自主作业：集合复习题

自主作业:集合复习题姓名_______________组别_____1．全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N)＝( ) A ．{5,7} B ．{2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,3,5,6,7}2．已知集合M ＝{y|y ＝x 2}，N ＝{y|y 2＝x ，x≥0}，则M∩N＝( ) A ．{(0,0)，(1,1)} B ．{0,1} C ．[0，＋∞) D ．[0,1]3．设集合P ＝{x|x ＝k 3＋16，k ∈Z}，Q ＝{x|x ＝k 6＋13，k ∈Z}，则( )A ．P ＝QB ．P ⊂QC ．P ⊇QD ．P∩Q＝∅4．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.设集合A ＝{(x ，y)|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y)|y ＝3x }，则A∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．16.A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9}7.集合M ＝{x|x 2－1＝0}，集合N ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是 ( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{1}D ．∅8.如图，I 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是 ( ) A ．(∁I A∩B)∩C B ．(∁I B ∪A)∩CC ．(A∩B)∩∁I CD ．(A∩∁I B)∩C9．已知钝角△ABC 的最长边长为2，其余两边长为a ，b ，则集合P ＝{(x ，y)|x ＝a ，y ＝b}所表示的平面图形的面积是 ( )A ．2B ．4C ．π－2D ．4π－210．集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y|y ＝cosx ，x ∈A}，则A∩B＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{－1,0,1}11.P ＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m ∈R}，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝ ( )A ．{(1，－2)}B ．{(－13，－23)}C ．{(1，－2)}D ．{(－23，－13)}12．若集合M ＝{0,1,2}，N ＝{(x ，y)|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x 、y ∈M}，则N 中元素的个数为 ( )A ．9B ．6C ．4D ．213.已知集合{1,2,3，…，100}的两个子集A 、B 满足：A 与B 的元素个数相同，且A∩B 为空集．若n ∈A 时，总有2n ＋2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为( ) A ．62 B ．66 C ．68 D ．7414.设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集．若对任意a、b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 ( )A．自然数集B．整数集 C．有理数集 D．无理数集15.集合A＝{x|log 12x≥3}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(－∞，c]，其中的c＝______.16.已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．17.在集合M＝{0，12，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对∀x∈A，则1x∈A”的概率是________．18.设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.19.A＝{(x，y)|x2＝y2} B＝{(x，y)|x＝y2}，则A∩B＝________.20．若A＝{x|22x－1≤14}，B＝{x|log116x≥12}，实数集R为全集，则(∁RA)∩B＝________.21．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．22．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，C＝{x|x2－4ax＋3a2<0}，若∁U(A∪B)⊆C，求实数a的取值范围．23.设集合A＝{(x，y)|y＝2x－1，x∈N*}，B＝{(x，y)|y＝ax2－ax＋a，x∈N*}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠∅？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．24.已知数列{an }的前n项和为Sn，且(a－1)Sn＝a(an－1)(a>0，n∈N*)．(1)求证数列{an }是等比数列，并求an；(2)已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N*，都有Sn∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．答案:1 C [解析] M ∪N ＝{1,3,5,6,7}，∴∁U (M ∪N)＝{2,4,8}，故选C. 2.C M ＝{y|y≥0}，N ＝R ，则M∩N＝[0，＋∞)，选C.3. B [解析] P ：x ＝k 3＋16＝2k ＋16，k ∈Z ；Q ：x ＝k 6＋13＝k ＋26，k ∈Z ，从而P 表示16的奇数倍数组成的集合，而Q 表示16的所有整数倍数组成的集合，故选B.4 B [解析] 集合M 必须含有元素a 1，a 2，并且不能含有元素a 3，故M ＝{a 1，a 2}或{a 1，a 2，a 4}．