2020届四川省成都市双流区双流棠湖中学高三上学期期末数学(理)试题(解析版)

2020届四川省成都市双流区双流棠湖中学高三上学期期末数学（理）试题一、单选题 1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】试题分析：由,得，所以得在复平面内对应的点的坐标为是第一象限的点,故选A.【考点】1、复数的基本运算；2、复数的几何意义.2．圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A ．(1,1)- B ．1(,1)2-C ．(1,2)-D ．1(,1)2-- 【答案】D【解析】将222100x y x y +++-=化为圆的标准方程可看出圆心坐标. 【详解】将222100x y x y +++-=配方,化为圆的标准方程可得()2211451110244x y ⎛⎫+++=++= ⎪⎝⎭, 即可看出圆的圆心为1(,1)2--. 故选：D. 【点睛】本题考查了圆的一般式方程化为标准方程的运算,属于基础题.3．2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）A ．17.5和17B ．17.5和16C ．17和16.5D ．17.5和16.5【答案】D【解析】根据茎叶图将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列,再根据中位数和平均数的概念可得答案. 【详解】根据茎叶图的概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32, 再根据中位数的概念可得中位数为17.5, 根据平均数的概念可得平均数为23513171718192123283212+++++++++++16.5=.故选:D 【点睛】本题考查了茎叶图的概念,中位数和平均数的定义,将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列是答题的关键,属于基础题.4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（ ） A ．44号 B ．294号C ．1196号D ．2984号【答案】B【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有300020015÷=人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可. 【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又294842101514-==⨯.其他选项均不满足. 故选：B 【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型. 5．已知直线1:220l x y +-=，2:410l ax y ++=，若12l l ，则实数a 的值为（ ）A ．8B ．2C ．12-D ．-2【答案】A【解析】利用两条直线平行的充要条件求解．：∵直线l 1：2x+y-2=0，l 2：ax+4y+1=0，l 1∥l 2， ∴21 4a =， 解得a=8． 故选A . 【点睛】】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．6．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】模拟运行过程，依次计算S ，直到退出循环为止. 【详解】由图1nS S n -=+（），模拟执行程序得程序框图的功能是计算0...1122+3n S n =++--≥-（）时的n 的值，.模拟程序的运行，可得 S ＝0，n ＝1，执行循环体，S ＝﹣1，不满足条件S ≥2，n ＝2， 执行循环体，S ＝1，不满足条件S ≥2，n ＝3， 执行循环体， S 2=-，不满足条件S ≥2，n ＝4， 执行循环体，S ＝2，满足条件S ≥2，退出循环，输出n 的值为4． 故选：D ．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．设2:log 0p x <，:33x q ≥，则p 是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件【答案】A【解析】首先求命题表示的两个集合，根据集合的包含关系，判断充分必要条件. 【详解】2log 001x x <⇒<<，:01p x ∴<< 331x x ≥⇒≥，:1q x ∴≥ ，:1q x ⌝<{}{}011x x x x ≠<<⊂≥，∴ p 是q ⌝的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题考查判断命题的充分必要条件，意在考查基本方法和基本计算能力，属于基础题型，当命题是集合形式时，:p x A ∈，:q x B ∈，若A B ≠⊂时，p 时q 的充分不必要条件，同时，q 是p 的必要不充分条件，若A B =，则互为充分必要条件. 8．若函数()22f x x ax =-+与()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围 （ ） A ．()()1,00,1- B ．()(]1,00,1-C ．()0,1D ．(]0,1【答案】D 【解析】【详解】 对于，开口向下，对称轴为若函数在区间[]1,2上都是减函数，则区间[]1,2在对称轴的右侧，所以可得：；对于，其相当于将的图象向左平移个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是9．已知两点A （－2，0），B （0，2），点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是（ ）A ．32B ．32C ．3－22D ．322- 【答案】A【解析】试题分析：圆C 的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)D ，半径为1，直线AB 方程为122x y+=-，即20x y -+=，D 到直线AB 的距离为1023222d -+==，点C 到AB 的距离的最小值为3212-，22AB =，所以ABC ∆面积最小值为1(1)322S =⨯-=-．故选A ． 【考点】点到直线的距离．10．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则关于,x y 方程组228040ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩，有实数解的概率为（ ） A ．29B ．79C ．736D ．936【答案】B【解析】利用圆心到直线的距离不大于半径可得,a b 的不等式关系，从而得到方程组有解的(),a b 个数，利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】因为方程组228040ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩有解，故直线80ax by +-=与圆224x y +=有公共点，2≤即2216a b +≥，当1a =时，4,5,6b =，有3种情形； 当2a =时，4,5,6b =，有3种情形； 当3a =时，3,4,5,6b =，有4种情形；当4,5,6a =时，1,2,3,4,5,6b =，有18种情形；故方程有解有28种情形，而(),a b 共有36种不同的情形，故所求的概率为287369=. 故选：B. 【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.11．如图，12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两 支分别交于点A B 、．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4B ．7C ．233D ．3【答案】B 【解析】2ABF 为等边三角形，不妨设22AB BF AF m ===A 为双曲线上一点，12112F A F A F A AB F B a -=-==B 为双曲线上一点,212122,4,2BF BF a BF a F F c -===由21260,120ABF F BF ∠=︒∴∠=︒ 在12F BF 中运用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+-⨯⨯⨯︒227c a = 27e =,7e ∴=故答案选B点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角120︒，再利用余弦定理计算出离心率。

