一个不等式的七种证明方法

一个不等式的七种证明方法
证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目：已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法
证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立.
(2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2
因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二:
(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2
=(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2)
=(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd .
故命题得证. 分析三:用比较法
证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0,
∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2
∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法
证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |,
可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法
证法五:不妨设⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==ββ
ααsin cos ,sin cos 2
211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量).
则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos （α-β） 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+⋅+ 及r 1r cos （α-β）≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法
证法六:(1)当(a 2+b 2)(c 2+d 2)=0时,原不等式显然成立.
(2)当(a 2+b 2)(c 2+d 2)≠0时,欲证原不等式成立, 只需证| 2
2
2
2
d
c b a b
d ac +⋅++|≤1.
即证|
2
2
2
2
2
2
2
2
d
c d b
a b d
c c b
a a +⋅
+++⋅
+|≤1,
注意到(2
2b a a +)2+(
2
2b a b
+)2=1与
(
2
2d c c +)2+(22d c d +)2=1和cos 2x +sin 2x =1的结构特
征很类同,不妨设2
2b
a a
+=cos α, 2
2
d
c c +=cos β,
则2
2
b
a b +=sin α,
2
2
d
c d +=sin β,
故|
2
2222
22
2d
c b a bd
d
c b
a ac
+⋅++
++|
=|cos αcos β+sin αsin β| =|cos （α-β）|≤1 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析七:用构造函数法(判别式法)
证法七:待证不等式的结构特征与一元二次方程的判别式
Δ =b 2-4ac ≤0的结构特征很类似,由此不妨构造函数, f (x )=(a 2+b 2)x 2+2(ac +bd )x +(c 2+d 2)
=(a 2x 2+2acx +c 2)+(b 2x 2+2bdx +d 2) =(ax +c )2+(bx +d )2
显然不论x 取任何实数,函数f (x )的值均为非负数,因此,(1)当a 2+b 2≠0时,方程f (x )=0的判别式Δ≤0, 即［2(ac +bd )］2-4(a 2+b 2)(c 2+d 2)≤0, 即(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)
故ac +bd ≤|ac +bd |≤))((2222d c b a ++
(2)当a 2+b 2=0时,原不等式显然成立. 分析八:用构造复数法
证法八:待证不等式的结构特征与复数的模相似
设复数Z 1=a+bi,Z 2=c+di 则有|z 12
又。