2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第五章 四边形 第1部分 课时23
中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第五章 四边形 第特殊的平行四边形课件
点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝
°时，四边形BECD
是矩形．
12/9/2021
第二十九页，共六十四页。
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠OEB＝∠ODC. 又∵O为BC的中点， ∴＝. 在△BOE和△COD中，
【答案】 (1)BO，CO，OE，OD(方法不唯一) (2)∠BCD，∠BDC，OD，∠ODB(方法不唯一)
12/9/2021
第三十二页，共六十四页。
证明一个四边形是矩形的常用方法有：(1)首先证明这个 四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角或者证明其对 角线相等；(2)直接证明四边形有三个角都是直角.注意不能将 两个判定方法相混淆.
12/9/2021
第二十四页，共六十四页。
命题(mìng 正方形的性质(xìngzhì)与判定(8年4考) tí)点3 7．(2017·河南 9 题)我们知道：四边形具有不稳定性．如图，
在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB
在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O.固定点 A，B，把正方
12/9/2021
第三十八页，共六十四页。
(2)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝ . ∵△ADE≌△CDF， ∴AE＝ ， ∴BE＝ ， ∴∠BEF＝∠BFE.
【答案】 (1)CD，∠C，∠CFD，∠CFD，∠C，CD (2)CB，CF，BF
12/9/2021
第三十九页，共六十四页。
证明一个四边形是菱形的常用方法有：(1)首先证明这个 四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等或者对角线互 相垂直；(2)直接证明四边形的四条边都相等.注意不能将两个 判定方法混淆.
2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第二章 方程(组)与不等式(组) 第1部分 课时7
第一部分第二章课时7
命题点一元二次方程根的判别式
1．(2018·福建)已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是(D)
A．1一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
B．0一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
C．1和－1都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
D．1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
拓展训练
2．(2019·泉州质检)关于x的一元二次方程x2－mx－1＝0的根的情况是(A)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
3．(2019·厦门质检)若方程(x－m)(x－a)＝0(m≠0)的根是x1＝x2＝m，则下列结论正确的是(A)
A．a＝m且a是该方程的根
B．a＝0且a是该方程的根
C．a＝m但a不是该方程的根
D．a＝0但a不是该方程的根。
2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第五章 四边形 第1部分 课时23
第一部分 第五章 课时23命题点 矩形的判定与性质及相关计算1．(2019·福建)如图，点E ，F 分别是矩形ABCD 的边 AB ，CD 上的点，且DF ＝BE . 求证：AF ＝CE .第1题图证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝CB .在△ADF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AD ＝CB ，∠D ＝∠B ，DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE (SAS)，∴AF ＝CE .2．(2017·福建)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，P ，E 分别是线段AC ，BC 上的点，且四边形PEFD 为矩形．第2题图(1)若△PCD 是等腰三角形，求AP 的长；(2)若AP ＝2，求CF 的长．解：(1)在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，AD ＝8，∠ADC ＝90°，∴DC ＝AB ＝6，AC ＝AD 2＋DC 2＝10.要使△PCD 是等腰三角形，则分以下三种情况：①当CP ＝CD 时，AP ＝AC －CP ＝10－6＝4.②当PD ＝PC 时，∠PDC ＝∠PCD .∵∠PCD ＋∠P AD ＝∠PDC ＋∠PDA ＝90°，∴∠P AD ＝∠PDA ，∴PD ＝P A ，∴P A ＝PC ，∴AP ＝12AC ＝5. ③当DP ＝DC 时，如答图1，过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，则PQ ＝CQ .∵S △ADC ＝12AD ·DC ＝12AC ·DQ ， ∴DQ ＝AD ·DC AC ＝245， ∴CQ ＝DC 2－DQ 2＝185，∴PC ＝2CQ ＝365， ∴AP ＝AC －PC ＝10－365＝145. 综上，若△PCD 是等腰三角形，则AP 的长为4或5或145. (2)如答图2，连接PF ，DE ，设PF 与DE 交于点O ，连接OC .第2题答图∵四边形ABCD 和四边形PEFD 都是矩形，∴∠ADC ＝∠PDF ＝90°，∴∠ADP ＋∠PDC ＝∠PDC ＋∠CDF ，∴∠ADP ＝∠CDF .∵∠BCD ＝90°，OE ＝OD ，∴OC ＝12ED . 在矩形PEFD 中，∵PF ＝DE ，∴OC ＝12PF . ∵OP ＝OF ＝12PF ，∴OC ＝OP ＝OF ， ∴∠OCF ＝∠OFC ，∠OCP ＝∠OPC .∵∠OPC ＋∠OFC ＋∠PCF ＝180°，∴2∠OCP ＋2∠OCF ＝180°，∴∠PCF ＝90°，∴∠PCD ＋∠FCD ＝90°.在Rt △ADC 中，∵∠PCD ＋∠P AD ＝90°，∴∠P AD ＝∠FCD ，∴△ADP ∽△CDF ，∴AP CF ＝AD CD ＝86＝43. ∵AP ＝2，∴CF ＝324.3．(2018·漳州质检)求证：对角线相等的平行四边形是矩形．(要求：画出图形，写出已知和求证，并给予证明)解：已知：如答图，在□ABCD 中，AC ＝BD .求证：□ABCD 是矩形．证明：设AC ，BD 交于点O .第3题答图∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵AC ＝BD ，∴OA ＝OC ＝OB ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠ABC ＝∠1＋∠2＝12×180°＝90°， ∴□ABCD 是矩形．4．(2019·泉州质检)如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AC ⊥BC 于点C .将△ABC 沿AC 翻折得到△AEC ，连接DE .(1)求证：四边形ACED 是矩形；(2)若AC ＝4，BC ＝3，求sin ∠ABD 的值．第4题图(1)证明：由折叠的性质，得BC ＝CE .在□ABCD 中 ，∵BC ＝AD ，BC ∥AD ，∴CE ＝AD ，AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形．∵AC ⊥BC ，∴∠ACE ＝90°，∴□ACED 是矩形．(2)解：方法一：在矩形ACED 中，AC ＝DE ＝4，∠DEC ＝∠ADE ＝90°.∵∠ACE ＝90°，由折叠的性质可知B ，C ，E 三点共线，∴BE ＝BC ＋CE ＝3＋3＝6.在Rt △BED 中，由勾股定理，得BD ＝62＋42＝52＝213.在Rt △ABC 中，同理可得AB ＝5.如答图1，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，∴S △ABD ＝12BD ·AF ＝12AD ·DE ， ∴12×213·AF ＝12×3×4，∴AF ＝61313.在Rt △AFB 中，sin ∠ABD ＝AF AB ＝613135＝61365.第4题答图方法二：由(1)得∠BED ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AC ＝4，CE ＝BC ＝3.在Rt △BED 中，由勾股定理，得BD ＝BE 2＋DE 2＝62＋42＝52＝213. 在Rt △ABC 中，同理可得AB ＝5.在□ABCD 中，AO ＝12AC ＝12×4＝2， BO ＝12BD ＝12×213＝13. 如答图2，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，则∠OF A ＝90°.∵∠OAF ＝∠BAC ，∠OF A ＝∠BCA ＝90°，∴△OAF ∽△BAC ，∴OF BC ＝OA BA ，即OF 3＝25，∴OF ＝65. 在Rt △OFB 中，sin ∠ABD ＝OF OB ＝6513＝61365.。
