高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A版选修21

高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A 版选修21第三章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若平面α外直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,1)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 答案 D解析 若l ∥α，则a ·n ＝0，只有选项D 中a ·n ＝0.2．已知A (1,2，－1)，B 为A 关于平面xOy 的对称点，C 为B 关于y 轴的对称点，则BC →＝( )A ．(－2,0，－2)B ．(2,0,2)C ．(－1,0，－1)D ．(0，－2，－2) 答案 A解析 由题意可知B (1,2,1)，C (－1,2，－1)，∴BC →＝(－2,0，－2)． 3．以下四组向量中，互相平行的组数为( ) ①a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)； ②a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)； ③a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)； ④a ＝(－3,2,0)，b ＝(4，－3,3)． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ∵②中a ＝2b ，∴a ∥b ；③中a ＝－13b ，∴a ∥b ；而①④中的向量不平行．故选B.4．已知a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)的夹角为锐角，则函数y ＝x 2＋4x －1的值域是( ) A ．(－∞，3) B ．(－∞，－3) C ．(－4，＋∞) D ．(－∞，－4)答案 C解析 因a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)的夹角为锐角，则a·b >0，同时a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)不共线，即2＋x －1>0，得x >－1，则y ＝x 2＋4x －1＝(x ＋2)2－5>－4，故选C.5．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2) 答案 B解析 ∵a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．6．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1答案 B解析 由题意知，a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )，2a －b ＝(2－x ，3，－2y －2)．∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴存在实数λ，使a ＋2b ＝λ(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ(2－x )，4＝3λ，4－y ＝λ(－2y －2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，x ＝12，y ＝－4.7．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( ) A ．7 B ．－20 C ．28 D ．11 答案 C解析 因为m ＝(0,8,3)，n ＝(－1,5，－4)，所以m ·n ＝0＋40－12＝28.8．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )A. 6B. 3C.66D.62答案 A解析 设PA ＝AB ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,2,0)，C (3，1,0)，P (0,0,2)．∴BP →＝(0，－2，2)，BC →＝(3，－1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧BP →·n ＝0，BC →·n ＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋2z ＝0，3x －y ＝0.令y ＝1，则x ＝33，z ＝1.即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，1.易知m ＝(1,0,0)是平面PAB 的一个法向量．则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝331×213＝77.∴tan 〈m ，n 〉＝ 6.故选A.9．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 答案 C解析 ∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA →＝(1－x ，2－x,3－2x )，QB →＝(2－x,1－x,2－2x )．∴QA →·QB →＝6x 2－16x ＋10，∴当x ＝43时，QA →·QB →最小，这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.10．已知E ，F 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( )A.23B.23C.53D.233 答案 C解析 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，D 1(0,0,1)．所以AD 1→＝(－1,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0.设平面AEFD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1→＝0，n ·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x2＋y ＝0.∴x ＝2y ＝z ，取y ＝1，则n ＝(2,1,2)．而平面ABCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，∵cos 〈n ，u 〉＝23，∴sin 〈n ，u 〉＝53.故选C.11．在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 分别是x 轴、y 轴、z 轴的方向向量，设a 为非零向量，且〈a ，i 〉＝45°，〈a ，j 〉＝60°，则〈a ，k 〉＝( )A ．30° B．45° C．60° D．90° 答案 C解析 如图所示，设|a |＝m (m >0)，a ＝OP →，PA ⊥平面xOy ，AB ，AC ，PD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的垂线， 则在Rt △PBO 中，|PB |＝|OP →|sin 〈a ，i 〉＝22m .在Rt △PCO 中，|OC |＝|OP →|cos 〈a ，j 〉＝m 2，∴|AB |＝m 2.在Rt △PAB 中，|PA |＝|PB |2－|AB |2＝24m 2－m 24＝m 2，∴|OD |＝m2. 在Rt △PDO 中，cos 〈a ，k 〉＝|OD ||OP |＝12，又0°≤〈a ，k 〉≤180°，∴〈a ，k 〉＝60°.12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°；④AB 与CD 所成的角为60°.其中错误的结论是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案 C解析 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，设正方形ABCD 的边长为2，则D (1,0,0)，B (－1,0,0)，C (0,0,1)，A (0,1,0)，所以AC →＝(0，－1,1)，BD →＝(2,0,0)，AC →·BD →＝0，故AC ⊥BD .①正确．又|AC →|＝2，|CD →|＝2，|AD →|＝2， 所以△ACD 为等边三角形．②正确． 对于③，OA →为面BCD 的一个法向量，cos 〈AB →，OA →〉＝AB →·OA →|AB →||OA →|＝(－1，－1，0)·(0，1，0)2×1＝－12＝－22.因为直线与平面所成的角∈[]0°，90°， 所以AB 与平面BCD 所成的角为45°.故③错误． 又cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝(－1，－1，0)·(1，0，－1)2×2＝－12.因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以AB 与CD 所成的角为60°.故④正确．