高中数学第一章数列1.2.2.1等差数列的前n项和课件北师大版必修5
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北师大版高中数学必修5第一章《数列》第二节等差数列(一)ppt课件
解：a12=30+11d＜0 a11=30+10d≥0
∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
本节小结
你都掌握 了吗？
1. 等差数列的定义
2.通项公式及其应用
请打开课本
作 业习题1——2 A 组5、6、7
好好学习 天天向上
再见！
教学反思：
课堂练
1）求等差数列3，7，11······的第
习（二）
4项与第10项。 答案：a4=15 a10=39
Hale Waihona Puke 2)100 是 不 是 等 差 数 列 2 ， 9 ，
16······的 项 ？ 如 果 是 ， 是 第 几 项 ？
如果不是，说明理由。
答案：是第15项。
3)-20 是 不 是 等 差 数 列 0,-3.5,7···的项？如果是，是第几项？如果 不是，说明理由。
解之得 a1=-2 d=3 若让求a7，怎样求？
课堂练习 1.在等差数列｛an｝中， （三） 已知a3=9,a9=3,求a12
答案：a12=0
2. 在 等 差 数 列 ｛ an ｝ 中 ， 已 知 a2=3,a4=7,求a6、a8
解：由题意得，a1+d=3, a1+3d=7
∴ a1=1, d=2 ∴a6=a1+5d=1+5×2=11
握及应用
复数习列导的定入义
给出数列的两种方法
你还记得吗？
请看以下几例： 1) 4，5，6，7，8，9，10，······ 2) 3，0，-3，-6，-9，-12，······ 3) 1/10,2/10,3/10,4/10,5/10······ 4) 3，3，3，3，3，3，3，······
∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
本节小结
你都掌握 了吗？
1. 等差数列的定义
2.通项公式及其应用
请打开课本
作 业习题1——2 A 组5、6、7
好好学习 天天向上
再见！
教学反思：
课堂练
1）求等差数列3，7，11······的第
习（二）
4项与第10项。 答案：a4=15 a10=39
Hale Waihona Puke 2)100 是 不 是 等 差 数 列 2 ， 9 ，
16······的 项 ？ 如 果 是 ， 是 第 几 项 ？
如果不是，说明理由。
答案：是第15项。
3)-20 是 不 是 等 差 数 列 0,-3.5,7···的项？如果是，是第几项？如果 不是，说明理由。
解之得 a1=-2 d=3 若让求a7，怎样求？
课堂练习 1.在等差数列｛an｝中， （三） 已知a3=9,a9=3,求a12
答案：a12=0
2. 在 等 差 数 列 ｛ an ｝ 中 ， 已 知 a2=3,a4=7,求a6、a8
解：由题意得，a1+d=3, a1+3d=7
∴ a1=1, d=2 ∴a6=a1+5d=1+5×2=11
握及应用
复数习列导的定入义
给出数列的两种方法
你还记得吗？
请看以下几例： 1) 4，5，6，7，8，9，10，······ 2) 3，0，-3，-6，-9，-12，······ 3) 1/10,2/10,3/10,4/10,5/10······ 4) 3，3，3，3，3，3，3，······
高中数学 1.2.2.1 等差数列的前n项和同步课件 北师大版必修5
与技巧
类型 基本量
方法 思想
注意
等差数列(děnɡ chā shù liè)前n项和公式的直接应用 等差数列(děnɡ chā shù liè)前n项和公式的运算方法
“知三求二型” a1,d,n,an,Sn
运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程 （组），通过解方程（组）求出未知量
方程的思想 ①利用等差数列的性质简化计算； ②注意已知与未知条件的联系； ③有时运用整体代换的思想
第七页，共47页。
反之(fǎnzhī)，关于n的二次函数也不一定是某等差数列的前n
项和.
由Sn=An2+Bn+Cd,当C≠0时d，Sn一定不是某等差数列的前n项
2
2
和；当C=0时，令 =A,a1- =B,则一定能解出a1和d，因此这
时一定是某等差数列的前n项和.
第八页，共47页。
第九页，共47页。
4月1日至4月13日的销售总量为 1 230+a3=1 230+175=1 405＞1 300, 故4月13日该款服装在社会上已开始流行. 由-10n+305<110，得n>
∴第20天该款服装在社会上不32再9 ,(bù zài)流行.
∴该款服装在社会上流行没有超过10天.
第二十八页，共47页。
等差数列奇数(jī shù)项、偶数项和的问题
第十七页，共47页。
【规范解答】方法一：设{an}的公差为d,则Sn=na1+n n 1 d.
由已知条件(tiáojià12na)1， 1得2211d 84,
20a1
20 19 2
d
460,
2
整理得2a1 11d 14,
北师大版高中数学必修5课件1.2等差数列的前n项和课件(北师大版)
④
对于本节开头的问题，即转化为求满足 的最大自然数n.易知当n=19时，Sn=190;n=20时，Sn=210.所以n的 最大值为19.此时，将堆垛19层，剩余10根圆木料.
例7: 求前n个正奇数的和.
解 由等差数列前n项和公式，得
例8 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家 建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的 石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板， 从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：
高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到 100的自然数之和.那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，
所以他一写完题目，就坐到一边看书去了.谁知，他刚坐下，马上就有一
个学生举手说:“老师，我做完了.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小 的高斯.老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
①
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
②
把①， ②等号两边分别相加，得
（共n个）
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积 的一半，参见下图.
将an=a1+(n-1)d代入③式，得
例9 在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大 道一侧路边每隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这 20棵树苗，并返回A处.植树工人共走了多少路程?
解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m)组成了一
个数列 0,20,40,60，…，380，
高中数学 第一章 数列 2.2 第1课时 等差数列的前n项和课件 北师大版必修5
29
跟踪探究 2.在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值． 解析：法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋9（92－1）d＝17×25＋17（127－1）d， 解得d＝－2. 由aann＝ ＋1＝－－2n2＋（2n7＋≥10），＋27≤0，得nn≤ ≥11321212， ， 又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
220，由这些条
20
法二：∵S10＝10（a12＋a10）＝310， ∴a1＋a10＝62，① ∵S20＝20（a12＋a20）＝1 220， ∴a1＋a20＝122，② ②－①，得，a20－a10＝60， ∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4. ∴Sn＝na1＋n（n2－1）d＝3n2＋n.
21
方法技巧 两种思想方法在等差数列前n项和公式中的应用 (1)方程思想：等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是 由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解． (2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用．
或Sn＝
na1＋n（n2－1）d可求Sn.
10
知识梳理 应用公式知三求二： (1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项， 公差，项数，通项和前n项和． (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量， 即“知三求二”．
11
知识点三 等差数列前n项和的最值 思考并完成以下问题 1．你能把等差数列的前n项和公式写成Sn关于n的二次函数的形式吗？ 提示：能 Sn＝d2n2＋a1－d2n. 2．这个关系式有何特点？
27
法二：要使数列{an}前n项的和取得最小值，
则
高中数学 第一章《数列》等差数列的前n项和课件 北师大版必修5
a3n2)
a1604(n.5. 1)d
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n
项和练习2-3 2.
求自然数中前n个数的和.
n (1 n) Sn 2
n(n 1) . 2
Sn
n（a1 an )
Sn
n（2 a1 2
an )
3. 求自然数中前n个偶数(ǒu shù)的和.
n (2 2n)
Sn
2
n(n 1).
第十二页，共13页。
课堂小结：1、本节课我们学习了哪
2、通过等差数列的前n项和公式内容(nèiróng)的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?
3、本节课我们通过探究还得到(dé dào)了等差数列的性质中 的什么内容?
布置作业：课本习题1-2 A组11、12、13 B组3
且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记
为
an
a1 1, a120 120, n 120
S120
120
(1 120) 2
7260.
Sn
n（a1 2
an )
答：V形架上共放着7260支铅笔.
