两个猜想不等式的证明
高中数学课时素养评价第3章不等式3..基本不等式的应用含解析苏教版第一册
课时素养评价十二基本不等式的应用（15分钟35分)1.已知a〉b>0,全集为R，集合M=x b<x〈，N={x|<x〈a},P=｛x｜b〈x≤},则M，N，P满足（）A.P=M∩（R N) B。
P=(R M)∩NC.P=M∪N D。
P=M∩N【解析】选A。
由a>b〉0结合基本不等式可得，a>〉〉b,故P=M∩(R N）。
2。
某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a，第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则（)A。
x= B.x≤C.x>D.x≥【解析】选B.由条件知A(1+a）（1+b）=A(1+x)2,所以(1+x）2=（1+a)（1+b)≤,所以1+x≤1+,故x≤。
3。
已知a〉0，b〉0,ab=1，且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是(）A。
3 B.4 C.5 D。
6【解题指南】利用“1”的代换解题。
【解析】选B。
因为ab=1,所以m=b+=2b，n=a+=2a,所以m+n=2(a+b)≥4=4。
当且仅当a=b=1时，等号成立。
【补偿训练】若实数a，b满足+=,则ab的最小值为（)A.B。
2 C。
2 D.4【解析】选C。
由题意知a>0，b〉0,则+≥2=，当且仅当=，即b=2a时等号成立。
所以≥，即ab≥2.4。
周长为+1的直角三角形面积的最大值为________。
【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则+1=a+b+≥2+,解得ab≤,当且仅当a=b=时取等号，所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为.答案：5。
某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________。
【解析】总运费与总存储费用之和f（x）=4x+×4=4x+≥2=160,当且仅当4x=，即x=20时取等号。
答案：206.设a，b,c均为正数，且a+b+c=1。
基本不等式证明
所以，ab a b 成立 2
当且仅当a b时取“”
分析法——执果索因
证法3：
对于正数 a,b，有
( a b)2 0 a b 2 ab 0
a b 2 ab
a b ab 2
综合法——由因索果
如果 a,b 是正数，那么 ab a b
2
当且仅当a b时取" " 号
问题 3、当a 0, b 0时 ，这个不等式仍然成立吗？
把不等式 ab a b (a 0,b 0) 称为基本不等式。 2
注意 （1）不等式成立条件（2）等号成立条件
问题4： 你能给出基本不等式几何解释吗？
ab
a
b
“半径不小于半弦”
回顾反思
1、今天这节课学了哪些主要知识？ 2、在解决问题时用了哪些方法？
问题1、如何合理的表示物体的质量？Βιβλιοθήκη b两个正数a、b ，我们把
称为a、b
2
的算术平均数， ab 称为几何平均数。
问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢？
猜想：ab a b（a 0,b 0） 2
问题3：如何证明 ab a b（a 0,b 0） 2
不等式证明的基本方法 比较法（作差、作商法）
基本不等式的证明(一)
一、创设问题情景：
❖ 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子 上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果 天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他 因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过， 我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一 个盘上，此时称得物体的质量为b。
拓展延伸
这个基本不等式可否推广到“n个非负数”的情 形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可 查阅有关资料。
华罗庚证明1+1=2
华罗庚证明1+1=21+1=2怎么证明？华罗庚的证明方法1+1就是指哥德巴赫猜想,就是每一个大于等于6的偶数都可以表示为两个奇素数的和.关于哥德巴赫猜想,现在还没有解决,目前最好的结果是陈景润所证明的1+2,即每一个充分大的偶数可以表示成两个奇数的和,这两个奇数中一个是素数,另一个或是素数,或是两个素数的积.所以不存在华罗庚证明的1+1华罗庚证明1+1=2 2你说的可能是“1+1”，而不是“1+1=2”！“1+1”是世界著名的数学难题——哥德巴赫猜想的简称，它的内容之一是：任何大于2的偶数都等于两个质数之和，由于这个结论是德国数学家哥德巴赫首先发现并提出来的，所以叫做“哥德巴赫猜想”。
至今人类还没有完成最终证明，距离最终结果最近的，是中国数学家陈景润1966年完成的“1+2”，也就是他证明了任何充分大的偶数都等于1个质数加上2个质数之积。
1+1等于2 是华罗庚证明出来的吗？任何一个足够大的偶数都可以表示成一个素数和一个半素数的和，也就是我们通常所说的“1+2”。
陈景润于1966年发表，1973年公布详细证明方法。
1+1: 一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。
二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。
这就是著名的哥德巴赫猜想。
目前还没有人证明出来。
谁给我证明1+1?（华罗庚的那个。
）一加一等于二，你二啊……一加在正确的情况下等于二，在错误的情况下等于三。
华罗庚证明1+1=2 5华罗庚教授因患急性心肌梗塞在1985年6月12日逝世。
华罗庚（1910.11.12—1985.6.12.），世界著名数学家，中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函式论等多方面研究的创始人和开拓者。
国际上以华氏命名的数学科研成果就有“华氏定理”、“怀依—华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔—加当华定理”、“华氏运算元”、“华—王方法”等。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
基本不等式的证明材料四
2
CD ≤OD
典例分析
例 1 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立.
