量子力学第二章波函数与薛定谔方程郭华忠PPT课件
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量子力学-第二章波函数和薛定谔方程
因发现原子理论新的有 效形式与狄拉克
荣获1933年
RETURN
诺贝尔物理学奖
32
二. 方程的讨论
1. 概率流密度和守恒定律 设t时刻，x点周围单位体积内粒子出现的概率
w x,t * x,t x,t
概率随时间的变化规律
w * *
t
t t
因为 i 2 1 U x
t 2m
概率密度：
w x, y, z,t dW C x, y, z,t 2
dV
3.波函数的性质
(1) x, y,是z,t单 值、有界、连续的； (2) x, y,与z,t C描x写, y同, z,一t 状态。
20
(3)波函数的归一性 ① (x, y是, z)平方可积的,则可归一化，
2
dV 1
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
设波函数 x, y, z,t t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内的
概率
dW x, y, x,t C x, y, z,t 2 dxdydz
c
q v B mv 2
q Br v
c
r
mc
与玻尔量子化条件联立,得
r2
n
1 2
2 q
c B
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
qB mc
(n 0,1, 2, )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
华南师范大学量子力学课件-波函数和薛定谔方程
波函数反映的事微观粒子子的一一种统计规律，波函数������(r)有时也称为几几率幅
! dW (r , t ) ! ! 2 w(r , t ) = = C ψ (r , t ) dV
基本假定之一一：粒子子用用波函数来描述，它的模方方代表粒子子的概率密度
波函数的统计解释（IV）
波函数归一一化
粒子子在全空间中出现的几几率为必然为1，如果波函数的模方方在全空间中 积分不为1
ψ = Ae
! ! i ( pir − Et )/"
,
或
ψ = Ae
p, E 都是常数 平面面波只能用用来描述自自由粒子子
在外电场中被加速的电子子有没有确定的动量和能量？
如果粒子子处于随时间和位置变化的力力场中运动，它的动量或能量不 再是常量，粒子子的状态就不能用用平面面波描写，一一般记为：
! ψ = ψ (r , t )
ψ
Cψ
它们代表的是同一一个状态 对于已归一一化的波函数，在其上乘以一一个相位因子子后
eiδψ
并不改变其归一一化性质，即归一一化因子子并不唯一一 请判断下列哪个波函数与第一一个等价
ψ 0 = ei 2 x / ! ψ 1 = e− i 2 x /! , ψ 2 = − ei 2 x /! , ψ 3 = 3ei (2 x+ 7 ! )/! , ψ 4 = (4 + 3i )ei 2 x /!
(1) (2)
定态薛定谔方方程（III）
定态能量
方方程 (1) 的解为
f (t ) = Ce
− iEt /!
所以波函数的形式为
! ! − iEt /" Ψ (r , t ) = ψ (r )e
可以看出， E 就是能量 E 是既与坐标无无关也与时间无无关的常数，代表的是一一个确定的能量，即 定态能量 上式即定态波函数的一一般形式，定态波函数满足足方方程
量子力学 2 波函数和薛定谔方程
x, t c( p, t ) p dp p, t ( p, t ) x dx
§2.3 Schrodinger 方程
经典力学
物体运动状态用位置、 动量等力学量描述。
运动状态随时间变化 规律由牛顿方程描述。 若知道力学体系的初 始条件，利用牛顿方 程即可求出体系在任 何时刻的运动状态
请问下列波函数中，哪 些与 1描写同一状态？
1 ei 2 x / , 4 e i 2 x / ,
( 2)
已知下列两个波函数：
n A sin ( x a) | x | a 1 ( x) n 1,2,3, 2a | x | a 0 n ( x a) | x | a A sin 2 ( x) n 1,2,3, 2a | x | a 0 请问：I、波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是否等价？ II、对 1 ( x )取n 2两种情况，得到的两个 波函数是否等价？
c( p, t )
1 32 2
(r , t )e
i p r
dxdydz
i p r 1 ( r , t ) c ( p , t ) e dp dp dp x y z 3 2 总结： 2 i p r 1 c ( p, t ) ( r , t ) e dxdydz 3 2 2
的状态，则这些态的线性叠加
c1ψ1 c2ψ2 cnψn cnψn
(其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。
n
也是体系的一个可能状态。处于Ψ 态的体系，
部分的处于 Ψ 1态，部分的处于Ψ 2态...，部分
第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件
第二章 波函数与薛定谔方程
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
CATALOGUE
总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
量子力学(全套) ppt课件
1 n2
人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前，希腊人有一种思想认为：
•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
PPT课件
24
（3） 光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，
而且具有动量。根据相对论知，速度 为 V 运动的粒子的能量由右式给出：
nm
11
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
RH
C
1 m2
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
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含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量