第八页，共13页。
等差数列(děnɡ chā shù liè)的
例2 求集合前nM项 和m | m例题7n,2n N,且m 100的元
an1 an d (是与n无关的数或式子）
a 等差数列 n 的通项公式为
an a1 (n 1)d
当d≠0时，这是关于n的 一个一次函数。
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
第五页，共13页。
等差数列的前n项和公式(gōngshì) 的推导
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第一章 数列
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1.数列
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1.1数列的概念
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北师大版高三数学57页 0183页 0209页 0230页 0322页 0368页 0390页 0454页 0512页 0575页 0577页 0611页 0650页 0693页 0717页
第一章 数列 1.1数列的概念 习题1—1 2.1等差数列 习题1—2 3.1等比数列 习题1—3 习题1—4 复习题一 第二章 解三角形 1.1正弦定理 习题2—1 习题2—2 习题2—3 复习题二 1.不等关系 1.2比较关系
1.2数列的函数特性
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习题1—1
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2.等差数列
高中数学 第一章《数列》等比数列的前n项和课件 北师大版必修5
Sn= a1+a1q +a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 = a1（1+q +q2 +…+qn-2 + qn-1）
第十页，共17页。
1、等比数列(děnɡ bǐ shù liè)1，2，4，
第10项的和为
S
S10
S4
1 210 1 2
1 24 1 2
或S
a5 1 q6 1 q
分析(fēnxī)：第1年产量为 5
第2年产量为 5×(1+10%)=5×1.1
第3年产量为
……
5×(1+10%) ×(1+10%)=5×1.12
第n年产量为 51.1n1
则n年内的总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
第十二页，共17页。
解：由题意，从第1年起，每年的产量
组成一个等比数列 an,
北师大版高中数学必修 (bìxiū)5第一章《数列》
第一页，共17页。
一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解现实生活中存在着大量 的等比数列求和的计算问题；⑵探索并掌握等比数列前n项和公式； ⑶用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一； ⑷体会公式推导过程中的分类讨论(tǎolùn)和转化化归的思想。2、 过程与方法：⑴采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方 法进行教学；⑵发挥学生的主体作用，作好探究性活动。3、情感 态度与价值观：⑴通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激 发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、 归纳的能力；⑵在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；⑶ 通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激 发学生学习的兴趣。
1-2-2-1等差数列的前n项和 课件(北师大版必修5)
再求和，也可以结合等差数列的性质整体求解；(2)运用求 和公式并结合性质求解．
第一章
数列
进入导航
【尝试解答】
(1)解法一：由已知条件得
a1＝3 ，解得 d＝4
a5＋a10＝2a1＋13d＝58 a4＋a9＝2a1＋11d＝50
.
10×10－1 10×9 ∴S10＝10a1＋ ×d＝10×3＋ ×4＝ 2 2 210.
和Sn＝
.
(2)若数列{an}的前n项和公式Sn＝An2＋Bn(A，B为 常数)，则数列{an}为 等差数列 ，其公差d为 2A .
第一章
数列
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等差数列的前n项和有怎样的函数特性？ 提示：当等差数列的公差d≠0时，其前n项和Sn是定义 nn－1 d 2 在正整数集上关于n的二次函数，即Sn＝na1＋ 2 d＝2n
第一章
数列
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【思路探究】
a1，d，n称为等差数列的三个基本
量，an和Sn都可以用这三个基本量表示，五个基本量a1， d，n，an，Sn中可“知三求二”．
第一章
数列
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【尝试解答】 ＝－15，
3 nn－1 1 － (1)∵Sn＝n· 2＋ 2 · 2
整理，得n2－7n－60＝0. 解之得n＝12或n＝－5(舍去)．
a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58 解法二：由已知条件得 a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50
，
第一章
数列
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∴a1＋a10＝42， 10a1＋a10 ∴S10＝ ＝5×42＝210. 2 解法三：由(a5＋a10)－(a4＋a9)＝2d＝58－50 ∴d＝4 由a4＋a9＝50，得2a1＋11d＝50，∴a1＝3. 10×9×4 故S10＝10×3＋ ＝210. 2
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数学 必修5
第一章 数列
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
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求等差数列前 n 项和的最值有两种方法 1．利用二次函数表达式确定 n 取何值时 Sn 最大或最小． 2．利用数列的单调性来确定 Sn 的最值． (1)d<0，数列{an}为递减数列． 若 a1<0，则第一项的和最大，S1＝a1；若 a1>0，则使 an≥0， an＋1<0 时的 Sn 最大． (2)d>0，数列{an}为递增数列． 若 a1>0，则第一项的和最小，S1＝a1. 若 a1<0，则使 an≤0，an＋1>0 的 Sn 最小．
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4．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 Sn＝242，求 n.
