一个不等式猜想的证明及推广
柯西不等式的一个推广
柯西不等式的一个推广柯西不等式是一个著名的数学不等式，它最初由英国数学家约翰柯西在1857年提出。
这个不等式给了数学家以一种强有力的表达“有趣”问题的方法，它在推动数学研究方面发挥了重要作用。
最初的柯西不等式表达的是这样一种思想：一个函数内的若干点的和的倒数不可能大于函数的最大值。
柯西不等式的一个推广是称为Carleman不等式，由瑞典数学家Torsten Carleman在1924年提出。
Carleman不等式的思想是：给定集合的函数的和的倒数不可能大于所有函数的最大值的和的倒数。
与柯西不等式相比，Carleman不等式把研究对象扩展到函数集合，而不仅仅是函数内的若干点，这让研究函数集合对于每一个点的关系变得更加容易。
为了证明Carleman不等式，Torsten Carleman提出了一种新的数学工具：偏微分方程组。
他通过推导不等式来表达他的思想：假设一个函数集合{f1，f2，…，fn}，那么我们可以构建一个函数f=f1+f2+…+fn，它的偏微分方程组为f1x1+f2x2+…+fnxn≤M其中，M表示函数集合{f1，f2，…，fn}的所有函数的最大值的和。
通过解决这个偏微分方程组，我们就可以得到满足它的解，从而得到Carleman不等式的证明：f1/x1+f2/x2+…+fn/xn≤M/min(x1，x2，…，xn)我们可以看出，当x1，x2…，xn趋近于零时，M/min(x1，x2，…，xn)可以趋近于任意大的值，使得Carleman不等式成立。
柯西不等式和Carleman不等式的研究在现代数学中仍被广泛应用，它们的推广更是被纳入到各种数学研究领域中，诸如几何、拓扑、复变函数等等。
比如，在几何学中，柯西不等式更新了几何中点的定义，使得几何问题更加清晰明了。
在复变函数领域，Carleman不等式被应用到多复变函数的研究中，使得多复变函数的研究变得更加容易。
由于柯西不等式和Carleman不等式是数学中著名的不等式，它们可以帮助数学家完成各种复杂的数学问题，从而推动数学研究的发展。
概率论中几个不等式的推广及应用
概率论中几个不等式的推广及应用
1. 闵可夫斯基不等式：它是概率论中最重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）贝叶斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明贝叶斯定理，以及证明条件概率的关系。
（2）拉普拉斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明拉普拉斯定理，以及证明条件概率的关系。
（3）抽样不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明抽样定理，以及证明条件概率的关系。
（4）泰勒不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明泰勒定理，以及证明条件概率的关系。
（5）大数定律：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明大数定律，以及证明条件概率的关系。
2. 黎曼不等式：它是概率论中另一个重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）熵不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明熵定理，以及证明条件概率的关系。
（2）马尔可夫不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明马尔可夫定理，以及证明条件概率的关系。
（3）惩罚不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明惩罚定理，以及证明条件概率的关系。
（4）贝尔不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔定理，以及证明条件概率的关系。
（5）贝尔-黎曼不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔-黎曼定理，以及证明条件概率的关系。
利用一元二次不等式的一个推广证明不等式
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利用一元二次不等式的一个推广证明不等式作者：王毅
来源：《理科考试研究·高中》2013年第02期
若一元二次不等式ax2+bx+c≥0恒成立，且a>0，则b2-4ac≤0.由它易得
推广1：若（x-k1）2+（x-k2）2+…+（x-kn）2≥0，
则（k1+k2+…+kn）2≤n（k21+k22+…+k2n），当且仅当k1=k2=…=kn时，取等号.
证明：略.
推广2：若（a1x-k1）2+（a2x-k2）2+…+（anx-kn）2≥0，
则（a1k1+a2k2+…+ankn）2≤（a21+a22+…+a2n）（k21+k22+…+k2n），当且仅当
a1k1=a2k2=…=ankn时，取等号.
证明：略.
这两个推理很有应用价值，用它来解决一类竞赛题，出人意料的简单.