2020年中考数学一轮复习培优训练：《四边形》【有答案】
2020年中考数学一轮复习培优训练：《四边形》1．如图1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以为边作正方形，且AC＝3，EF＝．（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；（2）将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系．2．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．①求∠DAQ的度数；②若AB＝6，求PQ的长度．3．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．①求证：PM＝QN；②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝3，点E在边BC 上，tan∠AEC＝3，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，设DM＝x，AN＝y．（1）求BE的长；（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM 的长．5．如图1，已知直角梯形ABCO中，∠AOC＝90°，AB∥x轴，AB＝6，若以O为原点，OA，OC所在直线为y轴和x轴建立如图所示直角坐标系，A（0，a），C（c，0）中a，c 满足|a+c﹣10|+＝0（1）求出点A、B、C的坐标；（2）如图2，若点M从点C出发，以2单位/秒的速度沿CO方向移动，点N从原点出发，以1单位/秒的速度沿OA方向移动，设M、N两点同时出发，且运动时间为t秒，当点N从点O运动到点A时，点M同时也停止运动，在它们的移动过程中，当2S△ABN ≤S△BCM时，求t的取值范围：（3）如图3，若点N是线段OA延长上的一动点，∠NCH＝k∠OCH，∠CNQ＝k∠BNQ，其中k＞1，NQ∥CJ，求的值（结果用含k的式子表示）．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置？7．实践与探究在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证：△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．8．实践与探究在综合实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的探究．如图1，△ABC≌△DEF，其中∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4．（1）请直接写出EF＝；（2）新星小组将这两张纸片按如图2所示的方式放置后，经过观察发现四边形ACBF是矩形，请你证明这个结论．（3）新星小组在图2的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至如图3的位置，其中点E与AB的中点重合，连接CE，BF．请你判断四边形BCEF的形状，并证明你的结论．9．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，则BE，EF，DF之间的数量关系是．（2）如图2，若E，F分别是边BC，CD延长线上的点，其他条件不变，则BE，EF，DF之间的数量关系是什么？请说明理由．（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观察到舰艇甲、乙分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O连线的夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．10．平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，b），C（0，c），且满足：+（2b﹣a﹣c）2+|b﹣c|＝0，E、D分别为x轴和y轴上动点，满足∠DBE＝45°．（1）求A、B、C三点坐标；（2）如图1，若D为线段OC中点，求E点坐标；（3）当E，D在x轴和y轴上运动时，试探究CD、DE和AE之间的关系．11．【操作】如图①，在矩形ABCD中，E为对角线AC上一点（不与点A重合）．将△ADE 沿射线AB方向平移到△BCF的位置，E的对应点为点F，易知△ADE≌△BCF（不需要证明）【探究】过图①的点E作BG∥BC交FB延长线于点G，连结AG，其它条件不变，如图②．求证：△EGA≌△BCF【拓展】将图②中的△BCF沿BC翻折得到△BCF′，连结GF′，其它条件不变，如图③当GF′最短时，若AB＝4，BC＝2，直接写出FF′的长和此时四边形BFCF′的周长．12．如1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为AD上一点且AE＝6，连接BE．（1）将△ABE绕点B逆时针旋转90°至△ABF（如图2），且A、B、C三点共线，再将△ABF沿射线BC方向平移，平移速度为每秒1个单位长度，平移时间为t（s）（t≥0），当点A与点C重合时运动停止．①在平移过程中，当点F与点E重合时，t＝（s）．②在平移过程中，△ABF与四边形BCDE重叠部分面积记为S，求s与t的关系式．（2）如图3，点M为直线BE上一点，直线BC上有一个动点P，连接DM、PM、DP，且EM＝5，试问：是否存在点P，使得△DMP为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段BP的长；若不存在，请说明理由．13．在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．（1）如图1，连接AC，求证：AB∥CD；（2）如图2，在CB的延长线上取一点M，连接DM，在DM上取一点L，连接BL，当∠CBL＝2∠M时，求证：LB＝MB；（3）如图3，在（2）条件下，CE平分∠ACB交DM于E点，连接AE，当AE⊥CE，BL＝8时，求AC的长．14．阅读下面的例题及点拨，补全解题过程（完成点拨部分的填空），并解决问题：例题：如图1，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连结EM，易证△ABM≌△EBM（），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠＝∠；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°．问题：如图3，四边形ABCD的四条边都相等，四个角都等于90°，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是四边形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，且AM＝MN．求∠AMN的度数．15．在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），动点E 沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝3，∴AB＝3，过点C作CM⊥AB于M，连接CF，∴CM＝AM＝AB＝，∵四边形AGEF是正方形，∴AF＝EF＝，∴MF＝AM﹣AF＝﹣，在Rt△CMF中，CF＝＝＝；（2）CM＝FM，CM⊥FM，理由：如图2，过点B作BH∥EF交FM的延长线于H，连接CF，CH，∴∠BHM＝∠EFM，∵四边形AGEF是正方形，∴EF＝AF∵点M是BE的中点，∴BM＝EM，在△BMH和△EMF中，，∴△BMH≌△EMF（AAS），∴MH＝MF，BH＝EF＝AF ∵四边形AGEF是正方形，∴∠FAG＝90°，EF∥AG，∵BH∥EF，∴BH∥AG，∴∠BAG+∠ABH＝180°，∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CBH+∠CAG＝90°，∵∠CAG+∠CAF＝90°，∴∠CBH＝∠CAF，在△BCH和△ACF中，，∴△BCH≌△ACF（SAS），∴CH＝CF，∠BCH＝∠ACF，∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°，∴△FCH是等腰直角三角形，∵MH＝MF，∴CM＝FM，CM⊥FM；2．解：（1）如图1中，∵MN∥B′D′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝45°，∠C′NM＝∠C′D′B′＝45°，∴∠C′MN＝∠C′NM，∴C′M＝C′N，∵C′B′＝C′D′，'∴MB′＝ND′，∵AB′＝AD′，∠AB′M＝∠AD′N＝90°，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠B′AD′＝90°，∠MAN＝45°，∴∠B′AM＝∠D′AN＝22.5°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAB′＝22.5°，∴α＝22.5°．