海南省海口市2015届高考调研测试(二)数学(文)试题 Word版含答案

2015年海口市高考调研测试数学（理科）试题(二)第Ⅰ卷 选择题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)． 1．已知集合{|02}A x R x =∈<≤，集合{|(1)(2)0}B x R x x =∈-+>，则()R A B =ð（ ）A ．∅B ．(2,)+∞C ．(2,0)-D ．(2,0]-2．设i 为虚数单位，则复数201520151i z i =-在复平面中对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若0>>b a ，则ba 11<”的逆命题是真命题B ．命题:p x R ∀∈，20x >,则0:p x R ⌝∃∈，020x <C ．“11>>b a ，”是“1>ab ”成立的充分条件D ．“b a >”是“22b a >”成立的充分不必要条件4．已知a 、b 为平面向量，若+a b 与a 的夹角为3π，+a b 与b 的夹角为4π，则||||=a b （ ）A．B． CD5．现有六本书，其中两本相同，其余四本各不相同，分成三堆，每堆两本，则不同的分法的种数为（ ）A ．9种B ．12种C ．15种D ．18种 6．下图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（ ）A． B．C ．4 D ．5俯视图正视图7．执行如图的程序框图，若输出的5n =，则输入整数p 的最大值是（ ）A ．47B ．48C ．49D ．50 8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的单调增区间为[,12k ππ-5]12k ππ+（k Z ∈），则函数()f x 在区间[0,]2π的取值 范围是（ ） A．[1] B．1[,2- C．[ D ．1[,1]2-9． 定义在R 上的奇函数()y f x =满足当0x >时，()ln f x x x =，则当0x <时，()f x '=（ ）A ．ln()1x --+B ．ln()1x -+C ．ln()1x ---D ．ln()1x --10．若实数x 、y 满足不等式组034120(1).x x y y a x ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，若使得目标函数11y z x +=+有最小值的最优解为有无穷多个，则实数a 的值为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．311．设()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数3()f x ax =+2(0)bx cx d a ++≠都有对称中心00(,())x f x ，其中0x 满足0()0f x ''=。

已知31()3f x x =-2153212x x +-，则1232014()()()...()2015201520152015f f f f ++++=（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．201512．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的动点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，12F PF ∠的角平分线l 与x 轴交于点0(,0)Q x ，设双曲线的半焦距为c ，若0x 的范围是0203x c <<，则双曲线的离心率是（ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．3 第Ⅱ卷 非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)． 13．设随机变量(10,1)XN ，(910)P x a ≤<=，其中119a =⎰，则(11)P X ≥=________．（第7题图）（第16题图）14．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为，左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，△12PF F的面积为，则椭圆的标准方程为________．15．已知三棱锥P ABC -的顶点P 、A 、B 、C的球面上,若AB BC AC == 且PA 、PB 、PC 两互相垂直,点P 在底面ABC 的投影位于△ABC 的几何中心，则球心 到截面ABC 的距离为____________．16．如右图所示，某服装设计师要在一块条形布料上画一个等边 △ABC 作为点缀，使A 、B 、C 三点分别落在条形布料的线 条上，已知条形布料相邻横线间的距离为3厘米，则等边△ABC 的边长应为__________厘米． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S ta t =-，*n N ∈，t R ∈．（Ⅰ）若数列{}n a 为等比数列，求t 的取值范围和此时数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2t =，且212n b n a -=，证明：{}n b 为等差数列，并求数列{}n n a b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，24AB PA BE ===．（Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；（Ⅱ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省．据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元．适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图（图1）：（图2）P EDCBA（第18题图）（第22题图）（Ⅰ）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50居民捐款情况如下表，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（Ⅲ）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率．附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20．(本小题满分12分)设点(,)C x y 是平面直角坐标系的动点，(2,0)M ，以C 为圆心，CM 为半径的圆交y 轴于A ，B 两点，弦AB 的长||4AB =．（Ⅰ）求点C 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(1,0)F 作互相垂直的两条直线1l ，2l ,分别交曲线C 于点P 、Q 和点K 、L ．设线段PQ ,KL 的中点分别为R 、T ，求证:直线RT 恒过一个定点;21．(本小题满分12分)对于函数()ln h x x ax a =-+，()x g x e =． （Ⅰ）求函数()h x 的单调区间；（Ⅱ）设直线1l ：1y k x =和直线2l ：2y k x =分别与()y h x =和()y g x =相切，121k k =，求证实数a 满足：0a =或111e a e e ---<<-．