（1） b a ≥ 2； ab
（2） a 1 ≥2 . a
变 若 a，b 异号呢？
例 2 设 0≤ a ≤ 2，证明： a(2 a) ≤1.
课堂小结：
归纳小结
通过这节课的学习谈谈你有哪些收获？
课后作业
1.证明下列不等式： （1）a－4 3+a≥7（其中 a＞3）；
设天平的两臂长分别为 l1，l2，物体的实际质量
l2
l1
为 M，根据力学原理有
l1M＝l2a， ① l2M＝l1b． ②
b
①乘以②得 l1l2M2＝l1l2 ab，
l2
l1
两边同除以 l1l2，可以得到 M ab ，
ab是黄金的实际质量，也是正数“a，b”的一 种平均方式．
实例探究
建构数学
猜想 不等式 ab≤a+2b（a＞0，b＞0）
a b 2 ≥0
a b 2 ab ≥ 0
只要证 0≤ a 2 ab b
a b≥ 2 ab
只要证 0≤
2
a b
a b ≥ ab 2
因为最后一个不等式成立，
所以 ab ≤ a b 成立，
2
当且仅当 a b 时取“=”.
建构数学
平均数定义 基本不等式
一般地，对于正数 a，b， a b 2 ab
建构数学
D
CD ab
A
ab
2 ab
aO Cb B
OD a b 2
CD ≤ ODΒιβλιοθήκη 建构数学基本不等式 符号语言
ab≤a+2b（a≥0，b≥0）当且仅当 a=b 时取“=”
一个有理不等式猜想的证明及推广
１ Ｊ＋ 筏 （ ）ｆ１ ＋１ｉ ｆ
， 、 ‘ｌ ＝ ／
ａ ｂ ＋ｃ ％
— — — — －
ｄ ｎ
ｔ— — －
ａ ｂｎ ｎ ％ ＋ｃ＋ｄ
—
＜—
１ ｎ ＋（ ｃ
ｌ ｄ ＋
１ ， ＋ｃ
ｎ
∑
协
ｃ
＋ ＋ － 施 ｃ 广 ＋・ 耳 ｃ ＼３ （ １ 鼍 ｆ１ １ ｆｎ １ １ ＋ １ ＋ 帆
等式 ：
１ １ ｌ ＋ｘ ＋ｙ ＋，
证 ÷ ｖ 善 ｖ １ ） （ ｙ ｙ１ ） （ ｙ（ （ 明： ＋ ＋ ＜ ＋ｘ ［ １ ） （ ］ ） 帆） ） １ １ 甘（ ＋ ＋ ＜ ＋ １ １ ＋ｘ
兮 （＋ ） ＋ ｙ ＜ 卅ｙ （＋ ＋ ） １ （ ） （ ） １
∑ ； Ｈ ∑ ∑ 慨
＝
ｄ
— —
１ ＋
１ ２ ＋ ｃ
ｎ施 ｋ Ｘ Ｈ ∑ ＋ ｋ 慨 兀 ｌ＋ ＋ｌ
‘ ： ‘ ！ ！
兀魁 兀
苎 兰
《 个 有 理 不 等 一
式 的 类 比及 猜 想 》 在
文 末 给 出 了 如 下 猜 想： 猜 想 设 ０ ｂ， ， ， ｃ
命 题 １ 设 ｎｂ ．．
ｃ， ＞ 且 ａ ｂ ｃ ｄ＝ ， ｄ Ｏ， ＋ ＋ ＋ １
￣ ｘ ＋ｙ＋ ＋ ＋ ： ２ ｘ ２ ￣ｙ 卅ｙ
＋ ＋ ＋ ＋ 矿 ＋ ２ ｙ
贝４
ｄ
— —
＋— 一 ＋
１ ＋６ １ －
＋
甘 Ｗ＜ （） ｘ ＋
由Ｏ ，＜ ， ０ ｘ ＜ ， ｙ ｌ有 ＜ ｙ １ 又 Ｉ ｘ ＞ ｘｘ ｙ ２Ｚ ， ＞ ２ ｙ ２ ｙ ｘ ＝ ｘ 从 而 （ 式 得 证 ， 引理 ｌ ｙ ） 即 得证 ．
基本不等式的证明材料四
建构数学
平均数定义 一般地，对于正数 a，b， a b 称为 a，b 的算术平均数 2 称为 a，b 的几何平均数 ab 基本不等式
a+b ab≤ （a≥0，b≥0）当且仅当 a=b 时取“=” 2
建构数学
平均数定义
基本不等式
符号语言
ab 称为 a，b 的算术平均数 一般地，对于正数 a，b， 2 ab 称为 a，b 的几何平均数
2
b
2
2 a b
只要证 2
ab ≤ a b
a b 2 ab ≥ 0 a b ≥ 2 ab
a b ≥0
2
只要证 0 ≤ a 2 只要证 0 ≤
当且仅当
a b，
a b
2
ab ≥ ab 2
即 a b 时，取“=”.
因为最后一个不等式成立， 所以
建构数学
实例探究归纳Fra bibliotek猜想不等式
a+b ab≤ （a＞0，b＞0） 2
猜想
问题 2 你会证明这个不等式吗？
证明
建构数学
证法一： （比较法）
ab ab 2 2 1 a 2 1 = 2
证法二： （分析法） 要证
ab ≤ ab 2
证法三： （综合法）
ab b
a b ≥0
a+b ab≤ （a≥0，b≥0）当且仅当 a=b 时取“=” 2
两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两 数相等时，两者相等.
文字语言
图形语言
建构数学
基本不等式的几何解释
D
ab 2
CD ab
最新高中数学不等式证明的常用方法经典例题优秀名师资料
关于不等式证明的常用方法重难点归纳(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证(2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因 2 不等式证明还有一些常用的方法换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法典型题例例1证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N *) 知识依托本题是一个与自然数n 有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等例2求使y x+≤a y x +(x >0,y >0)恒成立的a 