数学分析3.4两个重要的极限

第三章函数极限(下载后可解决看不到公式的问题)

4 两个重要的极限

一、证明：=1.

证：∵sinx

由cosx=1，根据极限的迫敛性，=1.

例1：求.

解：令t=π-x，则sinx=sin(π-t)=sint，且当x→π时，t→0，

∴==1.

例2：求.

解：==，

二、证明=e.

证：设f(x)=, g(x)=, n≤x

则f(x)递增且有上界，g(x)递减且有下界，∴与都存在，取{x n}={n}，由归结原则得

==e，==e，

又<≤，则<<，

根据迫敛性定理得= e.

设x=-y，则==，且当x→-∞，y→+∞，从而有=·=e.

∴=e.

注：e的另一种形式：=e.

证：令a=，则当a→0时，→∞，∴==e.

例3：求.

解：==e2.

例4：求.

解：==.

例5：求.

解：<→e(n→∞)，又当n>1时有

=≥→e(n→∞，即→0). 由迫敛性定理得：=e.

习题

1、求下列极限：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10). 解：(1)==2；

(2)==··=0；

(3)== -1；

(4)=·=1；

(5)===

====；

(6)令arctan x=y，则x=tany，且x→0时，y→0，

∴===1；

(7)==1；

(8)==·2sin a

=··2sin a= sin2a；

(9)==8=8；

(10)===

2、求下列极限：

(1)；(2)(a为给定实数)；(3)；

(4)；(5)；(6)α(α,β为给定实数) 解：(1)==e2；

(2)==e a；

(3)==e；

(4)===e2；

(5)==

==e2；

(6)α=αα

α=

α

αα

α

=eαβ.

3、证明：=1.

证：∵=== =；

∴当x≠0时，==；

==1.

当x=0时，=1，

∴=1.

4、利用归结原则计算下列极限：

(1)sin；(2).

解：(1)∵sin===0

根据归结原则，sin=0.

(2)∵当x>0时，>→e(x→+∞)，

又=<→e(x→+∞，即→0)，∴=e

根据归结原则，=e.