四、选考题（从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分． 请将答题的过程写在答题卷．．．中指定．．的位置）． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，过圆O 外一点A 分别作圆O 的两条切线AB 、AC ，延长BA 于点D ，使D A A B =， 直线CD 交圆O 于点E ，AE 交圆O 于点F ，交BC 于点I ，AC 与DF 交于点H ． （Ⅰ）证明：A 、D 、C 、F 四点共圆．（Ⅱ）若HI //DE ，求证：△BED 为等腰直角三角形．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆1C 的极 坐标方程为4sin ρθ=，圆2C 的极坐标方程为4cos()6πρθ=+，已知1C 与2C 交于A 、B 两点，其中点(,)B B B x y 位于第一象限． （Ⅰ）求点A 和点B 的极坐标；（Ⅱ）设圆1C 的圆心为1C ，点P 是直线1BC 上的动点，且满足1BP mBC =，若直线1C P的参数方程为112x y λ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（λ为参数）的动点，则:m λ的值为多少？ 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设a ，b ，c R +∈，且1ab bc ac ++=，证明下列不等式：（Ⅰ）111a b c++≥； （Ⅱ）1()3abc a b c ++≤．2015年海口市高考调研测试（二）数学试题（理科）参考答案一、选择题：二、填空题13．16 14．22196x y += 15．316． 三、解答题17．解：（Ⅰ）（ⅰ）当1n =时，由n n S ta t =-，①，得111a S ta t ==-， 由数列{}n a 为等比数列，知1t ≠且0t ≠，此时11ta t =--------------------------------------2分 （ⅱ）当2n ≥时，11n n S ta t --=-，②，①-②得：11()n n n n n S S t a a a ---=-=， 即1(1)n n t a ta --=，∵1t ≠且0t ≠ ∴11n n t a a t -=-，结合11t a t =-，知等比数列{}n a 的通项公式为()1nn t a t =-，t 的取值范围是1t ≠且0t ≠ ------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）当2t =时，由（Ⅰ）得2n n a =，∴212122n b n n a --==，得21n b n =-，从而12n n b b +-=，即数列{}n b 是公差为2的等差数列 ----------------------------------------------8分∴(21)2n n n a b n =-，23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++- ③23412123252(21)2n n T n +=⨯+⨯+⨯++- ④③-④得31341112(12)2222(21)22(21)212n n n n n T n n -+++--=++++--=+---整理得1(23)26n n T n +=-+ ------------------------------------------------------------------------12分18．解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ． ∵PA //BE ，且4PA =，2BE =， ∴BE //AG 且BE AG =， ∴四边形BEGA 为平行四边形． ∴EG //AB ，且EG AB =． ∵正方形ABCD ，∴CD //AB ，CD AB =， ∴EG //CD ，且EG CD =． ∴四边形CDGE 为平行四边形． ∴CE //DG ．∵DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，∴CE //平面PAD ． ----------------------------------------------5分 （Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ， ∴(4,4,4)PC =-，(4,0,2)PE =-，(0,4,4)PD =-设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =，∴00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩． 令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴(1,1,2)m =．---------8分可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =-，(4,4,2)DE =-． 平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0220(4)200n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩．令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩， ∴)4,2,2(-=a an ．由平面DEF ⊥平面PCE ，得0m n ⋅=，即08222=-++a a ，4512<=a ， 点12(,0,0)5F ． 得：35AF AB =．--------------------------------------------------------------------12分 18． 解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为x 元，则：(10000.0001530000.000250000.0000970000.0000390000.00003)20003360x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ------------------------3分（Ⅱ）如图：2250(30695)391135154.046 3.841K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯=>， 所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关． -----------------------------------6分 （Ⅲ）设李师傅，张师傅到小区的时间分别为x ,y ，则(,)x y 可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为{}(,)78,7.58.5x y x y Ω=≤≤≤≤，则1S Ω=，事件A 表示李师傅比张师傅早到小区，所构成的区域为{}(,),78,7.58.5A x y y x x y =≥≤≤≤≤，即图中的阴影部分： 面积为111712228A S =-⨯⨯=，所以7()8A S P A S Ω==，----------------------------------------10分 事件B 表示连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率，则22371147()()()88512P B C ==--------------------------------------------------------------------------12分 20．