的最小值知识依托该题实质是给定条件求最值的题目,所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来,等价转化的思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值例3已知a >0,b >0,且a +b =1 求证(a +a 1)(b +b 1)≥425 证法一 (分析综合法) 证法二 (均值代换法) 证法三 (比较法) 证法四 (综合法) 证法五 (三角代换法) 巩固练习 1 已知x 、y 是正变数,a 、b 是正常数,且y b x a +=1,x +y 的最小值为 _ 2 设正数a 、b 、c 、d 满足a +d =b +c ,且|a -d |<|b -c |,则ad 与bc 的大小关系是_________ 3 若m <n ,p <q ,且(p -m )(p -n )<0,(q -m )(q -n )<0,则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________ 4 已知a ,b ,c 为正实数,a +b +c =1 求证(1)a 2+b 2+c 2≥31 (2)232323+++++c b a ≤6 5 已知x ,y ,z ∈R ,且x +y +z =1,x 2+y2+z 2=21,证明x ,y ,z ∈[0,32] 6 证明下列不等式 (1)若x ,y ,z∈R ,a ,b ,c ∈R +,则cb a y b ac x a c b +++++22z 2≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ,y ,z ∈R +,且x +y +z =xyz ,则z y x y x z x z y +++++≥2(z y x 111++) 7 已知i ,m 、n 是正整数,且1<i ≤m <n(1)证明 n i A im <m i A in (2)证明 (1+m )n >(1+n )m8 若a >0,b >0,a 3+b 3=2,求证 a +b ≤2,ab ≤1不等式知识的综合应用典型题例例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米,盖子边长为a 米,(1)求a 关于h 的解析式;(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大?求出V 的最大值(求解本题时,不计容器厚度)知识依托本题求得体积V 的关系式后,应用均值定理可求得最值例2已知a ,b ,c 是实数,函数f (x )=ax 2+bx +c ,g (x )=ax +b ,当-1≤x ≤1时|f (x )|≤1(1)证明|c |≤1;(2)证明当-1 ≤x ≤1时,|g (x )|≤2;(3)设a >0,有-1≤x ≤1时, g (x )的最大值为2,求f (x )知识依托二次函数的有关性质、函数的单调性,绝对值不等式例3设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )-x =0的两个根x 1、x 2满足0<x 1<x 2<a1 (1)当x ∈[0,x 1)时,证明x <f (x )<x 1;(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称,证明 x 0<21x 巩固练习1 定义在R 上的奇函数f (x )为增函数,偶函数g (x )在区间[0,+∞)的图象与f (x )的图象重合,设a >b >0,给出下列不等式,其中正确不等式的序号是( )①f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ) ②f (b )-f (-a )<g (a )-g (-b ) ③f(a )-f (-b )>g (b )-g (-a ) ④f (a )-f (-b )<g (b )-g (-a ) A ①③B ②④C ①④D ②③2 下列四个命题中①a +b ≥2ab ②sin 2x +x2sin 4≥4 ③设x ,y 都是正数,若y x 91+=1,则x +y 的最小值是12 ④若|x -2|<ε,|y -2|<ε,则|x -y |<2ε,其中所有真命题的序号是__________4 已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ,a >0),设方程f (x )=x 的两实数根为x 1,x 2(1)如果x 1<2<x 2<4,设函数f (x )的对称轴为x =x 0,求证x 0>-1; (2)如果|x 1|<2,|x 2-x 1|=2,求b 的取值范围6 设函数f (x )定义在R 上,对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n ),且当x >0时,0<f (x )<1(1)求证 f (0)=1,且当x <0时,f (x )>1;(2)求证 f (x )在R 上单调递减;(3)设集合A ={ (x ,y )|f (x 2)·f (y 2)>f (1)},集合B ={(x ,y )|f (ax -g +2)=1,a ∈R },若A ∩B =?,求a 的取值范围7 已知函数f (x )=1222+++x cbx x (b <0)的值域是[1,3], (1)求b 、c 的值;(2)判断函数F (x )=lg f (x ),当x ∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论;(3)若t ∈R ,求证 lg57≤F (|t -61|-|t +61|)≤lg 513 数列与不等式的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现,试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求,在不等式的证明中要注意放缩法的应用. 