（2）①如图2中，∵∠AB′Q＝∠ADQ＝90°，AQ＝AQ，AB′＝AD，∴Rt△AQB′≌Rt△AQD（HL），∴∠QAB′＝∠QAD，∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，∴∠B′AD＝30°，∴∠QAD＝∠B′AD＝30°．②如图2中，连接AP，在AB上取一点E，使得AE＝EP，连接EP．设PB＝a．∵∠ABP＝∠AB′P＝90°，AP＝AP，AB＝AB′，∴Rt△APB≌Rt△APB′（HL），∴∠BAP＝∠PAB′＝15°，∵EA＝EP，∴∠EAP＝∠EPA＝15°，∴∠BEP＝∠EAP+∠EPA＝30°，∴PE＝AE＝2a，BE＝a，∵AB＝6，∴2a+a＝6，∴a＝6（2﹣）．∴PB＝6（2﹣），∴PC＝BC﹣PB＝6﹣6（2﹣）＝6﹣6，∵∠CPQ+∠BPB′＝180°，∠BAB′+∠BPB′＝180°，∴∠CPQ＝∠BAB′＝30°，∴PQ＝＝＝12﹣2．3．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，∴BP＝DQ，∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示：则∠QEN＝∠QNE，∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，在△PBM和△QDE中，，∴△PBM≌△QDE（AAS），∴PM＝QE＝QN．②解：由①知PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，则PC＝2，BC＝2PC＝4，∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2××42＝8；故答案为：8．4．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠AHC＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形AHCD是矩形，∴AD＝CH＝2，AH＝CD＝3，∵tan∠AEC＝3，∴＝3，∴EH＝1，CE＝1+2＝3，∴BE＝BC﹣CE＝5﹣3＝2．（2）延长AD交BM的延长线于G．∵AG∥BC，∴＝，∴＝，∴DG＝，AG＝2+＝，∵＝，∴＝，∴y＝（0＜x＜3）．（3）①如图3﹣1中，当点M在线段DC上时，∠BNE＝∠ABC＝45°，∵△EBN∽△EAB，∴EB2＝EN•AE，∴，解得x＝．②如图3﹣2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB＝∠ABE＝45°，∵△B NA∽△EBA，∴AB2＝AE•AN，∴（3）2＝•[+解得x＝13，综上所述DM的长为或13．5．解：（1）∵|a+c﹣10|+＝0，∴a+c﹣10＝0，且c﹣7＝0，∴c＝7，a+c＝10，∴c＝3，∴A（0，3），C（7，0），∵AB∥x轴，AB＝6，∴B（6，3）；（2）∴A（0，3），C（7，0），∴OA＝3，OC＝7，由题意得：ON＝t，CM＝2t，∴AN＝3﹣t，∵2S△ABN≤S△BCM，∴2××（3﹣t）×6≤×2t×3，解得：t≥2，∵当点N从点O运动到点A时，点M同时也停止运动，∴0≤t≤3，∴t的取值范围为2≤t≤3；（3）设AB与CN交于点D，如图3所示：∵AB∥OC，∴∠BDC＝∠OCD，∵∠BDC＝∠BND+∠ABN，∠CNQ＝k∠BNQ，∠NCH＝k∠OCH，∴∠BDC＝（k+1）∠BNQ+∠ABN，∠OCD＝（k+1）∠OCH，∴（k+1）∠BNQ+∠ABN＝∠OCD＝（k+1）∠OCH，∴∠ABN═（k+1）∠OCH﹣（k+1）∠BNQ＝（k+1）（∠OCH﹣∠BNQ），∵NQ∥CJ，∴∠NCJ＝∠CNQ＝k∠BNQ，∵∠HCJ+∠NCJ＝∠NCH＝k∠OCH，∴∠HCJ＝k∠OCH﹣∠NCJ＝k∠OCH﹣k∠BNQ＝k（∠OCH﹣∠BNQ），∴＝＝．6．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝AB，∵∠DEB＝90°，∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，在Rt△BDE中，BE＝BD，∵∠EDF＝120°，∠BDE＝30°，∴∠CDF＝180°﹣∠BDE﹣∠EDF＝30°，∵∠C＝60°，∴∠DFC＝90°，在Rt△CFD中，CF＝CD，∴BE+CF＝BD+CD＝BC＝AB，∵BE+CF＝nAB，∴n＝，故答案为：；（2）如图2，①，连接AD，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴∠DGB＝∠AGD＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠GDH＝360°﹣∠AGD﹣∠AHD﹣∠A＝120°，∵∠EDF＝120°，∴∠EDG＝∠FDH，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG＝DH，在△EDG和△FDH中，，∴△EDG≌△FDH（ASA），∴DE＝DF，即DE始终等于DF；②同（1）的方法得，BG+CH＝AB，由①知，△EDG≌△FDH，∴EG＝FH，∴BE+CF＝BG﹣EG+CH+FH＝BG+CH＝AB，∴BE与CF的和始终不变；（3）由（2）知，DE＝DF，BE+CF＝AB，∵AB＝8，∴BE+CF＝4，∴四边形DEAF的周长为L＝DE+EA+AF+FD＝DE+AB﹣BE+AC﹣CF+DF＝DE+AB﹣BE+AB﹣CF+DE＝2DE+2AB﹣（BE+CF）＝2DE+2×8﹣4＝2DE+12，∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DE⊥AB时，DE最小，此时，BE＝BD＝2，当点F和点C重合时，DE最大，此时，∠BDE＝180°﹣∠EDF＝120°＝60°，∵∠B＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BE＝BD＝4，综上所述，周长L取最大值时，BE＝4，周长L取最小值时，BE＝2．7．解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA＝5，OB＝3，∵四边形AOBC是矩形，∴OB＝AC＝3，OA＝BC＝5，∠C＝90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，∴AD＝OA＝5，在Rt△ACD中，CD＝＝＝4，∴BD＝5﹣4＝1，∴D（1，3）；（2）①由旋转可知，OA＝DA，∠AOB＝∠ADE＝90°，∴∠AOB＝∠ADB＝90°，在Rt△AOB与Rt△ADB中，，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）；②∵△ADB≌△AOB，∴BD＝BO＝AC，在△BDH与△ACH中，，∴△BDH≌△ACH（AAS），∴DH＝CH，∵DH+AH＝AD＝5，∴CH+AH＝5，设CH＝x，则AH＝5﹣x，在Rt△ACH中，（5﹣x）2＝x2+32，解得，x＝，∴BH＝5﹣＝，∴点H的坐标为（，3）．8．（1）解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE＝4，∠D＝∠A＝30°，∠ACB＝∠DFE＝90°，∴EF＝DE＝2；故答案为：2；（2）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF＝BF，BC＝EF＝AF，在四边形ACBF中，AC＝BF，BC＝AF，∴四边形ACBF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBF是矩形；（3）解：四边形BCEF是菱形；理由如下：由（2）可知：四边形ACBF是平行四边形，∴EF∥BC，EF＝BC，∵△DEF是沿AB方向平移的，∴EF∥BC，EF＝BC，∴四边形BCEF是平行四边形，∵点E是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝AB＝2，∴CE＝EF＝2，∴四边形BCEF是菱形．9．解：（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，如图1所示：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；（2）BE，EF，DF之间的数量关系是：EF＝BE﹣DF；理由如下：在CB上截取BM＝DF，连接AM，如图2所示：∵∠B+∠D＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠MAF＝2∠EAF，∴∠MAE＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE﹣BM＝BE﹣DF，即EF＝BE﹣DF；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，如图3所示：∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合（1）中的条件，即结论EF＝AE+BF成立，∴EF＝1.5×（60+80）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．10．