解:(Ⅰ)设动点C 的坐标为(,)x y , 由题意得,2222||(2)()42AB x y x -+-==, 化简得24y x =, 所以抛物线的标准方程为24y x =. ----------------------------6分 (Ⅱ)设P 、Q 两点坐标分别为11(, )x y ,22(,)x y ，则点R 的坐标为1212(,)22x x y y ++． 显然直线1l 斜率存在且不为0，由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =- (0)k ≠,由24,(1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2242(24)416160k k k D =+-=+>．因为直线1l 与曲线C 于,P Q 两点,所以12242x x k +=+,12124(2)y y k x x k+=+-=． 所以点R 的坐标为222(1, )k k +． 由题知,直线2l 的斜率为1k-,同理可得点T 的坐标为2(12,2)k k +-． -----------8分当1k ≠±时,有222112k k+≠+,此时直线RT 的斜率2222221112RT kk k k k k k+==-+--． 所以,直线RT 的方程为222(12)1ky k x k k+=---, 整理得2(3)0yk x k y +--=． 于是,直线RT 恒过定点(3,0)E ; -----------------------------------------10分 当1k =±时,直线RT 的方程为3x =,也过(3,0)E ．综上所述,直线RT 恒过定点(3,0)E -------------------------------------12分21．解：（Ⅰ）11()(0)ax h x a x x x-'=-=>． （ⅰ）当0a ≤时，对任意0x >，()0h x '>，此时()h x 的单调递增区间是(0,)+∞；3分（ⅱ）当0a >时，若10x a <<，()0h x '>；若1x a≥，()0h x '≤，所以函数()h x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a+∞；---------------------------------6分 （Ⅱ）设直线2l 与()y g x =相切于点22(,)x y ，则22x y e =，22222()x yk g x e x '===，联立得21x =，2y e =，从而22x k e e ==．从而1211k k e ==，则直线1l 的方程为11y k x x e==． 设直线1l 与曲线()y h x =的切点为11(,)x y ，则1111111()yk f x a x e x '==-==，所以1111x y ax e==-①， 111a x e =-②．又因为111ln y x ax a =-+，代入①，②得1111ln 10x x e-+-=． 令11()ln 1u x x x e =-+-，则22111()x u x x x x-'=-=，从而()u x 在(0,1)上单调递减，在[1,+)∞上单调递增．当1(0,1)x ∈时，注意到11()20u e e e =-+->，1(1)0u e =-<，所以11(,1)x e∈，而111a x e =-在11(,1)x e ∈上单调递减，所以211e e a e e--<<，即111e a e e ---<<-；------------10分 当1[1,)x ∈+∞时，()u x 在[1,+)∞上单调递增，且()0u e =，从而1x e =，代入111a x e=-得0a =．综上，实数a 满足：0a =或111e a e e ---<<---------------------------------12分22．证明：（Ⅰ）连接CF ，由已知，在△BCD 中，AB AC AD ==∴90BCD BCE ∠=∠=，∴BE 是圆O 的直径．------------- -------- 2分 ∵90CBE DBC ∠+∠=，90BDC DBC ∠+∠=， ∴BDC CBE ∠=∠． ∵CBE CFE ∠=∠，∴CFE BDC ∠=∠，∴A 、D 、C 、F 四点共圆．． ------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）连接HI ，BF ，由（Ⅰ）A 、D 、C 、F 四点共圆．得ADF ACF FBC ∠=∠=∠ ∵AC 是圆O 的切线， ∴ACF CEF ∠=∠， ∵HI //DE ，∴CEF HIF HCF ∠=∠=∠，∴H 、C 、I 、F 四点共圆．----------------------------------------------------------------------3分 ∴HDC FHI FCI ABF ∠=∠=∠=∠∴ADC DBC CBE ∠=∠=∠，又BC DE ⊥∴△BED 为等腰直角三角形．---------------------------------------------------------------------5分23．解（Ⅰ）联立1C 与2C 的极坐标方程4sin 4cos()6ρθπρθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩，得4sin 4cos()6πθθ=+，当0ρ=时，得交点A 极坐标为(0,0)A ，-------------------------------------2分 当0ρ≠时，化简得tan θ=，从而6πθ=，2ρ=或76πθ=，2ρ=-（舍去）， ∴点B 的极坐标是(2,)6B π． ----------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得点B的直角坐标为1)B ，将圆1C 的极坐标方程化为直角坐标方程得22(2)4x y +-=， 从而1C 的直角坐标为1(0,2)C ， 设点P 对应的参数为λ，即1,1)2P λ+，----------------------------7分则1(,)2BP λ=-，1(1)BC =，由1BP mBC=，得12mλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴:1:2m λ= -----------------------------------------------------------10分24．证明：（Ⅰ）1111ab bc ac a b c abc abc++++==， 1ab bc ac++=≥abc ≤，∴111a b c++≥--------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）注意到：()()()()()()()abc a b c ab ac ab bc ac bc ++=++ ∵2()13[()()()()()()]ab bc ac ab ac ab bc ac bc ++=≥++，∴1()3abc a b c ++≤． -------------------------------------------------10分。