例1 （第三届加拿大数学竞赛题）设x，y为正数，且x+y=1.证明（1+1x）（1+1y）≥9.
证明因为x+y=1，所以x2+y2=1-2xy.构造一元二次不等式
（t-x）2+（t-y）2≥0.
由推广1得：（x+y）2≤2（x2+y2）=2（1-2xy）xy≤14.
所以（1+1x）（1+1y）=xy+x+y+1xy=1+2xy≥1+8=9，故（1+1x）（1+1y）≥9.
例2 （1997年加拿大数学竞赛题）已知16个正数的和是100，它们的平方和为1000，证明这16个数中没有一个大于25.
证明：设这16个数分别是a1，a2，a3，…，a16，依题意得a1+a2+a3+…+a16=100，
a21+a22+a23+…+a216=100.
构造一元二次不等式。
一个猜想推广命题的再推广
３（ ６一 ｈ）
。
再推广： 已知 正 实数 。 ∈（ ｏ ， １ ） ， 且
。 ： ＝ ＝ １ ，
笔者 把其 中 的“ Ｏ ＜ ≤２ ” 推广 到“ ≥ 一２ ” ， 即： 已 知正 实数 “ ， ｌ ） １ ， ｆ ∈（ ０ ， １ ） ， 且“ ＋『 ） ＋ｃ ＝１ ， ｈ Ｊ 一２ ＞ ， 则有
’ ２ — ＋Ａ —ｔ 十
一
÷ 时 取 等 号 ．
所 以 １ ＋
１ ８
’
辛智 文（ 陕西 省铜川 市第 一 中学 ）
＋ １
＋
十 １ 十 ．９ （ ２ ＋ｈ ｃ ） 、 ．
禾 厌 老 帅 提 出猜 想 （ 见文献Ｌ １ ） ： 已 知 正 实 数 ａ，
６ ， ｒ ∈ （ ｏ ， １ ） ， 且 ｎ ＋ ６ ＋ ｃ 一 １ ， 猜 想 ； 兰 ＋ ２ － ｂ ＋
一
是 中心 对称 图形 ， 于是 总结前 三 个定 义得 到 统一 的倒
圆锥 曲线 的定义 ．
证 明方 法 与倒 椭 圆一样 ， 留给读者 试试 ．
一 ｈ ａ－ － ２４ ＿ ｈ ｂ－ － ２＋
…
及
＋
≥
， 当且 仅 当 ａ 一 １
，
—
ｌ ， ２ ， …， 时取 等号 ， 又
一１ ， ａ ｌ ∈（ ｏ ， １ ） ， 容 易
…
…
一
㈢
３ ＋
１
十
＋
１
十
＋
１ ≥
≥
证得 结论 ．
参考文献 ： Ｅ ｌ ｉ 宋庆 ， 周瑜 芽． 关 于 证 明不 等 式 的 一 些 思 考 ［ Ｊ ］ ． 中 学 数
对数平均不等式的推广
对数平均不等式的推广简介对数平均不等式（AM-GM不等式）是一个常用的数学不等式，可以用于证明和推导各种数学问题。
本文将对对数平均不等式进行推广，探讨其在更广泛场景下的应用。
对数平均不等式对数平均不等式是指对于给定的一组非负实数，其算术平均值不小于几何平均值。
具体地，对于正数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，有以下不等式成立：$$\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldotsx_n}$$其中，等号当且仅当所有的 $x_i$ 值相等时成立。
对数平均不等式的推广在某些情况下，对数平均不等式可以进一步推广以适应更复杂的情况。
以下是两个对数平均不等式的推广形式。
1. 幂平均不等式幂平均不等式是对数平均不等式的一种推广形式，它将几何平均值替换为更一般的平均值。
给定一组正数 $x_1, x_2, \ldots,x_n$ 及相应的权重 $w_1, w_2, \ldots, w_n$，其中 $w_i > 0$ 且$\sum_{i=1}^{n} w_i = 1$，幂平均不等式可以表示为：$$\sqrt[w]{w_1x_1^w + w_2x_2^w + \ldots + w_nx_n^w} \geq\sqrt[w]{x_1^{w_1} x_2^{w_2} \ldots x_n^{w_n}}$$当 $w = 1$ 时，幂平均不等式即为对数平均不等式。
2. 加权对数平均不等式加权对数平均不等式是对数平均不等式的另一种推广形式，它考虑的是不同变量之间的加权关系。
给定一组正数 $x_1, x_2, \ldots,x_n$ 及相应的权重 $w_1, w_2, \ldots, w_n$，其中 $w_i \geq 0$ 且$\sum_{i=1}^{n} w_i = 1$，加权对数平均不等式可以表示为：$$w_1 \log(x_1) + w_2 \log(x_2) + \ldots + w_n \log(x_n) \geq\log(x_1^{w_1} x_2^{w_2} \ldots x_n^{w_n})$$当权重 $w_i$ 相等时，加权对数平均不等式即为对数平均不等式。
柯西不等式的证明、推广及应用
