初三数学教案-角平分线(1-2)北师大版 精品

§1．4．1角平分线（一）
教学目标
（一）知识目标
1．角平分线的性质定理的证明。

2．角平分线的判定定理的证明。

3．用尺规作已知角的角平分线。

（二）能力目标
1．进一步发展学生的推理证明意识和推理能力，培养学生将文字语言转化为符号语言，图形语言
的能力。

2．体验解决问题策略的数学思想方法，提高实践能力。

教学重点
1．角平分线的性质和判定定理的证明。

2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由。

教学难点
1． 正确地表述角平分线性质定理的逆命题。

2． 正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。

教学过程
1、创设问题情境：
〖思考与探索〗有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC 上一点P 处,为尽快爬到OA 或OB 上控制猎物,它应该选择什么路线,两条路线长度关系怎样?
（蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现了角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理。

） 2、新课引入
问题：
（1）还记得角平分线的概念吗？
（2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？ （3）你是怎样理解结论的？
（4）以前我们用折纸的方法得到了一个结论，我们能进行严格意义的证明吗？ 师：（板演:画出一个角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。

）
问：你能否将蜘蛛实例的结论转化为一个命题，写出以知与求证进行证明？
已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E. 求证：PD=PE.
（注：将文字语言转化成符号语言和图形语言由师生共同完成）
证明∵AC 平分∠AOB ，
∴∠AOC=∠BOC=21∠AOB 。

又∵∠AOC=∠BOC=RT ∠,
OC=OC
∴△AOC ≌△BOC （HL ）
∴CD=CE(全等三角形的对应边相等)
(请学生回答蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度关系) 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等。

问题：（1）你清楚这定理的条件与结论了吗
（2）交换定理的题设和结论得到的逆命题是什么？ （3）你能证明逆命题是真命题吗？
逆命题：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。

已知：如图PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，
垂足分别是D 、E ，且PD=PE.
求证： 点P 在∠AOB 的平分线上。

证明： ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO=RT ∠.
∵ PD=PE;
OP=OP
∴ △POD ≌△POE （HL ）
∴ ∠DOP= ∠POE. （全等三角形的对应角相等）， 即： OC 平分∠AOB 。

（注：命题的几何语言转化与证明：由学生完成，教师引导） 定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。

〖做一做〗
如图：以知∠AOB ，求作射线OP ，使∠AOP= ∠POB.
作法：1、在OA 和OB 上分别截取OD ，OE ，使OD=OE 。

2、分别以D ，E 为圆心、以大于
2
1DE 的
长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点
3、作射线OC 。

OC 就是∠AOB 的平分线。

（请学生简单说明OC 为什么是∠AOB 的平分线。

）
3、巩固与反馈
随堂练习：1，2。

4、课时小结
（1）定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
（2）定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。

（3）理解两条定理的关系及它们各有什么用途。

O P
A B E
D C
A O
B E
C
D P
D E F
A B C
P M
N （4）用尺规作角平分线. 5、课后作业
1． 习题1.8第1，2，3题。

2，阅读“读一读”，
§1．4．2 角平分线（二）
教学目标
（一）知识目标
1．证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。

2．角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。

（二）能力目标
1． 进一步发展学生的推理证明意识和能力。

2． 培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。

3． 提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力，
教学重点
1． 三角形三个内角的平分线的性质。

2． 综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。

教学难点
角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。

教学过程
1、设置情境问题，搭建探究平台
师：习题1、8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现三条角平分线位置有什么关系？ （用多媒体演示尺规作图过程）。

生：三角形三条角平分线交于一点， 师：你能证明证明这个结论吗？ 2、新课
师生：共同完成将文字语言转化成符号语言和图形语言
如图,设△ABC 的角平分线BM,CN 相交于点P,过点P 分别作BC,AC,AB 的垂线,垂足分别是E,F,D. 求证：点P 在∠BAC 的平分线上 证明：∵BM 是△ABC 的角平分线,点P 在BM 上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF
∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部,
且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC 的三条角平分线相交于一点P.
〖本题基本想法回顾〗：
两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即
可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点。

问题：在证明过程中除了证明三角形的三条角平分线相交于一点外，还发现这个点到三边的距离关系怎样？
完整的定理内容：
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 例题讲解
例1如图，在△ABC 中 ，AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，
（1）已知CD=4㎝，求AC 的长；
（2）求证：AB=AC+CD 。

〖分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起。

目的是使学生进一步理解、掌握这些知
识和方法，并能综合运用它们解决问题，第（1）问中，求AC 的长，需求出BC 的长，而BC=CD+DB ，CD=4㎝，而BD 在等腰直角三角形DBE 中，根据角平分线的性质，DE=CD=4㎝，再根据勾股定理便可求出DB 的长，第（2）问中，求证AB=AC+CD ，这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE ，所以需证AC=AE ，CD=BE 。

〗
（1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C=90°，DE ⊥AB 。

∴DE=CD=4㎝（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）， ∵AC=BC ，∴∠B=∠BAC （等边对等角），∠C=90°，
∴∠B=
2
1
×90°=450°。

∴∠BDE=90°－45°=45° ∴BE=DE （等角对等边）。

在等腰直角三角形BDE 中， BD=
DE 22= 42㎝（勾股定理）
， ∴AC=BC=CD+BD=（4+42
）㎝。

（2）证明：
由（1）的求解过程可知， Rt △ACD ≌Rt △AED （HL 定理） ∴AC=AE 。

∵BE=DE=CD ，
∴AB=AE+BE=AC+CD 。

例2：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ，
求证：（1）OC=OD ；
（2）OP 是CD 的垂直平分线。

证明：（1）∵P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，
∴PC=PD （角平分线上的点到角两边的距离相等）。

在Rt △OPC ≌Rt △OPD 中，OP=OP ，PC=PD ，
∴Rt △OPC ≌Rt △OPD （HL ）。

∴OC=OD （全等三角形对应边边相等）。

（2）又∵OP 是∠AOB 的角平分线，
B E
A D
C
O
E D
C
A
P
∴OP是CD的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）。

思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？
3、巩固与反馈
习题1。

9 第1、2题。

4、课时小结
（1）利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等，
（2）综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题。

5、课后作业
见作业本。