【典例分析】题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略:(1)若函数f(x)在定义域为D ,则当x ∈D 时,有f(x)≥M 恒成立?f(x)min ≥M ;f(x)≤M 恒成立?f(x)max ≤M ;(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得. 【例1】等比数列{a n }的公比q >1,第17项的平方等于第24项,求使a 1+a 2+…+a n >1a 1+1a 2+…+1a n 恒成立的正整数n 的取值范围.【例2】(08·全国Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,an+1=S n +3n ,n ∈N*.(Ⅰ)设b n =S n -3n ,求数列{b n }的通项公式;(Ⅱ)若a n+1≥a n ,n∈N*,求a 的取值范围.【点评】一般地,如果求条件与前nABCDS项和相关的数列的通项公式,则可考虑S n 与a n 的关系求解题型二数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法:(1)比较法,特别是差值比较法是最根本的方法;(2)分析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析;(3)放缩法,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,a 3=7,S4=24.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设p 、q 都是正整数,且p ≠q ,证明:S p+q <12(S 2p +S 2q ).【点评】利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形,途径主要有:(1)因式分解;(2)化平方和的形式;(3)如果涉及分式,则利用通分;(4)如果涉及根式,则利用分子或分母有理化.【例4】(08·安徽高考)设数列{a n }满足a 1=0,a n+1=ca n 3+1-c ,c∈N*,其中c 为实数.(Ⅰ)证明:a n ∈[0,1]对任意n ∈N*成立的充分必要条件是c ∈[0,1];(Ⅱ)设0<c <13,证明:a n ≥1-(3c)n -1,n ∈N*;(Ⅲ)设0<c <13,证明:a 12+a 22+…+a n 2>n +1-21-3c,n ∈N*.题型三求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题,有时须结合不等式来解决,其具体解法有:(1)建立目标函数,通过不等式确定变量范围,进而求得最值;(2)首先利用不等式判断数列的单调性,然后确定最值;(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例5】(08·四川)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10,S5≤15,则a 4的最大值为______.【例6】等比数列{a n }的首项为a 1=2002,公比q =-12.(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n 项的积,求f(n)的表达式;(Ⅱ)当n取何值时,f(n)有最大值.题型四求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型,解答的一般策略:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,从而得到“否定”的结论,即不存在.若推理不出现矛盾,能求得在范围内的数值或图形,就得到肯定的结论,即得到存在的结果.【例7】已知{a n }的前n 项和为S n ,且a n +S n =4.(Ⅰ)求证:数列{a n }是等比数列;(Ⅱ)是否存在正整数k ,使S k+1-2S k -2>2成立. 【点评】在导出矛盾时须注意条件“k ∈N *”,这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例8】(08·湖北)已知数列{a n }和{b n }满足:a 1=λ,a n+1=23a n +n -4,b n =(-1)n (a n -3n +21),其中λ为实数,n 为正整数. (Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{a n }不是等比数列;(Ⅱ)试判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论;(Ⅲ)设0<a <b,S n 为数列{b n }的前n 项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n ,都有a <S n <b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.