柯西不等式的证明、推广及应用2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。
证明：∑∑==ni i n i i b a 1212, 收敛，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。
2.2 命题2[3]若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221，则对定义在[]b a ,上的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x fx g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：()()()()()()()()xg dx x g x f dx x f xg dx x g x f dx x f i ni n bai ni n bani in bani in ba∆=∆=∆=∆=∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰=∞→=∞→=∞→=∞→ξξξξ12212211lim ,lim lim ,lim令()()12211221,ξξg bfa ==，则∑∑==ni i n i i b a 1212与收敛，由柯西不等式得()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===ni i n n i i n ni i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 121221121221lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222。
一些不等式的证明及推广【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。
它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。
柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。
因此柯西不等式在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用，再加上本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。
由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。
闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkowski）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。
在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。
因为高斯曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基根据前人的工作发现：把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。
由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。
这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。
闵可夫斯基此后继续研究n元二次型的理论。
他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称“Minkowski约化理论”。
当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时，他获得了十分精彩而清晰的结果。
柯西不等式推广公式(一)
柯西不等式推广公式(一)柯西不等式推广公式什么是柯西不等式？柯西不等式是数学中的一种基本不等式，用于描述向量的内积性质。
它可以用来证明其他数学定理以及解决实际问题。
柯西不等式的原始形式是针对两个向量的，即对于向量a和向量b，有以下不等式成立：|a·b| ≤ ||a|| × ||b||该不等式表明，两个向量的内积的绝对值不会超过两个向量的模的乘积。
柯西不等式的推广公式除了上述原始形式的柯西不等式，还存在许多推广公式。
