现代控制理论复习题

①已知系统u u u y y 222++=+，试求其状态空间最小实现。

②设系统的状态方程及输出方程为11000101;0111x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y x =试判定系统的能控性。

解：① 取拉氏变换知 )()2()()22(33s u s s s y s ++=+21121)1(21)(2213++-=+++=s s s s s g 能控规范型：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101110 ； 21021+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x y ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1/20201/2o C rankQ rank rank CA 能观 其状态空间最小实现为：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101110 ； 21021+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x y② 1n c u BA BA B-⎡⎤=⎣⎦ 012111101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，秩为2， 系统状态不完全能控。

已知系统的状态空间表达式为00001⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x x u t ；[]x y 01=； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11)0(x 试求当0;≥=t t u 时，系统的输出)(t y 。

解 12122121000000()()0000000000()()0000t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A()()tt t d ττ⎰与可交换A A00201(,)()[()]2!t tt t t t d d ττττ=+++⎰⎰ΦI A A0222200001010(,)0.50.500.50.5101t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫Φ=+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Φ+Φ=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰2220101()(,0)(0)(,)()()1122tx t t x t B d t t t u()()()==1y t C t x t判定系统11221223x x x x x x =-+⎧⎨=--⎩在原点的稳定性。

解2114523I A λλλλλ+--==+++，两个特征根均具有负实部，系统大范围一致渐近稳定。

已知系统 u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 试将其化为能控标准型。

解 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1210c Q ，-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1112201c Q []=-11122q[][]⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦11112122221100q q A--⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦11221112211,11PQ P111111101221100110122A P AP -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1111022111122B P B -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦能控标准型为010011x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦或：211()(1)0s s s s s s s sϕ--=-==-=-I A00a = 11a =- ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1210c Q 1112111110101011c a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦P Q --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦112211122P111111101221100110122A P AP -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1111022111122B P B -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦能控标准型为010011x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x-⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求出串联后系统状态空间表达式及传递函数。

解 组合系统状态空间表达式11111111111111111:=+=+⎧∑⎨=+=+⎩x A x B u A x B uy C x D u C x D u 2222122211121122212222212221112112221():()=+=++=++⎧∑⎨=+=++=++⎩x A x B y A x B C x D u B C x A x B D uy C x D y C x D C x D u D C x C x D D u []1111121221212222120⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，x x B x A u y D C C D D u B C A x x B D x[]1200101001,00010011010010x x u y x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦组合系统传递函数为[]1111111()1s sI s -=-+=+ G C A B D []1222223()(1)(1)s s s s s -+=-+=-+ G C I A B D++===⨯=+-+-+212133()()()1(1)(1)(1)(1)s s G s G s G s s s s s s已知系统 1001010,(0)00121x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()x t 。

解1110011001()0100010********2s s sI A s s s s s s --⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪ ⎪⎪-=-= ⎪⎪- ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪---⎝⎭y()112200000t At t t tt e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎪-⎝⎭()(0)At x t e x =222001000001t t t t tt t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭已知系统[]210 020,011003x x y ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，通过代数判决判定该系统是否完全能观？解 [][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U Orank 2O U n =<，所以该系统不完全能观将下列状态方程化为能控标准形u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11 4321 解 []1117c Q bAb -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦171881188c Q -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦11188q ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦211344q q A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦11211881344q P Q q -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()1314881148P Q -⎡⎤-⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦101105A P AP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦1111088 111344b P b -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010或：()212()4(1)651034s s s s s s s s ϕ-=-==--+=-+--I A010a = 15a =-[]1117c Q bAb -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦1111516110171021c a ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦P Q -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111881344P 101105A P AP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦1111088 111344b P b -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010 利用李亚普诺夫第一方法判定系统1211x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦的稳定性。

解1211A -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦特征根1λ=-均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：1123-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x x 解11121222p p P p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T A P PA I +=-11121112221222241420261p p p p p p p -+=-⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩ 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩1112122275485388p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 111211122275717480 det det 05346488p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。

给定线性时变系统11101t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥--+⎣⎦x x ， 0t ≥ 判定其原点0e x =是否是大范围渐近稳定。

解2212(,)((1))2V x t x t x =++2112221(,)(1)2V x t x x x t x x =+++21221211(1)(10)21x x x t x x x t =+++--+2219(10)2t x =-+系统在原点处大范围渐近稳定矩阵A 是22⨯的常数矩阵，关于系统的状态方程式=x Ax ，有1(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，22t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x ；2(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，2t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 。

试确定状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。

解因为系统的零输入响应是()(,0)(0)t t =x x Φ 所以221(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦Φ，22(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦Φ 将它们综合起来，得22122(,0)11tt tt e e t ee ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦Φ122222222121222222(,0)11112tt t t tt t ttt t t tt tt e e e e e e e et e e e e e e e e -------------------⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦Φ()()()0000,,,,dt t t t t t dt==ΦΦΦA I 因此代入初始时间00t =可得矩阵A 为：0221002200022224(,)(,)1324t t t t t tt t t t t e e e e d t t t t dt e e e e ---------===⎡⎤-+-+⎡⎤⎧⎫===⎨⎬⎢⎥⎢⎥---+-+⎩⎭⎣⎦⎣⎦A ΦΦ（1）设系统为()()()011, (0)011a t t u t x b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x试求出在输入为(0)u t t =≥时系统的状态响应。