一个优美不等式的加强的另证与进一步加强 08.3

一个优美不等式的加强的另证与进一步加强侯典峰黑龙江省大庆实验中学 163316文［1］介绍了如下一个优美不等式． 设,,0a b c >，1a b c ++=，则2222a b b c c ab c c a a b+++++≥+++． 文［2］将此不等式加强为：设,,0a b c >，1a b c ++=，则2222a b b c c a b c c a a b +++++≥+++()()()22238a b b c c a ⎡⎤+−+−+−⎣⎦． （1）另证本文将给出其一个简证，先证明如下一个引理．引理1 当,,0x y z >时，有y z x x y z ++()()()()2222332x y y z z x x y z ⎡⎤−+−+−⎣⎦≥+++. （2）证明：不等式（2）等价于()()2222x y z xy yz zx ⎡⎤+++++⎣⎦()222y z z x x y ++≥()()22232x y z xy yz zx xyz ⎡⎤+++++⎣⎦，()444x y y z z x ++()232323x y y z z x +++()3232322x y y z z x +++()2222xyz x y z +++()3xyz xy yz zx +++≥()2226xyz x y z ++()3xyz xy yz zx +++，()444x y y z z x ++()232323x y y z z x +++()3232322x y y z z x +++ ≥()()22233344xyz x y z x yz xy z xyz ++=++.因为()()222222323232xy z x yz xy z x y y z z x +++++()()()223222322232x y z z x x yz y z xy z x y =+++++222222222x yz xy z x y z ≥++，所以有323232x y y z z x ++222222x y z x yz xy z ≥++,而()444x y y z z x ++()222222x y z x yz xy z +++()()()422422422x y x yz y z x y z z x xy z =+++++333222x yz xy z xyz ≥++又()()232323323232x y y z z x x y y z z x +++++()()()322332233223x y z x y z x y z x y z =+++++333222x yz xy z xyz ≥++所以()444xy y z z x ++()232323x y y z z x +++()3232322x y y z z x +++≥()444x y y z z x ++()222222x y z x yz xy z +++()232323x y y z z x +++()323232x y y z z x+++()3334x yz xy z xyz ≥++，从而引理得证．下面给出不等式（1）的另证：因为2222a b b c c ab c c a a b+++++−+++ ()()()2221112b c b c a c a b a b c c a a b−++−++−++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++−+++ 1116b c ab c c a a b+++=++−+++3a b b c c a b c c a a b +++=++−+++ 由引理可知3a b b c c a b c c a a b +++++−+++()()()()222232222a b b c c a a b c ⎡⎤−+−+−⎣⎦≥++，从而不等式（1）得证．本文将给出不等式（1）的进一步加强：设,,0a b c >，1a b c ++=，则2222a b b c c a b c c a a b+++++≥+++()()()22234a b b c c a ⎡⎤+−+−+−⎣⎦． （3）先证明如下一个引理．引理2 当,,0a b c >时，有a b b c c a b c c a a b ++++++++()()()()2222334a b b c c a a b c ⎡⎤−+−+−⎣⎦≥+++．（4） 证明：为了行文方便，本文记（下同）2222a abc =++∑； ab ab bc ca =++∑；3333a abc =++∑；2222a b a b b c c a =++∑；2222ab ab bc ca =++∑；32323232a b a b b c c a =++∑；23232323a b a b b c c a =++∑；4444a b a b b c c a =++∑；4444ab ab bc ca =++∑；5555a abc =++∑；3333a bc a bc abc ab c =++∑；22222222a b c a b c a bc ab c =++∑．且有()2a b c ++22a ab =+∑∑；()()()222222a b b c c a a ab −+−+−=−∑∑； ()()()()()()222c a a b a b b c b c c a ++++++++232326a a b ababc =+++∑∑∑；()()()222a b b c c a a b ab abc +++=++∑∑．同时还可以得出如下一组等式．2353223a a a ab a b ⋅=++∑∑∑∑∑； 2242322a ab a b a b a bc ⋅=++∑∑∑∑∑； 2243222a ab ab a b a bc ⋅=++∑∑∑∑∑； 3443ab a a b ab a bc ⋅=++∑∑∑∑∑； 232322ab a b a b a bc a b c ⋅=++∑∑∑∑∑； 223322ab ab a b a bc a b c ⋅=++∑∑∑∑∑；()23abc a a bc ⋅=∑∑；()22abc ab a b c ⋅=∑∑．