数列与不等式命题新亮点例1 把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数…,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) …,则第50个括号内各数之和为_____.点评:恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求. 例2 设{}n a 是由正数构成的等比数列, 12n n n b a a++=+,3n n n c a a +=+,则( )A. nn b c > B. n n b c < C. n n b c ≥ D. n n b c ≤点评:此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系. 例3 若对(,1]x ∈-∞-,不等式21()2()12x x mm --<恒成立,则实数m 的取值范围( )A. (2,3)-B. (3,3)-C. (2,2)-D. (3,4)-例4四棱锥S-ABCD 的所有棱长均为1米,一只小虫从S 点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n 米后恰好回到S 点的概率为n P (1)求2P 、3P 的值; (2)求证: 131(2,)n nP P n n N ++=≥∈(3)求证: 2365>(2,)24n n P P P n n N -+++≥∈…例5 已知函数()2f x x x =+.(1)数列{}n a 满足: 10a >,()1n n a f a +'=,若11112ni ia =<+∑对任意的n N ∈恒成立,试求1a 的取值范围; (2)数列{}n b 满足: 11b =,()1n n b f b +=()n N ∈,记11n nc b =+,k S 为数列{}n c 的前k 项和, k T 为数列{}n c 的前k 项积,求证1710nk k k kT S T =<+∑. 例6 (1)证明: ()ln1(0)x x x +<> (2)数列{}n a 中. 11a =,且()11211122n n n a a n n --??=++≥ ???; ①证明: ()724n a n ≥≥ ②()21n a e n <≥ 【专题训练】1.已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列,则有( )A .a 4a 6<a 6a 8B .a 4a 6≤a 6a 8C .a 4a 6>a 6a 8D .a 4a 6≥a 6a 82.设{a n }是由正数构成的等比数列,b n =a n+1+a n+2,c n =a n +a n+3,则( ) A .b n >c nB .b n <c nC .b n ≥c nD .b n ≤c n3.已知{a n }为等差数列,{b n }为正项等比数列,公比q≠1,若a 1=b 1,a 11=b 11,则( )A .a 6=b 6B .a 6>b 6C .a 6<b 6D .a 6>b 6或a 6<b 6 4.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k =( ) A .9 B .8 C .7 D .6 5.已知等比数列{a n }的公比q >0,其前n 项的和为S n ,则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A .S 4a 5<S 5a 4B .S 4a 5>S 5a 4C .S 4a 5=S 5a 4D .不确定 6.设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N*,则函数f(n)=S n(n +32)S n+1的最大值为( )A .120B .130C .140D .1507.已知y 是x 的函数,且lg3,lg(sinx -12),lg(1-y)顺次成等差数列,则( )A .y 有最大值1,无最小值B .y 有最小值1112,无最大值C .y 有最小值1112,最大值1D .y 有最小值-1,最大值1 8.已知等比数列{a n }中a 2=1,则其前3项的和S 3的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)9.设3b 是1-a 和1+a 的等比中项,则a +3b 的最大值为( )A .1B .2C .3D .410.设等比数列{a n }的首相为a 1,公比为q ,则“a 1<0,且0<q <1”是“对于任意n ∈N*都有a n+1>a n ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分比要条件D .既不充分又不必要条件11.