以下是几种常见的推广公式：1.几何形式的柯西不等式：对于n维实数空间中的n个向量a1，a2，…，an，有以下不等式成立：|a1·a2| +|a2·a3| + … + |an·a1| ≤ √(a1·a1) × √(a2·a2)× … × √(an·an) 这个公式表明，n个向量两两之间的内积的绝对值的和不会超过这n个向量模的乘积的开方。
2.数学分析中的柯西不等式：对于n维实数空间中的两个函数f(x)和g(x)，以及一个非零值为常数的函数h(x)，有以下不等式成立：|∫[a,b] f(x) × g(x) × h(x) dx| ≤(∫[a,b] f(x)² × h(x) dx × ∫[a,b] g(x)² × h(x)dx)^(1/2) 这个公式表明，对于给定的函数f(x)和g(x)，它们的乘积的积分的绝对值不会超过这两个函数分别平方并乘以常数函数积分的乘积的开方。
3.组合数学中的柯西不等式：对于n个实数a1，a2，…，an和n个实数b1，b2，…，bn，有以下不等式成立：(a1² + a2² + … + an²) × (b1² + b2² + … + bn²) ≥ (a1 × b1 + a2 × b2 + … + an × bn)² 这个公式表明，对于给定的两组实数，它们的平方和的乘积应大于等于这两组实数逐一相乘的和的平方。
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[收稿日期]２０１８Ｇ０３Ｇ１１; [修改日期]２０１８Ｇ０４Ｇ０６ [基金项目]国家自然科学基金(６１３７０１７７);广州市科学技术局项目(２０１７０７０１０２２７)
[作者简介]黄辉(１９６８－),男,博士,副教授,从事偏微分方程数值解、图像处理与模式识别研究．Email:xxhuanghui＠１２６．com
第３４卷第３期大 学 数 学Vol．３４,№．３
２０１８年６月COLLEGEMATHEMATICSJun．２０１８
一个不等式猜想的证明及推广黄 辉(广东财经大学统计与数学学院,广州５１０３２０)
[摘 要]针对«数学通报»２００３年９月号第１４５４问题,利用数学分析的方法证明基于该问题的一个不
等式猜想．在此基础上,给出其更一般的推广形式及证明,并指出«绵阳师范学院学报»２０１４年１１月康晓蓉文中错误．最后,举例说明其应用．[关键词]不等式猜想;推广;证明;应用
[中图分类号]O１７２ [文献标识码]C [文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０３Ｇ００９９Ｇ０４
１ 引 言
«数学通报»２００３年９月号第１４５４问[１]:设a,b＞０,求证:aa２＋３b２＋bb２＋３a２≥１．
在文献[２]中,康晓蓉提出一个猜想及其等价命题
不等式１:设a,b,c∈ℝ＋,则
aa２＋４(b２＋c２)＋bb２＋４(c２＋a２)＋cc２＋４(a２＋b２)≥１,(１)
其中等式成立当且仅当a＝b＝c成立．不等式２:设x,y,z∈ℝ＋且x＋y＋z＝１
,则
１４x－３＋１４y－３＋１４z－３
≥１,(２)
其中等式成立当且仅当x＝y＝z＝１３成立．２ 等价命题的证明及应用
定理１ 在题设条件下不等式(
１)与不等式(２)等价．
证 aa２＋４(b２＋c２)＋bb２＋４(c２＋a２)＋cc２＋４(a２＋b２)≥１
⇔１１＋４(a２＋b２＋c２a２－１)＋１１＋４(a２＋b２＋c２b２－１)＋１１＋４(a２＋b２＋c２c２－１)≥１．令x＝a２a２＋b２＋c２,y＝b２a２＋b２＋c２,z＝
c２
a２＋b２＋c２,则上式等价于
１４x－３＋１４y－３＋１４z－３
≥１．
不难看出,x,y,z∈ℝ＋且x＋y＋z＝１．
以下将证明不等式(２)成立．首先,给出一个引理．
引理[３](Jensen不等式) 若f(x)为区间
I上的下凸(上凸)函数,则对于任意xi∈I和满足的
∑n
i＝１
λi＝１的λi＞０(i＝１,２,,n),成立
f(∑ni＝１λixi)≤∑ni＝１λif(xi) (f(∑ni＝１λixi)≥∑ni＝１λif(xi))．
特别是当λi＝１n(i＝１,２,,n)时,有
f(１n∑ni＝１xi)≤１n∑ni＝１f(xi) (f(１n∑ni＝１xi)≥１n∑ni＝１f(xi))．
证
记f
(x)＝１４x－３＝x４－３x,利用对数求导法,可得
f′(x)＝２x(４－３x)x４－３x, f″(x)＝
４(３x－１)
x２(４－３x)２x
４－３x．
当x＞０,４－３x＞０,３x－１≥０,ìîíïïï即１３≤x＜４３时,f′(x)＞０,f″(x)≥０．