解：（1）∵+（2b﹣a﹣c）2+|b﹣c|＝0，∴a＝4，b＝c，2b﹣a﹣c＝0，∴b＝4，c＝4，∴点A（4，0），点B（4，4），点C（0，4）；（2）如图1，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∵点A（4，0），点B（4，4），点C（0，4），∴OA＝OC＝BC＝AB＝4，∵D为线段OC中点，∴CD＝DO＝2，∵将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH＝2，∵∠DBE＝45°，∴∠CBD+∠EBA＝45°，∴∠EBA+∠ABH＝45°＝∠HBE＝∠DBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∵OH＝OA+AH＝4+2＝6，∴DE＝EH＝6﹣OE，∵DE2＝OD2+OE2，∴（6﹣OE）2＝4+OE2，∴OE＝，∴点E坐标为（，0）；（3）如图1，若点E在x轴正半轴，点D在y轴正半轴上，由（2）可知：DE＝EH，AH＝CD，∴DE＝AE+AH＝AE+CD，如图2，点E在x轴负半轴，点D在y轴正半轴，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH＝90°，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH，∵∠DBE＝45°，∴∠DBE＝45°＝∠HBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∴AE＝AH+EH＝CD+DE；如图3，点E在x轴正半轴，点D在y轴负半轴，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH＝90°，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH，∵∠DBE＝45°，∴∠DBE＝45°＝∠HBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∴CD＝AH＝AE+EH＝AE+DE．11．解：【探究】由平移可知：AE＝BF，AE∥BF，∴∠CBF＝∠ACB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ACB，∴∠AEG＝∠CBF，∵GE∥BC，AC∥BG，∴四边形EGBC是平行四边形，∴EG＝BC，∴△EGA≌△BCF（SAS）．【拓展】如图3中，连接BD交AC于点O，作BK⊥AC于K，F′H⊥BC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵•AB•CB＝•AC•BK，∴BK＝，∴OK＝＝＝，由题意四边形AGFC是平行四边形，∴GF＝AC＝2，∵BF＝BF′，可以假设BF＝x，则BG＝2﹣x，∵AC∥GF，∴∠BOK＝∠HBF′，∵∠BKO＝∠F′HB＝90°，∴△F′HB∽△BKO，∴＝＝，∴＝＝，∴F′H＝x，BH＝x，GH＝BG﹣BH＝2﹣x﹣x＝2﹣x，∴GF′＝＝＝，∵＞0，∴当x＝﹣＝时，GF′的值最小，此时点F′与O重合，可得FF′＝4，四边形BFCF′的周长为4．12．解：（1）①如图1中，连接EF．由题意EF＝AB＝BF＝6，∴t＝6时，点F与点E重合，故答案为6．②如图2﹣1中，当0＜t≤6时，重叠部分是△BMB′，S＝t2．如图2﹣2中，当6＜t≤10时，重叠部分是△AFB′，S＝×6×6＝18．如图2﹣3中，当10＜t≤16时，重叠部分是△AMC，S＝（16﹣t）2，综上所述，S＝．（2）如图3中，总MH⊥AD于H，交BC于G．∵AB＝AE＝6，∠A＝90°，∴BE＝6，∵EM＝5，∴BM＝，∴BG＝MG＝AH＝1，HM＝HE＝5，DH＝AD﹣AH＝9，∴DM＝＝＝，当DM＝DP时，可得CP1＝CP2＝＝＝，∴BP1＝10﹣，BP2＝10+．当MD＝MP时，可得GP3＝GP4＝＝＝，∴BP3＝﹣1，BP4＝+1，当PM＝PD时，设GP5＝x，则＝，解得x＝，∴BP5＝1+＝．13．解：（1）证明：在△ADC与△CBA中，，∴△ADC≌△CBA（SSS），∴∠A CD＝∠BAC，∴AB∥CD；（2）∵∠CBL＝∠M+∠BLM，∠CBL＝2∠M，∴∠M+∠BLM＝2∠M，∴∠M＝∠BLM，∴BM＝BL；（3）延长AE交CM于H，∵CE平分∠ACB交DM于E点，∴∠ACE＝∠HCE，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠HEC＝90°，在△ACE与△HCE中，，∴△ACE≌△CHE（ASA），∴AE＝EH，AC＝CH，∵AD∥CM，∴∠ADE＝∠M，在△ADE与△HME中，，∴△ADE≌△HME（AAS），∴AD＝HM，∵AD＝BC，∴HM＝BC，∴CH＝BM，∵BL＝8，∴CH＝BM＝8，∴AC＝CH＝8．14．解：点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连结EM，易证△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°．问题：延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，如图所示：则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，∴△EBC是等腰直角三角形，∴∠BEC＝∠BCE＝45°，∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，∴∠MCN＝90°+45°＝135°，∴∠BCE+∠MCN＝180°，∴E、C、N，三点共线，在△ABM和△EBM中，，∴△ABM≌△EBM（SAS），∴AM＝EM，∠1＝∠2，∵AM＝MN，∴EM＝MN，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°．故答案为：SAS，3，4，5．15．解：（1）AF＝DE．理由如下：∵四边形OADC是正方形，∴OA＝AD，∠DAE＝∠AOF＝90°，由题意得：AE＝OF，在△AOF和△DAE中，，∴△AOF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE．（2）四边形HIJK是正方形．理由如下：如图①所示：∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，HI∥AF，HK∥ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形，∵△AOF≌△DAE，∴∠ADE＝∠OAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠OAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥ED，∵HI∥AF，HK∥ED，∴HI⊥HK，∴∠KHI＝90°，∴四边形HIJK是正方形．（3）存在，理由如下：∵四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），∴OA＝AD＝OC＝4，∴C（4，0），∵点E为AO的中点，∴OE＝2，E（0，2）；分情况讨论：如图②所示，①当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，OC与MN互相垂直平分，则M 为CE的中点，∴点M的坐标为（2，1），∵点M和N关于OC对称，∴N（2，﹣1）；②当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，若M在y轴的左侧时，∵四边形OCM'N'是菱形，∴OM'＝OC＝4，M'N'∥OC，∴△M'FE∽△COE，∴＝＝2，设EF＝x，则M'F＝2x，OF＝x+2，在Rt△OM'F中，由勾股定理得：（2x）2+（x+2）2＝42，解得：x＝，或x＝﹣2（舍去），∴M'F＝，FN＝4﹣M'F＝，OF＝2+＝，∴N'（，）；若M在y轴的右侧时，作N''P⊥OC于P，∵ON''∥CM''，∴∠PON''＝∠OCE，∴tan∠PON''＝＝tan∠OCE＝＝，设PN''＝y，则OP＝2y，在Rt△OPN''中，由勾股定理得：y2+（2y）2＝42，解得：y＝，∴PN''＝，OP＝，∴N''（，﹣）；综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，﹣1）或（，）或（，﹣）．。
2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第一章 数与式 第1部分 课时1
【正解】原式＝－4×14＋1＝0.
31
针对训练 5．计算：|－3|＋(－12)－3－(－3)2－110＋ 16. 解：原式＝3－8－9－1＋4 ＝－11.
32
19
福建真题 ·精练
请点击此处进入WORD文档
20
重难点 ·突破
重点一 实数与数轴
•
例 1 (2019·枣庄)点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB.若点
C所表示的数为A，则点B所表示的数为( )
B
• A．－(A＋1)
B．－(A－1)
• C．A＋1 D．A－1
21
较或二次根式的估值)
11
直接比较法 作差比较法
作商比较法
正数>0>负数 若 a，b 是两个任意实数，则 a－b>0⇔⑧__a_>_b__，a－b<0⇔a<b，a －b＝0⇔a＝b 若 a，b 是两个任意正实数，则ab>1⇔a>b，ab<1⇔⑨_a_＜__b____，ab＝1 ⇔a＝b
12
夯实基础 6．在实数－2，－ 3，0，π， 6 中，最小的数是_－__2_____，最大的数是___π_____.