12．如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长、宽、高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）A ．2563πB ．23πC ．323πD ．36π【答案】C【解析】根据三棱锥的体积关系可得6mn =,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得2224R m n =++,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值. 【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n ,所以112232n m ⋅⋅⋅⋅=,所以6mn =, 又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线, 设外接球的半径为R ,所以2224R m n =++, 所以2241244R mn ≥+=+=,当且仅当6m n ==时,等号成立,所以2R ≥,所以该三棱锥外接球体积为343R π3432233ππ≥⨯=. 故选:C 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件10101x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最小值为________.【答案】－3【解析】作出可行域，目标函数过A 点时，取得最小值. 【详解】作出可行域如图表示：目标函数2z x y =-，化为2y x z =-， 当2y x z =-过点A 时，z -取得最大值， 则z 取得最小值，由11y x y =+⎧⎨=-⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，即(2,1)A --，2z x y ∴=-的最小值为3-.故答案为:3- 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.14．斜率为2的直线l 经过抛物线28y x =的焦点F ,且与抛物线相交于,A B 两点,则线段AB 的长为__________. 【答案】10【解析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：A B x x p ++，即可求解出过焦点的弦长AB . 【详解】因为焦点()2,0F ，所以():22l y x =-，联立直线与抛物线可得：2824y x y x ⎧=⎨=-⎩，所以2424160x x -+=即2640x x -+=，所以6A B x x +=，所以6410A B AB x x p =++=+=. 故答案为：10. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法： (1)直接利用弦长公式：AB ==(2)利用焦半径公式简化计算：22A B A B p pAB x x x x p =+++=++. 15．若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____.【答案】12-【解析】根据题意，求出3y x =的导数，计算可得1|x y ='的值，由导数的几何意义可得tan 3α=，由三角函数的恒等变形公式可得222222sin cos 12tan cos sin 21cos sin cos tan ααααααααα---==++，代入数据计算可得答案．【详解】解：根据题意，曲线3y x =，其导数23y x '=， 1|3x y =∴'=，tan 3α∴=，则22222222sin cos 12tan 1231cos sin 22sin cos 1312cos cos sin cos tan αααααααααααα---⨯-=-====-+++；故答案为：12- 【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题．16．若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点()2,1作圆224x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为 . 【答案】【解析】设，圆224x y +=的圆心为，则是圆224x y +=与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为，又因为焦点在x 轴上，则，，，所以椭圆方程为.【考点】直线圆的位置关系、椭圆的标准方程.三、解答题17．某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入x （单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益y （单位：百万元） 2327表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y 关于x 的回归方程.附公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）2;（2）5;（3） 1.20.2y x =+.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值； （Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知()0.080.10.140.120.040.020.51m m +++++⋅==，故2m =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是[)[)[)[)[)[]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12， 其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， 故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．由题意可知，1234535x ++++==，232573.85y ++++==，51122332455769i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑， 根据公式，可求得26953 3.8121.2555310ˆb-⨯⨯===-⨯， 3.8 1.230ˆ.2a =-⨯=， 即回归直线的方程为 1.2.2ˆ0yx =+． 【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题． 18．已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =--，()x R ∈ （1）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最小值和最大值； （2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且3c =，()0f C =，若向量(1,sin )m A =与向量(2,sin )n B =共线，求,a b 的值.【答案】（1）最大值为3-，最小值为0；（2）1,2a b ==【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式及化一公式，化简()f x 的表达式，再结合正弦函数的图象，在给定区域上求最值；（2）由()0f C =，解得C 角，利用共线条件及正弦定理得到b=2a ，再利用余弦定理解得,a b 的值. 试题解析： （1）当 ，即时，有最小值为当，即时，有最大值为(2)与向量共线由正弦定理得①，由余弦定理可得②①②联立可得点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：（1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.（3）求结果.19．如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =。