《医用高等数学》(第二版)1-2极限
32.医用高等数学目录
第一章函数与极限
第一节函数
第二节极限
第三节函数的连续性
习题一
第二章导数与微分
第一节导数的概念
第二节函数的求导法则
第三节隐函数的导数
第四节高阶导数
第五节微分
习题二
第三章导数的应用
第一节微分中值定理
第二节洛必达法则
第三节函数的单调性与曲线的凹凸性第四节函数的极值与最值
第五节函数图形的描绘
习题三
第四章不定积分
第一节不定积分的概念与性质
第二节换元积分法
第三节分部积分法
第四节有理函数积分法
习题四
第五章定积分
第一节定积分的概念和性质
第二节微积分基本公式
第三节定积分的换元与分部积分法第四节定积分的应用
第五节广义积分
习题五
第六章常微分方程基础
第一节微分方程的基本概念
第二节一阶微分方程
第三节可降阶的微分方程
第四节二阶常系数齐次线性微分方程第五节微分方程在医学上的应用
习题六
第七章多元函数微积分
第一节极限与连续
第二节偏导数与全微分
第三节多元复合函数与隐函数的偏导数第四节多元函数的极值
第五节二重积分
习题七
第八章概率论基础
第一节随机事件与概率
第二节概率基本公式
第三节随机变量及其概率分布
第四节随机变量的数字特征
习题八
第九章线性代数初步
第一节行列式
第二节矩阵
第三节矩阵的初等变换
第四节矩阵的特征值与特征向量
习题九
参考答案
附录
附录1 不定积分表
附录2 泊松分布数值表。
《医用高等数学》考点归纳
《医用高等数学》主要知识点概要第1章 函数与极限§1.1 函数基本初等函数的图像和性质（教材第5页） §1.2 极限 1、 极限的定义：1) 两种基本形式lim ()x f x A →∞=和0lim ()x x f x A →=2) 左极限和右极限的概念 3) 极限的四则运算【重点】[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x ±=± lim ()lim ()kf x k f x =()lim ()im()lim ()f x f xg x g x = []lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x =⋅ 重点例题：教材第13页例8-例122、 两种重要极限【重点】 1) 基本形式0sin lim1x xx→=，重点例题：教材第15页13-152) lim(10)e ∞+=型，两种基本形式：1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭和()10lim 1x x x e →+=重点例题：教材第16页，例16-173、 无穷大与无穷小量【重点】 1) 无穷大与无穷小的定义 2) 无穷小的基本性质①有限个无穷大的乘积或代数和也是无穷大 ②非零常数与无穷大乘积也是无穷大③常数或有界函数与无穷大的代数和也是无穷大 3) 无穷小的基本性质①有限个无穷小的代数和或乘积也是无穷小 ②有界函数或常数与无穷小的乘积是无穷小③在求0x →的极限时，一些等价无穷小可以直接互相替换，但须注意替换时只能替换乘除因子中的无穷小，不能替换加减因子中的无穷小。
主要的代换有：~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1xx x x x x x e +- 以及：211cos ~2x x - 重要例题：教材17页，例18-19，教材第20页，练习1-2,第2题第（1）、（5）-（7）§1.3 函数的连续性 1、 函数连续的定义2、 判定函数在0x 连续的方法： 1) []000lim lim ()()0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=2)0lim ()()x x f x f x →=基本初等函数以及由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合构成的初等函数在其定义域内均是连续的。
《医用高等数学》(第二版)1-4函数的连续性培训资料
1
有界闭区间上连续函数的性质
介绍闭区间上连续函数的最大值和最小值存在性。
2
零点定理
阐述连续函数零点存在的条件和应用方法。
3
极值定理
讨论连续函数在闭区间上取得最值的条件和推论。
中值定理及应用
车速问题
通过中值定理解决汽车行驶过程中 的速度相关问题。
股市收益率
运用中值定理解释股票收益率与时 间变化的关系。
数学基础
数列与级数
回顾数列与级数的定义、性质和求和公式， 并探讨其在连续性讨论中的应用。
导数与微分
介绍导数的概念和基本运算法则，以及微 分的应用。
极限的概念
讲解极限的定义和性质，为后续讨论连续性做铺垫。
连续性概念
解释函数的连续性概念，包括点连续和区间连续，并讨论其与图像的关系。
连续性定理与判断方法
《医用高等数学》(第二版)1-4函数的 连续性培训资料
教材介绍 数学基础 连续性概念 连续性定理与判断方法 中值定理及应用 极限与连续的关系 实例分析
教材介绍
权威教材
介绍医用高等数学第二版教材的特 点、编写团队和应用领域。
内容概要
简要概述教材的章节架构和重点讨 论的内容。
医学应用
展示教材中与医学领域相关的例题 和实际应用案例。
烘焙时间
使用中值定理计算烘焙过程中温度 变化的平均速率。
极限与连续的关系
1 连续性与无穷趋向
2 一致连续性
3 间断点
探讨极限与连续性之间的联 系和边界条件。
介绍函数在整个定义域上具 有一致连续性的性质。
说明函数在哪些点上可能出 现间断。
实例分析
实例名称 投标问题 医疗数据分析 量子力学
高数极限1-2pdf
函数的极限
无限增大. 用数学语言刻划 无限接近、 无限接近、
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小; x > X 表示 x → ∞的过程 .
1. 定义 定义 (ε − X ) 设f ( x )在 | x |> a上有定义 .若 ∀ε > 0,
∃X > 0, 使得当 | x |> X时, 恒有 X ≥a | f ( x ) − A |< ε
则称x → ∞时函数 f ( x )有极限 A,记作
lim f ( x ) = A, 或 f ( x ) → A( x → ∞ ). x→∞
→∞
函数的极限
2. 另两种情形
(1) x → +∞ 情形 : lim f ( x ) = A
x → +∞
设f ( x )在x > a上有定义 . ∀ε > 0, ∃X > 0,
证略。（ 证略。（P8）
函数 f ( x ) 在点 x0 处极限存在的充要条件 为 : f ( x ) 在点 x0 处的左右极限都存在且 相 等。
性质常用于判断分段函数 性质常用于判断分段函数当 分段函数当x趋近于 分段点 分段点 时的极限.
函数的极限
例
x 试证函数 f ( x ) = sin x 当x → 1时, 无极限 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
函数的极限
一、函数在一点 函数在一点(one-point)的极限
用数学语言刻划 x → x0 , 函数f ( x ) 无限接近 于确定值A.
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小;
0 < x − x0 < δ 表示x → x0的过程 . x ≠ x0 δ U ( x0 , δ ) δ
医用高等数学第二版教材
医用高等数学第二版教材在医学领域中，高等数学作为一门重要的学科，对于培养医学生的精确思维和解决问题的能力具有重要作用。
本文将介绍医用高等数学第二版教材的内容和特点。
一、教材概述医用高等数学第二版教材是一本专门针对医学专业学生编写的高等数学教材。
该教材以医学领域中的实际问题为背景，通过具体案例和医学数据的运用，帮助学生更好地理解和掌握数学知识，并培养其将数学应用于医学实践的能力。
二、教材内容1. 微积分部分该教材的微积分部分包括极限与连续、导数与微分、微分中值定理、不定积分与定积分等内容。
与一般高等数学教材相比，本教材更加注重微积分在医学领域中的应用。
通过丰富的实例和计算题，学生可以体会到微积分在医学研究中的重要性。
2. 概率论与数理统计部分概率论与数理统计是医学中常用的数学工具之一，教材中详细介绍了概率、条件概率、随机变量与概率分布、抽样与估计、假设检验等内容。
通过理论和实例相结合的方式，学生能够掌握常见的统计方法，并能够运用于医学研究和临床实践中。
3. 线性代数部分线性代数在图像处理和医学成像等领域具有广泛的应用。
教材中包括了向量与矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等内容。
通过实例和计算题的训练，学生能够熟练运用线性代数方法，解决医学图像处理中的问题。
4. 偏微分方程部分偏微分方程在医学中常用于描述传热、传质和生物电活动等问题。
教材中重点介绍了常见的偏微分方程，如热方程、扩散方程和波动方程等。
通过实例和算例的练习，学生能够理解医学领域中的偏微分方程问题，并能够运用数学方法进行解决。
三、教材特点1. 强调数学在医学中的应用该教材通过丰富的医学案例和实际数据的引入，将数学与医学紧密结合，帮助学生理解数学知识的实际应用，并培养将数学方法应用到医学领域中的能力。
2. 突出问题解决的能力培养教材中的题目和实例不仅包括基础知识的应用，还涉及到医学实践中常见的问题和挑战。
通过解决这些问题，学生能够培养分析和解决实际问题的能力。
医药高等数学教材答案
医药高等数学教材答案由于题目中提到需要回答医药高等数学教材的答案，因此，以下是一个按照题目要求写的医药高等数学教材答案的示例。
----------------------------------医药高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念和性质1. 函数是一种特殊的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
2. 函数的定义域是所有输入的值，而值域是所有可能的输出值。
3. 函数可分为初等函数、三角函数、指数函数等等不同类型。
1.2 极限及其运算1. 极限描述了函数在某一点的趋势和特性。
2. 极限运算包括极限的求法、无穷小量的性质和极限的运算法则。
第二章：微分学2.1 函数的连续性及导数定义1. 连续性描述了函数在某一区间内的平滑性。
2. 函数在某一点连续的条件是左右极限存在且相等。
3. 导数描述了函数在某一点的变化率。
2.2 基本初等函数的导数1. 常数函数、幂函数、指数函数和对数函数的导数规律。
2. 三角函数的导数规律。
第三章：微分中值定理与函数的应用3.1 极值与最值1. 极值是函数在某一区间内达到的最大或最小值。
2. 最值是函数在整个定义域内的最大或最小值。
3.2 函数的增减性与凹凸性1. 函数的增减性描述了函数的单调性。
2. 函数的凹凸性描述了函数在某一区间内的凹凸特性。
3.3 微分中值定理1. 平均值定理和拉格朗日中值定理描述了函数在某一区间内的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
第四章：积分学4.1 不定积分与定积分1. 不定积分是函数的原函数，表示函数的积分结果。
2. 定积分表示函数在某一区间上的面积或曲线长度。
4.2 定积分的基本性质1. 定积分的线性性质和区间可加性。
2. 牛顿-莱布尼茨公式描述了定积分和不定积分之间的关系。
4.3 定积分的应用1. 定积分可用于计算曲线下的面积、物体的质量、质心等问题。
第五章：常微分方程5.1 方程的分类与求解方法1. 常微分方程可分为一阶和高阶方程。
医药高等数学函数解析PPT课件
1 July 2019
Байду номын сангаас
医药高等数学
8
1.1.2 常量与变量 1.常量
在某一现象或过程中始终保持同一数值不变 的量称为常量。
1 July 2019
医药高等数学
9
2.变量
在某一现象或过程中量有变化，可以取不 同的数值，这种量称为变量。
注意 一个量是常量还是变量不是绝的， 常量与变量是相对“场合”而言的。
所得到的的实数全体，称为点 x0 的去心
邻域，记为U( x0 , ) ，即
U0 ( x0 , ) {x 0 x x0 } ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 )
其中(x , x )
0
0
称为x0 的左
邻域，
( x0 , x0 ) 称为 x0 的右 邻域。
基本初等函数 复合函数 初等函数 1.1.6 分段函数 1.1.7 函数的简单性质 单调性 奇偶性 周期性 有界性
1 July 2019
医药高等数学
3
1.1.1 实数、区间与邻域 1.实数
实数由有理数和无理数两部分组成，全体 实数构成的集合称为实数集。 实数可以用数轴上点的坐标来表示，每一 实数必是数轴上某一点的坐标，反之，数 轴上没一点的坐标必是一个实数。每一实 数集与数轴上的全体点形成一一对应的关系。
f (x) = g(x)
1 July 2019
医药高等数学
12
（1）函数的定义域的确定
函数的定义域D通常按以下两种情形确定：
①当函数是用抽象的算式（解析式）表达 时，其定义域是使算式有意义的一切实数 构成的集合。
例如函数y 1- x 的 2 定义域是闭区间 [1,1]
医用高等数学：函数极限的概念(1)
例1 当x 时,讨论f (x) 1 1 的极限 x
解:(右图) 所以
当x 时，1+ 1 1； x
当x 时，1+ 1 1； x
lim
x
1
1 x
1.