16
2．实数的四则运算法则 (1)加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异 号两数相加，取⑬_绝__对__值___较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 值；互为相反数的两个数相加和为 0；一个数同 0 相加，仍得这个数． (2)减法：减去一个数，等于加上这个数的⑭__相__反__数__，即 a－b＝a＋(－b)． (3)乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘， 积为 0. (4)除法：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的⑮_倒__数__，即 a÷b＝ a·1b(b≠0)．
2020年中考数学一轮复习 第五章《四边形》综合测试卷含答案
第五章《四边形》综合测试卷(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1. 从n边形一个顶点出发，可以作条对角线. ( )A. nB. n－1C. n－2D. n－32. 一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形是( )A. 正方形B. 正六边形C. 正八方形D. 正十边形3. 在平行四边形ABCD中，∠A＝38°，则∠C的度数为( )A. 142°B. 148°C. 132°D. 38°4. 边长为3 cm的菱形的周长是( )A. 15 cmB. 12 cmC. 9 cmD. 3 cm5. 如图Z5－1，在平行四边形ABCD中，下列结论一定成立的是( )图Z5－1A. AC∠BDB. AB＝ADC. ∠BAD≠∠BCDD. ∠ABC＋∠BAD＝180°6. 下列四边形中，对角线一定相等的是( )A. 菱形B. 矩形C. 平行四边形D. 梯形7. 如图Z5－2，周长为28的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，H为AD边中点，OH的长等于( )A. 3.5B. 4C. 7D. 14图Z5－28. 如图Z5－3，四边形ABCD是矩形，连接BD，∠ABD＝60°，延长BC到点E使CE＝BD，连接AE，则∠AEB的度数为( )图Z5－3A. 15°B. 20°C. 30°D. 60°9. 如图Z5－4，在矩形ABCD中，AB与BC的长度比为3∠4.若该矩形的周长为28，则BD的长为( )图Z5－4A. 5B. 6C. 8D. 1010. 如图Z5－5，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME∠BC 于点E，MF∠CD于点F，则EF的最小值为( )图Z5－5A. 42B. 22C. 2D. 1二、填空题(本大题7小题，每小题4分，共28分)11. 五边形从某一个顶点出发可以引条对角线.12. 如果正多边形的一个外角为40°，那么它是正边形.13. 在行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝220°，则∠A＝.14. 如图Z5－6，AC是菱形ABCD的对角线，AC＝8，AB＝5，则菱形ABCD的面积是.图Z5－615. 如图Z5－7，正方形ABCD中，以CD为边向正方形内作等边三角形DEC，则∠EAB ＝.图Z5－716. 如图Z5－8，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC边上一点，且CE＝2BE. 若四边形ABEO的面积为3，则平行四边形的ABCD的面积为.图Z5－817.如图Z5－9，在∠ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE∠DF 交DF的延长线于点E. 已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是.图Z5－9三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)18. 如图Z5－10，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.图Z5－1019. 如图Z5－11，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，且DF＝BE. 求证：AF＝CE.图Z5－1120. 如图Z5－12，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求菱形ABCD的面积.图Z5－12四、解答题(二)(本大题3小题，每小题8分，共24分)21. 如图Z5－13，平行四边形ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点F，BE平分∠ABC，交AD于点E.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若∠AEB＝68°，求∠C的度数.图Z5－1322. 如图Z5－14，平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积.图Z5－1423. 如图Z5－15，平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，且AE＝AF.(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若∠EAF＝60°，CF＝2，求菱形ABCD的面积.图Z5－15五、解答题(三)(本大题2小题，每小题10分，共20分)24. 如图Z5－16，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC 于点F，连接DF.(1)求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由.图Z5－1625. 如图Z5－17，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G.(1)求证：AF－BF＝EF；(2)四边形EFGH是什么四边形？并证明；(3)若AB＝2，BP＝1，求四边形EFGH的面积.图Z5－17第五章《四边形》综合测试卷(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1. 从n边形一个顶点出发，可以作条对角线. ( D )A. nB. n－1C. n－2D. n－32. 一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形是( D )A. 正方形B. 正六边形C. 正八方形D. 正十边形3. 在平行四边形ABCD中，∠A＝38°，则∠C的度数为( D )A. 142°B. 148°C. 132°D. 38°4. 边长为3 cm的菱形的周长是( B )A. 15 cmB. 12 cmC. 9 cmD. 3 cm5. 如图Z5－1，在平行四边形ABCD中，下列结论一定成立的是( D )图Z5－1A. AC∠BDB. AB＝ADC. ∠BAD≠∠BCDD. ∠ABC＋∠BAD＝180°6. 下列四边形中，对角线一定相等的是( B )A. 菱形B. 矩形C. 平行四边形D. 梯形7. 如图Z5－2，周长为28的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，H为AD边中点，OH的长等于( A )A. 3.5B. 4C. 7D. 14图Z5－28. 如图Z5－3，四边形ABCD是矩形，连接BD，∠ABD＝60°，延长BC到点E使CE＝BD，连接AE，则∠AEB的度数为( A )图Z5－3A. 15°B. 20°C. 30°D. 60°9. 如图Z5－4，在矩形ABCD中，AB与BC的长度比为3∠4.若该矩形的周长为28，则BD的长为( D )图Z5－4A. 5B. 6C. 8D. 1010. 如图Z5－5，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME∠BC 于点E，MF∠CD于点F，则EF的最小值为( B )图Z5－5A. 42B. 22C. 2D. 1二、填空题(本大题7小题，每小题4分，共28分)11. 五边形从某一个顶点出发可以引2条对角线.12. 如果正多边形的一个外角为40°，那么它是正九边形.13. 在平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝220°，则∠A＝70°.14. 如图Z5－6，AC是菱形ABCD的对角线，AC＝8，AB＝5，则菱形ABCD的面积是24.图Z5－615. 如图Z5－7，正方形ABCD中，以CD为边向正方形内作等边三角形DEC，则∠EAB ＝15°.图Z5－716. 如图Z5－8，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC边上一点，且CE＝2BE. 若四边形ABEO的面积为3，则平行四边形ABCD的面积为9.图Z5－817. 如图Z5－9，在∠ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE∠DF 交DF的延长线于点E. 已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是2 3.图Z5－9三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)18. 如图Z5－10，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.图Z5－10证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.在△AOD和△COB中，{∠ADO＝∠CBO，∠AOD＝∠COB，OA＝OC，∴△AOD∠△COB(AAS).∴OD＝OB.∴四边形ABCD是平行四边形.19. 如图Z5－11，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，且DF＝BE. 求证：AF＝CE.图Z5－11证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC.在△ADF和△CBE中，{AD＝CB，∠D＝∠B，DF＝BE，∴△ADF∠△CBE(SAS).∴AF＝CE.20. 如图Z5－12，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求菱形ABCD的面积.图Z5－12解：如答图Z5－1，过点A作AE⊥BC于点E.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝10.∵∠ABC＝60°，AE⊥BC，∴∠BAE＝30°.答图Z5－1∠BE ＝12AB ＝5，AE ＝3BE ＝53.∠菱形ABCD 的面积＝BC×AE ＝50 3.四、解答题(二)(本大题3小题，每小题8分，共24分) 21. 如图Z5－13，平行四边形ABCD 中，DF 平分∠ADC ，交BC 于点F ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E .(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形； (2)若∠AEB ＝68°，求∠C 的度数.图Z5－13(1)证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠CBE.又∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC.∴∠ABE ＝∠AEB.∴AB ＝AE. 同理可得CF ＝CD.又AB ＝CD ，∴CF ＝AE.∴BF ＝DE.又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形.(2)解：∵∠AEB ＝68°，AD ∥BC ，∴∠EBF ＝∠AEB ＝68°. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠EBF ＝136°. ∴∠C ＝180°－∠ABC ＝44°.22. 如图Z5－14，平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在CD 上，DF ＝BE ，连接BF ，AF .