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线和平面相交、平面和 平面相交的特殊情况.对这两种情况的认识,可以从已有的线线垂直、 线面垂直关系出发进行推理和论证.无论是线面垂直还是面面垂直, 都源于线线垂直,这种“降维”的思想方法很重要.在处理实际问题时, 可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论“反探”所需的关系, 从而架设已知和未知的桥梁.下图是垂直关系相互转化的示意图.
1 的中点,BC= AD=1,则 2
AD=2,
专题 4
几何体的表面展开图
常见的几何体中,除了球的表面无法展开在一个平面内,其余几 何体的表面展开后,均为一个平面图形,由此产生的表面展开图将空 间问题化归为平面问题,转化过程中一般采用“化曲为直”“化折为 直”的方法.
【应用】 如图,已知在圆锥 SO 中,底面半径 r=1,母线长 l=4,M 为 母线 SA 上的一个点,且 SM=x,从点 M 拉一根绳子,围绕圆锥侧面转 到点 A,求:
图③
∵ 在△A 1 BA 中,P,M 分别是 A 1B 和 AB 的中点,∴ PM∥A 1A. 又 A 1 A∥B 1 B,∴ PM∥B 1B. 同 理 ,MQ∥BC, 且 PM∩MQ=M,B 1B∩BC=B,∴ 面 PMQ∥ 平 面 平 BCC1 B 1 . 又 PQ⫋ 平面 PMQ,∴ PQ∥平面 BCC1 B 1 .
=3πr h1 +πr h2 =3π×3 ×4+π×3 ×5=12π+45π=57π. 答案:C
1
2
2
1
2
2
2(2012·四川文科卷)下列命题正确的是(
)
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面 平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交 线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
在垂直的判定定理和性质定理中,有很多限制条件,如“相交直 线”“线在面内”“平面经过一直线”等.这些条件一方面有很强的约 束性;另一方面又为证明指出了方向.在利用定理时,既要注意定理的 严谨性,又要注意推理的规律性.空间中的垂直关系是比平行关系更 重要更灵活多变的一种重要关系.“转化”“降维”是重要的思想方法 和解题技巧,应在学习中提炼这些方法.
【应用 1】关于直线 m,n 与平面 α,β,有下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β,且 α∥β,则 m∥n; ②若 m⊥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m⊥n; ③若 m⊥α,n∥β,且 α∥β,则 m⊥n; ④若 m∥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m∥n. 其中真命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 答案:D
(1)证明:由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1.又 DC1⫋ 平面 ACC1A1,所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45° ,所以∠CDC1=90° DC1⊥DC. ,即 又 DC∩BC=C,所以 DC1⊥平面 BDC.又 DC1⫋ 平面 BDC1, 故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)解:设棱锥 B DACC1 的体积为 V1,AC=1. 由题意得 V1= ×
【应用 2】如图所示,已知 P,Q 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心.证明:PQ∥平面 BCC1B1.
提示:判定线面平行往往利用线面平行的判定定理(线∥线⇒ 线∥面) 或利用面面平行的性质定理(面∥面⇒ 线∥面). 证明:证法一:如图①,取 B 1 B 中点 E,BC 中点 F,连接 PE,QF,EF, ∵ 在△A 1 B 1B 中,P,E 分别是 A 1B 和 B1 B 的 中点,∴ PE������ A 1 B1 .同理,QF������ AB. 又 A 1 B1 ������AB,∴ PE������QF. ∴ 四边形 PEFQ 是平行四边形.∴ PQ∥EF. 又 PQ⊈ 平面 BCC1 B 1 ,EF⫋ 平面 BCC1 B 1 , ∴ PQ∥平面 BCC1 B1 .
1 2
.
又展开图为半圆,∴ πl=2πr, ∴ r=1,故圆锥的高为 3,体积 答案:
3π 3 1 2 3π V=3πr h= 3 .
4(2012·江苏卷)如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A BB1D1D 的体积为 cm3.
解析:由已知可得,������������B������1 ������1 D = ������������1 ������1 ������1 ADB = × ������������1 ������1 ������1 ������1 ABCD =
∵ a∥α,∴ a∥c,∵ a∥β,∴ a∥d,∴ d∥c, ∵ α,d⊈ α,∴ c⫋ d∥α, 又∵ β,∴ d⫋ d∥b,∴ a∥b,选项 C 正确; 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选 项 D 不正确. 答案:C
3(2012·上海理科卷)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的 半圆面,则该圆锥的体积为 解析:如图,由题意知 πl2 =2π,∴ l=2.