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解析： (1)设数列{an}的首项 a1，公差 d.
∵n∈N＋，∴n＝11.
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等差数列中的基本运算 已知数列{an}是等差数列， (1)若 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差 d； (2)若 a2＋a5＝19，S5＝40，求 a10； (3)若 S10＝310，S20＝1 220，求 Sn.
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1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 S7＝35，则 a4＝( )
A.8
B．7
C．6
D．5
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解析： 由 Sn＝na12＋an得 S7＝7a1＋ 2 a7＝7×22a4＝35. ∴a4＝5. 答案： D
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[提示] 假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
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这样，每层的钢管数都等于 4＋9，共有 6 层．从而原来一堆 钢管的总数为6×24＋9＝39.
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[问题 4] 一般地，如何求等差数列{an}的前 n 项和 Sn? [提示] Sn＝a1＋a2＋…＋an Sn＝an＋an－1＋…＋a1 相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1) ＝n(a1＋an) ∴Sn＝na12＋an.
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2．2 等差数列的前n项和
第一课时 等差数列的前n项和
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[问题 1] 我们已经知道，若{an}是等差数列，则 an＝kn＋b， 那么，这里的 k，b 怎么用 a1 和 d 表示？
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第一章 数列
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3．已知数列的通项 an＝－5n＋2，则其前 n 项和 Sn＝ ________.
解析： ∵an＝－5n＋2， ∴{an}为等差数列，且公差 d＝－5，首项 a1＝－3. ∴Sn＝n－3－25n＋2＝－n5n2＋1. 答案： －n5n2＋1
练课后演练提升互动讲义
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等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式
Sn＝n
a1＋an 2
Sn＝na1＋nn2－1d
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与等差数列前 n 项和公式有关的运算. 类型 “知三求二型” 基本量 a1，d，n，an，Sn 运用等差数列的通项公式和前 n 项和 方法 公式建立方程(组)，通过解方程(组)求 出未知量
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思想 注意
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方程的思想 ①利用等差数列的性质简化计算； ②注意已知与未知条件的联系； ③有时运用整体代换的思想
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等差数列前n项和的最值 1．若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为_负__数___项(或 0)， 所以将这些项相加即得{Sn}的最__小__值； 2．若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为_正__数____项(或 0)， 所以将这些项相加即得{Sn}的最_大___值． 特别地，若 a1>0，d>0，则__a_1_是{Sn}的最__小__值；若 a1<0， d<0，则__a_1_是{Sn}的最_大___值．
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第一章 数列
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2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝4，则公差 d 等于( )
A.1 C．2
5 B.3 D．3
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解析： S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝6 ∴a2＝2，d＝a3－a2＝2.故选 C. 答案： C
则aa1200＝＝aa11＋＋91d9＝d＝350，0， ∴ad1＝＝212， .
∴通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由
Sn＝na1＋n
n－1 2d
以及
a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程 242＝12n＋nn2－1×2， 即 n2＋11n－242＝0，得 n＝11 或 n＝－22，
[提示] k＝d，b＝a1－d
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第一章 数列
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[问题 2] 在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则有何性质？ [提示] am＋an＝ap＋aq.
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第一章 数列
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[问题 3] 某仓库堆放的一堆钢管(如图)，最上面的一层有 4 根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有 9 根， 怎样计算这堆钢管的总数呢？