{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它的前n 项和S n 有最小值,那么当S n 取得最小正值时,n =( )A .11B .17C .19D .2112.设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数,对任意实数x 、y ∈R ,都有f(x)f(y)=f(x +y),若a 1=12,a n =f(n)(n ∈N*),则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 ( ) A .[12,2)B .[12,2]C .[12,1)D .[12,1]13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4-a 2=8,a 3+a 5=26,记T n =S nn2,如果存在正整数M ,使得对一切正整数n ,T n ≤M 都成立.则M 的最小值是__________.14.无穷等比数列{a n }中,a 1>1,|q|<1,且除a 1外其余各项之和不大于a 1的一半,则q 的取值范围是________. 15.已知x >0,y >0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则(a +b)2cd的最小值是________.A.0B.1C.2D.416.等差数列{a n }的公差d 不为零,S n 是其前n 项和,给出下列四个命题:①A .若d <0,且S 3=S 8,则{S n }中,S 5和S 6都是{S n }中的最大项;②给定n ,对于一定k ∈N*(k <n),都有a n -k +a n+k =2a n ;③若d >0,则{S n }中一定有最小的项;④存在k ∈N*,使a k -a k+1和a k -a k -1同号其中真命题的序号是____________.17.已知{a n }是一个等差数列,且a 2=1,a 5=-5.(Ⅰ)求{a n }的通项na ;(Ⅱ)求{a n }前n 项和S n 的最大值.18.已知{a n }是正数组成的数列,a 1=1,且点(a n ,a n +1)(n ∈N *)在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若列数{b n}满足b 1=1,b n +1=b n+2a n ,求证:b n·b n +2<b 2n +1.19.设数列{a n }的首项a 1∈(0,1),a n =3-a n -12,n =2,3,4,…. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =a n 3-2a n ,证明b n <b n+1,其中n 为正整数. 20.已知数列{a n }中a 1=2,a n+1=(2-1)( a n+2),n =1,2,3,….(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)若数列{a n }中b 1=2,b n+1=3b n +42b n +3,n =1,2,3,….证明:2<b n ≤a 4n -3,n =1,2,3,… 21.已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为f '(x)=6x -2,数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N*)均在函数y =f(x)的图像上.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =1a n a n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得T n <m20对所有n ∈N*都成立的最小正整数m22.数列{}n a 满足11a =,21()n n a n n a λ+=+-(12n = ,,),λ是常数.(Ⅰ)当21a =-时,求λ及3a 的值;(Ⅱ)数列{}n a 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;(Ⅲ)求λ的取值范围,使得存在正整数m ,当n m >时总有0n a <.利用导数处理与不等式有关的问题一、利用导数证明不等式(一)、利用导数得出函数单调性来证明不等式。
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两个猜想不等式的证明宋 庆（南昌大学附中，江西 330047）文[1]提出了四个猜想不等式：2221222a b c a b c ++≥+++；（1） 2221111124124124a a b b c c ++≥-+-+-+；（2） 2221222b c aa b c ++≥+++；（3） 22211113232322a b b c c a ++≤++++++。
（4）其中，,,a b c 是正实数,且满足1abc =。
文[1]、[2]分别证明了不等式（1）、（2）。