故要证明不等式（4）成立，只需证明()()()()()()()22224a b c c a a b a b b c b c c a ⎡⎤++⋅++++++++⎣⎦()()()(){}()()()2222123a b c a b b c c a a b b c c a ⎡⎤≥+++−+−+−⋅+++⎣⎦,⇐()()223222326a ab a a b ab abc +⋅+++∑∑∑∑∑≥()29a ab +∑∑⋅ ()222a b ab abc ++∑∑，⇐()223222226412a a a a b a ab abc a ⋅+⋅+⋅+⋅∑∑∑∑∑∑∑34ab a +⋅∑∑ ()2212824ab a b ab ab abc ab +⋅+⋅+⋅∑∑∑∑∑222299a ab a ab≥⋅+⋅∑∑∑∑()218abc a +⋅∑()229918ab ab ab ab abc ab +⋅+⋅+⋅∑∑∑∑∑，⇐()22322222356a a a a b a ab abc a ⋅−⋅−⋅−⋅∑∑∑∑∑∑∑34ab a +⋅∑∑ ()2236ab a b ab ab abc ab +⋅−⋅+⋅∑∑∑∑∑0≥，将一组等式代入，故要证不等式（4）成立，只需证明54423220a a b aba b +−−≥∑∑∑∑．而()()()54545454a ab b a bc b c a c a +=+++++∑∑()2323232322a b b c c a a b≥++=∑，由排序不等式可知54a ab ≥∑∑，故有54423220a a b ab a b +−−≥∑∑∑∑成立，从而不等式（4）得证．下面给出不等式（3）的证明：因为2222a b b c c ab c c a a b+++++−+++ ()()()2221112b c b c a c a b a b c c a a b−++−++−++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++−+++ 1116b c ab c c a a b+++=++−+++3a b b c c a b c c a a b +++=++−+++， 由引理可知，当,,0a b c >时，有3a b b c c a b c c a a b +++++−+++()()()()222334a b b c c a a b c ⎡⎤−+−+−⎣⎦≥++()()()22234a b b c c a ⎡⎤=−+−+−⎣⎦，从而不等式（3）得证． 最后，本文再给出此优美不等式的另外三个加强形式．1．222a b b c c a b c c a a b ++++++++()()()()()()()()()222123b c c a a b b c c a a b c a a b b c ⎡⎤−−−≥+++⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦. （5）先给出如下一个引理：引理3 设0,0,0x y z >>>，并记3333xx y z =++∑，2222x y x y y z z x =++∑，2222xy xy yz zx =++∑．则有()23230x xy xyxyz −++≥∑∑∑．证明：因为上面不等式左侧是,,x y z 的对称式，故不妨设x y z ≥≥， 则()232x x y xy−+∑∑∑3xyz +()()()()()()x x y x z y y z y x z z x z y =−−+−−+−−()()()()x x y x z y y x y z ≥−−+−−()()()()y x y x z y y x y z ≥−−+−− ()()0y x y x y =−−≥，从而不等式（*）得证．不等式（5）的证明：因为2222a b b c c a b c c a a b+++++−+++()()()2221112b c b c a c a b a b c c a a b −++−++−++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++−+++1116b c a b c c a a b+++=++−+++ ()()()()()()()()()()()()1116b a b c a c b c a b a b c c a a b b c c a +++++++++++=−+++ ()()()()333222222222222871262a b c a b b c c a ab bc ca abca b b c c a ab bc ca abc +++++++++=−++++++()()()3332222222222a b c ab bc ca a b b c c a ab bc ca abc ++−++=++++++()()()()333222a b c ab bc ca a b b c c a ++−++=+++， 又()()()()()()222b c a b c a b c a b c a +−++−++−()()()()()()222222222b c a ab b c a b bc c a b c ca a =+−+++−+++−+()()()33322222226a b c a b b c c a ab bc ca abc =+++++−++−，从而()()()()()()()22233322213a b c ab bc ca a b b c b c c a c a a b ⎡⎤++−++−+−++−++−⎣⎦()()()333222222233a b c a b b c c a ab bc ca abc ⎡⎤=++−++−+++⎣⎦0≥， 可得()()()()()()()22233322213a b c ab bc ca a b b c b c c a c a a b ⎡⎤++−++≥+−++−++−⎣⎦，()()()()333222a b c ab bc ca a b b c c a ++−+++++()()()()()()()()()22213a b b c b c c a c a a b a b b c c a ⎡⎤+−++−++−≥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()22213b c c a a b b c c a a b c a a b b c ⎡⎤−−−=++⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦，证毕．2．