y
1
0
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x x
单侧极限
当自变量 x 的变化沿 x 轴正方向无限增大（或沿 x
轴负方向绝对值无限增大）时，函数 f (x) 无限趋近于一 个常数 A ，则称 A 为函数 f (x) 的单侧极限，记为
lim
xx0
f
(x)
A或f
(x)
A(x x0 )
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返回
结束
lim f (x) A 或
xx0
f (x) A(x x0 )
如果当x x0 时，f (x) 不趋近一个常数，则称当 x x0
时，f (x) 的极限不存在（或称为发散）．例如
1 lim x0 x
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第二节 极限的概念
第一章
一、极限的概念
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第二节 函数的极限
第一章
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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定义1—4 当自变量 x 的绝对值无限增大时，如果 函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A，就称当x 趋于无穷大时，
函数 f (x) 以 A为极限(或收敛于A)，记为
lim f (x) A 或 f (x) A (x )
x
注意：若 x 时，函数 f (x) 不趋于某一个常数，
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f(x0 0)A
高等数学
01-02-18
右极限(right-hand limit) 若当 x 从 x0 的右侧( x>x0 )趋近
于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 A，则称常数 A为函数 f(x) 当 xx0 时的右极限，记作
lim f (x) A 或
xx0
f(x0 0)A
高等数学
4
x 1 x2 1
（2）
lim
x
2
3x2 x2
x
1
1
（3）lim x
2x3 3x2
x2 5 2x1
01-02-28
高等数学
01-02-29
一般地
lim
x
a0xn b0 x m
a1x n1 b1 x m 1
an bm
0
a0 b0
,n m, , n m , (a0 0,b0 0) ,n m,
作业：P18 习题一 9(1)(2)(3)(7)(8) 10(2)(6) 11(3)(5) 12
高等数学
ห้องสมุดไป่ตู้
01-02-30
是消处去理零“因00子”，型如极限的基本方法
（1）因式分解法； （2）有理化因式法； （3）三角变形法； （4）重要极限； （5）洛必达法则。
高等数学
01-02-31
课堂讨论题 求下列函数的极限
（1） lim 1 2x 3
x4 x 2
（2） lim ( x2x x2x) x
例 观察下列函数的极限
（1）lim(x 1) x 1
（2）li m x 1
x2 1 x 1
（3）f
(x)
x 1 , 1 ,
x 1，求
x 1
lim
x1
f
(x)
（4）li m s i n 1
x 0
x
高等数学
y 1
1
O
–1
01-02-15
y sin 1 x
1
x
高等数学
01-02-16
单侧极限 如果只考虑 x 从 x0 的一侧趋近
（4） lim s in x x
01-02-10
高等数学
01-02-11
xx0 时的函数极限 设函数 y=f(x) 在 x0 点附近有
定义（在 x0 点可以无定义），若当 x (xx0) 无论以怎样的方式趋近于 x0 时，函数 f(x) 都趋近于常数 A，则称
常数 A 为当 xx0 时函数 f(x) 的极限，
limf (x) A
x
或
f(x) A(x )
高等数学
显然有
01-02-08
limf (x)A
x
limf (x) limf (x)A
x
x
高等数学
y
y=f(x)
A
-x
O
x
01-02-09
x
高等数学
例 观察下列函数的极限
（1） li m e x 2 x
（2） l i m 2 x x
（3） lim arctan x x
求 lim f ( x ) ，lim f ( x ) 。
x 0
x1
01-02-21
高等数学
课堂讨论题 已知函数
x 1 ,
f
(x)
0,
x 1 ,
求 lim f ( x) 。 x 0
x0 x0 x0
01-02-22
高等数学
y
1
–1 O
01-02-23
y f(x)
1
x
–1
高等数学
01-02-24
显然有
01-02-19
lif( m x ) A lifm (x ) lifm (x ) A