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．答案23解析 因为AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，所以AC ′→2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′→|2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA ′→＋2AD →·AA ′→＝1＋4＋9＋2×1×2×cos90°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝23，即|AC ′→|＝23.故AC ′的长为23.14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 答案63解析 如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0，1,1)，易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量.AC 1→＝(－1，1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)．则cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63. 15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为AF 的中点．沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为________．答案3解析 如图，过K 作KM ⊥EF ，垂足M 为EF 的中点，连接MG ，KG ，则向量MK →与FC →的夹角为120°，〈KM →，FC →〉＝60°.又KG →＝KM →＋MG →＝KM →＋FC →，∴KG →2＝KM →2＋FC →2＋2KM →·FC →＝1＋1＋2×1×1×cos60°＝3.∴|KG →|＝ 3.16．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1到平面MBD 的距离为________．答案66a 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (a ，a,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，A 1(a,0，a )，设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DM →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋a 2z ＝0，ax ＋ay ＝0，令x ＝1，则z ＝－2，y ＝－1，∴n ＝(1，－1，－2)．∴A 1到平面MBD 的距离d ＝|DA 1→·n ||n |＝a 6＝66a .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010.(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)·(k ＋2)＋k 2－8＝0，即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.18．(本小题满分12分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN →＝αAB→＋βAD →＋γAA 1→，试求α，β，γ的值．解 (1)如图所示，取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连接EF ，则 12AA 1→＋BC →＋23AB → ＝EA 1→＋A 1D 1→＋D 1F →＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC 1→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA 1→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.19．(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值． 解 (1)由题意易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0.解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D .(2)由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)，B 1C 1→＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝|n ·B 1C 1→||n ||B 1C 1→|＝37＝217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217.20．(本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．解 (1)证明：设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF .又EF ∥OB ， 所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点， 所以HI ∥BC .又HI ∩GI ＝I ，OB ∩BC ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC .(2)解法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC . 又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC .以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)．过点F 作FM 垂直OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)．故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)．设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎨⎧ －23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33. 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝77. 所以二面角F －BC －A 的余弦值为77. 解法二： 连接OO ′.过点F 作FM 垂直OB 于点M ，则有FM ∥OO ′.又OO ′⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC .可得FM ＝FB 2－BM 2＝3.过点M 作MN 垂直BC 于点N ，连接FN .可得FN ⊥BC ，从而∠FNM 为二面角F －BC －A 的平面角．又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径，所以MN ＝BM sin45°＝62， 从而FN ＝422，可得cos ∠FNM ＝77. 所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.21．(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ？若存在，求出AF ，若不存在，说明理由．解 假设存在F 点，使CF ⊥平面B 1DF .不妨设AF ＝b ，则F (2a,0，b )．又C (0，2a,0)，B 1(0,0,3a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，3a ， 则CF →＝(2a ，－2a ，b )，B 1F →＝(2a,0，b －3a )，B 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0. ∵CF →·B 1D →＝a 2－a 2＋0＝0，∴CF →⊥B 1D →恒成立．由B 1F →·CF →＝2a 2＋b (b －3a )＝b 2－3ab ＋2a 2＝0，得b ＝a 或b ＝2a .∴当AF ＝a 或AF ＝2a 时，CF ⊥平面B 1DF .22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)．所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D→|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0.取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量． 取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.。