解:(1)在△ADB 转动过程中,总有 AB⊥CD. 证明:取 AB 的中点 O,连接 CO,DO, 因为 AC=BC,且 AO=BO, 所以 CO⊥AB.同理,DO⊥AB. 又 CO∩DO=O,所以 AB⊥平面 OCD. 所以 AB⊥CD.
(2)当平面 ADB⊥平面 ABC 时, 由(1)知,DO⊥AB,平面 ADB∩平面 ABC=AB,DO⫋ 平面 ADB,则 DO⊥平面 ABC.所以 DO⊥OC,即△OCD 为直角三角形. 又 AB=2,AC=BC= 2,则△ABC 为等腰直角三角形, 所以 OC=1. 在正三角形 ABD 中,OD= 3,则 CD= 1 + 3=2.
专题 3
平面图形的折叠问题
把一个平面图形按某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图 形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题. 在解决这类问题时,要求既会由平面图形想象出空间形体,又会 准确地用空间图形表示出空间物体;既会观察、 分析平面图形中各点、 线、面在折叠前后的相互关系,又会对图形进行转化. 解决折叠问题,要注意折叠前后的变量与不变量,折叠前后同一 半平面内的数量关系与位置关系均不发生改变.
(1)绳子的最短长度的平方 f(x); (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离; (3)f(x)的最大值.
提示:将圆锥侧面沿母线 SA 展开,转化为平面问题. 解:将圆锥的侧面沿 SA 展开在平面上,如图,则该展开图为扇形, 且弧 AA'的长度 L 就是☉O 的周长,
∴ L=2πr=2π. ∴ ∠ASA'=
解析:此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体,其左视 图可以是一个由等腰三角形及其底边上的高构成的平面图形,故选 D. 答案:D
(
1(2012·广东理科卷)某几何体的三视图如图所示,它的体积为 )
A.12π B.45π C.57π D.81π
解析:由三视图知该几何体是由圆锥和圆柱构成的组合体,示意图如 图所示,则该几何体的体积为 V=V 圆锥+V 圆柱
【应用 2】在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2,等边三角形 ADB 所 在的平面以 AB 为轴可转动.
(1)在△ADB 转动过程中,是否总有 AB⊥CD?请证明你的结论; (2)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求 CD 的长.
提示:(1)证明 AB 垂直于 CD 所在的一个平面;(2)把面面垂直转 化为线线垂直,在直角三角形中求解.
【应用 1】设 α,β,γ 为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的 直线,给出下列四个命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ②若 m⫋ α,n⫋ α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α∥β,l⫋ α,则 l∥β; ④若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①显然不正确;②要保证 m,n 相交才有 α∥β,故不正确;③ 两个平面平行,在一个平面内的任意直线都与另一平面平行,故正 确;④∵ l∥γ,β∩γ=m,l⫋ l∥m,又 l⫋ β,∴ α,l∥γ,α∩γ=n,∴ l∥n,进而有 l∥m∥n,故正确. 答案:B
������ 2π ×360° = ×360° =90° . 2π������ 2π×4
(1)由题意知,绳长的最小值为展开图中线段 AM 的长度,其值 为 AM= ������ 2 + 16(0≤x≤4),∴ f(x)=AM2=x2 +16(0≤x≤4). (2)绳子最短时,在展开图中作 SR⊥AM,垂足为 R,则 SR 的长度 为顶点 S 到绳子的最短距离. 在△SAM 中,∵ △SAM =2SA·SM=2AM·SR, S ∴ SR=
2 1 × ×3×3×2=6(cm3). 3 2
2 3
2 3
1 2
答案:6
5(2012·课标全国文科卷)如图,三棱柱 ABC A1B1C1 中,侧棱垂直 底面,∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点.
1 2
(1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
专题 1 平行问题
在解决线面平行、面面平行的问题时,利用判定定理,一般遵循 从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面 面平行”,而利用性质定理时,其顺序相反,且“高维”的性质定理就是 “低维”的判定方法.特别注意,转化的方法总是由具体题目的条件决 定,不能过于呆板僵化,遵循规律而不受制于规律.如图是平行关系相 互转化的示意图.
解析:若两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线可平行、 可异面、可相交,选项 A 错; 如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面 的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项 B 不正确; 如图,平面 α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线 a 作平面 ε∩α=c,过直线 a 作 平面 γ∩β=d,