本文旨在证明不等式（3）、（4）证明文末，笔者给出猜想 若,a b 为满足21a b +=的正数，则23263aba b +≥--＋2.213aba b +≥--参考文献[1] 宋庆.从一个简单的不等式命题说开去. 中学数学研究，2010(4)[2] 张 . 一个不等式猜想的肯定性证明与推广. 中学数学研究, 2011(1)[3] 张 .一个不等式猜想的解决.中学数学研究， 2011(4)[4] 宋庆. 一个新的代数不等式的发现. 中学数学研究, 2007(7)[5] 宋庆.几个有趣的双边不等式.数学通讯， 2001(20)[6] 宋庆.一组三角不等式的简单证明.数学通报， 1997(7)[7] 宋庆.三个新发现的三角不等式.中学数学教学参考，1995(11)[8] 宋庆.Hayashi 不等式的推广.中学数学教学参考，1994(9)[9] 宋庆.一个三角不等式的加强 湖南数学通讯， 1989(4)（本文刊载于《中学数学研究》2010年第4期）数学是可以在纸上思考出来的，但这种思考方式的根本，必须要从观察开始才行。
《走向IMO －数学奥林匹克试题集锦》（.华东师大出版社，2005）有：命题 若,a b 为正实数, 则 22111(1)(1)1a b ab+≥+++. 但肯寻诗便有诗，灵犀一点是吾师。
夕阳芳草寻常物，解用都为绝妙词。
笔者在文[1]中给出了以下简洁证明： ()(1)a b ab ++因为 222(1)(1)(1)b a a b b a =++-≥+， 故21(1)()(1)b a a b ab ≥+++，同理21(1)()(1)a b a b ab ≥+++，两式相加，便知原不等式成立。
天下难事，必做于易，必做于细。
但把简单的东西做好是一件不容易的事。
众所周知，看的结果常常依赖于你怎么去看。
你能不能观察眼前的现象，取决于运用什么样的理论。
理论决定你到底能够观察到什么。
用自己的眼睛去看别人见过的东西，在别人司空见惯的东西上能够发现出美来，这就更不是一件容易的事。
由命题，可得2005年IMO 中国国家集训队测试题，即定理1 设,,,a b c d 是正实数，且满足d 1abc =, 求证：222211111(1)(1)(1)(1d)a b c +++≥++++. 证明： 因为22111(1)(1)1a b ab +≥+++，22111(1)(1)1c d cd +≥+++，所以 22221111(1)(1)(1)(1d)a b c +++++++11111111ab ab cd ab ab ≥+=+=++++。
独创性是把旧的、很早就已知的或者人人都视而不见的事物当作新事物观察，它不在于生造出一些悖于常理的新词，而在于巧妙使用旧词。
旧词足以表达一切，旧词对行家来说已经足够了。
四个字母成双，三个字母怎么办呢？文[1]巧妙地解决了这个问题。
定理2 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =，求证：2221113(1)(1)(1)4a b c ++≥+++。
证明： 因22111(1)(1)1a b ab +≥+++，故要证原不等式,只要21131(1)4ab c +≥++ 2131(1)4c c c ⇔+≥++24(1)43(1)c c c ⇔++≥+2(1)0c ⇔-≥。
原不等式成立。
许多重要不等式的发现是由任意实数的平方非负得出来的。
另外，在数学上一项很简单的发现可能会产生一些新的思想和有用的结论。
手把青秧插满田，低头便见水中天。
心底清净方为道，后退原来是向前。
弱化定理2，笔者得到定理3 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：2323231113a a a b b b c c c++≥-+-+-+。
证明： 因为222432(1)4(1)46410a a a a a a a a +≥-+⇔-+-+≥4(1)0a ⇔-≥，所以23222114(1)(1)a a a a a a a =≥-+-++， 从而（注意到2221abc =），323232111a a a b b b c c c++-+-+-+ 42222221113(1)(1)(1)a b c ⎡⎤≥++≥⎢⎥+++⎣⎦。
因此,原不等式成立。
特殊化与一般化构成了数学解题过程的基础。
在探究问题时，特殊化往往比一般化起着更为重要的作用。
其实，人类的智慧不外乎用在两个方面，或者把简单的事情弄复杂，或者把复杂的事情弄简单。
成功者并没有在做与众不同的事，只不过做事的方式与众不同而已。
强化定理2，笔者有定理4 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：22211111(1)(1)(1)1a b c a b c+++≥++++++。
证明： 因1－a 、1－b 、1－c 必有两个同为非负数或非正数，故不妨设 （1－a ）（1－b ）≥0. 由命题知，要证原不等式,只要证211111(1)1ab c a b c ++≥+++++21111(1)1c c c a b c⇔++≥+++++ 22111(1)1c c c a b c ++⇔+≥++++211(1)c a b c c ⇔≥++++212()c c c c a b c ⇔++≥+++1ab a b ⇔+≥+⇔（1－a ）（1－b ）≥0,原不等式成立。
一个新想法是旧成分的新组合。
在数学中，美更多的在清晰中或在它被证明的简洁性之中。
中国人的哲学智慧在于知止；大学问的最高境界是止于至善。
不难知道111111a b c +++++与32不可比较。