子现象。
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀
了粒子的波动性的一面，具有片面性。
18
2. 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续
分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即 电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
代入布喇格公式 2dsink h 1
2m0e U
改变k值求出U值，与实验比较， I 发现与I取极大值时的U相符，
证明电子像射线一样具有波动性，
并证明了德布罗意公式的正确性。
11 U
2. 同年，英国的汤姆逊用多晶体做电子衍射实验, 也得到了电子衍射照片。
实验原理
十年后，戴维逊、汤姆逊因电子衍射实验的成果共 获1937年度诺贝尔物理奖。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振 幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是 没有意义的，与实验事实相矛盾。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广 延不会超过原子大小≈1 Å 。
有波动性，与粒子相联系的波称为物
质波（matter wave)或德布罗意波。
h
实物粒子
p
h
n
L. de Broglie (法1892-1987)
德布罗意获得1929 年诺贝尔物理学奖
9
二、实验验证
1. 戴维孙——革末实验(1927年）
电子束在晶体表
面上散射的实验,
D
观察到和X射线衍
射相似的电子衍
射现象。
K
使一束电子投
射到镍晶体特选 晶面上，探测器 测量沿不同方向 散射的电子束的 强度。
热阴极 U
I
B
集 电 器
晶体
I
电
G
流 计
10
U
散射电子束具有波动性，像X射线一样，
电子束极大的方向满足布喇格方程 2dsin k
根据德布罗意公式
mh0v(2m0heU)12
(12m0v2 eU)
h 1 12.2A 2m0e U U
例题1：m = 0.01kg，v = 300m/s的子弹，求。
hh6.6 31 034 2.2 110 3m 4
p mv0.0 1300
讨论：h极其微小,宏观物体的波长小得实验难以量, “宏观物体只表现出粒子性”
例题2:计算被电场加速运动的电子的物质波长。
设：加速电压为U 电子静止质量 me=9.1× 10-31 kg
12
3. 1961年，约恩逊进行了电子的单缝、双缝和多缝衍 射实验，得出了衍射条纹的照片。
单缝 双缝 三缝 四缝
4. 随后，用衍射实验证实了中子、质子、原子和分子 等微观都具有波动性，德布罗意公式对这些粒子同 样正确性。
13
C60分子束衍射
Nature 401, 680 (1999)
14
Nature 401, 651 (1999) 15
6
泡利 WOLFGANG PAULI
(1900-1958)
7
狄拉克 PAUL DIRAC (1902-1984)
8
波函数的统计解释
1923年,法国青年物理学家德布罗意 (de Broglie)提出,既然光具有粒子性,是 否实物粒子如电子也应当具有波动性？
一、德布罗意假设
实物粒子(静止质量不为零的粒子）具
第二章 波函数与薛定谔方程
1
• 质子在钯中的波函数
2
普朗克 MAX PLANCK
(1858-1947)
3
德布罗意 LOUIS DE BROGLIE
(1892-1987)
4
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER
(1887-1961)
5
海森堡 WERNER HEISENBERG
(1901-1976)
正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几
率。 22
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。
P
P
O
感
Q光
屏
O Q
如水波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现 出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一 起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
P
P
电子源
O
感
Q光 屏
Q 21
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子 在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基
础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中，照相底片上 r 点附近衍射花样的强度
群速度:
相速度: 必有色散->粒子解 体
20
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概念中 波意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
我们再看一下电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;
当V<<c 时 12meV2 eU
2e U V
me
h
meV
h 2emeU
当 U104V0.12A20
U15V0 1 A 016
（一）波函数
Aexp i(p •rE)t
描写自由粒子的 平面波
称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
•如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也
不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可以说， “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
19
➢ 反例:i)自由粒子平 面波,占据整个空间 ii)色散
量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r,t)
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
17
电子源
（1）两种错误的看法 1.波由粒子组成