(1)求证：四边形BFDE 是矩形；(2)若AF 平分∠BAD ，且AE ＝3，DF ＝5，求矩形BFDE 的面积.图Z5－14(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD. ∵BE ∥DF ，BE ＝DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形. ∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°.∴四边形BFDE 是矩形. (2)解：∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠DFA. ∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF. ∴∠DFA ＝∠DAF.∴AD ＝DF ＝5. ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°.由勾股定理，得DE＝AD2－AE2＝4.∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝5×4＝20.23. 如图Z5－15，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，且AE＝AF.(1)求证：ABCD是菱形；(2)若∠EAF＝60°，CF＝2，求菱形ABCD的面积.图Z5－15(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.又∵AE＝AF，∴△AEB∠△AFD(AAS). ∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形.(2)解：连接AC，如答图Z5－2. ∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF＝60°，∴∠ECF＝120°.答图Z5－2∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACF＝60°.∴△ACD是等边三角形.在Rt△CFA中，AF＝CF·tan∠ACF＝23，AC＝CFcos∠ACF＝4＝CD.∴菱形ABCD的面积＝4×23＝8 3.五、解答题(三)(本大题2小题，每小题10分，共20分)24. 如图Z5－16，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC 于点F，连接DF.(1)求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由.图Z5－16(1)证明：在△ABC和△ADC中，{AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC∠△ADC.∴∠BAC＝∠DAC，即∠BAF＝∠DAF.在△ABF和△ADF中{AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF∠△ADF(SAS).∴∠AFB＝∠AFD.∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE.∴∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE.(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD.∴四边形ABCD是菱形.(3)解：当BE⊥CD时，点E的位置可令∠EFD＝∠BCD.理由如下.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.∵CF＝CF，∴△BCF∠△DCF(SAS).∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°.∴∠EFD＝∠BCD.25. 如图Z5－17，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G.(1)求证：AF－BF＝EF；(2)四边形EFGH是什么四边形？并证明；(3)若AB＝2，BP＝1，求四边形EFGH的面积.图Z5－17(1)证明：∵DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，∴∠AFB＝∠AED＝∠DHC＝90°.∴∠ADE＋∠DAE＝90°.又∵∠DAE＋∠BAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF.在△AED和△BFA中，{∠AED＝∠BFA，∠EDA＝∠FAB，AD＝AB，∴△AED∠△BFA(AAS).∴AE＝BF.∴AF－AE＝EF，即AF－BF＝EF.(2)解：四边形EFGH是正方形.证明：∵∠AFB＝∠AED＝∠DHC＝90°，∴四边形EFGH是矩形.∵△AED∠△BFA，同理可得△AED∠∠DHC，∠∠AED∠∠BFA∠△DHC.∴DH＝AE＝BF，AF＝DE＝CH.∴DE－DH＝AF－AE.∴EF＝EH.∴矩形EFGH是正方形.(3)解：∵AB＝2，BP＝1，∴AP＝ 5.∵S△ABP＝12×BF×AP＝12×BF×5＝1×2×12，∴BF＝255.∵∠BAF＝∠PAB，∠AFB＝∠ABP＝90°，∴△ABF∠△APB.∴BFAF＝BPAB＝12，∴AF＝455，∴EF＝AF－AE＝455－255＝255.25 52＝45.∴四边形EFGH的面积为⎝⎛⎭⎫。
福建省福州市201x年中考数学复习 第五章 四边形 第一节 平行四边形与多边形同步训练
第五章四边形第一节平行四边形与多边形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(xx·云南省卷)一个五边形的内角和为( )A．540° B．450° C．360° D．180°2．(xx·北京)若正多边形一个外角是60°，则该正多边形的内角和为( )A．360° B．540° C．720° D．900°3．(xx·安徽)▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )A．BE＝DF B．AE＝CFC．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF4．(xx·玉林)在四边形ABCD中，①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD是平行四边形的选法共有( )A．3种 B．4种 C．5种 D．6种5．(xx·宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④6．(xx·海南)如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE 的周长为( )A．15 B．18 C．21 D．247．(xx·宁波)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°8．(xx·兰州)如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F.若∠ABD ＝48°，∠CFD ＝40°，则∠E 为( )A. 102°B. 112°C. 122°D. 92°9．(xx·三明质检)如图，在正八边形ABCDEFGH 中，连接AC ，AE ，则AEAC的值是( )A.22B. 2C. 3D ．210．(xx·宁德质检)小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为____________．11．(xx·陕西)如图，在正五边形ABCDE 中，AC 与BE 相交于点F ，则∠AFE 的度数为__________.12．(xx·山西)图①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝______度．图① 图②13.(xx·泰州)如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为________．14．(xx·临沂)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC.则BD＝________．15．(xx·衡阳) 如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，△CDM 的周长为8，那么▱ABCD的周长是________．16．(xx·漳州质检)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，EF＝2，∠DEF＝60°，将四边形EFCD 沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为________．17．(xx·南平质检)如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC≌△BDE，其中点A，B，C的对应点分别是B，D，E，连接CE.求证：四边形ABEC是平行四边形．18. (xx·无锡)如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE.19．(xx·厦门质检)如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，且DE＝AB，连接AE，BD.证明：AE＝BD.20. (人教八下P50第10题改编)如图，四边形BEDF是平行四边形，延长BF、DE至点C、A，使得BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC的平分线．求证：四边形ABCD是平行四边形．21．(xx·孝感)如图， B，E ，C ，F 在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD .求证：四边形ABED是平行四边形．22．(xx·福建模拟)如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F.(1)若∠F＝20°，求∠A的度数；(2)若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求▱ABCD的面积．23.已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：(1)△ADF≌△CBE；(2)EB∥DF.24．(xx·永州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．1．(2019·原创)如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，AB ＝5，BC ＝12，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是( )A. 5B. 6C. 12D. 132．(xx·陕西)如图，点O 是▱ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 是AB 边上的点，且EF ＝12AB ；G 、H 是BC边上的点，且GH ＝1BC.若S1、S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是________．33．(xx·南充)如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S▱AEPH＝________．4．(xx·曲靖)如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段上两点，且EM＝FN，连接AN，CM.(1)求证：△AFN≌△CEM；(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．5．(xx·大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC 交BC的延长线于F.(1)证明：四边形CDEF是平行四边形；(2)若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．6．(xx·黄冈)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.