关上一扇门，打开一扇窗。
在探索中，笔者意外获得下述定理5 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：2223333(1)(1)(1)a b c a b c +++++≥+++. 证明：由命题得，222222(1)(1)(1)a b c +++++ 222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)b c c a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦≥111111bc ca ab +++++111a b c a b c=+++++， 于是222333(1)(1)(1)a b c a b c ++++++++111111a b c =+++++222222(1)(1)(1)a b c ++++++ 111111a b c ≥+++++111a b c a b c++++++＝3。
所以，原不等式成立。
数学需要演绎推理，但从科学发现的角度来说，更需要合情推理。
许多数学成果的发现，先是通过实验、观察、估算、类比、不完全归纳、联想、想象、直觉猜测等合情推理的方式提出假说，然后经过演绎推理的论证才得出来的。
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土。
由定理5的证明，笔者又想到 定理6 已知x 、y 、z 为正实数, 求证：222y z x x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭12x y z x y y z z x ⎛⎫≥++ ⎪+++⎝⎭. 证明：令,,,x y z a b c y z x===则,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 于是 2222y z x x y y z z x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝222222(1)(1)(1)a b c +++++ ≥111111bc ca ab +++++111111y z x x y z=+++++x y z x y y z z x+++++=。
人的思维是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反的事物或者与它相接近的事物开始进行的，之后，便追寻与它关联的事物，进而产生联想。
对定理2、5分别作定理6中类似的代换，可以得到（证明从略）定理7 已知x 、y 、z 为正实数, 求证：22234y z x x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 2222223333()()()x y y z z x x y y z z x +++++≥+++。
追求卓越就是用不寻常的办法做寻常事。
生活的智慧之一在于对不必要的枝节的删节。
类似定理4，我们尚有定理8 已知,,a b c 是非负实数，且满足1bc ca ab ++=求证：11113b c c a a b a b c+++≥+++++. 证明：不妨设0,a b c ≥≥≥则103bc ≤≤.于是，2-5130.bc bc >-≥而且我们注意到a b c ++≥，因此，11152b c c a a b ++≥+++ []2()()()()()()5()()()c a a b a b b c b c c a b c c a a b ⇔++++++++≥+++[]22()2()5()()a b c bc ca ab a b c bc ca ab abc ⇔+++++≥++++-22(2)3()560a b c a b c abc ⇔++-++++-≥3()560a b c abc ⇐+++-≥(35)3()60bc a b c ⇔+++-≥1(35)3()60bc bc b c b c-⇔+++-≥+23()6()(35)(1)0b c b c bc bc ⇔+-+++-≥23(1)(25)0b c bc bc ⇔+-+-≥， 所以11152b c c a a b ++≥+++（注：此不等式即2008年全国高中数学联赛江西省预赛题第14题；《中等数学》2009（8）上刊载了一个繁冗的证明。
）≤2a b c ++≤时， 1111b c c a a b a b c ++++++++512a b c ≥+++51322≥+=； 2a b c ++>时，1111b c c a a b a b c++++++++ ()()11a b c b c a bc ca b c c a b c c a a b a b c ++=++++++++++++ (1)11()()c ab a b b c c a a b a b c +=+++++++++2(1)111c ab a b c a b a b c+=++++++++ 11a b c a b a b c ≥+++++++1134424a b a b c a b c a b a b c ++++⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 31124a b c +≥+++23224c c ->++。