故f(x)在[１３,４３)内严格递增且下凸,由引理知f(x)＋f(y)＋f(z)≥３f(x＋y＋z３)＝３f(１
３)＝１,
即不等式(２)得证．例１(２００１年国际数学奥林匹克试题) 设a,b,c∈ℝ＋,则
aa２＋８bc＋bb２＋８ca＋cc２＋８ab≥１．
证 因为b２＋c２≥２bc,所以a２＋４(b２＋c２)≥a２＋８bc．
故有
aa２＋８bc≥aa２＋４(b２＋c２)
成立,同理可证bb２＋８ca≥bb２＋４(c２＋a２), cc２＋８ab≥cc２＋４(a２＋b２)．
从而
aa２＋８bc＋bb２＋８ca＋cc２＋８ab
≥aa２＋４(b２＋c２)＋bb２＋４(c２＋a２)＋cc２＋４(a２＋b２)≥１．
３ 不等式的推广及证明
文献[２]给出不等式(１)和不等式(２)的进一步推广形式
００１大 学 数 学 第３４卷(i)设n≥４,n∈ℕ,a１,a２,,an∈ℝ＋,则
a１a２１＋(n＋１)∑ni＝２a２i＋＋aka２k＋(n＋１)∑ni＝１,i≠ka２i＋＋an
a２n＋(n＋１)∑n－１i＝１a２i
≥１．(３)
(ii)设n≥４,n∈ℕ,x１,x２,,xn∈ℝ＋且∑ni＝１xi＝１,则
１n＋１x１－n＋１n＋１x２－n＋＋１n＋１
xn
－n
≥１,(４)
其中等式成立当且仅当x１＝x２＝＝xn＝１n成立．笔者认为文献[２]推广表述及证明均有误,不等式(１)和(２)推广后,可得以下命题
定理２ 设n≥４,n∈ℕ,a１,a２,,a
n∈ℝ
＋
,则
a１a２１＋(n＋１)∑ni＝２a２i＋＋aka２k＋(n＋１)∑ni＝１,i≠ka２i＋＋an
a２n＋(n＋１)∑n－１i＝１a２i
≤１．(５)
定理３ 设n≥４,n∈ℕ,x１,x２,,xn∈ℝ＋且
∑n
i＝１
xi＝１
,则
１n＋１x１－n＋１n＋１x２－n＋＋１n＋１
xn
－n
≤１．(６)
类似可证明定理２与定理３等价．下证定理３成立．
证
记g
(x)＝１n＋１x－n＝xn＋１－nx,利用对数求导法,可得
g′(x)＝n＋１２x(n＋１－nx)xn＋１－nx,g″(x)＝
(n＋１)(４nx－n－１)
４[x(n＋１－nx)]２
x
n＋１－nx．
当x＞０,n＋１－nx＞０,４nx－n－１≤０,ìîíïïï,即０＜x≤１４＋１４n时,g′(x)＞０,g″(x)≤０．故g(x)在(０,１４]内严格递增且上凹,由引理知∑ni＝１g(xi)≤ng(１n∑n
i＝１
xi)＝ng
(１
n)＝１,
即定理３得证．
４ 结 论
本文利用Jensen不等式和数学分析的方法证明了两个等价不等式及其推广形式,并给出实例加以说明．
[参
考 文
献]
[１] 吴永锋．一个猜想的证明[J]．数学通报,２００３,１６(７):４３．
[２] 康晓蓉．对一个不等式的推广证明及进一步猜想[J]．绵阳师范学院学报,２０１４,３３(１１):１０－１１,１５．
１０１第３期 黄辉:一个不等式猜想的证明及推广[３] 陈纪修,於崇华,金路．数学分析(上)[M]．２版．北京:高等教育出版社,２００４．
[４] 廖俊俊,吴洁．关于凸性的一些探讨[J]．大学数学,２０１６,３２(６):９１－９５．
[５] 刘长剑,汤正谊．一个不等式的证明[J]．大学数学,２０１２,２８(６):１００－１０１．
TheProofandExtensionofanInequalityConjectureHUANGHui(SchoolofStatisticsandMathematics,GuangdongUniversityofFinanceandEconomics,Guangzhou５１０３２０,China)
Abstract:Inviewofthe１４５４thproblemoftheSeptember２００３mathematicalbulletin,amathematicalanalysis
methodisusedtoproveaninequalitybasedontheproblem．Onthisbasis,themoregeneralformandproofofitsextensionaregiven,andalsopointsouttheerrorsofKangXiaoＧrongintheJournalofMianYangNormalUniversityinNovember２０１４．Finally,anexampleisgiventoillustrateitsapplication．Keywords:inequalityconjecture;extension;proof;application
２０１大 学 数 学 第３４卷