(1)求证：△ABF≌△EDA；(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.参考答案【基础训练】1．A 2.C 3.B 4.B 5.B 6.A 7.B 8.B 9.B10．100°11.72°12.360 13.14 14.413 15.16 16.617．证明：∵△ABC≌△BDE，.∴∠DBE＝∠A，BE ＝AC ，∴BE∥AC，又∵BE＝AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形．18．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形 ，∴AB＝CD ，AD ＝BC ，∠C＝∠A，∵E、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴CE＝12BC, AF ＝12AD ，∴AF＝CE ，∴△ABF≌△CDE(S A S )，∴∠ABF＝∠CDE.19．证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，AB ＝DC.∵DE＝AB ，∴DE＝DC.∴∠DCE＝∠DEC.∵AB∥DC，∴∠ABC＝∠DCE.∴∠ABC＝∠DEC.又∵AB＝DE ，BE ＝EB ，∴△ABE≌△DEB.∴AE＝BD.20．证明：∵四边形BEDF 是平行四边形，∴DE∥BF，∠EBF＝∠EDF.BE 、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线，∴∠ABE＝∠EBF＝∠ADF＝∠CDF，∴∠ABC＝∠ADC.∵DE∥BF，∴∠AEB＝∠EBF，∠ADF＝∠CFD，∴∠AEB ＝∠ABE＝∠CDF＝∠CFD，∴∠A＝180°－∠AEB－∠ABE，∠C＝180°－∠CDF－∠CFD，∴∠A＝∠C，∴四边形ABCD 是平行四边形．21．证明：∵AB∥DE ，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF ，∴BE＋CE ＝CF ＋CE ，∴BC＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠B＝∠DEF BC ＝EF ，∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF(A S A)，∴AB＝DE ，∵ AB∥DE，∴四边形ABED 是平行四边形．22．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠F＝20°，∵∠ABC 的平分线交AD 于点E ，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠AEB＝∠ABE＝20°，∴∠A＝180°－20°－20°＝140°；(2)∵∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB ＝5，AD ＝BC ＝8，CD ＝AB ＝5，∴DE＝AD －AE ＝3， ∵CE⊥AD，∴CE＝CD 2－DE 2＝52－32＝4，∴▱ABCD 的面积为AD·CE＝8×4＝32.23．证明：(1)∵AE＝CF ，∴AE＋EF ＝CF ＋FE ，即AF ＝CE.又四边形ABCD 是平行四边形，∴AD＝CB ，AD∥BC.∴∠DAF＝∠BCE.在△ADF 与△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝CE ∠D AF ＝∠BCE，AD ＝CB∴△ADF≌△CBE(S A S )．(2)∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA＝∠BEC.∴EB∥DF.24．(1)证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠BAD＝60°，又∠CAB＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝30°＋60°＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴BC∥AD.在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∵E 是线段AB 的中点，∴CE＝AE ，∴∠ACE＝∠CAB，∵∠CAB＝30°，∴∠ACE ＝∠CAB＝30°，∴∠BEC＝∠ACE＋∠CAB＝30°＋30°＝60°，∵∠ABD ＝60°，∴∠ABD ＝∠BEC，∴BD∥CE，又BC∥AD，∴四边形BCFD 为平行四边形；(2)解：过B 作BG⊥CF，垂足为G ，∵AB＝6，点E 是线段AB 的中点，∴BE＝3，在Rt △BEG 中，∠BEG＝60°，∴BG＝BE·sin ∠BEG ＝3×sin 60°＝332. ∵△ABD 是等边三角形，∴BD＝AB ＝6，∴平行四边形BCFD 的面积为BD·BG＝6×332＝9 3.【拔高训练】1．A 2.S 1＝32S 2 3．4 【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB ＝CD ，AD ＝BC ，又知EF∥BC，GH∥AB，因而得到四边形BEPG 、四边形GPFC 、四边形PHDF 、四边形AEPH 都是平行四边形．根据平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，得到S △ABD ＝S △CBD ，S △PHD ＝S △PFD ，S △BPG ＝S △BEP ，从而得出S ▱AEPH ＝S ▱GPFC ，又CG ＝2BG ，∴S ▱GPFC ＝2S ▱BGPE ＝4S △BPG ＝4.∴S ▱AEPH ＝4.4．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN＝∠CEM，∵FN＝EM，AF＝CE，∴△AFN≌△CEM(S A S)．(2)解：∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF＝∠ECM，∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，∴107°＝72°＋∠ECM，∴∠ECM＝35°，∴∠NAF＝35°.5．(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC，BC＝2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．(2)解：∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2DC，∴四边形DCFE的周长＝AB＋BC，∵四边形DCFE的周长为25 cm，AC的长为5 cm，∴BC＝25－AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52，解得，AB＝13 cm.6．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE，∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，∴∠ADE＝∠ABF，∴△ABF≌△EDA.(2)延长FB交AD于H，如解图，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB，∵∠EAD＋∠FAH＝90°，∴∠FAH＋∠AFB＝90°，∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD，∵AD∥BC，∴FB⊥BC.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第一章 数与式 第1部分 课时4
知识点一 分式的相关概念及性质
1．分式的相关概念
(1)概念：如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子AB叫做分式．分
式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． (2)分式有意义的条件：①__B__≠_0___.
(3)分式无意义的条件：B＝0.
(4)分式值为 0 的条件：A＝0 且②__B_≠__0___.
2－13＋3＝
1＝ 2
2 2.
7温Βιβλιοθήκη 提示• 分式的化简及求值过程中需注意的问题：(1)先把分式化简，再把分式中未知数对应的值代入求出分 式的值；(2)分式化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式； (3)分式化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当……时，原式 ＝……”；(4)代入求值时，有直接代入法、整体代入法等，解题时可根据题目的具体条件选择合适 的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义．
0
分式的分子与分母乘(或除以)同一个③_不__等__于__0_的整式，分式的值④ 基本• 2性．质分式的_不_基_变_本_性__质，及即相AB关＝概AB念··CC，AB＝AB÷÷CC(C≠0)，其中 A，B，C 是整式
约分
把一个分式的分子与分母的⑤公__因__式____约去，不改变分式的值
通分
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式
(4)分式的乘方：(ab)n＝abnn(n 为整数)．
3
2．分式的化简及求值 (1)计算括号内的分式，将括号内的异分母分式通分为同分母分式，合并同类项， 把括号去掉，简称去括号． (2)将分式中除号(÷)后面的式子的分子、分母颠倒位置，并把这个式子前的“÷” 变为“×”，保证几个分式之间除了“＋、－”，就只有“×”或“·”，简称除式 变乘式． (3)计算分式乘法，将分式中的多项式因式分解再约去相同因式． (4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减法，直到化到最简为止． (5)代入求值，代入使原式有意义的数．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
菱形
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)； 判定 (2)四条边都⑧__相__等____的四边形是菱形；
(3)对角线⑨__互__相__垂__直____的平行四边形是菱形 S＝底×高＝AD·h＝12mn(m，n 分别为对角线的长，h 为 AD 面积 边上的高) 计算 对于对角线互相垂直的四边形，都适用于菱形的面积公式 S＝12mn(m，n 分别为对角线的长)
平分 BD，BD 平分 AC，AC＝BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA
＝∠ACB＝45°，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°；
(4)对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有⑪___4___
条对称轴
6
正方形
(1)有一个角是直角，一组邻边⑫__相__等____的平行四边形是正方
形(定义)；
• (1)求证：△ABE≌△DAF；
• 【解题思路】根据已知条件及正方形的性质，利用ASA即可判定△ABE≌△DAF.
• 【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB.
18
方法突破
• (1)矩形的判定方法：先判定四边形是平行四边形，再判断对角线相等或有一个角是直角． • (2)矩形性质的计算和证明：①运用矩形的性质求线段或角时，充分利用矩形对边平行且相等，对角
线互相平分且相等，四个角都是直角这些性质；②在矩形中证明线段相等(或角相等)时，通常运用 矩形的性质证明某两个三角形全等；③矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中解决．
• ∴□ABB′A′是菱形．
28
(2)如答图，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F.
由(1)得 BB′＝BA＝6.
由平移的性质得△A′B′C′≌△ABC，
∴B′C′＝BC＝4，∴BC′＝10.