222a b b c c a b c c a a b ++++++++()()()222122()a b b c c a a b c b c c a a b ⎡⎤−−−≥+++⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦. （6）证明：先证a b b c c a b c c a a b ++++++++()()()222132()a b b c c a a b c b c c a a b ⎡⎤−−−≥+++⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦. （7）欲证明不等式（7），只需证明()()()()()()()2222a b c c a a b a b b c b c c a ⎡⎤++++++++++⎣⎦()()6a b c a b ≥+++()()b c c a +++()()()()()()22a b a b c a b c b c a b ⎡−+++−++⎣()()()2c a c a b c ⎤+−++⎦只需证明()2322326a a a b ab abc ⋅+++∑∑∑∑≥()2262a a b ab abc ⋅++∑∑∑()433222a ab a b a bc ++−−∑∑∑∑只需证明()2343322222a a a ab a ab a b a bc ⋅≥⋅++−−∑∑∑∑∑∑∑∑将两个等式代入，故要证不等（7）成立，只需证明43322220aa b ab a b +−−≥∑∑∑∑（*）． 不妨设{}max ,,a a b c =．（1）若a b c ≥≥时，则0a b −≥，0b c −≥，()()43322222222a a b ab a b a b a c +−−=−−∑∑∑∑()222b c +−()()()()2a b b c a c a b c +−−−++0≥，（*）式显然成立． （2）若a c b ≥≥，则可设,a c x c b y =+=+，其中0,0x y ≥≥，且有a b x y =++， 那么4332222aa b ab a b +−−∑∑∑∑432234452x x y x y xy y =++++2364bxy by ++224b x +32410bx bx y ++22244b xy b y ++()22322366264bx y bxy x y x y xy −++++44322322x y x y x y xy ≥++−−()2220x y xy =−+≥，（*）式也成立．从而不等式（7）得证． 而2222a b b c c a b c c a a b +++++−+++()()()2221112b c b c a c a b a b c c a a b −++−++−++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++−+++1116b c a b c c a a b +++=++−+++3a b b c c a b c c a a b+++=++−+++()()()22212()b c c a a b a b c a b b c c a ⎡⎤−−−≥++⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，不等式（6）得证．此外还可以证明222a b b c c a b c c a a b ++++++++()()()222122()a b b c c a a b c c a a b b c ⎡⎤−−−≥+++⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦．3．设,,0a b c >，1a b c ++=，则有若{}min ,,c a b c =，则()()()()2222a c b c a b b c c ab c c a a b a b b c −−+++++≥++++++. （8） 若{}min ,,b a b c =，则()()()()2222a b c b a b b c c ab c c a a b c a a b −−+++++≥++++++. （9） 若{}min ,,a a b c =，则()()()()2222b a c a a b b c c ab c c a a b b c c a −−+++++≥++++++. （10） 下面以（8）为例加以证明．2222a b b c c a b c c a a b +++++−+++()()()2221112b c b c a c a b a b c c a a b −++−++−++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++−+++1116b c a b c c a a b+++=++−+++()()()()()()()()()()()()1116b a b c a c b c a b a b c c a a b b c c a +++++++++++=−+++ ()()()()333222222222222871262a b c a b b c c a ab bc ca abca b b c c a abbc ca abc+++++++++=−++++++()()()3332222222222a b c ab bc ca a b b c c a abbc ca abc++−++=++++++()()()()()2222222222a a c b b a c c b a b b c c a ab bc ca abc −+−+−=++++++()()()()()()22222222222a a b a b c b b a c c b a b b c c a ab bc ca abc−+−+−+−=++++++()()()()()()()22222222a b a b a c a c b c a b b c c a abbc ca abc+−++−−=++++++()()()()()()()()()2222222a c a c b c a c b c a b b c a b b c c a abbc ca abc+−−−−≥=++++++++．参考文献[1]李学军，戎送魁译．一组优美的不等式[J].数学通讯.2006,（21）． [2]张俊．一个优美不等式的加强[J] ．数学通讯，2008（9）．[3]刘保乾．BOTTEMA,我们看见了什么--三角形几何不等式研究的新理论、新方法和新结果[M]．拉萨:西藏人民出版社,2003．[4]刘保乾．110个有趣的不等式问题[C]//杨学枝.不等式研究(第1辑)．拉萨:西藏人民出版社,2003:389-405． [5]杨路．夏壁灿．不等式机器证明与自动发现(数学机械化丛书) [M]．科学出版社 2005． [6]宋庆．两个优美的不等式的推广[J]．中学数学．2007,4．[7]杨志明．阿·尼·瓦西列夫不等式的再推广[J]．中学数学．2007，9．。