5. A [解析] 结合椭圆x 24＋y 216＝1的图形及指数函数y ＝3x 的图象可知，共有两个交点，故A∩B 的子集的个数为4.6. D [解析] 由题意知，A 中有3和9，若A 中有7(或5)，则∁U B 中无7(或5)，即B 中有7(或5)，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.7. B ∵M ＝{1，－1}，N ＝{1,2}，∴M∩N＝{1}，故阴影部分表示的集合为{－1}． 8 D 阴影部分在A 中，在C 中，不在B 中，故在∁I B 中，因此是A 、C 、∁I B 的交集， 9. C [解析] 由题中三角形为钝角三角形可得①a 2＋b 2<22；②a ＋b>2；③0<a<2,0<b<2，于是集合P 中的点组成由条件①②③构成的图形，如图所示，则其面积为S ＝π×224－12×2×2＝π－2，故选C.10. B [解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B ＝{1，cos1}，∴A∩B＝{1}． 11. B [解析] α＝(m －1,2m ＋1)，β＝(2n ＋1,3n －2)，令a ＝β，得⎩⎨⎧ m －1＝2n ＋12m ＋1＝3n －2 ∴⎩⎨⎧m ＝－12n ＝－7∴P∩Q＝{(－13，－23)}．12.C [解析] N ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}，按x 、y ∈M ，逐个验证得出N. 13. B [解析] 若24到49属于A ，则50至100的偶数属于B 满足要求，此时A ∪B 已有52个元素；集合A 取1到10的数时，集合B 取4到22的偶数，由于A∩B＝∅，∴4,6,8∉A ，此时A ∪B 中将增加14个元素，∴A ∪B 中元素个数最多有52＋14＝66个．14.C [解析] A ：自然数集对减法，除法运算不封闭，如1－2＝－1∉N,1÷2＝12∉N.B ：整数集对除法运算不封闭，如1÷2＝12∉Z. C ：有理数集对四则运算是封闭的．D ：无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭．如(2＋1)＋(1－2)＝2，2－2＝0，2×2＝2，2÷2＝1，其运算结果都不属于无理数集．15. 0 [解析] A ＝{x|0<x≤18}，∵A ⊆B ，∴a≤0，∴c ＝0.16. 2 [解析] ∵A ∪B ＝{0,1,2,4}，∴a ＝4或a 2＝4，若a ＝4，则a 2＝16，但16∉A ∪B ，∴a 2＝4，∴a ＝±2，又－2∉A ∪B ，∴a ＝2.17. 331 集合M 的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x ∈A ，则1x∈A”的集合A 中的元素为1,2或12，且12，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{12，2}，{1，12，2}．因此，所求的概率为331.19. {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析] A∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫，⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x 2＝y 2x ＝y 2＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}． 20. {x|0<x≤14} [解析] 由22x －1≤14得，x≤－12，由log 116x≥12得，0<x≤14，∴(∁R A)∩B＝{x|x>－12}∩{x|0<x≤14}＝{x|0<x≤14}．21.(1)A ＝{1,2}∵A∩B＝{2}∴2∈B ，∴4＋4(a ＋1)＋(a 2－5)＝0，∴a ＝－1或－3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)＝0得，a ＝－3. 当a ＝－3时，B ＝{2}，符合题意；当a<－3时，Δ<0，B ＝∅，满足题意；当a>－3时，∵B ⊆A ，∴B ＝A ，故⎩⎨⎧＋＝－3a 2－5＝2，无解．综上知，a≤－3.22. A ＝{x|－2<x<3}，B ＝{x|x<－4，或x>2}，A ∪B ＝{x|x<－4，或x>－2}， ∁U (A ∪B)＝{x|－4≤x≤－2}，而C ＝{x|(x －a)(x －3a)<0}(1)当a>0时，C ＝{x|a<x<3a}，显然不成立． (2)当a ＝0时，C ＝∅，不成立．(3)当a<0时，C ＝{x|3a<x<a}，要使∁U (A ∪B)⊆C ，只需⎩⎨⎧3a<－4a>－2，即－2<a<－43.综上知实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.23.假设A∩B≠∅，则方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1y ＝ax 2－ax ＋a有正整数解，消去y 得，ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0(*)由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a(a ＋1)≥0，解得－233≤a≤233.因a 为非零整数，∴a ＝±1，当a ＝－1时，代入(*)，解得x ＝0或x ＝－1，而x ∈N *.故a≠－1.当a ＝1时，代入(*)，解得x ＝1或x ＝2，符合题意．故存在a ＝1，使得A∩B≠∅， 此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．24. (1)①当n ＝1时，∵(a －1)S 1＝a(a 1－1)，∴a 1＝a(a>0)②当n≥2时，由(a －1)S n ＝a(a n －1)(a>0)得， (a －1)S n －1＝a(a n －1－1)∴(a －1)a n ＝a(a n －a n －1)，变形得：a na n －1＝a(n≥2)，故{a n }是以a 1＝a 为首项，公比为a 的等比数列，∴a n ＝a n . (2)①当a≥1时，A ＝{x|1≤x≤a}，S 2＝a ＋a 2>a ，∴S 2∉A ， 即当a≥1时，不存在满足条件的实数a.②0<a<1时，A ＝{x|a≤x≤1}∵S n ＝a ＋a 2＋…＋a n ＝a 1－a (1－a n )，∴S n ∈[a ，a1－a)，因此对任意的n ∈N *，要使S n∈A ，只需⎩⎨⎧0<a<1a1－a ≤1，解得0<a≤12，综上得实数a 的取值范围是(0，12]．。