∵AC′⊥A′B′，∴∠B′EC′＝90°.
∵AB∥A′B′，∴∠BAC′＝∠B′EC′＝90°， 在 Rt△ABC 中，AC′＝ BC′2－AB2＝8.
同理可得∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，∴四边形 EFGH 是矩形．
21
(2)解：依题意得∠BAG＝12∠BAD＝30°. ∵AB＝6，∴BG＝12AB＝3，AG＝3 3＝CE. ∵BC＝4，∠BCF＝12∠BCD＝30°， ∴BF＝12BC＝2，CF＝2 3，∴EF＝CE－CF＝ 3 3－2 3＝ 3，GF＝BG－BF＝3－2＝1， ∴矩形 EFGH 的面积为 EF·GF＝ 3.
一个条件是______∠__A_B__C_＝__9_0_°__(_答__案__不__唯__一__) _____(只需添加一个即可)．
第 6 题图
8
知识点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系
• 1．如图所示
9
2．中点四边形：借助三角形中位线性质即可判定任意四边形的中点四边形为平 行四边形；再由两条对角线的位置、长短关系判断中点四边形为何种特殊平行四边 形，依据如下：
②___2___条对称轴
0
矩形
判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)； (2)有③__三__个__角____是直角的四边形是矩形； (3)对角线④___相__等___的平行四边形是矩形
面积计算 S＝ab(a，b 分别为矩形的长和宽)
1
夯实基础
• 1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使它变为
4
夯实基础 3．若菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 和 4，则菱形 ABCD 的面积是___1_2____. 4．如图，四边形 ABCD 为平行四边形，请你添加一个合适的条件__A_B_＝__B__C_____
__(答__案__不__唯__一__)______使其成为菱形．(只需添加一个即可)
矩形，还需要添加一个条件是____________________________. AC＝BD(答案不唯一)
• 2．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点第O，1题∠图ADB＝30°，AB＝4，则OC＝______. 4
第2题图
2
知识点二 菱形的性质及判定
菱形
(1)边：四条边都⑤___相__等___，即 AB＝BC＝CD＝AD；对边 平行：AB∥CD，AD∥BC； (2)角：对角相等，∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC； (3)对角线：对角线⑥____互__相__垂__直__且__平__分______，并且每一 性质 条对角线平分一组对角，即 AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB， AC 平分∠DAB 与∠BCD，BD 平分∠ABC 与∠ADC； (4)对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有⑦ __2____条对称轴
第 4 题图
5
知识点三 正方形的性质及判定
正方形
性质
(1)边：四条边都相等，即 AB＝BC＝CD＝AD；对边平行：AB
∥CD，AD∥BC；
(2)角：四个角都是直角，即∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD
＝90°；
(3)对角线：对角线互相垂直平分且⑩__相__等____，每一条对角线
都平分一组对角(对角线与边的夹角为 45°)，即 AC⊥BD，AC
(2)一组邻边相等的矩形是正方形； 判定
(3)一个角是⑬_直__角_____的菱形是正方形；
(4)对角线⑭__相__等__且__互__相__垂__直____的平行四边形是正方形；
(5)对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
面积 计算
S＝a2(a 为正方形的边长)＝12l2(l 为对角线的长)
7
夯实基础 5．正方形的一边长为 3 cm，它的周长是_____1_2__c_m_____， 面积是_____9__cm__2_____，对角线长为___3___2__c_m_____. 6．如图，□ABCD 的对角线互相垂直，要使□ABCD 成为正方形，还需添加的
例2题图
23
【解答】∵D 是 BC 边的中点，∴BD＝CD. ∵CE∥BF，∴∠DBF＝∠DCE. 在△BDF 和△CDE 中，∠ BDD＝BFC＝D，∠DCE，
∠BDF＝∠CDE， ∴△BDF≌△CDE(ASA)，∴CE＝BF. 又∵CE∥BF，∴四边形 BFCE 是平行四边形． ∵AB＝AC，D 是 BC 边的中点，∴AD⊥BC， ∴四边形 BFCE 是菱形．
相等→矩形 对角线互相垂直→菱形
相等、互相垂直平分→正方形
10
矩形中―点―四边→形菱形 菱形中―点―四边→形矩形 补充正方形中―点―四边→形正方形 平行四边形中―点―四边→形平行四边形 等腰梯形中―点―四边→形菱形
11
夯实基础 • 7．下列说法中，错误的是( ) D
• A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 • B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 • C．四个角都相等的四边形是矩形 • D．邻边相等的菱形是正方形 • 8．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD成为正方形，这
• (1)判断四边形ABB′A′的形状，并证明； • (2)在△ABC中，AB＝6，BC＝4.若AC′⊥A′B′，求四边形ABB′A′的面积．
第3题图
27
• 解：(1)四边形ABB′A′是菱形．证明如下： • 由平移的性质，得AA′∥BB′，AA′＝BB′， • ∴四边形ABB′A′是平行四边形，∠AA′B＝∠A′BC. • ∵BA′平分∠ABC，∴∠ABA′＝∠A′BC， • ∴∠AA′B＝∠A′BA，∴AB＝AA′，
22
重点二 菱形的判定与性质及相关计算
•
例 2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E，F分别在AD
及其延长线上，且CE∥BF，连接BE，CF.
• (1)求证：四边形BFCE是菱形；
• 【解题思路】由D是BC边的中点，CE∥BF，利用ASA易证得△BDF≌△CDE，即可 得CE＝BF；易证得四边形BFCE是平行四边形；由AB＝AC，D是BC边的中点，即可 得AD⊥BC；由菱形的判定定理即可得证．
【解答】如答图，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AO＝OC.
∵四边形 DECO 是矩形，∴DE＝OC. ∵DE＝2，∴DE＝AO＝2. ∵DE∥AC，∴∠OAF＝∠DEF.
在△AFO 和△EFD 中，∠ ∠AFAFOO＝＝∠∠DDEFFE，， AO＝DE，
例1题答图
17
∴△AFO≌△EFD(AAS)，∴OF＝DF. 在 Rt△ADO 中，∵tan∠ADB＝DOOA， ∴D2O＝ 33，∴DO＝2 3，∴FO＝ 3， ∴AF＝ AO2＋FO2＝ 22＋ 32＝ 7.
15
• (2)连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长．
【解题思路】由题意可得 AO＝OC，由(1)可得 DE＝OC，即 OA＝DE＝2；由 AAS 证得△AFO≌△EFD，即 OF＝DF＝12OD；由 tan∠ADB＝OODA，可求得 OD 的 值，则 AF 即可求得．
16
25
方法突破
• 菱形的相关计算： • (1)长度计算：利用对角线构造直角三角形或等腰三角形或等边三角形． • (2)面积计算：①菱形面积＝底×高；②菱形面积＝对角线之积的一半．解题时，可利用等积法求线
段的长．
26
针对训练
• 3．(2019·福州质检)如图，将△ABC沿射线BC平移得到△A′B′C′，使得点A′落在∠ABC的平分 线BD上，连接AA′，AC′.
19
针对训练
1．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝6，对角线 AC，BD 交于点 O，过点
O 作 OG⊥AB 于点 G.延长 AB 至 E，使 BE＝14AB，连接 OE 交 BC 于点 F，则 BF
的长为( B )
A．45
B．1
C．32
D．2
第1题图
20