x x 0
x x 0
x x 0
高等数学
例 已知函数
x f (x)
x
求 lim f ( x)。 x 0
01-02-20
高等数学
例 已知函数
x2 1 , x 0
f
(x)
x , 0 x 1
2 x , x 1
定理
设函数 f(x) 和 g(x) 在自变量 x 的同一变化过程中极限分别为 A 和 B，即
limf(x)A lim g(x)B
则（1）lim[f(x)g(x)]
limf(x)limg(x)AB
高等数学
01-02-25
（2）lim[f(x)g(x)]
limf(x)limg(x)AB
推论 lim [k f(x )] k lim f(x ) k A （3）lim [f(x)]n [lim f(x)]nA n
例 求下列函数的极限
（1） lim(1 2)x1
x
x
（2） limx 12x x0
01-02-40
高等数学
01-02-41
课堂讨论题 求下列函数的极限
1
（1） lim (1 x) x x0
（2）
lim(1
x)
x1 x
x0
2
高等数学
01-02-42
小结：函数极限(x、xx0) 单侧极限(左极限、右极限) 极限的四则运算法则 两个重要极限
lim f(x)lim f(u)A
x x0
u u 0
高等数学
例 求下列函数的极限
（1）
lim
x2
x(x x2
2) 1
（2）
lim
x1
x2 x2
3x4 5x4
（3） lim( x2 x x) x
（4） lim n 1 x 1
x0
x
01-02-27
高等数学
例 求下列函数的极限
（1） lim x
01-02-35
lim ( 1 1 1 )
n n21 n22
n2n
高等数学
例 求下列函数的极限
（1）limtanx(0)
x0 x
（2）lim x0
1
co x2
s
x
（3）lim arcsin x
x0 x
01-02-36
高等数学
01-02-37
课堂讨论题 求下列函数的极限
（1）lim sin 2x
u lim A
n n
或 un A(n )
高等数学
例 观察如下数列
01-02-05
（1）
1
1 n
，即
2,3,4, 23
,11, n
（2）
1
1 n
，即
0,1,2, 23
,11, n
高等数学
A
01-02-06
高等数学
01-02-07
x 时的函数极限 如果自变量 x 的绝对值无限增
大时，函数 f(x) 无限趋近于一个常 数 A，则称常数 A 为函数 f(x) 当 x 时的极限，记作
于 x0 时函数 f(x) 的极限，称为单侧 极限。
高等数学
01-02-17
左极限(left-hand limit) 若当 x 从 x0 的左侧( x<x0 )趋近
于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 A，则称常数 A为函数 f(x) 当 xx0 时的左极限，记作
lim f (x) A 或
x0 sin 5x
（2）lim x 2
cos x
x
2
高等数学
（2）lim(1 1)x e
x
x
01-02-38
x
10
103
107
(1 1 ) x x
2.59374
2.71692
2.71828
1
或 lim(1 x)x e x0
e
高等数学
准则2 单调有界数列必有极限。
01-02-39
高等数学
（4）limf(x)limf(x)A (B0)
g(x) limg(x) B
高等数学
01-02-26
定理
设 y=f((x)) 是由 y=f(u)，u=(x)
复合而成的，f((x)) 在点 x0 的附近
有定义（x0可除外），若
lim(x)
xx0
u0
limf (u) A
uu0
且对 x0 附近不等于 x0 的 x，(x)u0，则
T P
x
O MA
PMPATA sin xxtaxn
lim sin x 1 x0 x
高等数学
01-02-34
准则1（夹挤定理）
若在同一极限过程中，三个函 数 f(x), g(x), h(x) 之间有关系
g(x)f(x)h(x)
且 limg(x)A，limh(x)A，则
limf(x)A
高等数学
例 求极限
《医用高等数学》（第二版）1-2极 限
高等数学
一、极限的概念 二、极限的运算法则 三、两个重要极限
01-02-02
高等数学
01-02-03
割之弥细，所失弥少。割之又
割，以至于不可割，则与圆合体而 无所失矣。——古代割圆术
高等数学
01-02-04
数列极限
对于数列 {un}，如果存在一个常 数 A，当 n 无限增大时，数列 {un}中 的项 un 无限趋近于常数 A，则把常 数 A 称为数列 {un} 的极限，记作
记作
lim f (x) A
xx0
或
f(x) A(x x0)
高等数学
y
A
O
01-02-12
y=f(x)
x0
x
高等数学
01-02-13
注 （1）xx0 的方式是任意的； （2）当 xx0 时，f(x) 有无极限与 f(x) 在 x0 点是否有定义及 x0 点的函 数值无关。